整式分式分解因式

分式方程与整式方程在数学中，分式方程与整式方程是我们经常遇到的两类方程。

它们之间有着明显的区别，下面我将从不同的角度来介绍它们的特点和应用。

一、定义和形式1. 分式方程：分式方程是指方程中含有分式的方程。

一般形式为a/b = c/d，其中a、b、c、d为整数，b和d不为0。

分式方程的特点是方程中含有未知数的分数形式。

2. 整式方程：整式方程是指方程中只含有整数和未知数的方程。

一般形式为ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d = 0，其中a、b、c、d 为整数，n为非负整数。

整式方程的特点是方程中只含有未知数的整数形式。

二、解的形式1. 分式方程：分式方程的解一般为有理数。

通过对分子和分母进行因式分解，我们可以求得方程的解。

2. 整式方程：整式方程的解可以是有理数或无理数。

通过代数运算，我们可以求得方程的根。

三、求解方法1. 分式方程：求解分式方程时，我们通常采用通分的方法，将方程中的分式转化为整式方程。

然后通过解整式方程，得到方程的解。

2. 整式方程：求解整式方程时，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法，根据方程的形式选择合适的方法求解。

四、应用领域1. 分式方程：分式方程常常出现在实际问题中，例如涉及到比例、速度、浓度等方面的问题。

求解分式方程可以帮助我们解决实际生活中的实际问题。

2. 整式方程：整式方程广泛应用于各个数学领域，包括代数、几何、概率等。

解整式方程可以帮助我们深入理解数学的基本概念和原理。

总结：分式方程与整式方程在定义、解的形式、求解方法和应用领域上都有所区别。

了解它们的特点和应用，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

无论是在实际生活中还是学术研究中，掌握分式方程与整式方程的区别都是非常重要的。

儒洋教育学科教师辅导讲义知识点一： 整式与因式分解（一）知识回顾：（二）因式分解： 因式分解：因式分解的一般步骤：（1）对任意多项式分解因式，首先考虑提取公因式。

（2）对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解。

字母表示数代数式代数式的值整式整式的加减 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 整式的除法整式的乘法乘法公式平方差公式 完全平方公式因式分解提取公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法（3）对于二次三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法 （4）对于四项以上的多项式，考虑用分组分解法。

分解因式，必须进行到再也不能分解为止因式分解的方法：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法《一》提取公因式法：1、222xyzz xy yz x +--2、2223963xy y x y x -+- 3、)()(2)()(923x y b a y x a b -----4、下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ）（A ）)3)(3(92x x x -+=-; （B ）x x x x ++=++22)1(13; （C ）1)2)(2(52--+=-a a a ;（D ）1)1)(1(2-=+-a a a . 《二》公式法：1、44b a -2、6444-a3、226.81251425.1⨯-⨯4、22)())((2)(b a b a b a b a -+-+-+《三》十字相乘法1、ab x b a x +++)(22、24524--x x3、22127b ab a ++4、()2)(1xy y x +++ 5、20)(3)(22-+-+y x y x ；《四》分组分解法1、bx ay by ax 3443+--.2、222493025x b ab a -+-.3、1ab a b -+-4、 bm ma b a -+-33（三）错题练习：错例1错因：受干扰，负迁移产生了的错误． 错例2错因：未把3y 看作一个整体，平方时没给系数3平方．错例3错因：未掌握完全平方公式的结构特征，没给结果的第二项2倍．错例4错因：（1）受符号变化的影响，把两个完全平方公式混淆，结果第二项符号出错． （2）完全平方公式与平方差公式混淆．错例5错因：未掌握完全平方公式的结构特征，错用了平方差公式． （四）小结：在应用完全平方公式运算之前注意以下几点：1、使用完全平方公式首先要熟记公式和公式的特征，不能出现222)(b a b a ±=±的错误或222)(b ab a b a +±=±（漏掉2倍）等错误.2、在公式()2222b ab a b a ++=+中,左边是一个二项式的完全平方,右边都是一个二次三项式,本公式可用语言叙述为:首平方,尾平方,两倍之积在中央.3、公式中a 、b 的既可以代表具体的数，也可以代表单项式或多项式.4、要能根据公式的特征及题目的特征灵活选择适当的公式计算.5、用加法结合律，可为使用公式创造条件.利用这种方法，可以把多项式的完全平方转化为二项式的完全平方.课堂检测： 一、填空题1、若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=___________.2、若a 2+2a+b 2-6b+10=0， 则a=___________，b=___________.3、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.4、如果。

实数、整式、因式分解、分式、二次根式
喺数学嘅浩瀚星空中，实数、整式、因式分解、分式、二次根式犹如璀璨嘅群星，闪烁住智慧与灵动嘅光呀。

实数，系数量世界嘅基础，佢既包罗万象，又贯穿始终。

佢绵延喺无穷嘅数轴上，从渺小嘅负数到广漠嘅正无穷，书写住世界嘅量度。

整式，系实数嘅组合，整齐有序。

佢犹如一队整齐排列嘅士兵，喺代数嘅战场上挥倒泻住符号嘅锋芒。

因式分解，则行一场精彩嘅智谋战，将整式巧妙地拆解为两个或多个更小嘅整式，揭示其内喺嘅结构。

分式，系两条平行线交织，佢连接晒唔同量级嘅世界。

佢将两个数或代数式相除，用一种精巧嘅方式表达量之间嘅关系。

二次根式，系暗藏玄机嘅潘多拉魔盒。

佢提取晒正数平方根，揭示晒数字嘅另一重面貌。

佢行一把锋利嘅刀锋，切开晒数论嘅迷雾，展现晒根与次方嘅奇妙联系。

啲概念交织成一副数学嘅锦绣画卷，勾勒出数学嘅优雅与严谨。

佢哋系数学思维嘅基石，为解决真相世界嘅问题铺平晒路。

喺
工程、科学、经济等领域，啲概念挥倒泻住非凡嘅魅力，驱动住文明嘅发展。

数学，系一门既精妙又实用嘅学科。

而实数、整式、因式分解、分式、二次根式，就系呢门学科中嘅瑰宝。

佢哋为我哋探索世界嘅奥秘提供晒强大嘅工具，等我哋喺知识嘅海洋中乘风破浪。

个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：讲课时刻（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a pp ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

二、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。

1.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

（），其中A 、B 、C 是整式注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C ；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

3.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

4..分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

第二部分 式与式的运算一、代数式、整式的运算、因式分解、分式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.2.单项式：只含有数或字母的乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式，所有字母的指数和叫做单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数.升幂排列： 降幂排列：4.整式：单项式与多项式统称为整式.5.整式的加法：合并同类项. 添括号：()a b c a b c -+=-- 去括号：()a b c a b c +-=+-6.整式的乘法： （1）单项式×单项式:()()()212312325a b c abab c ab c +--+⋅==.（2）单项式×多项式:()2a b a ab a -=-. （3）多项式×多项式:()()a b c d +⋅+()()a c d b c d =⋅++⋅+ac ad bc bd =+++（4）乘法公式()()22a b a b a b +-=- ① ()2222a b a ab b ±=±+ ②a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3 7.整式的除法()232226422624242a b a b a b a b a b a b --÷=÷== 8.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.多项式=（ ）·…·（ ） 常用方法有： （1）提公因式法：如()ab ac ad a b c d ++=++；（2）公式法（利用乘法公式）：如()()()22224222x y x y x y x y -=-=+-；（3）十字相乘法： 因式分解：243x x ++x 1 x 3所以：()()24313x x x x ++=++ 因式分解：223x x --x 1 x 3-所以：()()22313x x x x --=+- 9、分式：（1）概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式. （2）分式运算的符号规律：a a a ab b b b --=-=-=--； a a a b b b--==-. （3）分式通分“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

整式的概念及运算一．知识概念1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

二． 整式的乘除与分解因式1.同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=⋅(m,n 都是正数)2.. 幂的乘方法则：mn n m a a =)((m,n 都是正数)⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n3. 整式的乘法（1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（3）．多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4．平方差公式: 22))((b a b a b a -=-+ 立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5．完全平方公式: 2222)(b ab a b a +±=±(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³6. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n都是正数,且m>n).在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00无意义. ③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即p p a a 1=-( a≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a -p 的值一定是正的; 当a<0时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如41(-2)2-=,81)2(3-=-- ④运算要注意运算顺序.7．整式的除法单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.8.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法，4.用分组分解法5.拆项，添项法，6.换元法，7.待定系数法分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.分式的概念及其运算1．知识概念1.分式：形如A/B ，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式(fraction)。

专题--整式与分式专题--整式与分式本讲教育信息】一、教学内容：专题——整式与分式二、教学目标：1. 了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式．2. 熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算．3. 会解分式方程和分式方程应用题．4. 体会数学知识之间的整体联系．三、知识要点分析：1. 分解因式分解因式的常用方法：提公因式法、运用公式法．2. 分式的运算（1）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．（2）分式乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．（3）分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．3. 分解因式和整式乘法运算是互逆的，分解因式和整式乘法运算是分式运算的重要依据．4. 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程．（2）解这个整式方程．（3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根．需要注意的是，这种代入最简公分母验根的方法虽然简便，但是必须要保证解方程的各步运算准确无误，否则这种简便的验根方法不能起到有效的作用．因此，我们还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，看等式左边是否等于右边．知识点1：分解因式例1. 分解因式：（1）x3－2x2＋x；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．题意分析：本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式．思路分析：（1）题是三项式，先提取公因式，再考虑用完全平方公式解题．（2）题先提取公因式，再考虑用平方差公式解题．解：（1）x3－2x2＋x＝x（x2－2x＋1）＝x（x－1）2；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．＝（x－y）x2－（x－y）y2＝（x－y）（x2－y2）＝（x－y）（x＋y）（x－y）＝（x－y）2（x＋y）．解题后的思考：解决分解因式的问题时，首先考虑因式是否有公因式，如果有，先提取公因式；如果没有公因式且因式是两项式，则考虑能否用平方差公式分解因式；因式是三项式时应考虑用完全平方公式解题．最后，直到每一个因式都不能再分解为止．例2．在边长为a cm的正方形木板上开出边长为b cm（b＜）的四个方形小孔，如图所示．（1）试用a、b表示出剩余部分的面积；（2）若a＝14.5，b＝2.75，则剩余部分的面积是多少？题意分析：本题意在考查整式和分解因式的综合应用．思路分析：剩余面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：（1）剩余部分的面积＝（a2－4b2）cm2．（2）当a＝14.5，b＝2.75时，（a2－4b2）＝（a＋2b）（a－2b）＝（14.5＋5.5）（14.5－5.5）＝180（cm2）．答：剩余部分的面积是180cm2．解题后的思考：观察所列算式，先分解因式，再代入求值较简便．小结：分解因式是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算，尤其是多项式乘法运算有着密切的联系．分解因式是分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础．等关系的方法是相同的，所不同的是分式方程的数量关系大多是以分式的形式出现的．小结：检验是解分式方程必不可少的步骤．注意，解分式方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的，解一元一次方程验根的目的只是检验解答的过程有无错误，而解分式方程验根的目的是在解答无误的前提下看是否有增根，检验的办法是把结果代入原方程的各分母，看是否为零，也可直接代入最简公分母，看是否为零．总结：本讲内容联系较密切，整式乘法→分解因式→分式运算→分式方程，层层递进，逐级加深．应重点掌握分解因式的方法和分式运算法则，并在此基础上进一步提高分析解决综合问题和应用问题的能力．【预习导学案】（暑假专题——图形的相似）1. 如何判断两个三角形相似，相似三角形有什么性质？2. 什么是相似图形，什么是位似图形？1. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A. 4.8米B. 6.4米C. 9.6米 D. 10米2. 如图，在RtΔABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC＝3，AB＝5，其中的一对相似三角形是__________和__________；它们的面积比为_________．【模拟试题】（答题时间：50分钟）*4. 用简便方法计算下列各题．（1）10002－2000×993＋9932；（2）1.992－2.992．**5. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，则不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（千米／时）所用时间（时）所走的路程（千米）（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．。

《整式与因式分解》、《分式》章节-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是整篇文章的开头，应该在简单介绍整式与因式分解、分式等概念的基础上，概括地介绍本章节的内容安排和目的。

以下是对概述部分的内容编写建议：在《整式与因式分解》、《分式》章节中，我们将深入探讨与代数相关的两个重要概念：整式与因式分解、分式。

这些概念不仅在数学上具有重要意义，而且在实际问题中具有广泛的应用。

在第一部分，我们首先回顾了整式的定义和特点。

整式是由常数、变量和运算符号（如加减乘除和乘方）组成的代数表达式。

我们将深入理解整式的基本性质，探讨如何进行整式的简化、展开和因式分解，从而帮助我们更好地理解和解决实际问题。

接下来，我们将进入第二部分，即因式分解的概念和方法。

因式分解是将一个多或高次整式拆分成可以约简的乘积形式的过程。

我们将学习并探索常见的因式分解方法，如提公因式法、配方法、分组分解法等，以及它们在实际问题中的应用。

通过因式分解，我们可以更有效地处理复杂的代数表达式，简化计算过程，精确地得出结果。

然后，我们将进一步深入研究分式的定义和性质。

分式是由整式构成的比值，形如a/b，其中a和b分别为整式。

我们将学习如何简化和等价分式，并研究分式的基本运算法则，包括加减乘除、约分等操作。

此外，我们还将探索分式在实际问题中的应用，如分数方程、比例问题等，以培养我们在解决实际问题时的分析思维和解决能力。

最后，我们将在结论部分总结整式与因式分解以及分式的重要性。

整式与因式分解是代数学习的重要基础，对于我们理解高阶代数概念和解决实际问题具有重要意义。

分式，作为整式的扩展，为我们处理更加复杂和抽象的代数问题提供了更灵活的工具和方法。

通过本章的学习，我们将具备扎实的整式与因式分解、分式的理论基础，并能够熟练运用相关概念和方法解决实际问题。

希望读者能够通过阅读本章的内容，深入理解整式与因式分解以及分式的本质，为进一步的数学学习打下坚实的基础。

整式的乘法与因式分解重点：整式的乘除法和因式分解，特别是作为乘、除运算基础的是幂的运算．难点：充分理解并掌握幂的运算性质．易错点：1.在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；2有关多项式的乘法计算出现错误；3.误用同底数幂的除法法则；4.用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；5.乘除混合运算顺序出错。

6.错误的运用平方差公式和完全平方公式。

7.用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误;分解因式不彻底。

【知识梳理】1.科学计数法：a×10n(其中1≤|a|<10)。

2.同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；x n∙x m=x n+m(m、n都是正整数)。

3.幂的乘方：底数不变，指数相乘；（a m）n=a mn(m、n都是正整数)。

4.积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；（ab）n=a n b n(n为正整数)。

5.同底数幂的除法：底数不变，指数相减；a m÷a n=a m-n(a≠0,m、n为正整数，且m>n).6.单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只有一个因式的则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：2x2yz2∙(-5x3y2)=[2×(-5)](x2∙x3)(y∙y2)z2= -10x5y3z27.单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；即m(a+b+c)=ma+mb+mc.8.多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；即（a+b）(m+n)=am+bm+an+bn.9.单项式除以单项式：把单项式的系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；归纳拓展：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

例如：2x2y4z÷3x2y3=(x2÷x2)(y4÷y3)z=yz10.多项式除以单项式：先把这个多项式分别除以这个单项式，再把所得的商相加。

整式和分式一、整式的分类及其中延伸的相关概念0,e π⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⨯⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩正整数整数负整数有理数正分数分数单个数字—实数负分数单项式整式无法开方的二次根式代数式无理数带根式的三角函数值无限不循环小数单个字母字母字母数字母多项式分式二、针对第1题的知识点复习1、负数2、相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

（0的相反数是0）3、倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数。

注意： ①零没有倒数。

②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。

一个带分数要先化成假分数。

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

4、绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作|a|。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。

⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a课堂练习1、4的算术平方根是（ ） A ． ﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ． 162、计算：（﹣）0=（ ）A ． 1B ．﹣C ． 0D ．3、计算：（﹣）×2=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．4 D ．﹣44、计算：（﹣12）2﹣1=（ ） A ．﹣54B ．﹣14C ．﹣34D ．05、﹣的倒数是（ ） A ． B ．C ．D ．6、计算：(－3)0＝（ ） A ．1B ．0C ．3D ．－137、计算：= ．2-的相反数是（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-﹣23的相反数是（ ） A ．﹣8 B ．8C ．﹣6D ．6当1<a<2时，代数式|a －2|＋|1－a|的值是（ ） A ．－1 B ．1C ．3D ．－3若 |x | =－x ，则x 一定是（ ） A ．非正数 B ．正数C ．非负数D ．负数实数1，-1，-12，0，四个数中，最小的数是（）A．0 B．1 C．-1 D．-1 2-94和（-32）2的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．上述答案都不正确- 14的绝对值是（）A．-4 B．14C．4 D．0.4已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a、b同号D．a、b异号，且正数的绝对值较大三、针对15题的计算知识点复习1、有理数计算：（1）计算规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。

1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：ba 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．2. n 都是正整数)．．()n ab =再把注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项． ①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+ ④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)．单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的 322a ⨯；1=+a a ，不是)．123、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4.分式一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成BA的形式．如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义； (3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．B A =这个“适解：(1)b a b a b a 34124131413132-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎭⎝=-； (2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568yx y x -+=． 1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcadc d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛(n 为整数)．3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cba cbc a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：除运算，此类a 必①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式． 注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131)13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． (1))0()(2≥=a a a ．(4)b a 号里的(例烦，解：6321263212--+++--232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-．分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+=23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a ba +-的值．分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ， 54<<∴x ．一、例1故有a 例2于是可以发现3+22=()221+，且()21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。

2019年知识同步数学：整式与分式整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。

②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

幂的运算：AM+AN=A(M+N)(AM)N=AMN(A/B)N=AN/BN 除法一样。

整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。

②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式两条：平方差公式/完全平方公式整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。

分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式的运算：乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

第二部分 初等代数第三讲 整式、分式和函数一、整式与分式1、⎧⎨⎩单项式：若干字母与数字之积整式多项式：若干单项式之和2、乘法运算（1）单项式×单项式 2x ·32x =63x （2）单项式×多项式 x （2x-3）=22x -3x （3）多项式×多项式（2x+3）（3x-4）=62x +x-12 3、乘法公式（重点） （1）222()2a b a ab b ±=±+（2）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ 2222()222a b c a b c ab bc ac --=++-+-（3）33322()33a b a b a b ab +=+++33322()33a b a b a b ab -=--+（4）22()()ab a b a b -=+-（5）3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++（6）2222221()()()2ab c ab bc ac a b b c a c ⎡⎤++±±±=±+±+±⎣⎦ 4、分式：用A,B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成A B 的形式，如果B 中还有字母，式子AB就叫分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

在解分式方程的时候要注意检验是否有増根.5、有理式：整式和分式统称有理式.6、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.7、分式的约分：其目的是化简，前提是分解因式.8、分式通分：目的是化零为整，前提是找到公分母，也就是最小公倍式.9、分式的运算：加减法：a c a cb b b ±±= bdbc ad d c b a ±=±乘法：bdacd c b a =⋅除法：bcad c d b a d c b a =⋅=÷乘方：nnn ba b a =)(10、余式的定义（重点）：被除式=除式×商+余式F(x)=f （x ）g(x)+r(x)当r （x ）=0时，称为整除 11、()()()f x x a f x x a -⇔-含有（）因式能被整除. 12.因式定理（重点）：f(x)含有（ax-b ）因式⇔f(x)可以被（ax-b ）整除⇔f(ba)=0 f(x)含有（x-a ）因式⇔f(a)=0 13、余式定理（重点）： f(x ）除以ax-b 的余式为f(b a)二、因式分解常用的因式分解的方法 1、提公因式法 例 222224223)3(2)96(218122y x x y xy x x xy y x x -=+-=+-2、公式法))(()(33))(()(222333322322222b ab a b a b a b a b ab b a a b a b a b a b a b ab a +±=±±=±+±-+=-±=+±3、十字相乘因式分解，适用于2ax bx c ++.三、函数：指数和对数的性质（一）指数(,01)xa a a >≠指数函数且 1、n m n ma a a+=⋅ 2、n m n m a a a -=÷ 3、mn nm a a=)( 4、m m m b a ab =)(5、m m mb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 6、）（0.......1≠=-a a a n n 7、100=≠a a时，当（二）对数(log ,01)a x a a >≠对数函数且 1、对数恒等式 N N e N a N a ln log ==，更常用 2、N M MN a a a log log )(log += 3、N M NMa a a log log )(log -= 4、M n M a na log )(log =5、M nM a na log 1log =6、换底公式aMM b b a log log log =7、1log 01log ==a a a ，四、经典例题： 例1322()11f x x a x ax x a =++-+=能被整除，则( ).（A ）2或-1 （B ）2 （C ）-1 （D ）2± （E ）1±例2()f x 除以213x x ++余，除以余-1，则()f x 除以()()23x x ++的余式为( ).（A ）25x - （B ）25x + （C ）1x - （D ）2x + （E ）21x -例3 22223(ac )(),,b a b c a b c ++=++则的关系为 ( ).（A ）a b b c +=+ （B ）1a b c ++= （C ）a b c ==（D ）1ab bc ac === （E ）1abc =例4 2222,22,,236A x yB y zC z x A B C πππ=-+=-+=-+,,则( ).（A ）至少有一个大于0 （B ）都大于0 （C ）至少有一个小于0 （D ）都小于0 （E ）至少有两个大于0例5 已知22(2000)(1998)1999(2000)(1998)a a a a --=-+-=,则( ).（A ）4002 （B ）4012 （C ）4020 （D ）4022 （E ）4000例6 2214,28x xy y y xy x x y ++=++=+=，则( ).（A ）6或-7 （B ）6或7 （C ）-6或-7 （D ）-6或7 （E ）6例7 22213102xx x x-+=+-=，则( ). （A ）2 （B ）3 （C ）1 （D ）2 （E ）5例8(252)(472)(692)(8112)(201420172)(142)(362)(582)(7102)(201320162)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+（ ）.（A ）1002 （B ）1008 （C ）1028 （D ）988 （E ）968例9 3322015220152013201520152016-⨯-=+-（ ）.例10 已知11252000,802000x yx y==+=，则( ). （A ）12（B ）32（C ）1 （D ）2 （E ）3例11 已知0.30,log 33,,a b c a b c ππ===，,则关系为( ).（A ）a b c >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）a c b >> （E ）c b a >>例12 已知log 2log 20,a b a b <<,则关系为( ).（A ）01a b <<< （B ）01b a <<< （C ）1a b >> （D ）1b a >> （E ）1b a >>例13 已知3342727xx x x --+=+=，则( ).（A ）64 （B ）60 （C ）52 （D ）48 （E ）36方程 不等式一、基本定义1、元：方程中未知数的个数； 次：方程中未知数的最高次方数.2、一元一次方程 ()0ax b a =≠ 得b x a=3、一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax⇔一元二次方程02=++c bx ax ，因为一元二次方程就意味着0≠a。

整式的乘除法。

因式分解和分式复习基本概念一．整式的除乘法 1。

同底数幂的乘法：mn m n a a a +=,（m,n 都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

2。

幂的乘方：()m nmna a=,(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：()n n nab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。

4。

整式的乘法：(1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示:m （a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式）（3)多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式：平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差"，即用字母表示为：（a +b )(a －b )=a 2－b 2;其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差)的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：（a +b )2=a 2+2ab +b 2;（a －b )2=a 2－2ab +b 2;其结构特征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项，首末两项是平方项,且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时,如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。