ABAQUS
线性动态分析
如果你只对结构承受载荷后的长期响应感兴趣，静力分析（static analysis）是足够的。然而，如果加载时间很短（例如在地震中）或者如果载荷在性质上是动态的（例如来自旋转机械的荷载），你就必须采用动态分析（dynamic analysis）。本章将讨论应用ABAQUS/Standard进行线性动态分析；关于应用ABAQUS/Explicit进行非线性动态分析的讨论，请参阅第9章“非线性显式动态分析”。
7.1 引言
动态模拟是将惯性力包含在动力学平衡方程中：
+P
u
M&&
I
-
=
其中
M结构的质量。
u&&结构的加速度。
I在结构中的力。
P 所施加的外力。
在上面公式中的表述是牛顿第二运动定律（F = ma）。
在静态和动态分析之间最主要的区别是在平衡方程中包含了惯性力（M u&&）。在两类模拟之间的另一个区别在于力I的定义。在静态分析中，力仅由结构的变形引起；而在动态分析中，力包括源于运动（例如阻尼）和结构的变形的贡献。
7.1.1 固有频率和模态
最简单的动态问题是在弹簧上的质量自由振动，如图7-1所示。
图7–1 质量－弹簧系统
在弹簧中的力给出为ku ，所以它的动态运动方程为
mu ku P &&+-=0 这个质量－弹簧系统的固有频率（natral frequency ）（单位是弧度/秒（rad/s ））给出为
k m
ω= 如果质量块被移动后再释放，它将以这个频率振动。若以此频率施加一个动态外力，位移的幅度将剧烈增加，这种现象即所谓的共振。
实际结构具有大量的固有频率。因此在设计结构时，非常重要的是避免使可能的载荷频率过分接近于固有频率。通过考虑非加载结构（在动平衡方程中令0P =）的动态响应可以确定固有频率。则运动方程变为
Mu I &&+=0 对于无阻尼系统，I Ku =，因此有
Mu Ku &&+=0 这个方程的解具有形式为
t i e u ωφ=
将此式代入运动方程，得到了特征值（eigenvalue ）问题
K M φλφ=
其中2λω=。 该系统具有n 个特征值，其中n 是在有限元模型中的自由度数目。记j λ是第j 个
特征值；它的平方根j ω是结构的第j 阶模态的固有频率（natural frequency ），而j φ是相应的第j 阶特征向量（eigenvector ）。特征向量也就是所谓的模态（mode shape ）（也称为振型），因为它是结构以第j 阶模态振动的变形形状。
在ABAQUS/Standard 中，应用频率的提取过程确定结构的振型和频率。这个过程应用起来十分容易，你只要指出所需要的振型数目或所关心的最高频率即可。
7.1.2 振型叠加
在线性问题中，可以应用结构的固有频率和振型来定性它在载荷作用下的动态响应。采用振型叠加（modal superposition ）技术，通过结构的振型组合可以计算结构的变形，每一阶模态乘以一个标量因子。在模型中的位移矢量u 定义为
∑∞==1i i
i u φα
其中i α是振型i φ的标量因子。这一技术仅在模拟小变形、线弹性材料和无接触条件的情况下是有效的，换句话说，即线性问题。
在结构的动力学问题中，结构的响应往往被相对较少的几阶振型控制，在计算这类系统的响应时，应用振型叠加成为特别有效的方法。考虑一个含有10,000个自由度的模型，对动态运动方程的直接积分将在每个时间点上同时需要联立求解10,000个方程。如果通过100个振型来描述结构的响应，则在每个时间增量步上只需求解100个方程。更重要的是，振型方程是解耦的，而原来的运动方程是耦合的。在计算振型和频率的过程中，开始时需要一点成本，但是，在计算响应时将会节省大量的计算花费。
如果在模拟中存在非线性，在分析中固有频率会发生明显的变化，因此振型叠加法将不再适用。在这种情况下，只能要求对动力平衡方程直接积分，它所花费的时间比振型分析昂贵得多。
必须具备下列特点的问题才适合于进行线性瞬态动力分析：
?
系统应该是线性的：线性材料行为，无接触条件，以及没有非线性几何效应。 ?
响应应该只受相对少数的频率支配。当在响应中频率的成分增加时，诸如是打击和碰撞的问题，振型叠加技术的效率将会降低。 ? 载荷的主要频率应该在所提取的频率围之，以确保对载荷的描述足够精确。
?
应用特征模态，应该精确地描述由于任何突然加载所产生的初始加速度。 ? 系统的阻尼不能过大。
7.2 阻尼
如果允许一个无阻尼结构做自由振动，则它的振幅会是一个常数。然而在实际中，能量被结构的运动耗散，振动的幅度减小直至振动停止。这种能量耗散被称为阻尼（damping ）。通常假定阻尼为粘滞的，或者正比于速度。包含阻尼的动力平衡方程可以重新写为
Mu I P I Ku Cu
&&&+-==+0 其中 C
是结构的阻尼矩阵 &u 是结构的速度。
能量耗散来自于诸多因素，其中包括结构连接处的摩擦和局部材料的迟滞效应。阻尼是一种很方便的方法，它包含了重要的能量吸收而又无需模拟具体的效果。
在ABAQUS/Standard 中，特征模态的计算是关于无阻尼系统的。然而，大多数工程问题都包含某种阻尼，尽管阻尼可能很小。对于每个模态，在有阻尼和无阻尼的固有频率之间的关系是
ωωξd =-12
其中 d ω
是阻尼特征值， 0
c c =
ξ 是临界阻尼比， c
是该振型的阻尼， 0c 是临界阻尼。 对于ξ的较小值（1.0<ξ），有阻尼系统的特征频率非常接近于无阻尼系统的相
应值；当ξ增大时，无阻尼系统的特征频率成为不太准确的；而当ξ接近于1时，采用无阻尼系统的特征频率就成为无效的。
如果结构是处于临界阻尼（1=ξ），在任何扰动后，结构不会有摆动而是尽可能迅速地恢复到它的初始静止构形。（见图7-2）
图7–2 阻尼
7.2.1 在ABAQUS/Standard 中阻尼的定义
对于瞬时模态分析，在ABAQUS/Standard 中可以定义一些不同类型的阻尼：直接模态阻尼（direct modal damping ），瑞利阻尼（Rayleigh damping ）和复合模态阻尼（composite modal damping ）。
阻尼是针对模态动力学过程定义的，阻尼是分析步定义的一部分，每阶模态可以定义不同量值的阻尼。
直接模态阻尼
应用直接模态阻尼可以定义与每阶模态相关的临界阻尼比ξ，其典型的取值
围是在临界阻尼的1%到10%之间。直接模态阻尼允许用户精确地定义系统的每阶模态的阻尼。
Rayleigh 阻尼
在Rayleigh 阻尼中，假设阻尼矩阵是质量和刚度矩阵的线性组合，
K M C βα+=，
其中α和β是由用户定义的常数。尽管阻尼是正比于质量和刚度矩阵的假设没有严格的物理基础，实际上我们对于阻尼的分布知之甚少，也就不能保证其它更为复杂的模型是正确的。一般的，这个模型对于大阻尼系统不可靠；即超过临界阻尼的大约10%。相对于其它形式的阻尼，你可以精确地定义系统的每阶模态的Rayleigh 阻尼。
对于一个给定模态i ，临界阻尼值为i ξ，而Rayleigh 阻尼值α和β的关系为
i i
i βωωαξ22+=
复合阻尼 在复合阻尼中，对于每种材料定义一个临界阻尼比，这样就得到了对应于整
体结构的复合阻尼值。当结构中有多种不同的材料时，这一选项是有用的。在本指南中将不对复合阻尼做进一步的讨论。
7.2.2 选择阻尼值
在大多数线性动力学问题中，恰当地定义阻尼对于获得精确的结果是十分重要的。但是，在某种意义上阻尼只是近似地模拟了结构吸收能量的特性，并非试图去模拟引起这种效果的物理机制。因此，在模拟中确定所需要的阻尼数据是很困难的。偶尔，你可以从动态试验中获得这些数据，但是，你不得不通过查阅参考资料或者经验获得这些数据。在这些情况下，你必须十分谨慎地解释模拟结果，并通过参数分析研究来评估模拟对于阻尼值的敏感性。
7.3 单元选择
事实上，ABAQUS 的所有单元均可用于动态分析，选取单元的一般原则与静力分析
相同。但是，在模拟冲击和爆炸载荷时，应该选用一阶单元，因为它们具有集中质量公式，这种公式模拟应力波的效果优于二阶单元采用的一致质量公式。
7.4 动态问题的网格剖分
当你正在设计应用于动态模拟的网格时，你需要考虑在响应中将被激发的振型，并且使所采用的网格能够充分地反映出这些振型。这意味着能够满足静态模拟的网格，不一定能够计算由于加载激发的高频振型的动态响应。
例如，考虑图7-3所示的板。一阶壳单元的网格对于板受均布载荷的静力分析是适合的，并也适合于一阶振型的预测。但是，该网格是明显地过于粗糙以至于不能够精确地模拟第六阶振型。
图7–3 板的粗网格
图7-4显示了同样的板采用了一阶单元的精细网格的模拟。现在，第六阶振型的位移形状看起来明显变好，对于该阶振型所预测的频率更加准确。如果作用在板上的动态载荷会显著地激发该阶振型，则必须采用精细的网格；采用粗网格将得不到准确的结果。
图7–4 板的精细网格
7.5 例题：货物吊车—动态载荷
这个例子采用在第6.4节“例题：货物吊车”中已分析过的同样的货物吊车，现在要求研究的问题是当10 kN的载荷在0.2秒的时间中落到吊车挂钩上所引起的响应。在A, B, C和D点（见图7-5）处的连接仅能够承受的最大拉力为100 kN。你必须决定这些连接的任何一个是否会断裂。
图7–5 货物吊车
加载的持续时间很短意味着惯性效应可能是很重要的，基本上要进行动态分析。这里没有提供关于结构的阻尼的任何信息。由于在桁架和交叉支撑之间采用的是螺栓连接，因此由摩擦效应引起的能量吸收可能是比较显著的。因此，基于经验可以对每一阶振型选择5％的临界阻尼。
施加载荷的值与时间的关系，如图7-6所示。
图7–6 载荷－时间特性
在本手册的在线文档第A.5节“Cargo crane – dynamic loading”提供了输入文件。当通过ABAQUS/CAE运行这个输入文件时，将创建关于该问题的完整的分析模型。根据下面给出的指导如果你遇到困难，或者如果你希望检查你的工作，则可以运行这个输入文件。在附录A“Example Files”中，给出了如何提取和运行输入文件的指导。
如果你没有进入ABAQUS/CAE或者其它的前处理器，可以人工创建关于这个问题的输入文件，关于这方面的讨论，见Getting Started with ABAQUS/Standard：Keywords Version，第9.5节“Example：Cargo crane – dynamic loading”。
7.5.1 修改模型
打开模型数据库文件Crane.cae，将Static模型复制成一个名为Dynamic的模型。除了下面描述的修改之外，动态分析的模型基本上与静力分析的模型相同。
材料
在动态分析中，必须给定每种材料的密度，这样才能形成质量矩阵。在吊车
中钢的密度为7800 kg/m3。
在这个模型中，材料属性是作为截面特性定义的一部分给出的。所以需要在Property模块中编辑BracingSection和MainMemberSection截面定义来指定密度。在Edit Beam Section（编辑梁截面）对话框的Section material density （截面材料密度）域中，为每个截面输入密度值为7800。
注意：如果材料数据的定义是独立于截面属性的，通过编辑材料定义可以将密度包括在，即在Edit Material对话框中，选择General-->Density。
分析步
应用于动态分析的分析步定义与静力分析的分析步定义具有本质上的不同。
因此，两个新的分析步将取代前面所建立的静力分析步。
在动态分析中的第一个分析步用于计算结构的自振频率和振型。第二个分析步则应用这些数据来计算吊车的瞬态（模型）动态响应。在这个分析中，我们假定一切都是线性的。如果你想在分析中模拟任何的非线性，必须使用隐式动态（implicit dynamic）过程对运动方程进行直接积分。关于进一步的细节请参阅第7.9.2节“非线性动态分析”。
ABAQUS/Standard提供了Lanczos和子空间迭代（subspace iteration）的特征值提取方法。对于具有很多自由度的系统，当要求大量的特征模态时，一般来说Lanczos方法的速度更快。当需要仅少数几个（少于20）特征模态时，则应用子空间迭代法的速度可能更快。
在这个分析中，我们使用Lanczos特征值求解器并求解前30个的特征值。除了指定所要提取模态的数目，也可以指定所感兴趣的最小和最大频率，因此，一旦ABAQUS/Standard已经提取了在这个指定围的所有特征值，就会结束该分析步。
也可以指定一个变换点（shift point），距离这个变换点最近的特征值将被提取。
在默认情况下，不使用最小或最大的频率或变换点。如果没有约束结构的刚体模态，必须设置变换值为一个小的负值，以避免由于刚体运动产生的数值问题。
采用频率提取分析步代替静态分析步:
1．从主菜单栏中，选择Step-->Replace-->Tip Load。在Replace Step（替换分析步）对话框中，从Linear perturbation（线性摄动）过程的列表中，选择Frequency（频率）。
将删除不能转换的模型参数。在本例中删除了集中力，因为在频率提取分析中
不能应用它们。但是，频率提取分析步继承了与静态分析步相关的边界条件和
输出需求。
2．在Edit Step（编辑分析步）对话框的Basic（基础）页中，输入分析步描述First 30 modes；接受Lanczos特征求解器选项；并要求前30阶特征值。
3．将分析步重新命名为Extract Frequencies。
在结构动态分析中，响应通常地是与低阶模态有关。但是，应该提取足够的模态以便较好地表达结构的动态响应。检查是否已经提取了足够数量的特征值的一种方法是查看在每个自由度上的全部有效质量，它表明了在所提取模态的每个方向上激活了多少质量。在数据文件（.dat）的特征值输出中，给出了有效质量的列表。在理想情况下，对于每个振型在每个方向上，有效质量的总和应当至少占总质量的90％。在第7.6节“模态数目的影响”中将给出进一步的讨论。
应用模型动态过程进行瞬时动态分析。瞬时响应是基于在第一个分析步中提取全部的模态；在全部的30阶模态中均采用了5%的临界阻尼。
创建瞬时模型动态分析步:
1．从主菜单栏中，选择Step-->Create。从Linear perturbation过程列表中选择Modal dynamics，并命名分析步为Transient modal dynamics。在上面定义
的频率提取分析步之后插入这个分析步。
2．在Edit Step对话框的Basic页中，输入分析步的描述Simulation of Load Dropped on Crane，并指定分析步的时间为0.5和时间增量（time increment）为0.005。在动态分析中，时间是一个真实的物理量。
3．在Edit Step对话框的Damping页中，指定直接模态阻尼（direct modal），并对第1阶至第30阶的模态输入临界阻尼比为0.05。
如果使用了模态阻尼，必须指定在基于模态的动态过程中使用的特征模态。
ABAQUS/CAE默认自动地选择所有可能得到的特征模态。当然, 如果你希望改
变默认的选择，也可以应用Keywords Editor（关键词编辑器）编辑*SELECT
EIGENMODES块。在这个问题中，接受默认的选择。
输出
应用Field Output Request Manager（场变量输出管理器），对于Extract Frequencies分析步，修改场变量输出设置，因此，选择了Preselected defaults （预选默认值）。在默认情况下，ABAQUS/Standard将振型写入到输出数据库文件
（.odb），以便应用Visualization模块绘制振型图。对于每阶振型的节点位移都是经过单位化的，所以最大的位移为1单位。因此，这些结果和对应的应力和应变是没有物理意义的：它们仅能够用于相互的比较。
完成动态分析通常比静态分析需要更多更多的增量步。做为结果，来自动态分析的输出量可能是非常大，你应该控制输出要求以确保输出文件具有一个合理的量。在本例中，要求在每第5个增量步结束时，向输出数据库文件中输出一次位移形状。在分析步中有100个增量步（0.5/0.005）；因此，有20组场变量输出。
另外在每个增量步，将在模型加载端（例如，Tip-a集合）的位移和在固定端（Attach集合）的约束反力作为历史数据写入到输出数据库文件中，以便从这些数据中得到更好的解答。在动态分析中，我们也关心在模型中的能量分布以及能量采用的形式。在模型中表现出的动能是质量运动的结果；表现出的应变能是结构位移的结果；通过阻尼也耗散了能量。在默认情况下，对于模型动态过程，整个模型的能量将作为历史数据写入到.odb文件中。
对瞬时模型动态分析步中的输出请求：
1．从主菜单栏中，选择Output-->Field Output Requests-->Manager。在标记Transient modal dynamics的列中（可能需要拉大这列表格才能看见完整的分
析步名称），选择标有Created的单元格。
2．编辑场变量输出要求，使得仅将每第5个增量步的节点的位移写入到.odb 文件中。
3．从主菜单栏中，选择Output-->History Output Requests-->Manager。在标记Transient modal dynamics的分析步中创建两个新的输出要求。在第一个中，输出集合Tip-a在每个增量步结束时的位移；在第二个中，输出集合 Attach
在每个增量步结束时的约束反力。
载荷和边界条件
边界条件与在静力分析中的条件相同。由于在分析步替换过程中保留了这些条件，无需再定义新的边界条件。
在吊车的端部施加一个集中力，它的量级是与时间相关的，如图7-6所示。
与时间相关的载荷可以应用幅值曲线（amplitude curve）进行定义。通过幅值曲线上的值乘以载荷的值（?10,000 N），可以获得当时的任意点处施加荷载的实际值。
指定与时间相关的载荷:
1．首先定义幅值。从在Load模块的主菜单栏中，选择Tools--> Amplitude-->Create，命名幅值为Bounce，并选择Tabular（数据表）类型。
在Edit Amplitude（编辑幅值）对话框中，输入在表7-1中所示的数据。接受
默认的Step time（分析步时间）的选择作为时间跨度，并输入0.25作为光滑
参数值。
注意：点击鼠标键3，进入表格选项。
表7–1 幅值曲线数据
2．现在定义载荷。从主菜单栏中，选择Load-->Create。在Transient modal dynamics 分析步中施加载荷，命名为Tip load，并选择Concentrated force（集中力）作为载荷类型。施加载荷到集合Tip-b。在集合Tip-a 和Tip-b 之间，前面定
义的约束方程意味着吊车的两半部分将平均地分担载荷。
3．在Edit Load对话框中，输入-1.E4作为CF2（2方向作用力）的值，并为幅值选择Bounce。
在本例中，结构默认没有初始的速度或者加速度。然而，如果你希望定义初始的速度，则你可以做。通过在主菜单栏中，选择Field-->Create，并在分析步开始时，将初始平移速度设置到在模型中所选择的区域。为了引入初始条件，你也需要编辑模型动态分析步的定义。
运行分析
在作业（Job）模块中，创建一个名为DynCrane的作业，采用下面的描述：3-D model of light-service cargo crane-dynamic analysis。
将模型保存在模型数据库文件中，并提交作业进行分析和监控求解过程；纠正发现的任何一个模拟错误，研究引起任何警告信息的原因，如果必要则采取相应的措施。
7.5.2 结果
在分析中对于每一个增量步，Job Monitor（作业监视器）给出了所采用的自动时间增量步的简明总结。一旦该增量步结束就立刻写出相应的信息，这样你可以在作业运行中监控分析的过程。对于大型、复杂的问题，这个功能十分有用。在Job Monitor 中给出的信息与在状态文件（DynCrane.sta）中给出的信息相同。
查看Job Monitor和打印的输出数据文件（DynCrane.dat）以评估分析结果。Job Monitor
在Job Monitor中，第1列显示了分析步编号，第2列给出了增量步编号。
在每个增量步中为了得到收敛的结果，第6列显示了ABAQUS/Standard所需要的迭代次数。观察Job Monitor的容，可以发现在分析步1中与单一增量步相关的时间增量非常小。因为时间是与频率提取过程无关的，所以这个分析步没有占用时间。
在分析步2的输出显示，在整个分析步中时间增量的大小保持为常数，并且每个增量步只需迭代一次。在图7-7中显示了Job Monitor的结束部分。
图7-7 Job Monitor的结束部分：货物吊车动态分析
数据文件
对于分析步1的主要结果是提取的特征值（eigenvalue）、参与系数（participation factor）和有效质量（effective mass），如下所示：
所提取的最高频率为96Hz，与此频率对应的周期为0.0104秒，可以将它与固定的时间增量0.005秒相比较。在所提取的振型中，其周期没有远小于时间增量的。相反地，时间增量必须能够求解感兴趣的最高频率。
广义质量列（generalized mass）给出了对应于该阶振型的单自由度系统的质量。
振型参与系数（participation factor）列表反映了在哪个自由度上该振型起主导作用。例如，根据结果可以看出1阶振型主要在3方向上起作用。
有效质量（effective mass）列表反映了对于任何一个模态在每个自由度上所激活的质量的大小。结果表明，在方向2上具有显著质量的第一个模态是第3阶模态。在该方向上总的模型有效质量为378.23 kg。
前面在数据文件中，给出了模型的总质量为414.34kg。
为了保证已经采用了足够的模态，在每个方向上的总有效质量必须占模型质量的绝大部分（即90％）。然而，模型中的某些质量是与约束节点相联系的，这些约束的质量占与约束节点相连接的所有单元质量的大约1/4，在本例中，约为
28 kg。因此，在模型中能够运动的质量是385 kg。在x-、y-和z-方向上的有效
质量分别为可运动质量的6%，98%和97%。在2-和3-方向上的总有效质量远远超过了前面所建议的90%，在1-方向上的总有效质量是低得多。然而，由于载荷是作用在2-方向上的，在1-方向上的响应是不明显的。
对于模型动态分析步，由于关闭了所有数据文件的输出要求，所以在数据文件中没有包含任何结果。
7.5.3 后处理
进入Visualization模块，并打开输出数据库文件DynCrane.odb。
绘制振型
通过绘制与该频率相应的振型可以观察与一个给定的频率相应的变形状态。
选择一个模态并绘制对应的振型:
1．从主菜单栏中，选择Result-->Step/Frame。
弹出Step/Frame（分析步/画面）对话框。
2．从Step Name（分析步名称）表中，选择第一个分析步（Extract Frequencies）。
从Frame列表中，选择Mode 1。
3．从主菜单栏中，选择Plot-->Deformed Shape；或者使用工具箱中的工具。
ABAQUS/CAE显示了关于第一阶振型的变形形态，如图7–8所示。
图7–8 第一阶模态
4．从Step/Frame对话框中，选择第三阶模态。
5．点击OK。
ABAQUS/CAE显示出第三阶振型，如图7-9所示，并且Step/Frame对话框消失了。
图7–9 第三阶模态
结果的动画演示
用动画（animate）演示分析的结果。首先创建一个第三阶特征模态的动画放大系数，然后创建一个瞬时结果的时间历史动画（time-history animation）。
创建一个特征模态的动画放大系数:
1．从主菜单栏中，选择Animate-->Scale Factor；或者使用工具箱中的工具。
通过从0到1不同的变形放大系数，ABAQUS/CAE显示第三阶振型和步骤。
在提示区的左侧，ABAQUS/CAE也显示了电影播放控制器。
2．在提示区中，点击停止动画。
创建瞬时结果的时间历史动画:
1．从主菜单栏中，选择Options-->Animation观察动画选项。
ABAQUS/CAE显示Animation Options（动画选项）对话框。
2．点击Time History（时间历史）页。