第4讲 万有引力定律
知识要点
一、开普勒三定律
1.开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律:对于任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3.开普勒第三定律:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
二、万有引力定律及其应用
1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比,与它们之间距离r 的平方成反比。
2.表达式:F ＝G m 1m 2
r 2
G 为引力常量:G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。 3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点。
(2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用,r 是两球心间的距离。 三、三个宇宙速度 1.第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度,其数值为7.9__km/s 。
(2)特点
①第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。 ②第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度。 (3)第一宇宙速度的计算方法
①由G Mm
R 2＝m v 2R 得v 7.9 km/s
②由mg ＝m v 2
R 得v ＝gR ＝7.9 km/s 2.宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v 发＝7.9 km/s 时,卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s ＜v 发＜11.2 km/s,卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s ≤v 发＜16.7 km/s,卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v 发≥16.7 km/s,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间。
基础诊断
1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( )
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 【试题解析】: 行星做椭圆运动,且在不同的轨道上,所以A 、B 项错误；根据开普勒第三定律,可知C 项正确；对在某一轨道上运动的天体来说,天体与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等,而题中是两个天体、两个轨道,所以D 项错误。 【试题参考答案】: C
2.一名宇航员来到一个星球上,如果该星球的质量是地球质量的一半,它的直径也是地球直径的一半,那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的( ) A.0.25倍 B.0.5倍 C.2.0倍
D.4.0倍
【试题解析】: 由
F 引＝GMm r 2＝1
2GM 0m
（r 02）2＝2GM 0m
r 20＝2F 地,故C 项正确。
【试题参考答案】: C
3.北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS),建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。对于其中的5颗同步卫星,下列说法正确的是( ) A.它们运行的线速度一定不小于7.9 km/s B.地球对它们的吸引力一定相同 C.一定位于赤道上空同一轨道上 D.它们运行的加速度一定相同
【试题解析】: 同步卫星运行的线速度一定小于7.9 km/s,选项A 错误；由于5颗同步卫星的质量不一定相等,所以地球对它们的吸引力不一定相同,选项B 错误；5颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上,它们运行的加速度大小一定相等,方向不相同,选项C 正确,D 错误。 【试题参考答案】: C
开普勒三定律的理解和应用
【例1】 地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位,叫做天文单位,用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知火星公转的轨道半径是1.5天文单位,根据开普勒第三定律,火星公转的周期是多少个地球日？
【试题解析】: 根据开普勒第三定律有r 3地
T 2地＝r 3
火T 2火
解得T 火＝(r 火r 地)3
2T 地＝1.532×365日＝671日
【试题参考答案】: 671日
【拓展提升1】 地球公转半径在天文学上常用来作为长度单位,叫做天文单位,用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知火星公转的轨道半径是1.5天文单位,则火星公转的周期与地球公转的周期之比为( )
A.32
B.6
2
C.263
D.364
【试题解析】: 由开普勒第三定律得r 3
T
2＝k ,故T 火T 地＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫R 火R 地3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫323＝
364,D 正确。
【试题参考答案】: D
【拓展提升2】 (2018·全国Ⅲ卷,15)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P ,其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍。P 与Q 的周期之比约为( ) A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1
D.16∶1
【试题解析】: 由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ,故T P
T Q ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫R P R Q 3
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1643＝8
1,C 正
确。
【试题参考答案】: C
1.2018年2月7日凌晨,太空技术探索公司Space X 成功通过猎鹰重型火箭将一辆特斯拉跑车送入绕太阳飞行的轨道。如图1所示,已知地球中心到太阳中心的距离为r D ,火星中心到太阳中心的距离为r H ,地球和火星绕太阳运动的轨迹均可看成圆,且r H ＝1.4r D ,若特斯拉跑车沿图中椭圆轨道转移,则其在椭圆轨道上的环绕周期约为( )
图1
A.1.69年
B.1.3年
C.1.44年
D.2年
【试题解析】: 设跑车在椭圆轨道上的运行周期为T ,椭圆轨道的半长轴为R ,由开
