反比例函数经典讲义

1

反比例函数

第1节 反比例函数

本节内容：

反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）

电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR

当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________

舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。

一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x

k

y =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 反比例函数的自变量x 不能为零。 小注：

（1）x k y =

也可以写成1

-=kx y 或k xy =的形式； （2）x

k

y =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零；

（3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。 下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。

①3x y -

= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23

-= ⑥21=xy ⑦28x

y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x k

y =k (为常数，

)0≠k

确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数x

k

y =

中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

■ 例2

由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。 （1） 求I 与R 的函数关系式；

（2） 当R=5欧姆时，求电流强度。

练习：

1、小明家离学校1.5km ，小明步行上学需x min ，那么小明的步行速度min)/(m y 可以表

示为x

y 1500=

；水名地面上重1500N 的物体，与地面的接触面积为x 2

m ，那么该物体对地面的压强)/(2

m N y 可以表示为x y 1500=。函数表达式x

y 1500=还可以表示许多不同情

境中变量之间的函数关系，请你再列举一例。

2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82

m 的矩形模具，假设模具的长与宽分别为y 与x 。

（1）你能写出y 与x 之间的函数表达式吗？变量y 与x 之间是什么函数？

（2）若想使模具的长比宽多1.6m ，已知每米这种不锈钢条6元钱，求加工这个模具共花多少钱？

3、若函数满足

023

=+xy

，则y 与x 的函数关系式为______________，你认为y 是x 的______________函数。

4、已知y =21y y +，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当x =2时，y = —4；当x = —1时，y =5，求出y 与x 的函数关系式。

3

5、已知y 是x 的函数，且其对应数据如下表所示，你认为y 是x 的正比例函数还是反比例

6、（2008·安徽）函数x

k

y =的图象经过点A （1，—2），则k 的值为（ ）。 A ．21 B. 2

1

- C. 2 D. —2

7、若函数1

32)1(+++=m m x

m y 是反比例函数，则m 的值为（ ）。

A ．m = —2 B. m = 1

C. m = 2或m = 1

D. m = —2，或m = —1

8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米，车速为每小时x 千米，从甲市到乙市所需的时间为y 小时，那么y 与x 的函数表达式是_______________________（不必写出x 的取值范围），y 是x 的__________函数。

9、已知y 是x 的反比例函数，当x =5时，y = —1，那么，当y =3时，x =_________；当x =3时，y =________。

第2节 反比例函数的图象与性质

本节内容：

反比例函数的图象及其画法 反比例函数的性质（重点） 反比例函数x

k

y =

)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义（难点） 反比例函数与正比例函数图象的交点

反比例函数图象的画法——描点法：

（1） 列表——自变量取值应以0（但)0(≠x 为中心，向两边取三对（或三对以上）互为

相反数的数，再求出对应的y 的值；

（2） 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；

（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，

延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。

反比例函数x

k

y =

的图象是由两支曲线组成的。当0>k 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0

（2）这两支曲线关于原点对称。

（3）反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点。 例1：画出反比例函数x

y =与x y -=的图象。

解：（1）列表：

（2）描点：

（3）连线。

1 反比例函数的性质

5

例2 已知 2

(1)m y m x

-=+是反比例函数，则函数的图象在 （ ）

A 、一、三象限

B 、二、四象限

C 、一、四象限

D 、三、四象限 例3 函数2y kx =-与k

y x

=

（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）

例4 已知反比例函数x

k

y =

的图象经过点P(一l ，2)，则这个函数的图象位于 A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限

3、反比例函数x

k

y =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义（难点）

k 的几何含义：反比例函数y ＝

k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k

x

(k ≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 .

例5A 、B 是函数2

y x

=

的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）

A ． 2S =

B ． 4S =

C ．24S <<

D ．4S >

例6如图A 在反比例函数(0)k

y k x

=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k =

图1

7

4、反比例函数与正比例函数图象的交点

凡是交点问题就联立方程

例7如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m

y x

=

的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积．

练习：

一、选择题（每小题6分，共36分） 1. 已知 2

(1)m y m x

-=+是反比例函数，则函数的图象在 （ ）

A 、一、三象限

B 、二、四象限

C 、一、四象限

D 、三、四象限 2.若反比例函数k

y x

=

的图象经过点(12)-，，则这个函数的图象一定经过点（ ） Ａ、(21)--， Ｂ、122??- ???， Ｃ、(21)-， Ｄ、122?? ???

， 3.反比例函数5n y x

+=的图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）

A 、－2

B 、－1

C 、0

D 、1

4.反比例函数1k y x

-=的图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可为（ ）

A 、1-

B 、0

C 、1

D 、2

5.如果两点1P （1，1y ）和2P （2，2y ）都在反比例函数1

y x

=的图象上，那么（ ） A ．2y ＜1y ＜0 B ．1y ＜2y ＜0 C ．2y ＞1y ＞0 D ．1y ＞2y ＞0

6.函数(0)k

y k x

=≠的图象如图所示，那么函数y kx k =-的图象大致是（ ）

A B C D

二、填空题（每小题6分，共24分） 7.如果反比例函数k

y x

=

（0k ≠）的图象经过点（1，－2），则这个函数的表达式是_________. 当0x <时，y 随x 的增大而 ______ （填“增大”或“减小） 8.如图7，双曲线x

k

y =与直线mx y =相交于A 、B 两点，B 点坐标为(－2，－3)，则A 点坐标为_________．

9. 如图8，点A 在反比例函数x

k

y =的图象上，AB 垂直于x 轴，若4=?AOB S ，那么这个反比例函数的解析式为__________.

图8

10.老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质：

甲：第一、三象限有它的图象； 乙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小． 请你写一个满足上述性质的函数______________________ 三、解答题每小题，共40分

11. （20分）如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x

m

y =

图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．

12. （20分）如图，已知反比例函数1(0)m

y m x

=

≠的图象经过点(21)A -，

，一次函数2(0)y kx b k =+≠的图象经过点(03)C ，与点A ，且与反比例函数的图象相交于另一点

B ．

（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B 的坐标．

9

第3节 反比例函数的应用 本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题

例题1 .面积一定的梯形，其上底长是下底长的

2

1

，设下底长x =10 cm 时，高y =6 cm (1)求y 与x 的函数关系式；

(2)求当y =5 cm 时，下底长多少？

16.一定质量的二氧化碳，当它的体积V=6 m 3时，它的密度ρ=1.65 kg/m 3. (1)求ρ与V 的函数关系式.

(2)当气体体积是1 m 3时，密度是多少？

(3)当密度为1.98 kg/m 3时，气体的体积是多少？

例题2如图，Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y =－x +m +3的图象与反比例函数y =x

m

的图象在第二象限的交点，且S △AOB =1，求点A 的坐标.

例题3某厂要制造能装250mL(1mL=1 cm 3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02 cm ，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3.

用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y 与x 间的函数关系式.

综合检测题 一、填空题：

1、u 与t 成反比，且当u ＝6时，8

1

=t ，这个函数解析式为 ； 2、函数2x y -

=和函数x

y 2

=的图像有 个交点； 3、反比例函数x

k

y =的图像经过（－23，5）点、（a ，－3）及（10，b ）点，

则k ＝ ，a ＝ ，b ＝ ；

4、若函数()()414-+-=m x m y 是正比例函数，那么=m ，图象经过 象

限；

5、若反比列函数1

232)12(---=k k x

k y 的图像经过二、四象限，则k = _______

6、已知y -2与x 成反比例，当x =3时，y =1，则y 与x 间的函数关系式为 ；

7、已知正比例函数kx y =与反比例函数3

y x

=

的图象都过A （m ，1），则m ＝ ，正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ； 8、 设有反比例函数y k x

=

+1

，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是___________

9、右图3是反比例函数x

k y =的图象，则k 与0的大小关系是k 0.

10、函数x

y 2

-

=的图像，在每一个象限内，y 随x 的增大而 ； 11、反比例函数()0>=k x

k

y 在第一象限内的图象如图，点M 是图像上一点，

MP 垂直x 轴于点P ，如果△MOP 的面积为1，那么k 的值是 ； 12、(

)

7

2

25---=m m x

m y 是y 关于x 的反比例函数，且图象在

第二、四象限，则m 的值为 ；

二、选择题： （分数3分×14=42分，并把答案填在第12题后的方框内） 1、下列函数中，反比例函数是（ ） A 、 1)1(=-y x B 、 11+=

x y C 、 21x

y = D 、 x y 31= 2、已知反比例函数的图像经过点（a ，b ），则它的图像一定也经过（ ）

A 、 (－a ,－b )

B 、 (a ,－b )

C 、 (－a ，b )

D 、 （0，0）

11

3、如果反比例函数x

k

y =

的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（ ） A 、第一、三象限 B 、第一、二象限 C 、第二、四象限 D 、第三、四象限 4、若y 与－3x 成反比例，x 与

z

4

成正比例，则y 是z 的（ ） A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定 5、若反比例函数2

2)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）

A 、－1或1

B 、小于

2

1

的任意实数 C 、 －1 Ｄ、不能确定 6、函数x k y =的图象经过点（－4，6），则下列各点中不在x

k

y =图象上的是（ ）

A 、（3，8）

B 、（3，－8）

C 、（－8，－3）

D 、（－4，－6） 7、正比例函数kx y =和反比例函数

k

y =在同一坐标系内的图象为（ ）

8、如上右图，A 为反比例函数x

k

y =图象上一点，AB

垂直x 轴于B 点，若S

△AOB ＝3，则k 的

值为（ ）

A 、6

B 、3

C 、

2

3 D 、不能确定

9、如果矩形的面积为6cm 2

，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致（ ）

A

10、在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线x

k y 2

=没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（ ） A 1k <0，2k >0

B 1k >0，2k <0

C 1k 、2k 同号

D 1k 、2k 异号

11、已知变量y 与x 成反比例，当x =3时，y =―6；那么当y =3时，x 的值是（ ） A 、6 B 、―6 C 、 9 D 、―9

12、当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A 、正比例函数 B 、 反比例函数 C 、一次函数 D 、二次函数

13、（2001北京西城）在同一坐标系中，函数

x k

y =和3+=kx

y 的图像大致是 （ ）

14、已知反比例函数)0(<=

k x

k

y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（ ）

A 、正数

B 、负数

C 、非正数

D 、不能确定 三、解答题：（第1、2小题各7分、第3小题8分，共22分）

1、在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。

（1）求I 与R 之间的函数关系式

（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R 的值；

2、如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线x

k

y =与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点， AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =

2

3 （1）求这两个函数的解析式

（2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△AOC 的面积。

13

3、如图，一次函数b kx y +=的图像与反比例函数x

m

y =

的图像相交于A 、B 两点， （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式

（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围（2001江苏苏州）

反比例函数培优训练题

1、在函数1y x =

的图象上有三个点的坐标分别为（1，1y ）、（12

，2y ）、（3-，3y ），函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是 .

2、已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数x k

y =（0>k ）图象上的两点，若210x x <<，

则（ ） A ．210y y <<

B ．120y y <<

C ．021<

D ．012<

3、在反比例函数12m

y x

-=

的图象上有两点1122()()A x y B x y ，，，，当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是 。

4、反比例函数x

k

y =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足

是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为

.

（4） 5、如图，A ⊙和B ⊙都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1

y x

=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ． 6、如图，A 、B 是函数2

y x

=

的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）

A ． 2S =

B ． 4S =

C ．24S <<

D ．4S >

（7）

7、如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数4

y x

=

的图象相交于A C ，两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则ABC △的面积等于 . 8、已知反比例函数y =x

a

(a ≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数y =-a

x +a 的图象不经过．．．

第 象限。 9、若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b

y x

=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）

15

x

x

x

B ．

10、函数y x m =+与(0)m

y m x

=

≠在同一坐标系内的图象可以是（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

11、在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (x

k

y ≠=

的图象大致是（ ）

A. B. C. D.

12、若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数x

y 2

-=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（ ） A ．b 1＜b 2 B ．b 1 = b 2

C ．b 1＞b 2

D ．大小不确定 13、已知函数1

y x

=

，当1x ≥-时，y 的取值范围是 . 14、直线y =ax (a ＞0)与双曲线y =3

x

交于A (x 1，y 1)、 B (x 2，y 2)两点，则4x 1y 2－3x 2y 1=______．

15、如图，已知点A 、B 在双曲线x

k

y =

（x ＞0）上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与

ABP 的面积为

3，则k ＝ ．

n )

（16） 16、如图，在平面直角坐标系中，函数k

y x

=

（0x >，常数0k >）的图象经过点(12)A ，，()B m n ，，

（1m >），过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC △的面积为2，则点B 的坐标为 ．

17、在反比例函数2

y x

=

（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．

2

y x

=

y O

P 1

P 2

P 3 P 4 1 2

3

4

2 （17） （18）

18、如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点

12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()2

0y x x

=

≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ．．

19、如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x

=的图象的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；(3)求方程0=-+x

m

b kx 的解 （请直接写出答案）；(4)求不等式0<-

+x

m

b kx 的解集（请直接写出答案）

20. 如图32所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1k y x

=的图象上一点，AB x ⊥轴的

正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并将y 轴于点()02D -，，

若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时，x 的取值范围．

21、如图所示，矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，P 为BC 上与B 、C 不重合的任意一点，设PA x =，D 到AP 的距离为y ，求y 与x 的函数关系式，并指出函数类型．

17

A

P

E

D

B C

22、如图，点P 的坐标为（2，23

），过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线x

k

y =(x>0)于点N ；作MP ⊥AN 交双曲线x

k

y =

(x>0)于点M ，连结AM.已知PN=4. （1）求k 的值.（2）求△APM 的面积

.

23.如图12，已知直线12y x =

与双曲线(0)k

y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．

（1）求k 的值； （2）若双曲线(0)k

y k x

=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；

（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），

若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．

()

4

x

x

>的图像上，

11

P OA

?，

斜边

1

OA、

12

A A、

23

A A，……

25.如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数

k

y

x

=(0,0)

k x

<<的图象上，点P(m，n)是函数

k

y

x

=(0,0)

k x

<<的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x 轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．

(1)设矩形OEPF的面积为S l，判断S l与点P的位置是否有关(不必说理由)．

(2)从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S2，写出S2与m

19

26.如图8，直线b kx y +=与反比例函数x

k y '

=

（x ＜0）的图象相交于点A 、点B ，

与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4.

（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC 的面积.

27.（09北京）如图，A 、B 两点在函数()0m y x x

=>的图象上.

（1）求m 的值及直线AB 的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

28.已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数k

y x

=

的图象交于点()32A ，．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形

OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．

变量与函数正比例函数讲义

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（1）y=3x （2）y=4x+2（3）y= 3 1 x （4）y=-4x 当堂检测 1．小明去文具商店买日记本，已知每本日记本定价为2元． (1)小明所花的钱y(元)与所买日记本的本数x(本)之间的关系式为________． (2)在这个问题中，变量是________，常量是________． 2．函数2 3 -=x y 的自变量x 的取值范围是（） A ．2>x B ．2≠x C ．2≥x D ．2≠x 且0≠x 3．函数1 3 x y x -= -的自变量x 的取值范围是() A ．x ＞1 B ．x ＞1且x ≠3 C ．x ≥1 D ．x ≥1且x ≠3 4.《齐鲁晚报》每份0.8元，购买《齐鲁晚报》所需钱数y （元）与所买份数x 之间的关系是_________，其中_______是常量,_________是变量。 5.下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（） A ． B ． C ． D ． 6．与函数y=x 是同一函数的是（） A 、y=|x| B 、x x y 2 =C 、33x y =D 、2x y = 7.设点A （a ，b ）是正比例函数3 2 y x =- 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（） A ．2a+3b=0B ．2a ﹣3b=0C ．3a ﹣2b=0D ．3a+2b=0 8．设圆的面积为S ，半径为R,那么下列说法正确的是（） A 、S 是R 的一次函数B 、S 是R 的正比例函数 C 、S 是R2的正比例函数D 、以上说法都不正确 9.一等腰三角形的周长是20cm ，将底边长y （cm ）表示成腰长x （cm ）的函数． 10.（1）写出函数解析式；（2）求出腰长x 的取值范围． 本知识点小结

反比例函数中的模型

1 反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① OCD ABCD △梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练

2 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线y x = （x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________． 2. 如图，A ，B 是双曲线y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线3y x = 与双曲线y x =（x >0）交于点A ．将直线3y x =向右平移2个单位后，与双曲线y x = （x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若 2=BC ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18， 则k =________． 第4题图 第5题图 5. 如图，已知函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________．

3 6. 已知：如图，直线64y x =+与双曲线y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. y 轴交于点A ，与双曲线x y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=， 则k =_______ 8. 双曲线1y x =，2 y x =A 作x 轴的平行线，交 B ，交y 轴于点 C ，过点A 作x D ，交x 轴于点 E ，连接BD ，CE ， 则 CE =________． 第9题图 第10题图

第二课时(反比例函数图象及其性质)

22.6反比例函数 第二课时（反比例函数图象及其性质） 教学目标 1、利用描点法画反比例函数图像 2、理解反比例函数的性质，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小 而变化的情况 教学重点 结合图象分析总结出反比例函数的性质 教学难点 描点画反比例函数的图象 教具准备 多媒体课件

x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … x 6y = … -1 5 6- 2 3- -2 -3 -6 6 3 2 2 3 5 6 1 … x 6y - = (1) 5 6 2 3 2 3 6 -6 -3 -2 23- 5 6- -1 … 观察学生的连线思考： （1）函数x 6 y =和x 6y -=的图像是什么？ （2）它们的图像与坐标轴相交吗？为什么？ （3）函数x 6 y =图像的两个分支有什么关系？ 在学生思考交流后对这名同学的连线加以评价、总结： （1）一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）这两条曲线不相交； （3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x 轴和y 轴，但永不会与x 轴和y 轴相交。 关于（3）可问学生：为什么图像与x 和y 轴不相交？ 通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性。 再让学生观察黑板上的图，议一议： 1、当k>0时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y 随x 的增大怎样变化？ 2、当k<0时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y 随x 的增大怎样变化？ 这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书： （1）当k>0时，双曲线的两分支位于一、三象限，y 随x 的增大而减少； （2）当k<0时，双曲线的两分支位于二、四象限，y 随x 的增大而增大。

反比例函数(基础)知识讲解

反比例函数（基础） 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式． 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质． 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为k y x = ，其中k 是不等于零的常数. 一般地，形如k y x = (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，定义域是不等于零的一切实数. 要点诠释：（1）在k y x = 中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x 无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函 数图象与x 轴、y 轴无交点； （2）k y x = ()可以写成( )的形式，自变量x 的指数是 －1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3）k y x = ()也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比 例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数k y x = 中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为：k y x = (0k ≠)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数k 的值； （4）把求得的k 值代回所设的函数关系式k y x = 中. 要点三、反比例函数的图象和性质

人教版初中数学八年级下册一次函数与正比例函数讲义

人教版初中数学八年级下册一次函数与正比例函数讲义 一次函数与正比例函数讲义 1．一次函数的定义 若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量)． 谈重点 一次函数的条件 函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x ，y 的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式． 【例1】 下列函数中，是一次函数的是( )． A ．y ＝7x 2 B ．y ＝x －9 C ．y ＝6x D ．y ＝1x ＋1 解析： A × x 的次数是2，不是1，所以它不是一次函数． B √ 符合一次函数的一般形式． C × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以不是一次函数． D × 答案：B 2．正比例函数的定义 对于一次函数y ＝kx ＋b ，当b ＝0，即y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)时，我们称y 是x 的正比例函数． 辨误区 一次函数与正比例函数的关系 需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b ＝0，且k ≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数． 【例2】 下列函数中，是正比例函数的是( )． A ．y ＝－2x B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x 2 D ．y ＝－2x A √ 符合正比例函数的一般形式． B × b ＝1≠0，所以它不是正比例函数． C × x 的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数. D × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以它不是正比例函数. 辨误区 正比例函数的判断 要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y ＝kx ＋b (k ≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y ＝kx (k ≠0)的形式． 3．根据条件列一次函数关系式 列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式． 点技巧 如何列函数关系式 列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量． 【例3】 甲、乙两地相距30 km ，某人从甲地以每小时4 km 的速度走了t h 到达丙地，并继续向乙地走． (1)试分别确定甲、丙两地距离s 1(km)及丙、乙两地距离s 2(km)与时间t (h)之间的函数关

苏教版初二数学反比例函数讲义

初二数学反比例函数讲义 上课时间：2014年__月___日 一、本节课知识点梳理 1、反比例函数的概念 2、反比例函数的图像及其性质 3、反比例系数k 的意义及其实际应用 二、重难点点拨 教学重点：反比例函数图像及其性质 教学难点：反比例函数k 的几何意义 三、典型例题与分析 知识点一：反比例函数概念 一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y= x k ，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1 （k ≠0的常数） 1、在下列函数中，反比例函数是（ ） A 11+= x y B xy=0 C x k y = D x y 21-= 2、如果函数1 2-=m x y 为反比例函数，则m 的值是 （ ） A 、1- B 、0 C 、2 1 D 、1 知识点二：反比例函数的图象与性质 注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。 函数解析式 正比例函数：y=kx(k ≠0) 反比例函数：y=x k (k ≠0) 图象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点 自变量取值范围 图象位置（性质） 当k ＞0时，经过 象限 当K ＜0时，经过 象限 当K ＞0时，在 象限 当K ＜0时，在 象限 性质 当K ＞0时，y 随x 的增大而 当K ＜0时，y 随x 的增大而 当K ＞0时，在每一个象限内．．．．．． ， y 随x 的增大而 当K ＜0时，在每一个象限内。．．．．．．． y 随x 的增大而

（1）已知y= x k （k ＜0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。 （2）已知y= x k （k > 0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。 注意2：反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。 【例1】在反比例函数x y 1 -=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若3210x x x >>>则 下列各式正确的是（ ） A ．213y y y >> B ．123y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >> 练习： 1．下列函数中，y 随x 增大而增大的是_______ A y=-x+1 B y=x 43- C y=x 21 D y=2x-1 2．反比例函数y= x k 图象在第二四象限，则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。 3．在同直角坐标系中，函数y=kx-k 与y=x k （k ≠0）的图象大致是___________。 4．已知反比例函数3 y x = ， ①若x ＜-3，则y 的取值范围 ②若y ＞-1，则x 的取值范围

基础知识专项练习题(反比例函数)

基础知识专项练习题（反比例函数） 一、选择题 1．下列四组点中，可以在同一个反比例函数图象上的一组点是（ ） A ．（2，﹣1），（1，﹣2） B ．（2，﹣1），（1，2） C ．（2，﹣1），（2，1） D ．（2，﹣1），（﹣2，﹣1） 2．如果点A （﹣5，y 1），B （﹣，y 2），C （，y 3），在双曲线x k y =上（k ＜0），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 1＜y 2＜y 3 D ．y 1＜y 3＜y 2 3．已知正比例函y ＝kx （k 是常数，k ≠0）中y 随x 的増大而增大，那么它和函数x k y =（k 是常数，k ≠0）在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．如图1，反比例函数x k y =经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足，与BC 交于点D ，S △BOD ＝4，则k 的值 为（ ） A ． B ．1 C ．2 D ．8 二、填空题 5．函数y ＝（k ﹣1）x |k |﹣2 是y 关于x 反比例函数，则它的图象不经过 象限． 6．已知反比例函数x k y = 为常数，k ≠0）的图象经过点P （2，2），当1＜x ＜2时，则y 的取值范围是 ． 7．如图2，平行于x 轴的直线与函数x k y 1= （k 1＞0，x ＞0），x k y 2=（k 2＞0，x ＞0）的图图1 图1

象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为 ． 8．如图3，已知点A，点C在反比例函数 x k y=（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，OC交AB于点D，若CD＝OD，则△AOD与△BCD的面积比为． 三、解答题 9．如图4，一次函数y1＝x+4的图象与反比例函数 x k y= 2 的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C． （1）求k的值； （2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围； （3）若反比例函数 x k y= 2 与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，求k的取值． 图4 10．如图5，直线AB与反比例函数 x k y=（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4），B （0，﹣2），点C是反比例函数 x k y=（x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x轴的图2图3

一次函数讲义优质讲义

一次函数讲义优质讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

④．该记者在出发后5h 到达采访地 A 、①②④ B 、②③④ C 、①②③ D 、①②③④ 8. 平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形且面积为16，满足条件的P 点有( ) A ．4个 B ．8个 C ．10个 D ．12个 二．填空题（每小题2分，共20分） 9. 计算：3 －64 ＝ ▲ ． 10. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为 . 11. 若032=++-y x ，则() 2013 y x +的值为 ． 12. 在平面直角坐标系中，若点M （-1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，则x 的值是 ． 13. 如图，已知函数y ＝2x ＋1和y ＝－x －2的图像交于点P ，根据图像， 可得方程组???2x －y ＋1＝0 x ＋y ＋2＝0 的解为 . 14. 将一次函数y ＝2x -1的图像向上平移3个单位长度后，其对应的函数关系式为 ． 15. 如图，在△ABC 中，AB ＝，BC ＝，∠B ＝60°，将△ ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 . 16. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ， 使点B 恰好落在AC 边上的点E 处.若 ∠A ＝26°，则∠ADE ＝ °. 17. 如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形 -1-1 y= -x-2 y=2x+1 x y P （第13题图） D E C A B （第16题图） x y 1 234–1–2 –3–4 1 2 3 4–1–2–3–4C D B A o （第18题图） （第15题图） D E A C B

(精品)初中数学讲义反比例函数(学生版)

E A 反比例函数 1、正比例函数y=x 与反比例函数1 y x = 的图像相交于A 、C 两点，过A 作AB 垂直于x 轴于B ，CD 垂直于x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积是( ) A 1 B 32 C 2 D 52 2、点P 是x 正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1 y x = 于点Q,连接OQ ，当点P 沿x 轴的正方向运动时，Rt QOP 的面积大小是否发生变化?如果不变，请求出Rt QOP 的面积；如果改变，请说明理由。 3、已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数k y x = （k 0，x 0）的图像上。点P （m ，n ）是函数k y x =（k 0，x 0） 的图像上任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 （1 ）求点B 的坐标及k 的值； （2）当S=4.5时，求点P 的坐标； （3）写出S 关于m 的函数关系式。 4、已知点（1,3）在函数k y x = （x 0）的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是

对角线BD 的中点，函数k y x = （x 0）又经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m 。 （1）求k 值； （2）求点C 的横坐标（用m 表示） （3）当045ABD ∠=时，求m 的值。 5、“三等分角”是数学史上一个著名问题，即仅用尺规不可能“三等分角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出一个“三等分锐角”的方法：将给定的锐角AOB ∠置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数1 y x =的图像交与点P ，以P 为圆心，2OP 为半径作弧交1 y x = 图像于R ，过点P 和R 分别作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连结OM 得到MOB ∠，则MOB ∠=1 3AOB ∠。要明白帕普斯方法，请研究以下问题： （1）设P （a ，1 a ）、R （b ，1b ），求直线OM 对应的函数表达式（用a 、b 的代数 式表示）； （2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，请说明点Q 在直线OM 上，并据此证明MOB ∠= 1 3 AOB ∠； （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）。

【说课稿】反比例函数的图像与性质

【说课稿】反比例函数的图像与性质尊敬的各位评委： 今天我说课的内容是?反比例函数的图像与性质?， 下面我从六个方面来阐述对本节课的设计教材分析： 教材的地位和作用 人教版数学九年级上册第26章第1节。 本课时的内容是在已经学习了一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受到现实世界中存在各种函数。反比例函数的图象与性质是对一次函数图象与性质的复习和对比，同时为进一步学习反比例函数的实际应用以及学习二次函数打下坚实的基础。 鉴于对以上教材的分析，特制定三维目标如下： 2、教学目标 知识目标： (1)进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象. 〔2〕体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合. 〔3〕逐步提高从函数图象获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质. 能力目标： 〔1〕培养学生的观察、分析和独立解决问题的能力，[来源:学+科+网] 〔2〕培养学生的数形结合及类比的数学思想方法。 情感目标：由图像的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，通过图像的直观性激发学生学习数学的兴趣。 3、教学的重点和难点： 重点：反比例函数图象的画法及探究反比例函数的性质； 难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析． 【二】教学的指导思想：

新课标指出：教学活动应建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流过程中真正理解和掌握数学知识技能、数学思想方法，提高数学学习兴趣和问题解决能力。 【三】教学策略： 鉴于初三学生的年龄、心理特点及认知水平，本节课采用层层递进的问题启发学生的思考，让学生自主探究、合作交流中获取知识，探究过程中应给予学生充分的思考时间和思考空间，积极创造条件和机会，让学生发表自己的见解，以调动学生的积极性。 【四】教学手段：利用多媒体课件演示帮助同学理解反比例函数的图象与性质。 【五】学法指导： 本堂课立足于学生的〝学〞，要求学生多动手、多观察从而可以帮助学生形成分析、类比、归纳的思想方法。在类比和讨论中让学生在〝做中学〞，提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。 教学过程： 活动一创设情境引入课题 〔1〕：回忆一次函数的解析式、图象和性质。 〔2〕：回忆画函数图象的方法与步骤 教师提出问题 通过创设问题情境，引导学生类比前面学习一次函数的图象和性质的方法，激发学生参与课堂的热情，开始本节课的探究，为学习画反比例函数的图象打好基础 学生思考、回答，教师根据学生活动情况进行补充和完善。 在活动中教师应重点关注： 学生对一次函数知识点的掌握情况； 学生对描点法画函数图象的基本步骤的掌握情况：列表，描点，连线。 活动二 ：画反比例函数y=6/x与y=-6/x的图象。

反比例函数知识点归纳

反比例函数知识点归纳

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题 一、基础知识 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：

则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当

时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析 1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B． C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B．C．D．

(精心整理)反比例函数中的模型

反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① 结论：2||ABO ABCO S S k ==△矩形 结论：OCD ABCD S S =△梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线k y x =（x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与 BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________ ．

2. 如图，A ，B 是双曲线k y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线43y x = 与双曲线k y x =（x >0）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x =（x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线k y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18， 则k =________． 第4题图 第5题图 5. 如图，已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线k y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________． 6. 已知：如图，直线364y x =+与双曲线k y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. 如图，直线b x y +- =33与y 轴交于点A ，与双曲线x k y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=，

人教版九下数学之反比例函数全章复习与巩固(基础)知识讲解

x ) 可以写成 反比例函数全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析 式 y = k (k ≠ 0) ，能判断一个给定函数是否为反比例函数； x 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数 y = 析和解决一些简单的实际问题. 【知识网络】 k (k ≠ 0) 的性质，能利用这些性质分 x 【要点梳理】 【高清课堂 406878 反比例函数全章复习 知识要点】 要点一、反比例函数的概念 一般地，形如 y = k ( k 为常数，k ≠ 0 )的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量， y x 是函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 要点诠释： 在 y = k x 中，自变量 x 的取值范围是 ， y = k ( ( )的形式，也可以写成 的形式. 要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 y = k x 中，只有一个待定 系数 k ，因此只需要知道一对 x 、y 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k 的值， 从而确定其解析式. 要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数 y = k ( k ≠ 0) 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、 x 三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与 x 轴、 y 轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点诠释：

苏教版初二数学反比例函数讲义

立仁教育 初二数学反比例函数讲义 一、本节课知识点梳理 1、反比例函数的概念 2、反比例函数的图像及其性质 3、反比例系数k 的意义及其实际应用 二、重难点点拨 教学重点：反比例函数图像及其性质 教学难点：反比例函数k 的几何意义 三、典型例题与分析 知识点一：反比例函数概念 一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=x k ，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1（k ≠0的常数） 1、在下列函数中，反比例函数是（ ） A 11+= x y B xy=0 C x k y = D x y 21 -= 2、如果函数12-=m x y 为反比例函数，则m 的值是 （ ） A 、1- B 、0 C 、2 1 D 、1

知识点二：反比例函数的图象与性质 注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。 （1）已知y=x k （k ＜0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。

（2）已知y=x k （k > 0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。 注意2：反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。 【例1】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若 3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ） A ．213y y y >> B ．123y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >> 练习： 1．下列函数中，y 随x 增大而增大的是_______ A y=-x+1 B y=x 43- C y=x 21 D y=2x-1 2．反比例函数y=x k 图象在第二四象限，则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。 3．在同直角坐标系中，函数y=kx-k 与y=x k （k ≠0）的图象大致是___________。

反比例函数的性质

反比例函数定义 一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k大于0时，图像在一、三象限。k小于0时，图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。 反比例函数图像及性质 反比例函数图像： 1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或 第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每 一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴，但不会与坐标轴相交（y≠0）。 反比例函数性质： 1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大 而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为 增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与 x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与 坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n^2+4k·m≥（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。 10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为 |k| 11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.[对称性]反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也 是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。 反比例函数知识点汇总

(完整版)反比例函数基本知识点题型梳理

反比例函数基本知识点题型梳理 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y = （0k ≠）； ②1 kx y -=（0k ≠）； ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 注：（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 （6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反 比例函数 x k y = 中的两个变量必成反比例关系。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

注意：①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数 x k y = （0k ≠） k 的 符号 0k > 0k < 图像 性质 ①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是 0y ≠ ②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 ① x 的取值范围是 0x ≠，y 的取值范围是 0y ≠ ②当0k <时， 函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数经典讲义,绝对经典!!

1 初三反比例函数讲义 第1节 反比例函数 本节内容： 反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点） 电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR 当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________ 舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。 一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x k y =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 反比例函数的自变量x 不能为零。 小注： （1）x k y = 也可以写成1 -=kx y 或k xy =的形式； （2）x k y =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零； （3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。 ■例1 下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。 ①3x y - = ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23 -= ⑥21=xy ⑦28x y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x k y =k (为常数， )0≠k 2、 反比例函数定义的应用（重点） 确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数x k y = 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。 由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。 （1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时，求电流强度。

反比例函数、及其图像和性质教案

教学过程 一、复习预习 我们学习一次函数的时候就认识了函数： 1、函数概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 一次函数的解析式：y=kx (k,且k为常数) 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 二、知识讲解 考点1：反比例函数的意义及解析式 有了初二下对一次函数的学习的基础，我们学习反比例函数就容易多了 思考：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示？这些函数有什么共同特点？ 京路线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化； 用旧围栏建一个面积为24的矩形饲养场．设它的一边长为，另一边的长随x 的变化而变化。 某住宅小区要种植一个面积为1000平方米的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽（单位：m）的变化而变化． 上述问题的解析式分别为： 1463 v t = ， 24 y x = ， 1000 y x = ， 总结：上述函数都具有 k y x = 的形式，其中k是常数。 函数概念：一般地，形如 k y x = （k为常数，k≠0）的函数成为反比例函数，其中x是自变 量，y是函数，自变量x的范围是不等于0的一切实数。当x去某个值时，y就有唯一的一个值

专题11.7 《反比例函数》全章复习与巩固(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)

专题11.7 《反比例函数》全章复习与巩固（知识讲解） 【学习目标】 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0k y k x = ≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0k y k x =≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、反比例函数的概念 一般地，形如k y x = (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：在k y x = 中，自变量x 的取值范围是，k y x = ()可以写成 ( )的形式，也可以写成 的形式. 要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数k y x = 中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数()0k y k x = ≠的图象是双曲线， 它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 特别说明： 观察反比例函数 的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴 对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

第15讲 正比例函数(培优课程讲义例题练习含答案)

正比例函数（提高） 【学习目标】 1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象； 2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题． 【要点梳理】 要点一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义 一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、 k x y =（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质 正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小. 要点三、待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ， y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值. 【典型例题】 类型一、正比例函数的定义 1、若函数22432m n y x m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值. 【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数

为1． 【答案与解析】 解：由题意，得221320m n m n -+=??-=? 解得 1 1.5 m n =??=? ∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数. 【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2） x 的指数是1. 举一反三： 【变式】（春?凉州区校级月考）x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x |k|是正比例函数，求K 的值． 【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1． 2、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数 （1）求证：z 是x 的正比例函数； （2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式. 【答案与解析】 解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数 12z k k x =∴ 120,0k k ≠≠ ∴120k k ≠且为常数 ∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠ （2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴121 4 k k = ∴z 关于x 的函数关系式是14 z x = . 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆. 举一反三： 【变式】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，求z 与x 的函数关系． 【答案】 解：由题意，y kx =，z m kx =+ , ∵x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1， ∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k 解得k ＝－2，m ＝5