1.2.1 函数的概念
自主学习
1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域．
3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2．函数的三要素是定义域、值域和对应关系．
3．由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同．
4．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]．
(2)满足不等式a (3)满足不等式a≤x b)，(a，b]． (4)实数集R用区间表示为(－∞，＋∞)． (5)把满足x≥a.，x>a，x≤b，x 对点讲练 判断对应是否为函数 【例1】判断下列对应是否为函数： （1）x→2 x ，x≠0，x∈R；（2）x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R； (3)集合A＝R，B＝{－1,1}，对应关系f：当x为有理数时，f(x)＝－1；当x为无理 数时，f (x )＝1，该对应是不是从A 到B 的函数？ 分析 函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： (1)定义域和对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y 与之对应． 解 (1)对于任意一个非零实数x ，2 x 被x 唯一确定， 所以当x ≠0时，→2 x 是函数， 这个函数也可以表示为f (x )＝2x (x ≠0)．（2） 当x=4时，y 2 =4，得y=-2,不是有唯一 值和x 对应，所以，x →y (y 2 ＝x )不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A 中任取一个值，B 中有唯一确定的值和它对应． 规律方法 判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A 、B ，一个对应关系f ，A 中任一对B 中唯一(即多对一或一对一)． 变式迁移1 判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数： （1）A=R ，B=R ，对任意的x ∈A ，x →x 2 ； （2）A={（x ，y ）|x ，y ∈R}，B=R ，对任意的（x ，y ）∈A ，（x ，y ）→x+y ； （3）A=B=N*，对任意的x ∈A ，x →|x-3|. 解 (1)是． (2)不是，因为集合A 不是数集． (3)不是，因为当x ＝3时，在集合B 中不存在数值与之对应． 已知解析式求函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域： (1)y ＝ 3 1－1－x ； (2)y ＝－x 2x 2－3x －2； (3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1 x . 分析 求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围． 解 (1)要使函数有意义，需?? ? 1－x ≥0， 1－1－x ≠0 ?? ?? ?? x ≤1x ≠0?x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝ 3 1－1－x 的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． (2)要使函数有意义，需? ???? －x ≥0， 2x 2 －3x －2≠0 ?? ??? ? x ≤0，x ≠2且x ≠－1 2?x ≤0且x ≠－1 2 . 故函数y ＝－x 2x 2－3x －2 的定义域为 ? ????－∞，－12∪? ?? ??－12，0. (3)要使函数有意义，需???? ? 2x ＋3≥0，2－x >0， x ≠0. 解得－3 2≤x <2且x ≠0， 所以函数y ＝2x ＋3－ 12－x ＋1 x 的定义域为 ???? ??－32，0∪(0,2)． 规律方法 求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等． 变式迁移2 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝6x 2－3x ＋2； (2)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4； (3)f (x )＝x ＋0 |x |－x . 解 (1)由x 2 －3x ＋2≠0，得x ≠1，x ≠2. ∴f (x )＝ 6 x 2－3x ＋2 的定义域是{x ∈R |x ≠1且x ≠2}． (2)由? ?? ?? 3x －1≥01－2x ≥0，得13≤x ≤1 2 . ∴f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4的定义域是???? ??13，12. (3)由? ?? ?? x ＋1≠0|x |－x ≠0，得? ?? ?? x ≠－1 |x |≠x ， ∴x <0且x ≠－1， ∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}． 两函数相同的判定 【例3】下列各题中两个函数是否表示同一函数：(1)f(x)＝x，g(x)＝(x)2；(2)f(x)＝x，g(x)＝x2； (3)f(t)＝t，g(x)＝3 x3；(4)f(x)＝ x2－4 x－2 ，g(x)＝x＋2. 分析要判断两个函数是否为同一函数，关键在于看函数的两要素：定义域和对应关系是否相同，两者只要有一个不同，两个函数就不是同一函数． 解(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同， 故不是同一函数． (2)g(x)＝x2＝|x|，两个函数对应关系不同，故不是同一函数． (3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数． (4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数． 规律方法只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说： (1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应关系不同，两个函数也是不同的； (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系； (4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关． 变式迁移3 试判断下列函数是否为同一函数： (1)f(x)＝x·x＋1与g(x)＝x x＋；(2)f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t； (3)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)． 解(2)是，(1)、(3)不是． 对于(1)，f(x)的定义域为[0，＋∞)， 而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)． (3)也是定义域不同． 求函数的值域 【例4】 (1)已知函数f(x)＝x2－2x，定义域A＝{0,1,2,3}，求这个函数的值域； (2)求函数f(x)＝1 x2＋1 ，x∈R，在x＝0,1,2处的函数值及该函数的值域． 解 (1)函数的定义域为A ＝{0,1,2,3}，分别令x ＝0,1,2,3得相应的函数值分别为0，－1,0,3，于是知，函数的值域为{－1,0,3}． (2)f (0)＝1，f (1)＝12，f (2)＝1 5 . 容易看出，这个函数当x ＝0时，取得最大值，当自变量x 的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并无限接近于0，但永远不会等于0. 从而可知，这个函数的值域为(0,1]． 规律方法 (1)求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域 A 上的函数，其值域是指集合C ＝{y |y ＝f (x )，x ∈A }；二是函数的定义域和对应关系．对 应关系相同，而定义域不同，其值域肯定不同，如f (x )＝x 2 －2x ，x ∈[0,2]与f (x )＝ x 2－2x ，x ∈R . (2)求函数的值域没有固定的方法和模式，就目前阶段主要用观察法求值域，但函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用． 变式迁移4 (1)函数f (x )＝x －1(x ≥1)的值域为________(用区间表示)； (2)函数y ＝2 x (1≤x ≤2)的值域为______(用区间表示)． 答案 (1)[0，＋∞) (2)[1,2] 1．函数符号y ＝f (x )是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下即可得到y ”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值． 2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义． 3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具． 课时作业 一、选择题 1．下列集合A ，B 及对应关系不能构成函数的是( ) A ．A ＝ B ＝R ，f (x )＝|x | B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1x C ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3 D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0 答案 B 解析 在B 项中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它对应的数． 2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f f ? ?? ? ?12等于( ) A ．1 B ．－1 C.35 D ．－3 5 答案 B 解析 ∵f (2)＝22 －122＋1＝35，f ? ????12＝? ??? ?122－1? ?? ??122＋1＝－3 5 ∴ f f ? ?? ??12＝－1. 3．函数y ＝x －0 |x |＋x 的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞) 答案 C 解析 由? ?? ?? x －1≠0 |x |＋x >0，得x >0且x ≠1. 4．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3 与y ＝x ＋3 B ．y ＝x 2 －1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0 (x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 答案 C 解析 A 中的两函数定义域不同，B 中的两函数值域不同，D 中的两函数对应关系不同，C 正确． 5．给出四个命题： ①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因f (x )＝5(x ∈R )，这个函数值不随x 的变化而变化，所以f (0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了． 以上命题正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 D 二、填空题 6．将集合{x |2≤x ≤8}表示成区间为____________． 答案 [2,8] 7．若f (x )＝5x x 2＋1 ，且f (a )＝2，则a ＝________. 答案 2或1 2 8．函数y ＝x 2 －2的定义域为{－1,0,1,2}，则其值域为________． 答案 {－1，－2,2} 三、解答题 9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝5－x |x |－3； (2)y ＝x 2 －1＋1－x 2 x －1. 解 (1)要使函数有意义，需满足 ????? 5－x ≥0 |x |－3≠0 ，即??? ?? x ≤5x ≠±3 ，在数轴上标出，如图， 即x <－3或－3 故函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． 当然也可以表示为{x |x <－3或－3 (2)要使函数有意义，需满足????? x 2 －1≥0，1－x 2 ≥0， x －1≠0， 解得x ＝－1 ∴函数的定义域为{－1}． 10．已知函数f (x )＝x 2 1＋x 2. (1)求f (2)与f ? ????12，f (3)与f ? ?? ??13； (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f ? ?? ??1x 有什么关系？并证明你的发现； (3)f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 010)＋f ? ????12＋f ? ????13＋…＋f ? ?? ? ?12 010. 解 (1)∵f (x )＝x 2 1＋x 2， ∴f (2)＝22 1＋22＝45，f ? ????12＝ ? ?? ??1221＋? ????122＝15 ， f (3)＝32 1＋32＝ 910，f ? ????13＝? ????1321＋? ?? ??132＝110 . (2)由(1)可发现f (x )＋f ? ?? ??1x ＝1，证明如下： f (x )＋f ? ????1x ＝x 2 1＋x 2＋? ????1x 21＋? ?? ??1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1. (3)由(2)知：f (2)＋f ? ????12＝1，f (3)＋f ? ?? ??13＝1，…， f (2 010)＋f ? ?? ??12 010＝1， ∴原式＝12＋1＋1＋1＋…＋12 009个＝2 009＋1 2 ＝4 0192 . 【探究驿站】 11．已知f (x )的定义域为(0,1]，求g (x )＝f (x ＋a )·f (x －a ) (a ≤0)的定义域． 解 由已知得 即 用数轴法，讨论(1) 当a ＝0时，x ∈(0,1]； (2)当a ≤－1 2时，x ∈?，即函数不存在； (3)当－1 2