数值计算功能
向量及其运算
1、向量生成
（1)、直接输入
向量元素用“［］”括起来，用空格或逗号生成行向量，用分号生成列向量
a１=［１１1４1７1８]
ａ2＝[１1,14,１７,１8]
a2=[１1;1４;1７;1８] %列向量
用“’”可以进行向量转置
a1＝[11 14 １７１８]
a4=ａ1'??%a1行向量，a4列向量
也可以用组合方法：
A=[１ 2 3]；
B=［7 8 9];
Ｃ=［A ４onｅｓ(1,2)B］
(2)、等差元素向量生成
冒号生成法：Vec＝Vｅｃ0:ｎ：Ｖｅcn,其中Ｖec表示生成的向量，Veｃ０表示第一个元素，ｎ表示步长，Vecn表示最后一个元素
使用ｌiｎｅspａce函数：Vec＝ｌinesｐacｅ(Vｅc０,n,Vecn），其中Ｖｅc表示生成的向量，Vec0表示第一个元素,n表示生成向量元素个数(默认n＝100)，Vｅcn表示最后一个元素
veｃ1=10:5：５0
veｃ2=50：-5:1０
vｅc3＝linspace(１0,50,６)
２、向量的基本运算
（1）、向量与数的四则运算
向量中每个元素与数的加减乘除运算(除法运算时,向量只能作为被除数,数只能作为除数）vec1＝liｎspａcｅ(10,5０，６）
vec1+10０
vec2=lｏｇspace(0,10,6)??％对数等分向量
ｖｅｃ2／100
(2)、向量与向量之间的加减运算
向量中的每个元素与另一个向量中相对应的元素的加减运算
veｃ１=lｉnsｐace(10,５0,6)
ｖec2=lｏgspaｃe（０,２,6)
vec３＝vｅc1+vec2
(3）、点积、叉积和混合机
点积：dｏt函数，注意向量维数的一致性
x1=［11 22 33 44]
x2=[1 2 3 4]
a=dot(x1，x２)
sum(x1.*x2) %还可以采用sum函数计算向量的点积
叉积:cｒｏss函数，注意向量维数的一致性（由几何意义可知,向量维数只能为3)
x1=［11 2２33 44]
x2＝［1 2 3 ４]
ｘ3=crｏss(x１,x２)?％报错,维数只能为3
x1=［11２2 3３]
x2＝［1 ２3]
x3=cｒoｓs(ｘ1,x2)
混合积：结果为一个数,先求ｃrｏss，再求dot
ａ＝［1 ２３]
b=[２４3]
ｃ=[５ 2 1］
ｖ＝dot（a,croｓs(b,c）)
v=croｓｓ(a,dot（b,c)) ?%报错
矩阵及其运算
MＡTLAB的基本单位是矩阵,逗号或空格区分同一行不同元素，分号区分不同行
1、矩阵的生成
4种方法：在command wｉndｏw直接输入;通过语句和函数产生；M文件中建立;外部数据文件中导入
（1)、直接输入：把矩阵元素直接排列到方括号中,每行元素用逗号或空格相隔,行与行之间用分号相隔
martix=[1 1 １１;2,２，2,2;3,３,3,3；4 ４4 4]
冒号用法:
Ａ=［1 1 1;12３;1 3６]
B=A(1:2,:）
(2）文件导入：
＊.mat
*.txt
*.daｔ
load 文件名参数
直接导入:Filｅ—Ｉmpｏrt Ｄata
2、矩阵的基本数值运算
(１)、矩阵与是常数的四则运算(除法时,常数只能作为除数)
ｍatriｘ=[11 1 1;2，2,2,2;3,３，３,３;4 4 44]
ｍ1=１0０+matrix
m2=10０-matrｉx
m3=100*maｔriｘ
m４=matrix/２
（2）、矩阵之间的四则运算
加减法:矩阵各个元素之间的加减法，必须是同型矩阵
ｍａtrｉx＝[1 1 １1;2,2,2，2;3，3,3,3;4 4 4 4]
ｍ１=20*ｍaｔrix
ｍ2=ｍ1+ｍatｒix
ｍ3=[11 2２33；1 2３;4 5 6]
m4=ｍａtｒix-m1
m5=m３＋m1??%报错，非同型矩阵
乘法：用*，左矩阵的列数需等于右矩阵的行数
Ａ=［1 1 1 1;２２ 2 2;3 3 3 3;4４44]
B=[1 5 ９２;６357;2 5 ８９;4５6 3]
C=Ａ*Ｂ
D=[1 5 ９；6 ３5;2 5 8]
E＝A*D??％报错,4*4矩阵不能与3*3矩阵相乘
除法：
左除＼（ＡX=B则Ｘ=Ａ\Ｂ,相当于X=ｉｎv(A)＊Ｂ，但是左除稳定性好)
右除/(XA=B则X=B/A,相当于X=B*inv（A))
个人认为:左除相当于逆矩阵左乘，右除相当于逆矩阵右乘
%解方程组XA=B的解，本列中A=[2 1 -1；2 10;1 -１1] ；B＝［1 -１3;4 3 ２］A=［2 １－1; 2 １0;１-1 １]
B=［1 -1 3;4 3 2]
X＝B/A
矩阵可以使用比较运算符：结果矩阵的对应位置为0或1
数据变换：
ｆlｏoｒ
ceｉl
ｒoｕnd
fix
reｍ
[n,d］＝rat(A）:A表示为两个整数阵对应元素相除的形式A=ｎ./d
3、矩阵的特征参数运算
(1)、乘方与开方
乘方：Ａ＾p计算A的p次方
p>0：A的p次方
p<０:A逆矩阵的ａbｓ(p)次方
A=[１2 34；45６7；４5 6 7;８９１0１1]
Ｂ=A^10
开方:若有X*X=A，则有sqrtm(A)＝X
Ａ=ｍagic（５)
B=sｑrtm（A)
B^2?%验证正确性
（2)、指数与对数
指数：expm（X)=V*diag（ｅxｐ（diaｇ(D)））/V([V，D]＝ｅig（X））
对数：L=lｏgm(Ａ),与指数运算互逆
X=ranｄ(4）
Y=eｘpm(Ｘ)
Ａ=ｒandn(4）
Ｂ=lｏgm(A)
（３）、逆运算
iｎv函数，充要条件:矩阵的行列式不为０
A=[10 0 0;１2 0 ０;２1 3 0；1 ２１4]
Ｂ=inｖ(A)
广义逆矩阵（伪逆):
piｎv(A）
非奇异矩阵的pｉnv与ｉnv相同
(4)、行列式
ｄet函数
A=[1 0 ０0;1 2 ００；2 1 3 0；１ 2 １4］
B＝inv（A)
x=det(A)
y=ｄet(B）
i=ｘ＊y
（5）、特征值
E=eｉg(X)：生成由X的特征值组成的列向量
[V，D]=eiｇ(X):Ｖ是以X的特征向量为列向量的矩阵,D是由矩阵X的特征值构成的对角阵D＝eigs(X）：生成由X的特征值组成的列向量(ｅigｓ函数使用迭代法求解矩阵的特征值和特征向量,X必须是方阵，最好是大型稀疏矩阵)
[V,D]=eｉg(Ｘ)：V是以X的特征向量为列向量的矩阵,D是由矩阵X的特征值构成的对角阵X＝mａｇiｃ(3)
Ａ=[１０0;０03;0 9 ０]
E=eiｇ(Ｘ)
[ＶD]＝ｅig(X）
D＝eigｓ（A）
[ＶＤ]=ｅigｓ(A）
（６）、矩阵(向量）的范数
norm(X)：２-范数
noｒｍ（X,2):2－范数
ｎorm(X,1):1-范数
noｒm(X，inf)：无穷范数
norm(X,’frｏ’)：Fｒoｂeniｕs范数
ｎormest(X):只能计算2-范数,并且是2－范数的估计值,用于计算norｍ(X）比较费时的情况X=hilb(4)
norｍ(4)
ｎｏrｍ(X)
ｎorm(X，２)
noｒｍ(X,1)
norｍ(X,inf)
norm(X,'fｒo')
nｏrmesｔ(X)
（7)、矩阵的条件数运算
矩阵的条件数是判断矩阵“病态”成都的一个度量，矩阵A的条件数越大,表明A越病态,反之，表明Ａ越良态,Hｉｌberｔ矩阵就是有名的病态矩阵
conｄ(X):返回关于矩阵X的2-范数的条件数
cｏｎd(X，P)：关于矩阵Ｘ的P-范数的条件数(P为1、２、iｎf或’frｏ’）
ｒcoｎｄ(X)：计算矩阵条件数的倒数值，该值越接近0就越病态,越接近1就越良态condest(X):计算关于矩阵X的1-范数的条件数的估计值
M=ｍagｉc(3）;
H=hilｂ(4);
ｃ１=cond(Ｍ）
ｃ2=ｃoｎd(M,１)
c3=rcｏnｄ(Ｍ)
ｃ４=conｄeｓｔ(M)
ｈ１＝ｃond（H)
h２＝cond(H,inf)
h3=rcｏｎd(Ｈ)
h４=condesｔ(H)
由以上结果可以看出，魔术矩阵比较良态，Ｈｉlbｅrt矩阵是病态的
(8)、秩
ｒank函数
T=rand(6)
rａｎk(T) ?%6,满秩矩阵
T1＝[1 1 1；2 2 3］
r=raｎk(T1）??％ｒ=２，行满秩矩阵
（9）、迹
tracｅ函数，主对角线上所有元素的和,也是特征值之和
M=magic（5）
T＝ｔrａｃe(Ｍ）
T1=eig(M)
T2=ｓｕm(T１)
4、矩阵的分解运算
(1)、三角分解(lu）
非奇异矩阵A(n*n），如果其顺序主子式均不为0,则存在唯一的单位下三角L和上三角阵U,从而使得A=LＵ
[L，U]＝ｌｕ(Ｘ):产生一个上三角矩阵Ｕ和一个下三角矩阵L，使得X=ＬU，X可以不为方阵[L,Ｕ,P]=lu(X)：产生一个单位下三角矩阵Ｌ、一个上三角矩阵Ｕ和交换矩阵P,ＰＸ＝LU
Y＝lu(X):如果Ｘ是满矩阵，将产生一个lapaｃk’ｓ的dgetrf和zgｅｔrf的输出常式矩阵Ｙ；如果X是稀疏矩阵，产生的矩阵Y将包含严格的下三角矩阵L和上三角矩阵U,这两种情况下，都不会有交换矩阵P
Ｘ＝[6 ２ 1 -1;２４１0;1１４-１；-1 ０-1 3]
[L U]=lu(X)
[LＵＰ]=lu(X）
Ｙ=lu(X）
(２）、正交分解(qr)
对于矩阵Ａ（n*ｎ),如果Ａ非奇异,则存在正交矩阵Ｑ和上三角矩阵R，使得A满足关系式Ａ
=QR,并且当R的对角元都为正时,QR分解是唯一的
［Ｑ,R]＝qr（Ａ)：产生一个与A维数相同的上三角矩阵Ｒ和一个正交矩阵Q,使得满足A=QR ［Q,R,E]=qr(A）：产生一个交换矩阵E、一个上三角矩阵R和正交阵Q，这三者满足AE=QＲ[Q,R]=ｑr(A，０)：对矩阵A进行有选择的QR分解,当矩阵A为m*n且m>ｎ,那么只会产生具有前ｎ列的正交矩阵Q
R＝qr（A):只产生矩阵R，并且满足Ｒ=cｈol(A’＊Ａ)
A=[１７3 4；3１１2;4 1２8]
[ＱR]=qr(A)
[ＱＲE]=ｑr(A)
[Q R］＝qr(A,0)
R=qr(A）
[Q，Ｒ]=qrｄeleｔｅ(A，ｊ）:去除第ｊ列求QR分解
［Q,R]=ｑrdeleｔe(A,ｊ,x):在第j列插入ｘ后求QR分解
（3)、特征值分解(eｉg)
[Ｖ,Ｄ］=eig(X)：V是以矩阵X的特征向量作为列向量构成的矩阵,Ｄ是矩阵X的特征值构成的对角阵,满足XV=VＤ
[V,D]＝ｅiｇ(A,B）:对矩阵A、Ｂ做广义特征值分解，使得ＡV＝BVＤ
A=magiｃ(４）
［V D]=eig(A)
Z=A*V-V*D
B=[１７3 4 2；3 １１2 6;4 12 8７；1 2 ３４]
[V D］＝eｉg（A,Ｂ)
Ｚ=A＊V-B*V*D
（4）、Chｏlｌesky分解(ｃhol）
当矩阵A(n＊n)对称正定时,则存在唯一的对角元素为正的上三角矩阵Ｒ，使得A=R’*R,当限定R的对角元素为正的时候，该分解是唯一的
当矩阵Ａ为非正定阵时,会提示出错
Ａ=[4 -1 1;-1 4.２5 ２.7５;1 2.75 3．5]
R=ｃhoｌ（A)
R'*R?%=A
A＝[0 4 ０；3 ０1;0 1 3］
Ｒ=chｏl(A）?%报错，A为非正定阵
(5)奇异值分解（ｓｖd）
[Ｕ,S,V]=sｖｄ(X):与矩阵Ｘ维数相同的对角阵S、正交矩阵U和正交矩阵Ｖ,使得满足X=UＳV’[Ｕ，S，V]＝ｓvｄ(X，０):X为M*N矩阵，当M>Ｎ时，生成的矩阵Ｕ只有前N列元素被计算出来，并且S为Ｎ*N矩阵
X＝［１２３;４56;7 8 9]
[UＳV]=ｓvd（Ｘ)
Ｘ=［１2３;456;7 8 9;10 11 １2］
[ＵS V]＝ｓvｄ(X）
X=[1 2 3;4 5 6；7 ８9；10 １1 12ckl
[U S V]=svｄ(X,0）
Sｃhur分解(正交阵和scｈur阵）
[U,T]=ｓchｕr(A）：A=UTU’
scｈur阵是主对角线元素为特征值的三角阵
5、矩阵的一些特殊处理
siｚｅ(Ａ)：求矩阵A的行数、列数
diag(A)：求出矩阵A的对角元素
rｅｐｍat（A)：将矩阵A作为单位,赋值成ｍ*ｎ矩阵,其中每个元素都是A矩阵
cａｔ(k，A,Ｂ)：k＝１合并后形如[A;B］（A,B列数相等）；k＝1合并后形如[A，B](A,B行数相等）
(１）、矩阵的变维
resｈape(X,M，Ｎ):将矩阵X的所有元素分配到一个M＊N的新矩阵,当矩阵X的元素不是M*N时,返回错误
rｅshａpe(X,Ｍ,N，P,…):返回由矩阵X的元素组成的M*N*P*…多维矩阵，若果M*N*P*…与X 的元素数不同时,将返回错误
reｓhapｅ(X,[M，N,Ｐ,…］)：与上一条相同
A＝rａｎd(４，2)
rｅshａpe(Ａ，2,４)
reshape(Ａ,［2，２,2]）
用冒号变维:
A=[1 2 3 4;５6７８；9 10 １1 1２]；
Ｂ＝oｎes(2,６)；
Ｂ(:）=A(:)
(２）、矩阵的变向
rot90(Ａ）：A按逆时针旋转90度
rot90(Ａ,K)：A按逆时针旋转90＊K度
ｆｉｌpuｄ(X)：将X上下翻转
ｆliplｒ(X)：将X左右翻转
fｌipdim(X，DIM):将X的第ＤIM维翻转
Ｘ=[１4;２5;3 6]
rot90(Ｘ)
rｏt90（X,-1）
flipud(X)
fliplr(X)
ｆｌｉpdｉm(X，2)??%左右翻转
6、特殊矩阵的生成
（1）、零矩阵和全１矩阵的生成
A＝ｚｅｒos（M,Ｎ):生成M*N的零矩阵
A=zｅｒos(siｚe(Ｂ)）：生成与B同型的零矩阵
Ａ=zｅｒｏｓ(Ｎ)：生成N阶零矩阵仿真
全１矩阵的生成与零矩阵的生成类似，使用onｅs函数
A＝ｚｅｒoｓ(4,5)
B=［1 2 3 4 5;2 3 4 5 6;98 7 6 5;8 ７６54]
A=zｅros(size(B))
A=ｚｅrｏs(5)
C＝oneｓ(5,6)
C=ones(3）
(2)、对角矩阵的生成
A=dｉaｇ（V,K):V为某个向量，Ｋ为向量V偏离主对角线的列数，K=０表示V为主对角线，K>00表示V在主对角线以上,Ｋ＜０表示Ｖ在主对角线以下
A=diag（V)：相当于K=0
v=［1 9 ８1 6]
ｄｉａg（v,１)
ｄｉag(v)
（3）、随机矩阵的生成
rand（N)：生成N*N的随机矩阵，元素值在(0．０,１．０)之间
rand(Ｍ，N)
randn（N）:生成N*N的随机矩阵,元素之服从正态分布N(0，1）
randｎ(M,N）
rａnd(5)
randn(5)
(4)、范德蒙德矩阵的生成
A=vander(Ｖ):有A(I,j）=v（i)n－j
v＝[1 3 5７9]
A=vaｎdｅｒ(v)
(5)、魔术矩阵的生成
它是一个方阵,方阵的每一行，每一列以及每条主对角线的元素之和都相同(２阶方阵除外) ｍaｇiｃ(N）:生成N阶魔术矩阵,使得矩阵的每一行,每一列以及每条主对角线元素和相等,Ｎ>0（N=2除外)
magｉc(２)
magic(３）
magｉc（４)
(6)、Ｈｉｌbｅrt矩阵和反Hiｌｂert矩阵的生成
Hilbeｒt矩阵的第i行、第j列的元素值为1/(i＋j－１）,反Ｈｉlbert矩阵是Ｈｉlbｅrt矩阵的逆矩阵
hiｌb(N）:生成N阶的Hilbｅrｔ矩阵
invhilｂ(N)：生成N阶的反Ｈilｂeｒt矩阵
A=ｈｉｌb(5)
B=iｎvhilb（5)
Ｃ＝A*B
ranｄpeｍ(n):随机排列
ｈｅss(A）：hｅss矩阵
pascal(n)：Ｐaｓcal矩阵
haｎkel(c)：Ｈａｎｋel矩阵
wｉlkiｎsｏn（n):wｉlｋiｎsｏn特征值测试矩阵
blkdｉag(a,b,c,d)：产生以输入元素为对角线元素的矩阵
注:ｄiaｇ函数的输入参数只能有一个(可以为向量）
comｐaｎ（u）：友矩阵
hadaｍaｒd(n)：hadａmａrd矩阵
ｔｏｅplitz(c，r）：托布列兹阵
数组及其运算
１、数组寻址和排序
(1）、数组的寻址
A=randn(1,10）
A(4)??％访问A的第4个元素
Ａ(2:6)??%访问Ａ的第2到6个元素
A（６：-2:１）
Ａ（[1 ３７4]) %访问A中１、3、7和4号元素
A（４：end)??%end参数表示数组的结尾
（2)、数组的排序
sort（Ｘ):将数组X中的元素按升序排序
X是多维数组时，sort(X)命令将X中的各列元素按升序排序
X是复数时,ｓoｒt(X)命令将X中的各个元素的模abs(X)按升序排序
X是一个字符型单元数组,sort(X)命令将X中的各列元素按AＳCII码升序排序
Y＝ｓｏｒt(X,DIM,MODE）：DIM选择用于排列的维,MＯDE决定了排序的方式（’ascend’升序，’ｄesceｎd’降序),该命令生成的数组Y与X是同型的
X＝［3 7 5;0 4 2]
sｏrt(X,1) %纵向升序排序
sｏrt(Ｘ,２)?%横向升序排序
sort(2）
2、数组的基本数值运算
(1)、加减法（与矩阵加减法相同）
X=[1 4 7]
Y＝［2 5 8]
Z=Ｘ-Ｙ
Ｖ=X+Ｙ
（2)、数组的乘除法
乘法用“.*”：X、Y有相同维数，X．＊Y表示X和Y中单个元素之间的对应乘积
除法用“．/”：注意“./”和“．\”完全不同
X=［1052 96 1２56］
Y=[2 2６3 4 8]
Z＝［10529６１2 ５642]
Ｚ1=X.*Ｙ
Ｚ2＝X.*Z?%报错，维数问题
Ｚ3＝X./Y %Z3=5,2,32,3,7
Z4=Ｘ.＼Y??%Z4＝0．2,0.５,0．0３13,0.３333，0．１429
Ｚ5＝X.\Z??％报错,维数问题
（３)、数组的乘方
两个数组之间的乘方
X＝［1 4 7]
Y=[2 5８］
Z=X．＾Y
乘方运算时指数为标量
X=[3 ６9]
Z=Ｘ.^3
乘方运算时底数为标量
X=[4５6 7 8９]
Ｚ=3．^X
数组和矩阵也可以进行exp、lｏg、sqrｔ等运算，是对每个对应元素进行运算
3、数组的关系运算
小于（<),小于等于（<=）,大于（＞）,大于等于（>=),等于（==),不等于（~=）,结果为1,则关系式为真，结果为０,则关系式为假
％reｍ(X，n),求余函数,X为被除数,n为除数
M=magic(7)
Ｎ=(ｒeｍ(M,3）)
N=(rem(M,3)<＝1）
Ｎ＝(rem(M,3)==1)
N＝(rem(M，3)>=1)
４、数组的逻辑运算
与（&),或（|），非（～),其中与、或可以比较两个标量或者两个同阶数组（或矩阵）,非运算时针对数组(或矩阵中的每一个元素)，当逻辑为真则返回1，当逻辑为假则返回0
M=[1 1 0;0 1 ０；1 0 0]
Ｎ=[1 0 1;1 1 １；0 0 0]
Ｍ｜N
M&N
~N
caｔ：串接
fliｐｄim
fｌiｐlｒ
flipuｄ
krｏn：积数组
permuｔｅ：重组
repmaｔ
resｈape
rot90
稀疏型矩阵
1、稀疏矩阵的生成
(1）、speyｅ函数:生成单位稀疏矩阵
speyｅ（ｓiｚe(A))
sｐeye（Ｍ,N)：维数为M和N中较小的一个
sｐeyｅ（N）
Ａ=eye(10）
speye(sｉzｅ（A))