抽象函数定义域的求法
抽象函数是指只给出函数的一些性质,而未给出函数解析式的一类函数。
抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景,且构思新颖 ,条件隐蔽 ,技巧性强,解法灵活 .由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策 . 在人教版必修 1 的教学中涉及到抽象函数定义域的求解，学生普遍感到难以理解，我们从如下方面，并结合例题看看常考题型。
首先让学生明确两点：
①单独看某个函数，定义域一定是指单位x （自变量）的取值范围（无论是已知的定义域还是所求的定义域）——绝对情况。
②几个函数在一起，函数y f与函数y f（其中，是关于x的表达式）中，即括号内，看作整体，它们的范围相同——相对情况。
1、函数 f(x) 的定义域为 [a,b]是指谁的范围？
2、函数 f(2x+1) 的定义域为 [a,b]是指谁的范围？
3、函数 f(x) 的定义域为 [a,b]，则函数 f(2x+1) 中谁的范围是 [a,b]？
4、函数 f(2x+1) 的定义域为 [a,b]，则函数 f(x) 的定义域为 [a,b]对吗？
在给学生充分解释这两点的含义之后再让学生做下面的题目组：
1、已知函数 f(x) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(3x-5) 的定义域；
2、已知函数 f(3x-5) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(x) 的定义域；
3、已知函数 f(1-2x) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(3x-5) 的定义域；
4、已知函数 f(1-2x) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(-x) ＋f(x2)的定义域；
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高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3）13)2(2++=-x x x f D P C P A P B
待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；
抽象函数定义域问题的教学反思 【摘要】抽象函数定义域问题一直是学生学习的难点，如何行之有效的解决此类问题是值得我们反思的，故笔者从四个方面提出一点自己的教学思考，以期与同行齐思共想。 【关键词】抽象概念形象化具体化逐步渗透 函数出现在苏教版必修一第二章节，作为高考的必考内容，函数占了相当大的比例和分量，而其中抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是初学时求其定义域，许多同学解答起来总感觉到棘手．所以如何行之有效的解决此类问题是值得我们反思的，故笔者提出一点自己的教学思考，以期与同行齐思共想。 1、理解函数概念，追溯问题源头 新课改以来，概念教学的重要性日益提高，李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”但在实际的一线教学中，许多教师并不重视概念教学，一到概念教学就觉得“没意思，没用，难教”等等，往往就走走过场，既没有在概念的背景上下工夫，也不让学生经历概念的概括生成过程，以解题教学代替概念教学。 抽象函数定义域问题归根结底还是要回归到函数概念上。抽象函数通常指一类没有给出具体解析式的函数,其概念是非常简单的形式定义,它的意象表征抽象而又比较灵活,学生理解有相当难度,很难明确概念的内涵,并对概念的本质属性 准确揭示。而抽象概念学习是整个抽象函数的基础,概念不清就谈不上进一步讨论抽象函数的其它问题。一般地,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,其中x叫做自变量,x的取值范围也就是集合A叫做函数的定义域.因此任何函数的定义域都是指自变量x 的取值范围.正是由于定义域中自变量x的首先变化，引起了函数值的变化，所以，函数的定义域确切的说是函数中首先变化的那个量的所有取值组成的集合。 2、抽象知识形象化，激发学生的学习兴趣 本人任教农村中学的高中数学,学生基础较差,接受能力较弱。绝大多数同学学不好数学,在于上课听不懂,对抽象知识难以理解。这就需要教师时时刻刻地站
抽象函数定义域问题 这类题往往困扰着高一同学，大家总弄不明白一会x是这个范围，怎么一会又是另一个范围了，在讲解这类题目之前请大家明确3个问题： 1)凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围。 2)f( )表示的是同一对应法则，同一对应法则括号里的范围一致 3)f( )与g( )表示不同的对应法则括号里范围不一致 【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域. 函数定义域括号里的范围 F(x) 0≦x≦30≦x≦3 F(3+2x) 3/2≦x≦00≦3+2x≦3易知F(3+2x)的定义域为｛x|3/2≦x≦0｝括号里范围一致 根据括号里范围求x范围定义域是指自变量x的取值范围
【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的 定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 解： 函数 定义域 括号里的范围 F(2x-1) 0≦x ≦3 -1≦2x-1≦5 F(x) -1≦x ≦5 -1≦x ≦5 v 易知F(x)的定义域为｛x|-1≦x ≦5｝ 【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))的定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域. 解：思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 函数 定义域 括号里的范围 F(2x-1) 0≦x ≦3 -1≦2x-1≦5 F(3+x) -4≦x ≦2 -1≦3+x ≦5 v 易知易知F(x)的定义域为｛x|-4≦x ≦2｝ 根据括号里范围求x 范围 括 号 里 范 围一致 定义域是指自变量x 的取值范围 根据x 范围求括号里范围 根据括号里范围求x 范围 括 号 里 范 围一致 定义域是指自变量x 的取值范围 根据x 范围求括号里范围
赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略 函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1 x 1，且x 1
抽象函数定义域 的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难 度，特别是求其定义域时， 许多同学解答起来总感棘手． 下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法． 一、已知 f ( x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域 其解法是：若 f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g( x) 中， a ≤ g ( x) ≤ b ，从中 解得 x 的取值范围即为 f g( x) 的定义域． 例 1 已知函数 f (x) 的定义域为 15， ，求 f (3 x 5) 的定义域． 分析：该函数是由 u 3x 5 和 f (u) 构成的复合函数，其中 x 是自变量， u 是中 间变量，由于 f ( x) 与 f (u) 是 同一个函数，因此这里是 已知 1≤ u ≤ 5 ，即 1≤ 3x 5≤ 5，求 x 的取值范围． 解： f ( x) 的定义域为 15， ， 1≤ 3x 5 ≤ 5 ， 4 ≤ x ≤ 10 ． 3 3 故函数 f (3 x 5) 的定义域为 4 10 3 ， ． 3 二、已知 f g( x) 的定义域，求 f (x) 的定义域 其解法是：若 f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g (x) 的范 围即为 f ( x) 的定义域． 例 2 已知函数 f (x 2 2x 2) 的定义域为 0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域． 分析： 令 u x 2 2x 2 ，则 f ( x 2 2x 2) f (u) ， 由于 f (u) 与 f ( x) 是同一函数，因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域． 解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x 2 2x 2 ≤ 5 ． 令 u x 2 2x 2 ，则 f ( x 2 2x 2) f (u) ， 1≤ u ≤ 5 ． 故 f ( x) 的定义域为 15， ． 三、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各
抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法． 一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域 其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域． 例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033?????? ，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域 其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域． 例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤． 令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，． 三、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各
抽象函数的定义域 总结解题模板 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中 b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知 15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033 x ∴ ≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033?? ???? ，． 变式训练： 若函数)(x f y =的定义域为?? ????2,2 1，则)(log 2x f 的定义域为 。
一.定义域问题 总结解题模板 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中 b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例1 已知函数()f x 的定义域为[]1 5-，，求(35)f x -的定义域． 分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知 15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]1 5-，，1355x ∴--≤≤，41033 x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033 ?????? ，． 变式训练： 1 若函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,2 1，则)(log 2x f 的定义域为 。
抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法． 一、已知f(x)的定义域，求f g(x) 的定义域 其解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在f g(x) 中，a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f g(x) 的定义域． 例1 已知函数f(x)的定义域为15，，求f(3x 5)的定义域． 分析：该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f(u)是同一个函数，因此这里是已知1≤u≤5，即1≤3x 5≤5，求x的取值范围． 410解：f(x)的定义域为15，，1≤3x 5≤5，3≤x≤3． 410 故函数f(3x 5)的定义域为．33 二、已知f g(x) 的定义域，求f(x)的定义域 其解法是：若f g(x) 的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域． 例2 已知函数f(x2 2x 2)的定义域为0，3 ，求函数f(x)的定义域．分析：令u x2 2x 2，则f(x2 2x 2) f(u)， 由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域．解：由0≤x≤3，得1≤x2 2x 2≤5． 令u x2 2x 2，则f(x2 2x 2) f(u)，1≤u≤5．
故f(x)的定义域为15，． 三、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集． 例３若f(x)的定义域为3，5 ，求(x) f( x) f(2x 5)的定义域． 3≤ x≤5，解：由f(x)的定义域为3则(x)必有解得4≤x≤0．，5 ，3≤2x 5≤5， 所以函数(x)的定义域为4，0 ．
抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中 b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知 15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x Q 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，4 1033 x ∴≤≤ ． 故函数(35)f x -的定义域为41033 ?????? ，． 例2已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为 ()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。 本题中令2 22u x x =-+，则2 (22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．
如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 抽象函数常见题型解法 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类 函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 目录：一、定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题 七、周期性与对称性问题 八、综合问题 一、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。 评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ??-x f 3log 21 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。[] 11log ,13
关于抽象复合函数定义域的求法 有同学反映，昨天上数学课讲解的关于定义域的求法，上课听懂了(其实我认为根本没有真正的懂)，但是不会做题，为此我把本节课的内容换个角度（用换元法）讲解一下，希望你能彻底理解。 先介绍几个名词：（能理解最好，如果感觉这些名词有点晕，你可以跳过） 【定义域】：就是初中我们所学的，函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间； 【值域】：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间；； 【显函数】：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5； 【隐函数】：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的； 【复合函数】：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。 讲解之前提醒很关键的一句：凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围。 【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数 y=f(g(x))的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的 g(x)相当于前者的x。 解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域 【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域. 解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]，
高中数学函数的解析式和抽象函数 定义域练习题 欧阳家百（2021.03.07） 1、分段函数已知???>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x=；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1)Z x x y ∈-=,22且2≤x (2)x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、 C 、 D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 4、根据下列条件分别求出函数 )(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3） 13)2(2++=-x x x f 待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为。 D A P B
2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；
抽象函数求定义域的处理方法 一、在刚开始学函数的时候，会遇到求函数定义域的问题，有一类问题是这样 的： 1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域 2）已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域 这类问题弄得刚上高中不久的学生一头雾水，掉进糊涂盆里就出不来了，后来想，我们可以把 f( )看成工厂的生产加工， f是加工工序， x是原材料，原材料得满足一定的条件，就是定义域 （）内的是加工材料，（）是对加工材料的限制，能进入（）的，必须满足（）的条件 在1）中f(x)的原材料就是加工材料，所以加工材料满足的条件就是[0,4]在f(2x+1)中，加工材料是2x+1，他必须满足[0,4] 在2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原材料x满足[0,4]，变成加工材料2x+1,那么加工材料的限制条件就成了[1,9], f(x)的原材料就是加工材料就是 [1,9] 这样处理起来比以前理想多了 二、先看下面一个例子 （1）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求f（x2+1）的定义域。（其中x2表示x的平方）（2）已知函数f（2x-1）的定义域为[0，1），求f（1-3x）的定义域。 解：（1）∵函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x ∴-1≤x2≤0 ∴x=0 ∴f（x2+1）的定义域为{0} （2）∵函数f（2x-1）的定义域为[0，1），即0≤x＜1 ∴-1≤2x-1＜1 ∴f（x）的定义域为[-1，1），即-1≤1-3x＜1 ∴0＜x≤2/3 ∴f（1-3x）的定义域为（0，2/3] 现在我的问题是：为什么函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x？ 我的参考书里说解此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约的条件是一致的，即都在同一取植范围内。那么，这个对应法则是什么，又是如何产生这个对应法则的？ 抽象函数的意思就是对应法则没有给出。
三、值域问题 例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0 )2()(2 ≥? ? ? ? ? =x f x f , 又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=?? ? ??-+11 ,求f(x) 的解析式。 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ---- ,1 2)11()1(:x 1-x x x x f x x f x -=-+-得代换用 （2） :)1(x -11 得中的代换再以 x .12)()x -11f (x x x f --=+---（3）1)x 0(x x 2x 21 x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*) 小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、.23 2|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:0 2)x (xf 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12 =++=-与已知得得代换用，.23 2 |)x (f |,024)x (9f 02 ≥ ∴≥?-≥?得由 3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值； （2）对任意的11 (0,)2 x ∈，21(0,)2 x ∈，都有f (x 1)+2 含有函数记号“()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法， 此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知3 31 1 ()f x x x x +=+ ，求()f x 解：∵2 2211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+ =++-又∵11||||1|| x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2 (1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2 ax bx c ++，则22 (1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=?? =?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0 ()lg(1),0x x f x x x +≥?=?-- 抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性： 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ； 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ?? ?或()1()f x a f x ??+=- ? ??或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 （7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称； 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； ()()()()()()()1 1 1121 2112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====- -++++ 题型3：复合函数及其定义域的求法 一．基本知识 (1) 函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. (2) 复合函数的定义：一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义 域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成 ()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ (3)复合函数的定义域 函数))((x g f 的定义域还是指x 的取值围，而不是)(x g 的取值围. ① 已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则层函数的值域必须包含于外层函数的 定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的围，即为)]([x g f 的定义域。 ② 已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的围即为)(x f 的定义域 ③ 已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 ④ 已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交 集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 高考抽象函数技巧总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的 方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求 ()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知3 31 1 ()f x x x x +=+ ，求()f x 解：∵2 2211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+ =++-又∵11||||1|| x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2 ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=?∴213()22 f x x x = ++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,高考数学 抽象函数习题精选精讲
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