圆的面积计算
【基础知识】
【知识点一】圆的面积的意义
圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。
【知识点二】圆的面积计算公式
圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
因为：长方形面积 = 长×宽
所以：圆的面积 = 圆周长的一半×圆的半径
S圆 = πr × r
= πr2 r2 = S ÷π圆的面积公式： S
圆
例：
1cm
1.5cm
半径不同的两个圆，他们的大小不同，在平面上所占的大小也不同。
【知识点三】圆的面积与周长的区别
圆的面积是指圆所占平面的大小；圆的周长是指围成圆的曲线的长度。
概念 计算公式 单位
圆的面积 圆所占平面的大小 S=πr 面积单位 圆的周长
围成圆的曲线的长度
C=πd 或： C=2πr
长度单位
【知识点四】圆环的意义
1、圆环：以同一点为圆心，画出两个半径不相等的圆，两个圆之间的部分就是
圆环，也叫环形。
2、各部分的名称 例：
知识点五、环形的面积的计算 环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R ，内圆的半径是r 。（R ＝r ＋环的宽度．）
S 环 = πR 2－πｒ2 2 或
环形的面积公式： S 环 = π（R 2 －ｒ2）。 例：
常用各π值结果：
常用平方数结果
112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361
知识点六、关于圆的面积的各种类型题
【例1】在一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路。求路面的面积。
【举一反三】
（1）环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积。
（2）公园里有一个圆形花坛，直径是16米，在它的周围修建一条2米宽的环形便道。（圆周率取值为3）①这条便道的面积是多少？②沿着环形便道的外边缘每隔5米装一盏地灯，一共要安装多少盏灯？
【例2】一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
（1）在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径扩大（）倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。
（2）圆的半径增加1
4
，圆的周长增加（），圆的面积增加（）。
（3）大圆的半径等于小圆的直径，大圆的面积是小圆面积的（）。（4）一个圆的周长扩大3倍，面积就扩大（）倍。
（5）大圆半径是小圆半径的3倍，大圆面积是84.78平方厘米，则小圆面积为（）平方厘米。
（6）大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是（）平方厘米。
【例3】两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。
例：（1）两个圆的半径比是2:3，那么这两个圆的直径比是（），周长比是（），面积比是（）.
（2）有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的6倍，小圆与大圆周长的比是（），小圆与大圆面积的比是（）。
（3）大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的（）倍，小圆面积是大圆面积的（）倍。
【正方形、长方形与圆知识点】
当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，正方形居中，长方形面积最小。
当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2a
π厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加a
π厘米。
【例4】
（1）圆的直径增加2分米，圆的周长增加（）分米。
（2）圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆面积增加了（）平方厘米。
（3）要在一个边长为10厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，剩下的面积是（）平方厘米。
（4）在一张长7厘米，宽4厘米的长方形纸上剪一个直径为2厘米的圆，最多可以剪（）个。
（5）在一个面积是36平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？再在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是多少平方厘米？
【例5】一个水缸，从里面量，缸口直径是50厘米，缸壁厚5厘米。要制做一个缸盖，使它正好盖住缸口的外沿，这个缸盖的面积是多少平方厘米？如果在缸盖的边沿贴上一圈金属（不计接头），这个金属条长多少厘米？
【例6】求下列图中阴影部分的面积。
【举一反三】
（1）如下图示，AB＝4厘米，求阴影部分的面积。
（2）图中圆与长方形面积相等，长方形长6.28米。阴影部分面积多少平方米？
【例7】某中学计划建设一个400m跑道的运动场（如下图所示），聘请你任工程师，
问：（1）若直道长100m，则弯道弧长半径r为多少m？
（2）共8个跑道，每条宽1.2m，操场最外圈长多少m？
（3）若操场中心铺绿草，跑道铺塑胶，则各需绿草、
塑胶多少2
m？
（4）若绿草50元/ 2
m，塑胶350元/ 2m，学校现有200万元，可以开工吗？为什么？
练习巩固
（一）填空题
1、把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于（），长方形的宽就是圆的（）。因为长方形的面积是（），所以圆的面积是（）．
2、一个半圆半径是r，它的周长是（）。
3、一个圆形桌面的直径是2米，它的面积是（）平方米。
4、用一根10.28米的绳子，围成一个半圆形，这个半圆的半径是（）米，面积是（）平方米。
5、在一个圆中，圆的周长是直径的（）倍，是半径的（）倍。
6、一个半圆形，半径是3厘米，周长是（），面积是（）。7．一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的面积是（）平方分米。
8、一个半圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是（）米。占地面积是（）2
m。
9、甲圆半径是乙圆半径的3倍，甲圆的周长是乙圆周长的（）倍，甲圆面积是乙圆面积的（）倍。
（二）判断题
1、半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等。
2、两个圆的面积相等，则两个圆的半径一定相等。
3、圆的周长是直径的3.14倍。
4、两条半径就是一条直径。
5、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长也相等。
6、圆的周长是6.28分米，那么半圆的周长是3.14分米。
7、一个圆的半径扩大3倍，它的面积就比原来多2倍。
8、两个圆比较，周长较小的那个圆面积也一定小。
（三）选择题
1、两圆的直径相差4厘米，两圆的周长相差（）
A.4厘米
B.12.56厘米
C.无法确定
2、如图，从A到B的两条路线中，最短的路线是（）。
A.第一条
B.第二条
C.两条一样
3、如果下图中圆的面积等于长方形的面积，那么圆的周长（）长方形的周长。
A.等于
B.大于
C.小于
（四）求阴影部分的面积。(单位:厘米)
（五）解决问题
1、一种铝制面盆是用直径30厘米的圆形铝板冲压而成的，要做1000个这样的面盆至少需要多少平方米的铝板？
2、将一根长 100米的绳子，绕一棵大树20圈少48厘米，这棵大树横截面面积是多少平方厘米？
3、一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆。还剩下多少平方厘米的纸没用？
4、一根钢管的横截面是环形。内圆半径4厘米，外圆直径10厘米。钢管的横截面积多少平方厘米？
5把一个圆形纸片剪开后，拼成一个宽等于半径，面积相等的近似长方形。这个长方形的周长是24.84厘米，原来这个圆形纸片的面积是多少平方厘米？
6、一个圆形花坛，周长是37.68米，绕着它的周围在外沿修一条宽为1米的小路，这条小路的面积是多少平方米？
7、一个半圆形的花圃直径10米，在花圃的周围要围上装饰性护栏，护栏长多少米？
8、两个圆的周长之比是3∶2，面积之差是10cm2，两个圆的面积之和是多少？
9、有四根直径是1米的圆柱形管子，用一根铁丝紧紧地捆在一起，铁丝的长度最短是多少米？（打结处铁丝长度不计）
10、有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要多少分米长的绳子（打结处绳长不计）？
11、一个圆形喷水池的周长62.8米，在水池外边有一条0.5米宽的水泥路。路的面积是多少平方米？
12、下图池塘的周长251.2米，池塘周围（阴影）是一条5米宽的水泥路，在路的外侧围一圈栏杆。水泥路的面积是多少？栏杆长多少米？
13、草场上有一个长20m，宽10m的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊，这只羊能够活动的范围有多大？(先作图：直尺、圆规、铅笔)
画图：