第十章 圆锥曲线
本章知识结构图
第一节 椭圆及其性质
考纲解读
1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质
3. 了解椭圆的简单应用
4. 理解数形结合的思想 命题趋势研究
椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型
预测2019年高考对本节考查内容为：
（1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题.
（2） 利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标
准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分.
知识点精讲
曲线与方程
轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线
椭圆 双曲线 抛物线
定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）
离心率
对称性问题
中心对称
轴对称
点(x 1，y 1) ───────→关于点(a ，b )对称点(2a －x 1，2b －y 1
) 曲线f (x ，y ) ───────→
关于点(a ，b )对称曲线f (2a －x ，2b －y ) ?
????A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 2
2＋C ＝0y 2－y 1x 2－x 1·(－A
B )＝－1
特殊对称轴 x ±y ＋C ＝0
直接代入法
点(x 1，y 1)与点(x 2，y 2)关于
直线Ax ＋By ＋C ＝0对称
一、椭圆的定义
平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122||a F F >）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为：{}1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c +=>=> 注明：当22a c =时，点的轨迹是线段；
当22a c <时，点的轨迹不存在. 二、椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示.（如下表10-1） 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210x y a b a b +=>> ()22
22
10y x a b a b +=>> 统一方程
221(m 0,n 0,)mx ny m n +=>>≠
参数方程 cos ,[0,2]sin x a y b θ
θθπθ
=?∈?
=?为参数（） cos ,[0,2]sin x a y b θ
θθπθ
=?∈?
=?为参数（）
第一定义 到两定点21F F 、
的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤
b x b -≤≤且a y a -≤≤
顶点
()1,0a A -、()2,0a A
()10,b B -、()20,b B
()10,a A -、()20,a A
()1,0b B -、()2,0b B
轴长 长轴长2a = 短轴长2b = 长轴长2a = 短轴长2b =
对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点
()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距
222122()F F c c a b ==-
离心率
2222222
1(01)c c a b b e e a a a a
-====-<<
准线方程
2a x c
=±
（不考）
点和椭圆 的关系 2200002
2
1
1(,)1x y x y a b >????+=?????
外点在椭圆上内
2
200002
2
1
1(,)1y x x y a b >????+=?????
切线方程
0000221((,)x x y y
x y a b
+=为切点） 0000221((,)y y x x
x y a b
+=为切点） 对于过椭圆上一点00(,)x y 的切线方程，只需将椭圆方程中2
x 换为0x x ，2
y 换为
0y y 便得
切点弦所
在 的直线方程
0000221((,)x x y y
x y a b +=点在椭圆外） 0000221((,)y y x x
x y a b
+=点在椭圆外） 焦点三角
形面积
①2
max 1212
2cos 1,,(b F BF B r r θθ=-=∠为短轴的端点）
②121201022||,1tan ()22||,sin PF F c y x S r r b F PF c x y θθθ???
=
==∠?=??焦点在轴上焦点在轴上
③2122
12
min =max =P r r b P r r a ?????当点在长轴端点时,（）当点在短轴端点时,（）
焦点三角形中一般要用到的关系是
12
1212222
1221121212
1||||)||||222si 2||||||2||n ||cos PF F MF MF a a S PF PF F PF F F PF PF PF PF F PF c ?+=>=∠=?????+-∠?
?（）
焦半径
左焦半径：10MF a ex =+
又焦半径：10MF a ex =-
上焦半径：10MF a ey =- 下焦半径：10MF a ey =+
焦半径最大值a c +，最小值a c -
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2
2b a
（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ,AB k k =, 则弦长22212121211()4AB k x x k x x x x =+-=+--
21212
211()4y y y y k =+
--2
1||
k a ?=+ （其中a 是消y 后关于x 的一元二次方程的2
x 的系数，?是判别式）
题型归纳及思路提示
题型136 椭圆的定义与标准方程
思路提示
（1）定义法：根据椭圆定义，确定2
2
,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出,,a b c 的方程组，解出2
2
,a b ，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为
221(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠.
②与椭圆
22
1x y m n +=共焦点的椭圆可设为221(,,)x y k m k n m n m k n k +=>->-≠++. ③与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆，可设为22
122x y k a b
+=（10k >，
焦点在x 轴上）或22
222x y k a b
+=（20k >，焦点在y 轴上）.
一．椭圆的定义与标准方程的求解
例10.1 动点P 到两定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是
（ ）
A.
221169x y += B. 221259x y += C. 2212516x y += D. 22
110036
x y +=
变式1 求焦点的坐标分别为12(4,0),(4,0)F F -，且过点16
(,3)5
P 的椭圆的方程.
变式2 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为
45
3
和25
3
，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
例10.2 在△ABC ，已知(2,0),(2,0)A B -，动点C 使得△ABC 的周长为10，则动
点C 的轨迹方程为_________.
变式1 已知动圆P 过定点(3,0)A -，且与圆2
2
:(3)64B x y -+=相切，求动圆圆心
P 的轨迹方程.
变式2 已知一动圆与圆221:(3)1O x y ++=外切，与圆22
2:(3)81O x y -+=内切，
试求动圆圆心的轨迹方程.
变式3 已知圆221:(2)16O x y ++=，圆圆22
2:(2)4O x y -+=，动圆P 与圆1O 内
切，与圆2O 外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.
例10.3 已知椭圆的长轴长是8，离心率是
3
4
，则此椭圆的标准方程是（ ） A.
221169x y += B. 221167x y +=或22
1716x y += C.
2211625x y += D. 22
11625
x y +=或2212516x y +=
变式1 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点
12
,F F在x轴上，离心
率为
2
2
.过
1
F的直线l交C于,A B两点，且△
2
ABF的周长为16，那么C的方程为
__________.
变式2 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
5
5
，且过(5,4)
P ，则椭
圆的方程为_________.
变式3 经过
210315
(1,),(,)
322
A B两点的椭圆的标准方程是________________.
二．椭圆方程的充要条件
例10.3 若方程
22
153
x y k k +=--表示椭圆，则k 的取值范围是__________.
变式1 如果2
2
2x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是___________.
变式2 “0m n >>”是“方程2
2
1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
变式3 若方程2
2(5)(2)8m x m y -+-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是____________.
题型137 离心率的值及取值范围
思路提示
求离心率的本质就是探究,a c 之间的数量关系，知道,,a b c 中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出e 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法和定义法.
例10.4 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________. (2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为__________.
变式1 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别是,A B ，左右焦点分别是12,F F .
若1121||,||,||AF F F BF 成等差数列，则此椭圆的离心率为____________.
变式2 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，
若0
90BAO BFO ∠+∠=，则该椭圆的离心率是___________.
例10.6 过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦
点，若0
12=60F PF ∠，则椭圆的离心率为( )
A. 22
B. 33
C. 12
D. 13
变式1 已知正方形ABCD ，以,A B 为焦点，且过,C D 两点的椭圆的离心率为______.
变式2 已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且122F F c =，
点A 在椭圆上，且1AF 垂直于x 轴，2
12AF AF c ?=，则椭圆的离心率e 等于（ ）
A. 3
3 B. 31
2- C. 512- D. 2
2
变式3 已知椭圆221(0)a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距122F F c =，
若直线3()y x c =
+与椭圆的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则椭圆的离心率e
等于_________.
变式4 设1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点，以2F 为圆心，且过椭圆中
心的圆与椭圆的一个交点为M ，若直线1F M 与圆2F 相切，则椭圆的离心率为（ ）
A. 31-
B. 23-
C.
32 D. 2
2
例10.7椭圆22:1(0)G a b a b
+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，椭圆
上存在点M 使1
20FM F M ?=，则椭圆的离心率e 的取值范围为_________.
变式1 已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点，满足1
20FM F M ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆的离心（ ）
A. (0,1)
B. 10,2??
???
C.
20,2?? ? ??? D. 2,12???????
例10.8 椭圆221(0)a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，若P 为其上一点，且
12||2||PF PF =，2F ，则此椭圆离心率的取值范围为____________
变式1椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，椭圆上存在P 使得
12||3||PF PF =椭圆方程可以是（ ）
A.
2213635x y += B. 2211615x y += C.
2212524x y += D. 22
143
x y +=
变式2 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭
圆上存在一点P 使
1221sin sin PF F c
PF F a
∠=∠，则椭圆的离心率e 的取值范围为_________.
题型138 焦点三角形
思路提示
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即12||||2PF PF a +=.
例10.9已知1F ，2F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点， P 为椭圆C 上一
点，且12PF PF ⊥，若
12PF F ?的面积为9，则b =_________.
变式 1 已知21,F F 是椭圆19162
2=+y x 的两个焦点，P 为该椭圆上一点，且13
5
cos 21=
∠PF F ，求21PF F ?的面积.
变式 2 已知21,F F 是椭圆14
:22
=+y x E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上一点，且?=∠6021PF F ，则点P 到x 轴的距离为____________.
例10.10 已知椭圆13
42
2=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是椭圆上的一动点. （1）求的21PF PF ?取值范围； （2）求的21PF PF ?取值范围；
变式1 椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x M 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上任一点，
且21PF PF ?的最大值的取值范围是[
]2
23,c c ，其中22b a c -=
，
则椭圆M 的离心率e 的取值范围（ ） A. ???
???21,41
B. ??
?
???22,
2
1
C. ???
?
??1,22 D. ??
?
??1,21
变式2 设P 是椭圆14
92
2=+y x 上一动点，21,F F 分别是左、右两个焦点，则21cos PF F ∠的最小值是（ ） A. 2
1 B.
9
1
C. 9
1-
D. 9
5-
变式3 设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦点为21F F 和，P 是椭圆上任一点，若2
1PF F ∠的最大值为
3
2π
，则此椭圆的离心率为____________.
最有效训练题42（限时45分钟）
1. 已知点)0,3(M ，椭圆14
22
=+y x 与直线()
)0(3≠+=k x k y 交于B A ,，则A B M ?的周长（ ） A. 4 B. 8
C. 12
D. 16
2.已知P 为椭圆
116
2522=+y x 上的一点，N M ,分别为圆()1322
=++y x 和圆()432
2=+-y x 上的点，则PN PM +的最小值为（ ）
A.
2
1 B.
9
1
C. 9
1-
D. 9
5-
3. 椭圆
164
1002
2=+y x 的焦点为21,F F ，椭圆上的点P 满足?=∠6021PF F ，则21PF F ?的面积是（ ） A.
3
3
64 B.
3
3
91 C.
3
3
16 D.
3
64
4. 如图10-4所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线AC 与BF 交于D ，且?=∠90BDC ，则椭圆的离心率为（ ） A.
2
1
3- B.
2
1
5- C.
2
1
5- D.
2
3
5. 若椭圆152
2
=+m
y
x 的离心率510=e ，则m 的值为（ ）
A. 3
B.
3
15
515或
C.
15 D. 3
253或
6. 若点O 和点F 分别为椭圆1342
2=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则FP OP ?的最大值为（ ）
A.2
B.3
C. 6
D. 8
7. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，若线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为__________.
8. 椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左，右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ，若
B F F F AF 1211,,成等比数列，则此椭圆的离心率为____________.
9.椭圆
125
92
2=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则m 当取最大值时，点P 的坐标是___________.
10. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，经过点)2
3
,1(P ，
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.
11. 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的长、短轴端点分别为B A ,，从此椭圆上一点M ，
（在x 轴上方）向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，OM AB //.
F
x
O
D
C B A y
图10-4
（1）求椭圆的离心率e ；
（2）设Q 是椭圆上任意一点，21,F F 分别是左、右焦点，求21QF F ∠的取值范围.
12. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点)0,2(-F ，且长轴长与短轴长的比是3:2， （1）求椭圆C 的方程；
（2）设点)0,(m M 在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当MP 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围.
一、椭圆的几何性质（以22a x +22 b y =1（a ﹥b ﹥0）为例） 1、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b （2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 2、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M ，则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ， 连接OM 由已知有1PF FP =， M 为1F F 中点 ∴212OM FF ==()121 2 PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 222 x y a +=。 3、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 4、过焦点F 的弦AB ， )(2112定值b a BF AF =+ 5、AB 是椭圆的任意一弦，P 是AB 中点，则22 a b K K OP AB -=?（定值） 证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y 则()1202 x x x += ()1202 y y y += x x
22 1122 22 222211x y a b x y a b ?+=????+=?? ()()()()1212121222 ..0x x x x y y y y a b +-+-?+= ∵ ()()1212AB y y k x x -=-，00OP y k x =， ∴ 2 2A B O P b k k a ?=-。 6、椭圆的长轴端点为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点，连结A 1P 、A 2P 并延长，交一准线于N 、M 两点，则M 、N 与对应准线的焦点张角为900 证明：令()221200,,,,,a a M y N y P x y c c ???? ? ????? ，()1,0A a -，()2,0A a ∴()()100200,,,,A P x a y A P x a y =+=-uuu r uuu r 221122,,,a a A M a y A N a y c c ???? =+=- ? ????? uuuu r uuu u r ∵ 由于1A 、P 、M 共线 ，∴ 2 0001210() a y a x a y c y a y x a a c ?++=?=++ ∵ 由于2,,A P N 共线 ，∴ 2 0002220() a y a x a y c y a y x a a c ?--=?=-- ∴ 22 242200012222 000()() a a y a y a y a a c c c y y x a x a x a c ?-?+-==?-+-， ∵ 2222 0002222201x y y b a b x a a +=?=-- ∴ 2422 1222 b a a c y y a c -=-?42b c =-， ∵ 2122,,a F M c y c a F N c y c ? ??=-? ???????? =- ?? ??? uuu r uuu r 4 122b FM FN y y c ??=+uuu r uuu r ∴ 0FM FN ?=u u u r u u u r ， ∴ M 、N 与对应准线的焦点张角为900 7、圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定 x
一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。 由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例 例1.已知点 1(3,0) F-,2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的 焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。
例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点， 求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 解决 例4.P 是椭圆2 2 145 20 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点, 若 则12PF PF -的值为( ) A. D. 3 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程. 练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切， 求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
椭圆方程及性质的应用 教学目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)，椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0). (1)点P在椭圆上?x20 a2＋ y20 b2＝1；(2)点P在椭圆内? x20 a2＋ y20 b2＜1； (3)点P在椭圆外?x20 a2＋ y20 b2＞1. 课堂练习 已知点(2,3)在椭圆x2 m2＋ y2 n2＝1上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④ 教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 直线y＝kx＋m与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)联立 ?? ? ?? y＝kx＋m， x2 a2＋ y2 b2＝1， 消去y得一个 一元二次方程.
2.弦长公式 设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2·|y 1－y 2|. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2 9＝1的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2 ＋y 2 2＝1相交.( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 例题分析 (1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个 (2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝ 4m 2 ＋n 2 ＞2， ∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直 线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.
椭圆的简单几何性质 1．若焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2，则m等于() A.3 B.3 2C. 8 3D. 2 3 2．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率e是() A.3 4B. 2 3C. 1 2D. 1 4 3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是() A.2m－1 m－1 B. －2－m m C.2m m D．－ 21－m m－1 4．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为() A.1 2B. 2 2 C. 3 2D. 3 3 5．(2009·江西高考)过椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于 点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为() A. 2 2B. 3 3 C.1 2D. 1 3 6．若AB为过椭圆x2 25＋ y2 16＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的 最大值为() A．6 B．12 C．24 D．48 1
7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________． 8．过椭圆x2 5＋ y2 4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为________． 9．若椭圆x2 k＋2＋ y2 4＝1的离心率e＝ 1 3，则k的值等于________． 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e＝ 6 3. 11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m， (1)当直线和椭圆有公共点，求实数m的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程． 2
【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大 （一）椭圆的定义及椭圆的标准方程： ?椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点F 1、 F 2的距离之和等于常数 （二）椭圆的简单几何性： ?标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 2 2 x 2 y 2 =1 (a b O) a b (PF 1 + PF 2 =2a ■ F1F 2）,这个动点P 的轨迹叫椭圆?这两个定点叫椭圆的 焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的 焦距. 注意：①若（PF 1 + |PF 2 |=F I F 2），则动点P 的轨迹为线段F 1F 2 ； ②若（PF 1 + PF ^<|F 1F 2 ），则动点P 的轨迹无图形 2 2 y 2 X 2 =1 (a ■ b ■ O) a b 图形 性质 焦占 八焦距 范围 F i (-c,O)，F 2(C ,0) F I (O,-C )，F 2(0,C ) F 1F 2 =2C F 1 F 2 = 2c x^b, | y| 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 标准方程 (_a,0) , (0,-b) (0,-a), (_b,0) 顶点
?椭圆标准方程为 =1 (a b - 0)，椭圆焦点三角形: 设P 为椭圆上任意一点, F i ,F 2为焦点且/ F 1PF 2 ?，则△ F i PF 2为焦点三角形，其面积为 轴长 长轴长 AA 2, AAj =2a ，短轴长 BB 2, EB 2 =2b 离心率 ① e = C (0cec1)，② e =』1—(b )2 ③ c 2 = a 2_b 2 a V a (离心率越大，椭圆越扁) 【说明】： 1?方程中的两个参数a 与b ,确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F i ，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数 a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且 a 2 = b 2+ c 2. 2 2 2.方程Ax By 二C 表示椭圆的充要条件是：ABC 工0,且A ，B ，C 同号，A 2 2 S PF I F 2 = b 2 tan 。 2 (四)通径：如图：通径长 2 2 ?椭圆标准方程：笃? — =1 a 2 b 2 (五)点与椭圆的位置关系： C 1) 点 P(x o ,y o )在椭圆外= a b a b x =1；
椭圆方程及性质的应用 （45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:x2 25+y2 36 =1,则直线l与椭圆 C的公共点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0 2.若AB为过椭圆x2 25+y2 16 =1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大 值为( ) A.6 B.12 C.24 D.36 3.椭圆x2 16+y2 4 =1上的点到直线x+2y-√2=0的最大距离为( ) A.3 B.√11 C.√10 D.2√2 4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=√2 2 (O为原点),则m等于( ) A.√2 2B.√2 C.-√2 2 D.-√2 5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( ) A.√5 3B.2 3 C.√2 2 D.5 9 - 1 -
二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为√5,离心率e=2 3 的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为. 7.(2013·宜春高二检测)椭圆x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为√2 2 ,若直线y=kx与其一 个交点的横坐标为b,则k的值为. 8.过椭圆x2 6+y2 5 =1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足OP→=1 2 (OA→+OB→),则这条弦所在 的直线方程是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2√2,0)和F2(2√2,0),长轴长为6, 设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-9 10,1 10 ),求直线l的方 程. 10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-√3,0),F2(√3,0),离心率e=√3. (1)求此椭圆的方程. (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km. - 1 -
2.2.2 椭圆形至及其应用 1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为( ) A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 2 13＝1 D.x 213＋y 24 ＝1 2．椭圆x 225＋y 2 9 ＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A ．8,2 B ．5,4 C ．9,1 D ．5,1 3．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32 ，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 2 4 ＝1 C.x 216＋y 212 ＝1 D.x 216＋y 2 3＝1 4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.64 5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 32 ，且G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63.过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32 ，求椭圆的标准方程． 8.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标 等于短半轴长的23 ，求椭圆的离心率． 9．设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 2 16 ＝1上的点且P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k P A ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
第十章 圆锥曲线 本章知识结构图 第一节 椭圆及其性质 考纲解读 1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质 3. 了解椭圆的简单应用 4. 理解数形结合的思想 命题趋势研究 椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型 预测2019年高考对本节考查内容为： （1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题. （2） 利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标 准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分. 知识点精讲 曲线与方程 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线） 离心率 对称性问题 中心对称 轴对称 点(x 1，y 1) ───────→关于点(a ，b )对称点(2a －x 1，2b －y 1 ) 曲线f (x ，y ) ───────→ 关于点(a ，b )对称曲线f (2a －x ，2b －y ) ? ????A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 2 2＋C ＝0y 2－y 1x 2－x 1·(－A B )＝－1 特殊对称轴 x ±y ＋C ＝0 直接代入法 点(x 1，y 1)与点(x 2，y 2)关于 直线Ax ＋By ＋C ＝0对称
课题：12.4椭圆的基本性质（二课时） 教学目标： 1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质. 2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形． 3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等. 4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用 教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、 知识回忆 （1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习 1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。 椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x 轴上____________（ ） 2。焦点在y 轴上____________（ ） 若125 162 2=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________ 二．教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 （一） 对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ x -代x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称； y -代y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称； x -、y -代x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x 换成－x 为例，如图在曲线的方程中，把x 换
椭圆性质的证明与证明: 性质1、 椭圆上一点P 处的切线平分焦点三角形外角的证明： 题目：已知12,F F 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点，P 为椭圆上一点。求证：点P 处的切线PT 必 平分12PF F ?在P 处的外角.在解答此题之后，我们还得到一个重要的定理. 证法1 设1200(,0),(,0),(,)F c F c P x y -. 对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，22 22.0x y y a b ' += ∴ 22b x y a y '=- ∴ 0020(,) 20 pT x y b x k k y a y '===- 又1010pF y k k x c == +，20 20pF y k k x c ==-， 由到角公式知 2002002 2002 200tan 211. b x y a y x c k k b x y kk a y x c ----∠== +-- 22222 000222 000 () ()b cx b x a y a b x y a cy -+=-- 222222 00222000000()()b cx a b b cx a b c x y a cy cy cx a cy --=== --， 同理200 22 0012 00 10 200 tan 111.y b x x c a y k k b y b x k k cy x c a y ++-∠===+-+. ∵ 1,2(0,)π∠∠∈， ∴ 12∠=∠， 又14∠=∠， ∴ 24∠=∠
证法2 设1(,0)F c -，2(,0)F c ，00(,)P x y ，如图1，过1F 、2F 作切线PT 的垂线，垂足分别为M 、N. ∵ 切线PT 的方程为 00221x x y y a b +=，则点1F 、2F 到PT 的距离为 1F M = ， 2F N = ∴ 0 22 012 01021 1cx cx a F M a cx F N cx a a ----==-- 001002ex a a ex PF ex a a ex PF --+===-- ∴ 1PMF ?∽2PNF ? ∴ 12∠=∠, 又∵14∠=∠ ∵ 24∠=∠. 两种证法都是由12∠=∠导出，如图，设PD 为法线（即PD ⊥切线PT ），则PD 平分12F PF ∠，故得如下重要定理. 定理 在椭圆上任意一点P 的法线，平分该点两条焦半径的夹角. （到角公式） 把直线L1依逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，叫做L1到L2的角，简称到角.tan θ=(k2-k1)/(1+k1·k2) 性质2．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导 （1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导 解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得
第5讲 椭圆的性质及应用 一、知识梳理 1 x 2 y 2 y 2 x 2 2、椭圆的几何性质分为两类 （1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等. 在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解. 问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？ 提示：椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，b a 越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时， b a 越接近于1，椭圆越接近于圆． 题型（一） 求椭圆的离心率 例1 （1）下列椭圆中最扁的一个是（ ） A ． B ． C ． D ． 【解答】解：椭圆的离心率越小，椭圆越圆，越大，离心率越大，椭圆越扁，越小， A 中＝，B 中＝，C 中＝ ，D 中＝ ， 故选：B ． （2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 解析： 依题意，△BF 1F 2是正三角形，
∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a ＝1 2 ， 即椭圆的离心率e ＝12.，答案： 1 2 （3）如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆的离心率是（ ） A ． B ． C ． D ． 【解答】解：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， ∴OM ∥AB ，于是△OF A ∽△AFB ，且＝＝，即＝，可得e ＝＝． 故选：C ． （4）《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2 +股2 ＝弦2 ”．设F 是椭圆＝ 1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x 交椭圆于A 、B 两点，若|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”， 则此椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【解答】解：∵|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，∴AF 1⊥BF 1，∴OA ＝OB ＝OF 1＝c ． ∴A （， ），∴ ? ， ，? ，e 2 ＝1﹣ ＝4﹣2，∴﹣1． 故选：A ．
椭圆常见性质 1. 11 || 1PF e d =< 2.PT 平分12PF F ?在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径1PF 为直径的圆必与长轴为直径的圆内切. 5.设12,A A 为椭圆的左,右顶点,则12PF F ?在边2PF (或1PF )上的旁切圆,必与12A A 所在的直线切与2A (或1A ). 6.椭圆焦点三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 7.椭圆两焦点到椭圆焦点三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c . 8.椭圆焦点三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c . 9.椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比c . 10.椭圆焦点三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 11.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 12.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆的和椭圆长轴为直径的圆的切点. 13.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦半径公式: 1020||,||.PF a ex PF a ex =+=-(0x 是P 点横坐标). 14.设P 点是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点.记 12F PF θ∠=,则1222122(1)||||;(2)tan .1cos 2 PF F b PF PF S b θ θ?= =+ 15.若P 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点, 12,F F 为其焦点, 1221,PF F PF F αβ∠=∠=,则 tan tan .22 a c a c αβ -=+ 16.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,
第5讲椭圆的性质及应用 一、教学目标 1．掌握椭圆的简单几何性质． 2．理解离心率对椭圆扁平程度的影响. 二、教学重、难点 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．三、教学方法 一学、二记、三应用 四、知识梳理 1 22 2 （1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等. 在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解. 3、椭圆的几何性质与椭圆的位置、大小和形状的关系 （1）椭圆的焦点决定椭圆的位置. （2）椭圆的范围决定椭圆的大小. （3）椭圆的离心率决定椭圆的形状.离心率越大，椭圆越“扁”；离心率越小，椭圆越“圆”。 （4）对称性是椭圆的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆的上重要的特殊点，在作图时应先确定这些点. 特别注意 （1）椭圆的长轴长为2a，长半轴长为a；椭圆的短轴长为2b，短半短长为b. （2）椭圆中a,b,c的关系是：a2＝b2＋c2. 问题为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？
五、课前测试 1．已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()1,0 B ．()2,0 C ．()+∞,0 D ． ()+∞,1 3．已知椭圆2222 12:1,:1,124168 x y x y C C +=+=则 （ ） A ．1C 与2C 顶点相同. B ．1 C 与2C 长轴长相同. C ．1C 与2C 短轴长相同. D ．1C 与2C 焦距相等. 六、典例剖析 题型（一） 椭圆简单的几何性质 例1 求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率： （1）224936x y +=； （2）2222 41(0)m x m y m +=>． [题后感悟] 已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确
【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： 标准方程 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2.
2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>b a 相交于两点 11(,)A x y 、22(,)B x y ， 把AB 所在直线方程y=kx+b ，代入椭圆方程122 22=+b y a x 整理得：Ax 2+Bx+C=0。 ●弦长公式： ① 212212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1（含M N F x y
椭圆与双曲线的对偶性质92条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 ||1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆 于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,
椭圆性质总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ， 212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1 >e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=（一个 ?Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总 在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ? ??==θθ sin cos b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性 质：
椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集 M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个?Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜ B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ?? ?==θθ s i n c o s b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程：c a x 2± =；或c a y 2 ±= ⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0； |PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max ,
椭圆的光学性质及其应用 乌鲁木齐八一中学曹小玲 椭圆的光学性质： 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。如图1： 证明：如图2，过点P做椭圆的切线l，焦点F1关于l的对称点F,则反射光线与FP在同一直线上. |PF1|+|PF2|= |PF|+|PF2|≥|F F2|(当且仅当F、P、F2共线时“=”成立) 即2a≥|F F2| 连F F2交椭圆于M,如图3，交l于P’, 则|MF1|+|MF2|=2a ∵|MF1|≤|MF|(M、P’重合时“=”成立，即P 为切点) ∴2a≤|MF|+|MF2|≤|F F2| ∴2a≤|F F2|≤2a ∴|F F2|=2a此时F、P、F2共线，即反射光线过F2。 由以上证明可知： 若椭圆存在切线l，且F1关于l的对称点F,则|F F2|=2a 应用： 1.已知：F1(-2,0)、F2（2，0）为焦点的椭圆与直线：x+3y+4=0有且仅有
一个交点，求椭圆的长轴长。 解：由条件，椭圆与直线：x+3y+4=0相切 设F 1(-2,0)关于l 的对称点F （m,n ）,切点为P, 则F 、P 、F 2共线 由对称条件，F 1F 中点在l 上，且F 1F ⊥l, ∴???????=+=+?+-32 042322m n n m ).3,3(33--???-=-=?F n m 即 从而，|FF 2|=|PF|+|PF 2|=|PF 1|+|PF 2|=2a 2a=72)3()23(22=-+--即长轴长27. 2.电影放映机上的聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分（如图所示），灯丝在焦点F 2处，而且灯丝与反射镜的顶点A 的距离|F 2A|=1.5cm,过焦点且垂直于轴的弦|BC|=5.4cm,为了使电影机片门获得最强的光线，灯泡应安在距片门多远的地方？ 解析：据椭圆镜面的光学性质，从椭圆的一个焦点 射出的光线经过椭圆反射后应聚焦在另一个焦点 上，故片门应放在另一个焦点F 1上，因此需要求出 焦距。 解：设焦距|F 1F 2|=2c ，如图所示，知B(c,2.7),由椭圆的定义|BF 1|+|BF 2|=2|OA| 得：)(122)5.1(27.27.2)(22cm c c c c =?+=+++ ∴灯泡应安在距片门12米处。