《1.3.1圆幂定理》教学案 【教学目标】 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 【教学重难点】 重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用； 难点：灵活运用圆幂定理解题. 【教学过程】 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等. 定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等) 几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·P D(相交弦定理) 2证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆 周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.) ∴△P AC∽△PDB ∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆. 3比较 相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度. 4相交弦定理推论 定理 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项. 说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)
切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种. 切割线定理示意图 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=P A·PB(切割线定理) 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT2=P A·PB=PC·PD 2证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=P A·PB 证明：连接AT，BT ∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·P A
三余弦公式的巧用 1AO AO AO 12 αθααθθθθθ２ 如图：斜线和平面所成的角为 斜线在平面上的射影A B ,A C 为平面内异于A B 的直线， A B 与A C 的夹角为，与A C 的夹角，则有：cos =cos cos 该公式本质上反映了线面角与线线角之间的数量关系，其本质特征是由两个平面互相垂直，两个平面内的三条直线所成角的定量关系。在处理异面直线所成角、线面角的问题时效果明显。下面通过近年高考试题予以说明。 例一: （2005全国卷I 第18题） 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB CD ∥， ⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ， 且PA=AD=DC= 2 1 AB=1，M 是PB 的中点。 （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； 常规解法：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角. 连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由 PA ⊥面 ABCD 得∠PEB=90°在 Rt △PEB 中 BE= 2，PB=5， .510cos == ∠∴PB BE PBE .5 10 arccos 所成的角为与PB AC ∴ 析：已知条件中有PA ⊥底面ABCD 若使用三余弦公式则：PB 在平面ABCD 上的射影AB ， 210 cos 22 PBA BAC AC PB ∠= ∠= = ∴与 .5 10 arccos 所成的角为与PB AC ∴ 评：只要找到三线的夹角即可，无需作图求解。 例二（2006福建卷）如图，四面体ABCD 中， A B M D E O C
戴维南定理实验报告
戴维南定理 班级：14电信学号：1428403003 姓名：王舒成绩：一实验原理及思路 一个含独立源，线性电阻和受控源的二端网络，其对外作用可以用一个电压源串联电阻的. 等效电源代替，其等效电压源的电压等于该二端网络的开路电压，其等效内阻是将该二端网络中所有的独立源都置为零后从从外端口看进去的等效电阻。这一定理称为戴维南定理。 本实验采用如下所示的实验电路图a: 等效后的电路图如下b: 测它们等效前后的外特性，然后验证等效前后对电路的影响。 二实验内容及结果
⒈计算等效电压和电阻 计算等效电压：电桥平衡。∴=,33 1131R R R R Θ Uoc=3 11 R R R +=2.609V 。 计算等效电阻：R= ??? ??? ? ?+++ ??? ??? ??++3311111221 3111121 R R R R R R =250.355 ⒉用Multisim 软件测量等效电压和等效电阻 测量等效电阻是将V1短路,开关断开如下图所示： -+ Ro=250.335O Ω 测量等效电压是将滑动变阻器短路如下图 V120 V R11.8kΩ R2220Ω R112.2kΩ R22270Ω R33330ΩR3270Ω 50% 2 4 J1Key = A XMM1 6 a 1 7 Uo=2.609V ⒊用Multisim 仿真验证戴维南定理 仿真数据
等效电压Uoc=2.609V 等效电阻Ro=250.355Ω 电压/V 2.6 09 2.4 08 2.3 87 2.3 62 2.3 31 2.2 9 2.2 36 2.1 58 2.0 41 1.8 41 1.4 22 电流/mA 0 0.8 03 0.8 85 0.9 84 1.1 1 1.2 72 1.4 9 1.7 99 2.2 68 3.0 68 4.7 4 电压/V 2.6 09 2.4 08 2.3 87 2.3 63 2.3 3 2.2 91 2.2 36 2.1 58 2.0 41 1.8 41 1.4 22 电流/mA 0 0.8 03 0.8 85 0.9 85 1.1 1 1.2 72 1.4 9 1.7 99 2.2 68 3.0 68 4.7 5
[文件] sxc3jja0008.doc [科目] 数学 [年级] 初三 [章节] [关键词] 圆/圆幂定理/应用 [标题] 圆幂定理及其应用 [内容] 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方 法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程， 从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)
二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一 点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的 切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋 转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2；
正、余弦定理解题易错点剖析 正、余弦定理及其应用问题综合性强、解题有一定的技巧，学生在解题时，经常因为审题不仔细，忽视一些条件而导致错误．本文分类剖析了解题中常出现的错误，旨在为同学们提个醒，以达防微杜渐的目的． 一、隐含条件被忽视致错 例1 在ABC △中，若3C B =，求 c b 的取值范围． 错解：由正弦定理可知 sin3sin cos2cos sin 2sin sin c B B B B B b B B +==22cos 22cos 4cos 1B B B =+=-． 由20cos 1B ≤≤，得214cos 13B --≤≤，故13c b -≤≤． 剖析：上述解法中，忽视了B 的取值范围及a b c ，，均为正的条件而致错． 正解： 24cos 1c B b =-．（过程同错解） 又∵180A B C ++=°，2C B =， ∴045B <<°，2cos 12 B <<， ∴214cos 13B <-<∴，故13c b < <． 在解决解三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误．同学们在解题时一定要“擦亮慧眼”，否则极容易产生错解． 觅错：某同学遇到这样一道问题：在ABC △中，已知222 15a b C ===，，°，则A =_________． 分析：已知两边及其夹角，先用余弦定理，算出c ，再用正弦定理算出1sin 2 A = ，便大笔一挥，写上了“30°或150°”，轻轻松松搞定，不料老师却给他判了零分．下面是这位同学的详细解题过程，同学们帮他找找错因吧！ 错解：由余弦定理，得2222cos15843c a b ab =+-=-°． 又sin 1sin 2 a C A c = =，而0180A <<°°， ∴ 30A =°或150A =°． 所以空格上填“30°或150°”． 二、制约条件被忽视致错 例2 在ABC △ 中，62c =+，30C =°，求a b +的最大值． 错解：∵30C =°，∴150A B +=°，150B A =-°． 由正弦定理，得62sin sin(150)sin 30a b A A +==-°° ， 2(6 2)s i n a A =+∴，
戴维南定理 学号：1128403019 姓名：魏海龙班级：传感网技术 一、实验目的： 1、深刻理解和掌握戴维南定理。 2、掌握测量等效电路参数的方法。 3、初步掌握用multisim软件绘制电路原理图。 4、初步掌握multisim软件中的multimeter、voltmeter、ammeter 等仪表的使用以及DC operating point、paramrter sweep等 SPICE仿真分析方法。 5、掌握电路板的焊接技术以及直流电源、万用表等仪器仪表的使 用。 6、初步掌握Origin绘图软件的应用。 二、实验器材： 计算机一台、通用电路板一块、万用表两只、直流稳压电源一台、电阻若干。 三、实验原理：一个含独立源、线性电阻和受控源的一端口网络，对 外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置 换，其等效电压源的电压等于该一端口网络的开路电压，其等 效电阻等于该一端口网络中所有独立源都置为零后的数日电 阻。 四、实验内容： 1、电路图：
2、元器件列表： 2、实验步骤： （1）理论分析： 计 算等效电压： 电桥平衡。∴=,331131R R R R Uoc=3 11 R R R +=2.6087V 。 计算等效电阻：R= ??? ??? ? ?+++ ??? ??? ? ?++3311111221 3111121 R R R R R R =250.355
（2）测量如下表中所列各电阻的实际值，并填入表格： 然后根据理论分析结果和表中世纪测量阻值计算出等效电源电压和等效电阻，如下所示： Uc=2.6087V R=250.355Ω （3）multisim仿真： a、按照下图所示在multisim软件中创建电路 b、用万用表测量端口的开路电压和短路电流，并计算等 效电阻，结果如下：Us= 2.609V I= 10.42mA R=250.38Ω
第七章基本放大电路 7.1 试判断题7.1图中各电路能不能放大交流信号，并说明原因。 解：a、b、c三个电路中晶体管发射结正偏，集电结反偏，故均正常工作，但b图中集电极交流接地，故无交流输出。d图中晶体管集电结正偏，故晶体管不能正常工作，另外，交流输入信号交流接地。因此a、c两电路能放大交流信号，b、d两电路不能放大交流信号。 7.2 单管共射放大电路如题7.2图所示，已知三极管的电流放大系数50 = β。 （1）估算电路的静态工作点； （2）计算三极管的输入电阻 be r； （3）画出微变等效电路，计算电压放大倍数； （4）计算电路的输入电阻和输出电阻； （5）如果输入信号由内阻为1kΩ的信号源提供，计算源电压放大倍数； （6）去掉负载电阻，再计算电路的电压放大倍数、 CC + o -题7.2图 C C C (a) 题7.1图
输入电阻和输出电阻。 解：（1）A A R U U I B BE CC B μ4010410 3007.0125 3 =?≈?-=-= - mA A I I B C 210210405036=?=??==--β V I R U U C C CC CE 61021031233=???-=-=- （2）Ω=+=+=9502 265030026300C be I r β （3）放大电路的微变等效电路如图所示 电压放大倍数 7995 .03 ||350||-=-=-=be L C u r R R A β （4）输入电阻：Ω≈?==950950||10300||3be B i r R r 输出电阻 Ω==k R r C 30 （6） 15895 .0| 350 -=-=-=be C u r R A β 输入电阻：Ω≈?==950950||10300||3be B i r R r 输出电阻 Ω==k R r C 30 7.3 单管共射放大电路如题7.3图所示。已知100=β （1）估算电路的静态工作点； （2）计算电路的电压放大倍数、输入电阻和输出电阻 （3）估算最大不失真输出电压的幅值； （4）当i u 足够大时，输出电压首先出现何种失真，如何调节R B 消除失真？ 解：电路的直流通路如图所示， CC BQ E BEQ BQ B U I R U I R =+++)1(β A mA R R U U I E B BEQ C C BQ μβ435 .010130015 )1(=?+≈ ++-≈ 由此定出静态工作点Q 为 + u o - CC +u o - 题7.3 图 CC R
圆幂的定义 假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂； 若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2； 综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。 圆幂恒大于或等于零。 圆幂的由来 过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。 圆幂定理 定理内容 过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有 。[1] 圆幂定理的所有情况 考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有
圆幂定理的证明 图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以 。所以有： ，即： 图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 ，同上证得 图Ⅲ：切割线定理。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 易证
《1.3.1圆幂定理》教学案 教学目标 1．知识与技能：(1)理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；(2)学会作两条已知线段的比例中项； 2．过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知； 3．情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．教学重、难点 重点：正确理解相交弦定理及其推论 难点：相交弦定理及其推论的熟练运用 教学过程 前面讨论了与圆有关的角之间的关系.下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题.下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题. 探究1如图2-20，AB是⊙O的直径，CD⊥AB.AB与CD相交于P，线段P A、PB、PC、P D之间有什么关系？ ?=?(老师引导学生完成推导过程) . PA PB PC PD 探究2将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？ 连接AD、BC，请同学们自己给出证明. 探究3如果CD与AB不垂直，如图2-22，CD、AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？ 事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变.请同学们自己给出证明. 由上诉探究和论证，我们有 1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段P A(或PB)、PC、P D之间有什么关系？ 2. =?(老师引导学生完成推导过程) PA PC PD
由上诉探究和论证，我们有 3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 探究5下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析： 由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则P A? PB都是定值. 设定植为k，则： 当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得 k = P A? PB = PT2= PO2- r2( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆内时，如图，过点P作AB垂直于OP，则： k = P A? PB = P A2= r2 - PO2( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆上时，显然k=0. 由上，我们可以得到： 圆幂定理： 已知⊙(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A，B两点，则： 当点P在圆外时，k= PO2- r2； 当点P在圆内时，k= r2- PO2； 当点P在⊙O上时，k= 0. 我们称定值k为点P对⊙O的“幂” 【自主检测】 1. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_ ____. 2. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若P A·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_______. 3 . 若P A为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，P A=P C的长为_______. 4. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，⊙O的切线EF和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF ＝______．
巧用三余弦定理解题
A O P α l B A O 1θ2 θθ P Q α 巧用“三余弦定理”解题 “三余弦定理”的内容：如图１，直线AO 是平面α 的斜线，AQ 是AO 在平面内的射影，直线AP 在平面α内.设 21,,θθθ=∠=∠=∠QAP OAQ OAP ，有以下结 论：21cos cos cos θθθ ?=.我们可以形象地把这个结论称为“三余弦定理”， 应用“三余弦定理”可以使我们的很多立体几何问题的解决变得简单. 图１ 应用“三余弦定理”解题的步骤如下： 1. 明确三线：平面内的直线（以下简称“内线”），平面的斜线和斜线在平面内的射影. 2. 明确三角：斜线与“内线”所成为θ，斜线与射影所成的角为1θ，射影与“内线”所成的角为2θ. 3. 定理运算. 例1.如图２,已知AO 是平面α的一条斜线,OB ⊥α,B 是垂足,AP 是α内一直线,∠OAP=60o ,∠BAP=45o ,求斜线AO 与平面α所成的角. 分析：AP 是“内线”，AO 是斜线，AB 是射影，所以21,,θθθ=∠=∠=∠BAP OAB OAP ，直接利用“三余弦定理”求解.解题过程略.
略解： 点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角，明确了“三线”与“三角”，直接代定理求解. 图２ 变式1：已知∠OAB=45o ,∠BAP=45o ,求直线AO 与AP 所成的角； 分析：同例1. 变式2：已知∠OAB=45o ,∠BAP=45o , l //AP, 求直线AO 与l 所成的角； 分析：因为l //AP ，直线AO 与AP 所成的角同AO 与l 所成的角相等.我们在解题时，只需要明确“三线”，这时l 是“内线”，AO 是斜线，AB 是射影，然后斜线 AO 与“内线”l 所成为θ，斜线AO 与射影AB 所成的角为1θ，射影AB 与“内线”l 所成的角为2θ, 问题迎刃而解. 例2．如图３，在棱长为1正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和CC 1的中点，求异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值. 分析：直线BA 1是平面BCC 1B 1的斜线，BB 1是射影，EF 为“内线”，这样就明确是三线 ， 再明确三角，然后定理计算即可. 解：由题意可知，直线BA 1是平面BCC1B1的斜线， BB1是BA 1在平面内的射影，EF 为平面内的直线， 所以BA 1与EF 所成的角为θ，111θ=∠BC A ，EF 与BB 1所成的角为2θ 图３ C 1 A B C D A 1 B 1 D 1 F E
实验四戴维南定理 一、实验目的 1、验证戴维南定理 2、测定线性有源一端口网络的外特性和戴维南等效电路的外特性。 二、实验原理 戴维南定理指出：任何一个线性有源一端口网络，对于外电路而言，总可以用一个理想电压源和电阻的串联形式来代替，理想电压源的电玉等于原一端口的开路电压Uoc，其电阻（又称等效内阻）等于网络中所有独立源置零时的入端等效电阻Req，见图4－1。 图4－ 1 图4- 2 1、开路电压的测量方法 方法一：直接测量法。当有源二端网络的等效内阻Req与电压表的内阻Rv相比可以忽略不计时，可以直接用电压表测量开路电压。 方法二：补偿法。其测量电路如图4－2所示，E为高精度的标准电压源，R为标准分压电阻箱，G为高灵敏度的检流计。调节电阻箱的分压比，c、d两端的电压随之改变，当Ucd=Uab 时，流过检流计G的电流为零，因此
Uab＝Ucd =[R2/（R1+ R2）]E＝KE 式中K= R2/（R1+ R2）为电阻箱的分压比。根据标准电压E 和分压比Κ就可求得开路电压Uab,因为电路平衡时I G= 0，不消耗电能，所以此法测量精度较高。 2、等效电阻Req的测量方法 对于已知的线性有源一端口网络，其入端等效电Req可以从原网络计算得出，也可以通过实验测出，下面介绍几种测量方法： 方法一：将有源二端网络中的独立源都去掉，在ab端外加一已知电压U， 测量一端口的总电流I总则等效电阻 Req= U/I总 实际的电压源和电流源具有一定的内阻，它并不能与电源本身分开，因此在去掉电源的同时，也把电源的内阻去掉了，无法将电源内阻保留下来，这将影响测量精度，因而这种方法只适用于电压源内阻较小和电流源内阻较大的情况。 方法二：测量ab端的开路电压Uoc及短路电流Isc则等效电阻 Req= Uoc/Isc 这种方法适用于ab端等效电阻Req较大，而短路电流不超过额定值的情形，否则有损坏电源的危险。 图4 – 3 图4－4 方法三：两次电压测量法 测量电路如图4－3所示，第一次测量ab端的开路Uoc，第二次在ab端接一已知电阻RL （负载电阻），测量此时a、b端的负载电压U，则a、b端的等效电阻Req为：
余弦定理 教师：lihao (1)语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 ． (2)公式表达 2a ＝ 2b ＝ 2c = c2＝ 思路点拨：由题目可获取以下主要信息：①已知三边比例； ②求三角形的三内角． 解答本题可应用余弦定理求出三个角 [题后感悟] 此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角) 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各角的度数． [解题过程] ∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， ∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k . 由余弦定理，有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋(3＋1)2－426×(3＋1)＝22， ∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋(3＋1)2－62×2×(3＋1) ＝12， ∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.
1．在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求角A ，B ，C . 解析： 在△ABC 中，由余弦定理得， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(26)2－(6＋23)2－(43)2 2×26×(6＋23) ＝24(3＋1)242(3＋1) ＝22. ∴C ＝45°，sin C ＝22. 由正弦定理得：sin A ＝a sin C c ＝26×2243 ＝12. ∵a 戴维南定理实验报告 一、实验目的 1．深刻理解和掌握戴维南定理。 2．掌握测量等效电路参数的方法。 3．初步掌握用Multisim软件绘制电路原理图的方法。 4．掌握电路板的焊接技术以及直流电源、万用表等仪器仪表的使用方法。二、实验原理 将一个含独立源、线性电阻和受控电源的一端口网络，用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换，其等效电压源的电压等于该一端口网络的开路电压，其等效电阻等于该一端口网络中所有独立源都置为零后的输入电阻。 三、实验设备与器件 1．计算机一台 2．通用电路板一块 3．万用表 4．直流稳压电源 5．电阻若干 四、实验过程 1．测量电阻的实际值，将测量的结果填入表格中，计算等效电源电压和等效电阻。 （1）创建电路：从元器件库中选择电压源、电阻创建如图所示电路，同时接入万用表。 （2）用万用表测量端口的开路电压和短路电流，并计算等效电阻。 开路电压测量原理图： 短路电流测量原理图： 等效电阻计算： Uoc=2.609V Isc=10.42mA 所以：Ro=Uoc/Isc=2.609V/10.42mA=250.355（欧姆） （3）用万用表的欧姆档测量等效电阻，与（2）所得结果比较，将测量结果填入 表中。 等效电路图： （5）用参数扫描法对负载电阻进行参数扫描，得到原电路和等效电路的外特性， 5．测量原电路和戴维南等效电路的外特性，测量结果填入表中。 1．为何开路电压理论值和实际测量值一样，而短路电流却不一样？ 答、因为理论得到的等效电阻与实际用来替代的电阻阻值并不完全相同，可能会有器件本身阻值的偏差，也会由于供给电压后对电阻阻值的影响，再有实际测量工具的误差，安培表外接和内接影响等等，最终导致短路电流与理论值不同。2．本实验原理图是按照安培表外接法绘制的，考虑安培表外接和内接对本实验有何差别？ 答、（1）安培表外接时：测到的开路电压较为准确，但短路电流偏小，使得所得到的等效电阻偏大； （2）安培表内接时：测到的开路电压偏大，短路电流无偏差，也使得等效电阻偏大。 戴维宁定理例题 例1 运用戴维宁定理求下图所示电路中的电压U0 图1 剖析：断开待求电压地址的支路（即3Ω电阻地址支路），将剩下一端口网络化为戴维宁等效电路，需恳求开路电压U oc和等效电阻R eq。 （1）求开路电压U oc，电路如下图所示 由电路联接联络得到，U oc=6I+3I，求解得到，I=9/9=1A，所以U oc=9V （2）求等效电阻R eq。上图电路中含受控源，需求用第二（外加电源法（加电压求电流或加电流求电压））或第三种（开路电压，短路电流法）办法求解，此刻独立源应置零。 法一：加压求流，电路如下图所示， 依据电路联接联络，得到U=6I+3I=9I（KVL），I=I0′6/(6+3)=(2/3)I0（并联分流），所以U=9′(2/3)I0=6I0，R eq=U/I0=6Ω 法二：开路电压、短路电流。开路电压前面已求出，U oc=9V，下面需恳求短路电流I sc。在求解短路电流的进程中，独立源要保存。电路如下图所示。 依据电路联接联络，得到6I1+3I=9（KVL），6I+3I=0（KVL），故I=0，得到I sc=I1=9/6=1.5A（KCL），所以R eq=U oc/I sc=6Ω 终究，等效电路如下图所示 依据电路联接，得到 留心： 核算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法仍是开路、短路法，要详细疑问详细剖析，以核算简练为好。戴维南定理典型例子 戴维南定理指出，等效二端网络的电动势E等于二端网络开路时的电压，它的串联内阻抗等于网络内部各独立源和电容电压、电感电流都为零时，从这二端看向网络的阻抗Zi。设二端网络N中含有独立电源和线性时不变二端元件（电阻器、电感器、电容器），这些元件之间可以有耦合，即可以有受控源及互感耦合；网络N的两端ɑ、b接有负载阻抗Z（s），但负载与网络N内部诸元件之间没有耦合，U（s）=I（s）/Z（s）。当网络N中所有独立电源都不工作（例如将独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替），所有电容电压和电感电流的初始值都为零的时候，可把这二端网络记作N0。这样，负载阻抗Z（s）中的电流I（s）一般就可以按下式1计算（图2）式中E（s）是图1二端网络N的开路电压，亦即Z（s）是无穷大时的电压U（s）；Zi（s）是二端网络N0呈现的阻抗；s是由单边拉普拉斯变换引进的复变量。 【例题求解】 【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ． (市中考题) 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长． 注：比例线段是几之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例； (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来． 【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ． 415 D ．5 16 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得多等线段，为切割线定理的运用创设条件． 注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键． 【例3】如图，△ABC接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B． (1)求证：PA是⊙O的切线； (2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值． (北京市海淀区中考题) 思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的程． 【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE (省竞赛题) 思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=D E，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明． 注：圆中的多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁． 需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几各种类型的问题 A O P α l B A O 1 θ2 θθ P Q α 巧用“三余弦定理”解题 “三余弦定理”的内容：如图１，直线AO 是平面α 的斜线，AQ 是AO 在平面内的射影，直线AP 在平面α内.设21,,θθθ=∠=∠=∠QAP OAQ OAP ，有以下结论： 21cos cos cos θθθ?=.我们可以形象地把这个结 论称为“三余弦定理”，应用“三余弦定理”可以使我们 的很多立体几何问题的解决变得简单. 图１ 应用“三余弦定理”解题的步骤如下： 1. 明确三线：平面内的直线（以下简称“内线”），平面的斜线和斜线在平面内的射影. 2. 明确三角：斜线与“内线”所成为θ，斜线与射影所成的角为1θ，射影与“内线”所成的角为2θ. 3. 定理运算. 例 1.如图２,已知AO 是平面α的一条斜线,OB ⊥α,B 是垂足,AP 是α内一直线,∠OAP=60o ,∠BAP=45o ,求斜线AO 与平面α所成的角. 分析：AP 是“内线”，AO 是斜线，AB 是射影，所以21,,θθθ=∠=∠=∠BAP OAB OAP ，直接利用“三 余弦定理”求解.解题过程略. 略解： 点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角，明确了“三线”与“三角”，直接代定理求解. 图２ 变式1：已知∠OAB=45o ,∠BAP=45o ,求直线AO 与AP 所成的角； 分析：同例1. 变式2：已知∠OAB=45o ,∠BAP=45o , l //AP , 求直线AO 与l 所成的角； 分析：因为l //AP ，直线AO 与AP 所成的角同AO 与l 所成的角相等.我们在解题时，只需要明确“三线”，这时l 是“内线”，AO 是斜线，AB 是射影，然后斜线 AO 与“内线”l 所成 为θ，斜线AO 与射影AB 所成的角为1θ，射影AB 与“内线”l 所成的角为2θ, 问题迎刃而解. 例2．如图３，在棱长为1正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和CC 1的中点，求异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值. C 1 A B C D A 1 B 1 D 1 F E 戴维南定理 班级：14电信学号：1428403003 姓名：王舒成绩：一实验原理及思路 一个含独立源，线性电阻和受控源的二端网络，其对外作用可以用一个电压源串联电阻的. 等效电源代替，其等效电压源的电压等于该二端网络的开路电压，其等效内阻是将该二端网络中所有的独立源都置为零后从从外端口看进去的等效电阻。这一定理称为戴维南定理。 本实验采用如下所示的实验电路图a: 等效后的电路图如下b: 测它们等效前后的外特性，然后验证等效前后对电路的影响。 二实验内容及结果 ⒈计算等效电压和电阻 计算等效电压：电桥平衡。∴=,33 11 31R R R R Uoc=311R R R +=2.609V 。 计算等效电阻：R= ??? ??? ? ?+++ ??? ??? ? ?++3311111221 3111121 R R R R R R =250.355 ⒉用Multisim 软件测量等效电压和等效电阻 测量等效电阻是将V1短路,开关断开如下图所示： -+ Ro=250.335O Ω 测量等效电压是将滑动变阻器短路如下图 V120 V R11.8kΩ R2220Ω R112.2kΩ R22270Ω R33330ΩR3270Ω RL 4.7kΩ Key=A 50% 2 4 J1Key = A XMM1 XMM2 6 a 1 7 Uo=2.609V ⒊用Multisim 仿真验证戴维南定理 仿真数据 等效电压Uoc=2.609V 等效电阻Ro=250.355Ω 原电路数据 电压/V 2.6 09 2.4 08 2.3 87 2.3 62 2.3 31 2.2 9 2.2 36 2.1 58 2.0 41 1.8 41 1.4 22 电流/mA 0 0.8 03 0.8 85 0.9 84 1.1 1 1.2 72 1.4 9 1.7 99 2.2 68 3.0 68 4.7 4 等效电路数据 电压/V 2.6 09 2.4 08 2.3 87 2.3 63 2.3 3 2.2 91 2.2 36 2.1 58 2.0 41 1.8 41 1.4 22 电流/mA 0 0.8 03 0.8 85 0.9 85 1.1 1 1.2 72 1.4 9 1.7 99 2.2 68 3.0 68 4.7 5 实验四 戴维宁定理的验证实验 一、实验目的 1、通过实验验证戴维宁定理。 2、加深对等效电路概念的理解。 二、实验原理 戴维宁定理：在任何一个线性有源电路中,如果只研究其中一个支路电压、电流时，可将电路的其余部分看作是一个有源二端网络如图4-1(a) 所示。任何有源二端网络对外的作 （a ） （b ） 图4 -1 有源二端网络等效电路 用可用一个为U es 的理想电压源和内阻R 0串联的电源来等效代替见图4-1(b)。等效电源的理想电压源U es 就是有源二端网络的开路电压U OC ，即将负载断开后a 、b 两端之间的电压。等效电源的内阻R 0等于有源二端网络中所有电源均除去(将各个理想电压源短路，即其电压为零；将各个理想电流源开路，其电流为零)后所得到的无源网络的内阻。这个定理称为戴维宁定理。 三、实验内容及步骤 如图4-2所示，端子a ，b 左侧部分为一个有源二端网络，R L 是外部负载。依据戴维宁定理，测得a ，b 两端的开路电压U OC 和等效内阻R 0以后将数据代入图4-1（b ）内，如果两个电路在负载R L 上产生的电流I 相等，即可验证戴维宁定理。本次实验中，负载R L 以可变电阻代替，可以通过测量多组数据验证定理的正确性。 图4-2 戴维宁定理验证电路图 实验步骤如下： (1) 打开EWB 软件，选中主菜单Circuit/Schematic Options/Grid 选项中的Show grid ，使得 绘图区域中出现均匀的网格线，并将绘图尺寸调节到最佳。 (2) 在Sources 元器件库中调出1个Ground （接地点）和1个Battery （直流电压源）器件， 从Basic 元器件库中调出5个Resistor （电阻）、1个Potentiometer （可变电阻）、5个Switch （开关）器件，从Indicators 元器件库中调出1个V oltmeter （电压表）、1个Ammeter （电流表）器件，最后从Instruments 元器件库中调出1个Multimeter （多用表）器件，按图4-3所示排列好。 (3) 将各元器件的标号、参数值亦改变成与图4-3所示一致。 R L R L R U +- 5 4 R L I 5151 第七章 基本放大电路 试判断题图中各电路能不能放大交流信号，并说明原因。 解： a 、b 、c 三个电路中晶体管发射结正偏，集电结反偏，故均正常工作，但b 图中集电极交流接地，故无交流输出。d 图中晶体管集电结正偏，故晶体管不能正常工作，另外，交流输入信号交流接地。因此a 、c 两电路能放大交流信号，b 、d 两电路不能放大交流信号。 单管共射放大电路如题图所示，已知三极管的电流放大倍数50=β。 （1）估算电路的静态工作点； （2）计算三极管的输入电阻be r ； （3）画出微变等效电路，计算电压放大倍数； （4）计算电路的输入电阻和输出电阻。 解：（1）A A R U U I B BE CC B μ4010410 3007 .01253 =?≈?-=-= - CC +o - 题7.2图 C C C (a) 题7.1图 5252 mA A I I B C 210210405036=?=??==--β V I R U U C C CC CE 61021031233=???-=-=- （2）Ω=+=+=9502 265030026300C C be I r β （3）放大电路的微变等效电路如图所示 电压放大倍数 7995 .03 ||350||-=-=-=be L C u r R R A β （4）输入电阻：Ω≈?==950950||10300||3be B i r R r 输出电阻 Ω==k R r C 30 单管共射放大电路如题图所示。已知100=β （1）估算电路的静态工作点； （2）计算电路的电压放大倍数、输入电阻和输出电阻 （3）估算最大不失真输出电压的幅值； （4）当i u 足够大时，输出电压首先出现何种失真，如何调节R B 消除失真 解：电路的直流通路如图所示， CC BQ E BEQ BQ B U I R U I R =+++)1(β A mA R R U U I E B BEQ C C BQ μβ435 .010130015 )1(=?+≈ ++-≈ 由 此定出静态工作点Q 为 mA I I BQ CQ 3.4==β， V R R I U U E C C CC CEQ 3.4)5.02(3.415)(≈+?-=+-= （2）Ω=? +=9053 .426 100300be r 由于R E 被交流傍路，因此 16690 .05 .1100||-=?-=-=be L C u r R R A β + u o - CC +u o - 题7.3 图 CC R戴维南定理实验报告
戴维宁定理七种例题
圆幂定理(垂直弦定理)偏难
巧用三余弦定理解题
戴维南定理实验报告
实验四 戴维南定理的验证实验
电路与模拟电子技术(第二版)第7章习题解答
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