第八节多元函数的极值及其求法
教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定
方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容：
一、 多元函数的极值及最大值、最小值
定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于
),(00y x 的点，如果都适合不等式
00(,)(,)f x y f x y <，
则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式
),(),(00y x f y x f >，
则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2
243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任
一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从
几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面
2
243y x z +=的顶点。
例２函数2
2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函
数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，
点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2
2y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
),(,0),(0000==y x f y x f y x
证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式
),(),(00y x f y x f <
特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式
000(,)(,)f x y f x y <
这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有
0),(00=y x f x
类似地可证
),(00=y x f y
从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面
)
)(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-
成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
仿照一元函数，凡是能使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(00y x 称为函数
),(y x f z =的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但
是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数xy z =的驻点，但是函数在该点并无极值。
怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。
定理2（充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(,0),(0000==y x f y x f y x ，令
C
y x f B y x f A y x f yy xy xx ===),(,),(,),(000000
则),(y x f 在),(00y x 处是否取得极值的条件如下：
(1)02
>-B AC 时具有极值，且当0A 时有极小值；
(2)02
<-B AC 时没有极值；
(3)02
=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数
),(y x f z =的极值的求法叙述如下：
第一步解方程组
),(,0),(==y x f y x f y x
求得一切实数解，即可以得到一切驻点。
第二步对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A ，B 和C 。
第三步定出2
B A
C -的符号，按定理2的结论判定00(,)f x y 是否是极值、是
极大值还是极小值。
例1 求函数
x y x y x y x f 933),(2
233-++-=的极值。 解先解方程组
2
2(,)3690,(,)360,x y f x y x x f x y y y ?=+-=??=-+=??
求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。
再求出二阶偏导数
(,)66,(,)0,(,)66
xx xy yy f x y x f x y f x y y =+==-+
在点(1,0) 处，06122
>?=-B AC 又0>A ，所以函数在(1,0)处有极小值
(1,0)5f =-；
在点(1,2) 处，0)6(122
<-?=-B AC ，所以f (1,2)不是极值；
在点(-3,0) 处，06122
在点(-3,2) 处，