第一专题:
1、相关函数的计算方法（方法的选取及选取的原因）
2、相关函数的性质和应用（选一个应用讲解并仿真）
相关函数的计算方法
利用计算机计算自相关估值有两种方法。一种是直接方法，先计算出随机信号和它的滞后序列的乘积，再取其平均值即得相关函数的估计值。另一种是间接方法，先用快速变换算法计算随机序列的功率谱密度，再作反变换计算出相关函数。
1、直接计算 （1）公式计算 对于时域信号，可以直接按照下面的公式来计算其相关函数，两个能量信号
(t)s 1和(t)2s 互相关函数的定义为
?+∞
∞
+=-2112x )dt
(t (t)s s (x )R
功率信号(t)s 1和(t)2s 的互相关函数定义为
?+∞→+=2
/2
/-2112x)dt
(t (t)s s 1lim (x)T T T T R （2）自相关函数的估计
在计算机处理数字信号的过程中，一般是对自相关函数进行估计来计算。 假定X[k]是宽平稳各态遍历信号，x[k]是其中的一个样本，其自相关可由单一样本x[k]的时间平均来实现，即
∑==∞→++=N
N
N R k -k N x n]x [k]x [k 121lim [n] 由于在实际中仅能得到随即信号的一次样本序列x[0]，x[1]，……，x[N-1]，用[k]x N 来表示，因此只能得到自相关函数的估计，即
∑-=+=
1
k N N
n]
[k [k]x x
1(n)N x N
r
上式中，对每一固定延迟n ，可利用的数据只有N-n 个，所以自相关函数的估计可以表示成
∑-=+=
1-n 0
k N N
]
n [k [k]x x
1
(n)N x N
r
2、间接算法
间接方法是利用自相关函数与其功率谱密度互为一对傅里叶变换的关系来计算的。在数字信号处理中，利用快速傅里叶变换的方法计算出功率谱密度函数的估值，然后再计算它的傅里叶反变换，即得自相关函数估值。由于采用了快速傅里叶变换算法，计算速度较快。如当N =2P 时，间接算法所需要的运算量约为8NP 次实数乘加运算。因此,两种方法的速度比是 速度比=
8p
m
p 8m =N N 如P ＝13，m ＝0.1N ＝819，则比值约为8，即间接算法比直接算法约快8倍。
对于能量信号，计算R(x)可用以下公式：
?
+∞
∞
=-fx
j22
df e
)f ((x )πS R
对于功率信号计算R(x)可用以下公式：
?
∑∞+∞
∞
∞
=-fx
j20-2
df
)e
nf -(f δ(f)
(x )πC R
相关函数的性质及应用
1、自相关函数的性质及其应用
自相关函数具有如下性质： （1） R(x)为实函数；
（2） R(x)为偶函数，即R(x)=R(-x)； （3） R(0)等于信号的均方值；
（4） 对于各态历经性的随机信号s(t)有R(x)在R(0)处取得最大值；
（5） 当随机信号s(t)的均值为u 时，有2x u (x)lim =∞
→R ，当s(t)为确定性信号时，
当x →∞时，自相关函数值不为均值的平方；
（6） 若平稳随机信号s(t)含有周期成分，则它的自相关函数R(x)中亦含有周期
成分，且R(x)中的周期成分的周期与信号s(t)中的周期成分相等。
自相关函数的应用：
（1） 从被噪声干扰的信号中找出周期成分，具体仿真见后面matlab 程序； （2） 利用自相关分析识别车床变速箱的运行状态
2、互相关函数的性质及其应用 互相关函数的性质
（1） 互相关函数) (τxy R 是实函数，但不是偶函数； （2） 对于任意的τ，) (τxy R 的平方小于等于(0)(0)R y x R ； （3） 若信号是零均值的，在τ→∞时，相关函数值趋于0； （4） 互相关函数具有反对称性，即) (τxy R =) (-τy x R ；
（5） 若两个信号x(t)与y(t)均含有周期分量，且周期相等，则互相关函数)
(τxy R 也含有相同周期的周期性分量。
互相关函数的应用
（1） 利用互相关分析测定船舶的速度；
（2） 利用相关分析探测地下水道的破损地点。
例：带白噪声干扰的频率为10Hz 的正弦信号和不带白噪声的信号的自相关函数比较
时间/s
x (t )
时间/s
R x (t )
时间/s
y (t )
时间/s
R y (t )
clf;N=1000;Fs=500;
n=0:N-1;t=n/Fs;
Lag=100;
randn('state',0);
x=sin(2*pi*10*t);
[c,lags]=xcorr(x,Lag,'unbiased');
subplot(2,2,1),plot(t,x);
xlabel('时间/s');ylabel('x(t)');
title('不带噪声周期信号');
grid on;
subplot(2,2,2),plot(lags/Fs,c);
xlabel('时间/s');ylabel('Rx(t)');
title('不带噪声周期信号的自相关');
grid on;
y=sin(2*pi*10*t)+0.6*randn(1,length(t));
[c,lags]=xcorr(y,Lag,'unbiased');
subplot(2,2,3),plot(t,y);
xlabel('时间/s');ylabel('y(t)');
title('带噪声周期信号');
grid on;
subplot(2,2,4),plot(lags/Fs,c);
xlabel('时间/s');ylabel('Ry(t)');
title('带噪声周期信号的自相关');
grid on;
带白噪声的正弦信号观察不了信号的周期，通过求其自相关函数可以从被噪声干扰的信号中找出周期成分。在用噪声诊断机器运行状态时，正常机器噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加的结果，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。当机器状态异常时，随机噪声将出现有规则、周期性的信号，其幅度要比正常噪声的幅度大很多。用噪声诊断机器故障时，依靠自相关函数就可在噪声中发现隐藏的周期分量，确定机器的缺陷所在。特别是对于早期故障，周期信号不明显，直接观察难以发现，自相关分析就显得尤为重要。
基本初等函数、函数的应用(小题) 热点一 基本初等函数的图象与性质 1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中异同. 2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1 2，－1五种情况. 例1 (1)(2019·天津市十二重点中学联考)已知a ＝0.313 log 0.6，b ＝1 2 1 log 4，c ＝0.413 log 0.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c 0.60.4>0.50.4， ∴0.313 log 0.6<0.413 log 0.5， 0.413 log 0.5＝130.4log 0.5<131 0.4log 3＝0.4， 所以a 数学思想方法的简单应用（1） 一、函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 1.证明：若 则为整数． 解析：若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得 ，于是此时(1)式的值等于－4． 若x＋y＋z＋t≠0，则 由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4． 2.已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=． （1）求a、b的值及函数f（x）的解析式； （2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围； 特征函数 (概率论) 维基百科，自由的百科全书 跳转到：导航, 搜索 在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量： ， 其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。 用矩母函数M X（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果F X是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出： 。 在概率密度函数f X存在的情况下，该公式就变为： 。 如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。 R或R n上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X(x) = f X(-x)）是实数，因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。 目录 [隐藏] ? 1 性质 ? 2 连续性 o 2.1 反演定理 o 2.2 博赫纳-辛钦定理/公理化定义 o 2.3 计算性质 ? 3 特征函数的应用 o 3.1 矩 o 3.2 一个例子 ? 4 多元特征函数 o 4.1 例子 ? 5 矩阵值随机变量 ? 6 相关概念 ?7 参考文献 [编辑]性质 [编辑]连续性 主条目：勒维连续定理 勒维连续定理说明，假设为一个随机变量序列，其中每一个都有特征函数，那么它依分布收敛于某个随机变量： 当 如果 当 且在处连续，是的特征函数。 勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。 摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 ：极限思想，应用关键词Abstract: In this paper, the application of in solving problems is the limit idea explained. What's more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change. 第一专题: 1、相关函数的计算方法（方法的选取及选取的原因） 2、相关函数的性质和应用（选一个应用讲解并仿真） 相关函数的计算方法 利用计算机计算自相关估值有两种方法。一种是直接方法，先计算出随机信号和它的滞后序列的乘积，再取其平均值即得相关函数的估计值。另一种是间接方法，先用快速变换算法计算随机序列的功率谱密度，再作反变换计算出相关函数。 1、直接计算 （1）公式计算 对于时域信号，可以直接按照下面的公式来计算其相关函数，两个能量信号 (t)s 1和(t)2s 互相关函数的定义为 ?+∞ ∞ +=-2112x )dt (t (t)s s (x )R 功率信号(t)s 1和(t)2s 的互相关函数定义为 ?+∞→+=2 /2 /-2112x)dt (t (t)s s 1lim (x)T T T T R （2）自相关函数的估计 在计算机处理数字信号的过程中，一般是对自相关函数进行估计来计算。 假定X[k]是宽平稳各态遍历信号，x[k]是其中的一个样本，其自相关可由单一样本x[k]的时间平均来实现，即 ∑==∞→++=N N N R k -k N x n]x [k]x [k 121lim [n] 由于在实际中仅能得到随即信号的一次样本序列x[0]，x[1]，……，x[N-1]，用[k]x N 来表示，因此只能得到自相关函数的估计，即 ∑-=+= 1 k N N n] [k [k]x x 1(n)N x N r 上式中，对每一固定延迟n ，可利用的数据只有N-n 个，所以自相关函数的估计可以表示成 ∑-=+= 1-n 0 k N N ] n [k [k]x x 1 (n)N x N r 2、间接算法 间接方法是利用自相关函数与其功率谱密度互为一对傅里叶变换的关系来计算的。在数字信号处理中，利用快速傅里叶变换的方法计算出功率谱密度函数的估值，然后再计算它的傅里叶反变换，即得自相关函数估值。由于采用了快速傅里叶变换算法，计算速度较快。如当N =2P 时，间接算法所需要的运算量约为8NP 次实数乘加运算。因此,两种方法的速度比是 速度比= 8p m p 8m =N N 如P ＝13，m ＝0.1N ＝819，则比值约为8，即间接算法比直接算法约快8倍。 对于能量信号，计算R(x)可用以下公式： ? +∞ ∞ =-fx j22 df e )f ((x )πS R 对于功率信号计算R(x)可用以下公式： ? ∑∞+∞ ∞ ∞ =-fx j20-2 df )e nf -(f δ(f) (x )πC R 相关函数的性质及应用 1、自相关函数的性质及其应用 自相关函数具有如下性质： （1） R(x)为实函数； （2） R(x)为偶函数，即R(x)=R(-x)； （3） R(0)等于信号的均方值； （4） 对于各态历经性的随机信号s(t)有R(x)在R(0)处取得最大值； （5） 当随机信号s(t)的均值为u 时，有2x u (x)lim =∞ →R ，当s(t)为确定性信号时， 当x →∞时，自相关函数值不为均值的平方； 第二章：基本初等函数 第I 卷（选择题) 一、选择题５分一个 1.已知ｆ（ｘ）=a ｘ５ +bx 3+ｃx ＋１（a≠０),若f=ｍ，则f(﹣2０14）=( ) A ．﹣m ? B ．m ? Ｃ．０ D ．2﹣m 2.已知函数f （x ）＝lo ｇａ(6﹣ａx)在[0,2］上为减函数,则a 的取值范围是( ） A ．（０，１) B ．（1,3）?C ．（１,3]?D.［3，+∞） 3．已知有三个数ａ=( ）﹣ 2，b ＝4 ０．3 ,c ＝80.２ 5,则它们之间的大小关系是( ) A ．a 特征函数的概念及意义 目录： 一．特征函数的定义。 二．常用分布的特征函数。 三．特征函数的应用。 四．绪论。 一．特征函数的定义 设X 是一个随机变量，称 ()() itX e t E =?, +∞<<∞-t , 为X 的特征函数. 因为＝１Ｘit e ，所以() itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的. 当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为 ()∑+∞ ==1k k itx p e t k ?, +∞<<∞-t . 当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()?+∞ ∞-=dx x p e t k itx ?, +∞<<∞-t . 与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数. 二．常用分布的特征函数 1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =? 2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x 1x =-==-，，其特征函数为 ()q pe t it +=?，其中p 1q -=. 3、泊松分布()λP ：()λλ-= =e k k X P k ！ ，k=0,1， ，其特征函数为 ()()∑+∞ =---===0k 1e e k ikt it it e e e e k e t λλλλλ?！ . 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为 ()?????<<-=.;, 0, 1其他b x a a b x p 所以特征函数为 ()() ? --= -=b a iat ibt itx a b it e e dx a b e x ?. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为 ()2 221x e x p -= π ， +∞<<∞-x . 所以特征函数为 ()() ? ?∞+∞-∞+∞ ---- - ∞== dx it x t x itx e e dx e x 22 22 222121 π ? =? -∞+-∞--- - =it it t t t e dz e e 2 2 2 22221π . 其中 ? -∞+-∞-- =it it x dz e π22 2 . 三．特征函数的应用 1、在求数字特征上的应用 求() 2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2 t i 2 2e t σμ ?=, 专题5 基本初等函数与函数应用 编写：邵永芝 一、知识梳理 1、如果一个实数x 满足 ，那么称x 为a 的n 次实数方根。 2、（1）n N +∈ 时，n = ，（2）n = ；当n 为正偶 = 。 3、分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m n a = （0,1a m n N n +>∈>、，且）；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n a -= （0,1a m n N n +>∈>、，且） 4、有理数指数幂的运算性质：（1）r s a a = （2）()r s a = （3）()r ab = 5、指数函数的概念：一般地， 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 ，值域为 。 6、对数的概念：如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即 ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 。 7、对数与指数的关系：若0,1a a >≠，则x a =N ?log a N = 。 对数恒等式：log a N a = ；log N a a = 。 (0,1)a a >≠ 8、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么； （1）log a (M ·N )＝ （2）log a M N ＝ （3）log a M n ＝ 9、换底公式：log a N ＝log log b b N a (a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0)． 10、．对数函数的定义：一般地，我们把 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是(0，＋∞)．值域：R ． 11、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数． 12、幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)： （1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)． （2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减． 函数思想在中学数学中的应用-(2) 函数思想在中学数学中的应用 韩伟 摘要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用. 关键词: 函数思想数列不等式最值 一、知识回顾 1.引言 在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用. 2.函数的概念 (1)对应说:在变化过程中,有两个变量x和y.如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量. (2)集合说:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数() f x与之对应, 那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数,记作f:A→B或(), =∈. y f x x A 此时x叫做自变量,集合A叫做函数的定义域,集合{() f x|x A∈}叫作函数的值域,习惯上称y是x的函数. (3)映射说:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B称为A到B的函数. 3.函数的本质 函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系. 4.函数的性质 (1)有界性:如果存在正数M ,对于函数()f x 定义域(或其子集)内的一切x 值,都有|()f x |≤M 成立,那么函数()f x 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M 不存在,那么称这个函数是无界的. (2)单调性:一般地,对于函数()y f x =的定义域内的一个子集A ,如果对于任意的1 x ,2 x ∈A ,当1 x <2 x 时都有1 2 ()()f x f x <(或1 2 ()()f x f x >),就称函数 () y f x =在数集A 上是增加的(或减少的). (3)奇偶性:对于函数()f x 在定义域内的任意一个x 值,如果都有()() f x f x -=-成立,那么函数()f x 叫做奇函数;如果都有()()f x f x -=成立,那么 函数()f x 叫做偶函数. (4)周期性:设()f x 是定义在数集M 上的函数,如果存在常数T ≠0,对于任意的x M ∈,都有x ±T ∈M ,且()()f x T f x +=总成立,则函数()f x 叫做周期函数,常数T 称为()f x 的周期. 二. 利用函数思想解决数列的问题 数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下: 根式函数b ax y += 2的性质及其应用 摘要： 关键词： 1、 引言 高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题. 下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉. 2、 性质归纳 性质1（定义域） R 性质2（ 值域 ） ),[+∞b 性质3（单调性） 在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于y 轴对称 将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得 性质6（特殊性） ① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数 有了性质作辅助，遇题便有章可依. 3、 典例分析 例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a 证明：设函数14)(2 +=x x f ，它的图象是双曲线14 12 2 =-x y 的上支(如右图) )(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2 (2)()(b a f b f a f +≥+ ∴ 124214142 22+?? ? ??+≥+++b a b a 即得2214142 2≥+++b a 证毕. 推广： 若),,2,1(n i R x i i =∈，且11 =∑=n i i x ，则有21 2bn a b ax n i i +≥+∑= 例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立. ② 若b a ≠，原不等式等价于2|1 414|22≤-+-+b a b a 设函数14)(2 +=x x f ，则b a b a -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()14,2+a a P ，() 14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率， 即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1 44)(2'+= x x x f ，∴ 2| |2| |41 4||4|)(|2'<< += x x x x x f ∴ 2|1 414| 22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间. 例3 当b a <<0时，求证：()14414142 22+-> +-+a a b a a b 证明：原不等式等价于 1 441 4142 22+>-+-+a a a b a b 设函数14)(2 +=x x f ，则a b a b -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在 ()b a ,上存在一点ξ，使得 )() ()('ξf a b a f b f =--. 题目：贝塞尔函数及其应用 摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式 目录 一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔方程的引出?错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 2. 第二类贝塞尔函数 (6) 3. 第三类贝塞尔函数?错误!未定义书签。 4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。 （二）贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 （三）半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 (四) 贝塞尔函数的零点?错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。 三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数?错误!未定义书签。 (一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义?错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开?错误!未定义书签。 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。 (二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。 高中数学复习：基本初等函数、函数的应用 1.已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( ) A.a 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 函数思想在解题中的应用 摘要：函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的。 关键词：函数思想；解题；应用； 引言 函数是中学数学的重要内容，函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,与数学的其它知识之间有着广泛而又密切的联系,揭示并认识这种内在联系,对提高分析问题的能力具有重要的意义．函数思想又渗透到数学的各个领域．函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的．对此，本文通过实例，从以下几个方面予以说明． 1、 利用函数的单调性解题 单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为 自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．别是在比较数式大小、证明不等式、求值或最值、解方程（组）等方面应用十分广泛． 例1 解不等式05110) 1(833>--+++x x x x 分析：如果去分母化为整式不等式来求解，则问题就变得相当复杂。观察不等式的结构，对不等式变形得：x x x x 51 25)12(33+>+?++ 于是可构造函数x x x f 5)(3+=再利用单调性求解． 解：构造函数x x x f 5)(3+= ∵3 x 及x 5均为增函数． ∴x x x f 5)(3+=在R 上是增函数． 又原不等式等价于)()1 2( x f x f >+． ∴由)(x f 的单调性可知: x x >+1 2． 解得11<<-x 或2- “双勾函数”的性质及应用 问题引入 ：求函数2y = 的最小值． 问题分析 ：将问题采用分离常数法处理得，2y = =，此时 如果利用均值不等式， 即2y = ，等式成立的条件 为 = 显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值 不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质． 一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义 我们把形如()k f x x x =+ （k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()k f x x x =+ （k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名． 2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像 3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质 ①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 二次函数图像 “双勾函数”图像 的增大而增大；当2b x a =-时，函数y 有最小值2 44ac b a - ． ②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小．当2b x a =-时，函数y 有最大值2 44ac b a -． （2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x > 时，在x =y 随着x 的增大而减小；在x =y 随着x 的增大而增大；当x = y 有最小值． ②当0x <时， 在x =y 随着x 的增大而增大； 在x =y 随着x 的增大而减小．当x =y 有最大值-． 综上知，函数()f x 在(,-∞ 和)+∞ 上单调递增，在[ 和上单调递减． 下面对“双勾函数”的性质作一证明． 证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则 1212121212121212 ()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x ---=+ --==-- ． 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？ 首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==， 2 010k x - = 可得到x = 因此又找到两个分界点 这样就把()f x 的定义域 分为(,-∞ ，[ ， ，)+∞四个区间，再讨论它的单调性． 设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212 ()()()()0x x x x k k k f x f x x x x x x x ---=+ --=> ，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减． 同理可得，()f x 在)+∞ 上单调递增；在(,-∞ 上单调递增；在[上 ? n n k k n n A k n n →∞ A n A n A A n 1. 集合列的特征函数 1.1 集合 E 的特征函数定义：对于 X 中的子集 E ，作 X = ?1, x ∈ E E ?0, x ? E 称 X E ： X → {0,1}是定义在 X 上的集合 E 的特征函数。 由定义知，特征函数 X E 在一定意义上作为集合 E 的代表。 借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。 1.2 定理：对任意的集合列{A n }，有 ① lim X A = X lim A n ， n →∞ n n →∞ ② lim X A = X lim A ， n →∞ n n →∞ n ③集列{A }收敛的充要条件是它的特征函数列{X } 收敛，且 lim X A = X lim A n n →∞ n n →∞ 定理说明了集列{A n }取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。集 列{A }收敛性与数列{X } 收敛性等价。 证明：由特征函数的定义， lim X A =1 或 0， ?x ，设lim X n →∞ n n →∞ =1 ? 有无限个n k n ，使得 X A =1， ? 有无限个n ，使得 x ∈ A n ， ? x ∈ lim A ， n →∞ ? X lim n →∞ A =1 （*1） ?x ，设lim X n →∞ n =0 ? 有无限个n k ，使得 X =0 k ? 有无限个n k ，使得 x ? A n ， ? x ? lim A ， n →∞ ? X lim A n =0 （*2） n k 2.4.3 相关函数 １．自相关函数 自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为 （2.4.6） 对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算 （2.4.7） 自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。 例如信号的自相关函数为 若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即 ，则 对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为 由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。 自相关函数具有如下主要性质： （1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。 （2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即 （2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。 （4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即 （2.4.9） 实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程 度，定义式为 （2.4.10） 当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与 x(t+τ)之间彼此无关。由于，所以。值的大小表示信号相关性的强弱。 自相关函数的性质可用图2.4.3表示。 图2.4.3 自相关函数的性质 常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括： （1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。 时间历程自相关函数图形 高中基本初等函数及函数的应用 指数函数 指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是 ： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 指数函数及其性质 对数函数 对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =函数与方程思想简单应用
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