常用逻辑用语与充要条件
欧阳光明（2021.03.07）
【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．
1．命题的定义
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p 则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p .
(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假．
命题真假判断的方法：
(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．
(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．
(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．3．充分条件与必要条件的定义
(1)若p?q且q p，则p是q的充分非必要条件．
(2)若q?p且p q，则p是q的必要非充分条件．
(3)若p?q且q?p，则p是q的充要条件．
(4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件．
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
(1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．充分、必要条件的判定方法
(1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)传递法．
(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．
(2)简单复合命题的真值表：
2.
(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一
个”“某个”“有的”等．
3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
(2)含有存在量词的命题叫特称命题．
4．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.
注：
1．逻辑联结词“或”的含义
逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x?B；x?A且x∈B；
x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p 假且q真；p真且q真三种情况．
2．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”
即“非p”，只是否定命题p的结论．
命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
3．含一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．(2013·皖南八校)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B.
2．(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()
A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案B
解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B。2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3
D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3
答案 A
解析 从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A 正确．
【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <.”的逆否命题是（ ）
A ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数
B ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数
C ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数
D ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数
命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )
A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数
B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数
C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数
D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数
答案 C
解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.
5．与命题“若a ∈M ，则b ?M ”等价的命题是( )
A ．若a ?M ，则b ?M
B ．若b ?M ，则a ∈M
C ．若a ?M ，则b ∈M
D ．若b ∈M ，则a ?M
解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D.
答案：D
4．下列命题中为真命题的是( )
A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题
B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题
C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题
答案 A
解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为
x >|y |＝????? y y ≥0－y y <0，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.
2．已知命题p ：?n ∈N,2n ＞1 000，则┐p 为( )．
A ．?n ∈N,2n ≤1 000
B ．?n ∈N,2n ＞1 000
C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n＜1 000
解析特称命题的否定是全称命题．即p：?x∈M，p(x)，则┐p：?x∈M，┐p(x)．故选A.
答案A
4．(2012·湖北改编)命题“存在x0∈?R Q，x30∈Q”的否定是() A．存在x0D∈/?R Q，x30∈Q B．存在x0∈?R Q，x30D∈/Q
C．任意xD∈/?R Q，x3∈Q D．任意x∈?R Q，x3D∈/Q
答案D
解析“存在”的否定是“任意”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q.
命题“存在x0∈?R Q，x30∈Q”的否定是“任意x∈?R Q，x3D∈/Q”，故应选D.
1．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定
．．是()
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
答案D
解析由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．
2．(2012·辽宁改编)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则┐p是()
A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0
D ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0
答案 C
解析 ┐p ：存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.
2．(2012·安徽)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．
是( ) A ．对任意实数x ，都有x >1
B ．不存在实数x ，使x ≤1
C ．对任意实数x ，都有x ≤1
D ．存在实数x ，使x ≤1
答案 C
解析 利用特称命题的否定是全称命题求解．
“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C.
11．给出以下三个命题：
①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；
②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；
③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．②③
答案 (1)A (2)B
解析 (1)不等式2x 2＋x －1>0
的解集为??????x ??? x >12或x <－1，故由x >12?2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ?/x >12，故选A.
(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ?a ＝b ?A ＝B .故选B.
6．下列结论：
①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p 且┐q ”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要
条件是a b ＝－3；
③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．
其中正确结论的序号为________．
答案 ①③
解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且┐q 为假命题，故①正确；
②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.
5．下列命题中正确命题的序号是________．
①若ac 2>bc 2，则a >b ；
②若sin α＝sin β，则α＝β；
③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；
④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．
答案 ①③④
解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ?/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2?A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ?a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．
6．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．
答案 [3,8)
解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，
解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，
解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.
以下命题是真命题的序号是________．
(1)“若f (x )是奇函数，则f (－x )也是奇函数”的逆命题；
(2)“若x ，y 是偶数，则x ＋y 也是偶数”的否命题；
(3)“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；
(4)“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的逆否命题；
【解析】 对于(4)，只需证明原命题为真，∵a ＋b ＋c ＝3，∴(a ＋b ＋c )2＝9.
∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝9，从而3(a 2＋b 2＋c 2)≥9，∴a 2＋b 2＋c 2≥3成立．
【答案】 (1)(3)(4)
2．下列命题中正确的是( )
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题
B ．“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件
C ．l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α
D ．命题“?x ∈R,2x >0”的否定是“?x 0∈R,2x 0≤0”
答案 D
解析 对A ，只有当p ，q 全是真命题时，p ∧q 为真；对B ，sin α＝12?α＝2k π＋π6或2k π＋5π6，k ∈Z ，故“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件；对C ，l ⊥β，α⊥β?l ∥α或l ?α；对D ，全称命题的否定是特称命题，故选D.
15．给出下列四个命题：
①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；
②“?x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“?x ∈R ，均有x 2－x <0”；
③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；
④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }?{a ，b ，c }，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)
答案 ①④
解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 所以其逆否命题亦为真命题，①正确；
对②，命题“?x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：
“?x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；
对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，
所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；
对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确
10．给出下列命题：
①?x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立；
②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；
③“若a >b >0且c <0，则c a >c b ”的逆否命题；
④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．
其中真命题是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
答案 A
解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可
变为log 2x ＋1log 2x ≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b ，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能
得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．
12．给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；
⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上) 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋
1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，
由????? m >0Δ＝4m ＋12－4m m ＋3<0???? m >0m >1?m >1.
故⑤正确．
答案：②③⑤
3．设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥9”是“x >3且y ≥3”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手．如图： x 2＋y 2≥9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，当x 2＋y 2≥9时，x >3且y ≥3并不一定成立，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2≥9，但x >3且y ≥3不成立；而x >3且y ≥3时，x 2＋y 2≥9一定成立，故选
B.
一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键
词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．
4．“a >0”是“|a |>0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 因为|a |>0?a >0或a <0，所以a >0?|a |>0，但|a |>0a >0，所以a >0是|a |>0的充分不必要条件，故选A.
5．0＜x ＜5是不等式|x －2|＜4成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 由|x －2|<4，得－2 6．(2012·陕西)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 由a ＋b i 为纯虚数可知a ＝0，b ≠0，所以ab ＝0.而ab ＝0a ＝ 0，且b ≠0.故选B 项． 7．(2012·重庆)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( ) A ．既不充分也不必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．充要条件 解析 ∵x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数， ∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数． 当x ∈[3,4]时，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2， ∴f (x )＝f (x －4)．∴x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，充分性成立． 反之：x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，x －4∈[－1,0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)． ∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数． ∵y ＝f (x )是偶函数，∴x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，故选D. 8．(2011·天津)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 因为x ≥2且y ≥2?x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之， 不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以 x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件，故选择A. 9．已知a 、b 是实数，则3a ＜3b 是log 3a ＜log 3b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 由题知，3a ＜3b ?a ＜b ，log 3a ＜log 3b ?0＜a ＜b .故3a ＜3b 是log 3a ＜log 3b 的必要不充分条件．故选B. 10．(2012·天津)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ?B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ?B . 但A ?B 时，a ＝2或3.所以A 正确． 6．(2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，则有cos 〈a ，b 〉＝±1. 即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |. (1)已知p ：－4 【解析】 设q ，p 表示的范围为集合A ，B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因为q 是p 的充分条件，则有A ?B ， 则????? a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6. 13．设p ：x x －2 <0，q ：0 答案(2，＋∞) 解析p：0 A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 答案A 解析∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题． 由p：?x∈R，mx2＋2≤0为假命题， 由綈p：?x∈R，mx2＋2>0为真命题， ∴m≥0.① 由q：?x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题， 得綈q：?x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题， ∴Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.② 由①和②得m≥1，故选A.
相关主题
文本预览