模糊集合及其运算.docx

第 1 章模糊集合及其运算（教材第2章）

1.1模糊集合创立背景

1.不兼容原理：一个系统的复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减小，在

达到一定阀值时复杂性与精确性相排斥，即高复杂性与高精度不兼容。

精

确

性

0复杂性

图不兼容原理示意图

大系统

F 逻辑二值逻辑

[0 ， 1]{0 ， 1}

人脑电脑

图人脑、电脑与大系统

2.Zadeh 研究大系统遇到的问题

他经常徘徊于人脑思维－大系统－计算机三者之间，人脑对复杂大系统中许多模糊概念与模糊信息不是用是、非二值逻辑，而是用模糊逻辑。线性的计算机是以二值逻辑 {0,1} 为基础，不能处理模糊信息，怎么办

为使大脑能像人脑那样处理模糊信息，必须将{0,1} 扩展到 [0, 1]闭区间，于是他在 1965 年发表了开创性论文“ Fuzzy sets ”。

举例解释模糊性与随机性两个概念的差异。

1.2经典集合及其运算

1.复习经典集合理论

定义：基于某种属性的、确定的、彼此可区别的事物全体。

论域：研究对象的全体称为论域（全域、全集、空间、话题）

元素与集合之间的关系：属于与不属于

集合之间关系：包含与相等

集合的基本运算：并、交、补运算

集合的三种基本形式如下：

定义式： A U B @{x | x A 或 x B } （只用符合字母）

描述式：（只用文字）由属于一个集合或另一个集合的元素构成的集合称

为这两个集合的并

文氏图：（只用图）

集合的直积（叉积，笛卡尔积）：

两个集合 A,B 的直积：A B {(x, y ) | x A 且 y B }

注意几点：

(1)序偶不能颠倒顺序（x, y）≠ (y, x),因此A×B≠ B× A；

(2)直积可推广到 n 个集合；

(3)当R为实数集，即R={x|-

2

称 R× R=R为二维欧氏空间。

2.映射与关系

(1)映射 f ： x→y；

(2)关系：集合 X× Y 直积的一个子集 R 称为 X 到 Y 的二元关系，简称关系；

(3)映射是关系的特例，因为 f ：x→y 显然 {(x, y)|y=f(x)}X×Y。

Y y

（集合）

（因变量）

X→ x

映射 f ：X→ Y

y=f(x)

Y→ y

0x 自变量0

X（集合）

图函数关系是映射的特例

3.集合性质

幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、同一律、复原律、互补律、对

偶律

4. 集合的表示：除描述法，列举法，递推公式法之外，还有特征函数表示法

集合 A 的特征函数定义为

1 x A

A (x)

x A

A

（ x ）

1

x

A

图集合 A 的特征函数

特征函数的性质：

(1) A ( x) 1

A ( x)

(2) A UB

( x)

max{ A (x), B (x)} (3)

A I B

( x)

min{

A (x),

B (x)}

模糊集合的定义及运算

(1) 概念的内涵与外延

内涵：一个概念中包含那些区别其它概念的全体本质属性称概念的内涵，概 念的内涵就是集合的定义。

外延：符合某概念的对象的全体，称为概念的外沿，概念的外延就是指集合的所有元素。

(2) 模糊概念： 在人们思维中， 没有明确外沿的概念称模糊概念。 例如，高、低、大等。

(3) 模糊集定义： A

A

~

1

A （ ui ）

[0,1]

A （ u2） A （ u1）

u 1 u 2

u i

U

U

图模糊集合

A 的隶属函数 ~

给定论域 U 到[0 ，1] 闭区间的映射。

： U → [0,1]

u → A (u)

%

都确定一个模糊子集 A ；

A

称为 A 的隶属度函数；

A

(u) 称为 u 对 A 隶属度；

%

%

%

%

%

在不至于混淆的情况下，用 A(u) 表示 A (u) 。

%

%

(4) 模糊集合的表示

① U 为有限离散的情况

Zadeh 表示法：

A A(u 1 ) A(u 2 )

L L

A( u n ) %

%

%

%

u 1 u 2

u n

序偶表示法：

A {( u 1 , A(u 1 )),( u 2 , A(u 2 )), L L (u n , A(u n ))}

% % % %

向量法： A

( A(u 1 ), A(u 2 ),L L A(u n ))

%

% % %

注意：隶属度为 0 的元素应保留

综合法： A

A(u 1 ) A(u 2 )

A(u n ) ( %

, %

,L L , %

)

%

u 1

u 2

u n

② U 为连续的情况

A A (u)

%

%

U u

(5) 模糊集合的运算

① 包含、相等的概念同普通集合

② 并、交、补的运算

A B (u) @max[ A (u), B (u)]

[ A (u), B (u)]

% % % %

% % A B (u) @min[ A (u), B (u)]

[ A (u), B (u)]

% % %

%

%

%

A c (u) 1 A (u)

%

%

A ∪ B

~

~

1

A

B

~

~

u

A ∩ B

~ ~

图模糊集合的并、交示意图

③ 模糊集合的代数运算

代数积： A B

A g

B A B % %

% % % %

A B A B 代数和：A B

%

%

%

%

1

% %

A B

% %

1

1

(6) 模糊集合的运算性质

不满足互补律，其余 8 条同普通集合的运算性质相同。

1.4 模糊集合与经典集合的联系

(1) 截集： A @{u | A (u)

},0

1 称 A

为 的 截集 A

%

%

%

%

强截集： A

{ u | A (u)

},0

1

(2) %

%

分解定理

U A ，其中

x A

A

A ( x)

A

%

0,1

0x A

(x)

1

A ~

λ

u

A

(x)

图分解定理示意图

分解定理提供了用经典集合构造模糊集合的可能性， 它是联系模糊数学与经典数学的纽带。

(3) 扩张原则： f ：x →y 可扩展为

% % %称 的扩展 f : A

f ( A)

f f

规定在扩张中保持它的隶属度函数值不变， 扩张原则目的是把普通数学方法扩展到模糊集合运算中。

隶属函数

(1) 确定隶属函数：主观性与客观性的统一 (2) 隶属函数确定方法

模糊统计法：介绍张南伦老师对“年轻”“中年”隶属函数的模糊统计

方法

例证法： Zadeh提出，利用语言值对样本的询问

专家经验法

(3)凸模糊集概念：具有单峰的模糊集合称为凸模糊集。

(4)模糊分布：常见四种形式 ( 正态分布，型分布，戒上型分布，戒下型分

布)