高数教案第十章重积分

高等数学教案

第十章重积分

§10-1 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

（一）引例

1. 曲顶柱体的体积

设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准

线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.)

z f x y

=。

当(,)

x y D

∈时,(,)

f x y在D上连续且(,)0

f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。

曲顶柱体的体积V可以这样来计算:

(1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ

?，

2

σ

?，，

n

σ

?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲

顶柱体

1

?Ω，

2

?Ω，，

n

?Ω。

（假设

i

σ

?所对应的小曲顶柱体为

i

?Ω,这里

i

σ

?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i

?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)

图10-1-1

从而

1

n

i

i

V

=

=?Ω

∑ (将Ω化整为零)

(2) 由于(,)

f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

?Ω??

i i i i i i i

f

≈?∈

()()

()

ξησξησ

(以不变之高代替变高, 求

i

?Ω的近似值)

(3) 整个曲顶柱体的体积近似值为

V f

i i i

i

n

≈

=

∑()

ξησ

?

1

(4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我

们引入区域直径的概念:

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。

所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。

设n个小区域直径中的最大者为λ, 则

V f

n

i i i

i

=

→=

∑

lim()

,

λ

ξησ

01

?

2.平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在()

,x y处的面密度为()

,x y

ρ,这里(),0

x y

ρ≥,而且(),x y

ρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。

图10-1-2

将D分成n个小区域1σ

?，

2

σ

?，，

n

σ

?，用

i

λ记

i

σ

?的直径,

i

σ

?既代表第i个小区域又代表它的面积。

当{}

1

max

i

i n

λλ

≤≤

=很小时, 由于(),x y

ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为

ρξησξησ

(,)(,)

i i i i i i

??

?∈

于是∑

=

?

≈

n

i

i

i

i

M

1

)

,

(σ

η

ξ

ρ

M

i i i

i

n

=

→=

∑

lim(,)

λ

ρξησ

01

?

两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。

（二）二重积分的定义

1．定义：设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域

???σσσ12,,, n ,

其中,i σ?既表示第i 个小区域, 也表示它的面积, i λ表示它的直径。

λλ=≤≤max{}1i n

i

?∈(,)ξησ

i i i ? 作乘积 (,)(1,2

,)i i i f i n ξησ?=

作和式

1

(,)n

i

i

i

i f ξησ

=?∑

若极限 ()0

1

lim

,n

i

i

i

i f λξησ

→=?∑ 存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,

记作

(),D

f x y d σ??。

即

(),D

f x y d σ=??()0

1

lim ,n

i i i

i f λξησ

→=?∑

其中: (),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素,

,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域,()1

,n

i i i i f ξησ=?∑称之为积分和式。

2． 几个事实

(1) 二重积分的存在定理

若(),f x y 在闭区域D 上连续, 则(),f x y 在D 上的二重积分存在。 声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 (2)

(),D

f x y d σ??中的面积元素d σ象征着积分和式中的i

σ

?。

图10-1-3

由于二重积分的定义中对区域D 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d σ记作dxdy (并称dxdy 为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为

(),D

f x y dxdy ??。

(3) 若(),0f x y ≥,二重积分表示以(),f x y 为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积。

二、二重积分的性质

二重积分与定积分有相类似的性质 1. 线性性

[(,)(,)](,)(,)]αβσασβσ

?+?=?+???????f x y g x y d f x y d g x y d D

D

D

其中: ,αβ是常数。 2. 对区域的可加性

若区域D 分为两个部分区域12,D D ,则

f x y d f x y d f x y d D

D D (,)(,)(,)σσσ

=+??????2

1

3. 若在D 上,(),1f x y ≡, σ为区域D 的面积,则

σσσ

==????1d d D

D

几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 4. 若在D 上,()(),,f x y x y ?≤,则有不等式

????≤D

D

d y x d y x f σ

?σ),(),(

特别地,由于()()(),,,f x y f x y f x y -≤≤，有

σ

σ

d y x f d y x f D

D

????≤),(),(

5. 估值不等式

设M 与m 分别是(),f x y 在闭区域D 上最大值和最小值,σ是M 的面积,则

???≤≤?D

M d y x f m σ

σσ),(

6. 二重积分的中值定理

设函数(),f x y 在闭区域D 上连续, σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点(),ξη,使得

???=

D

f d y x f σ

ηξσ),(),(

7 、对称性（偶倍奇零）

设函数(),f x y 在闭区域D 上连续, D 关于x 轴对称, D 位于 x 轴上方的部分为1D ,在D 上

(1)(,)(,),f x y f x y -=则(,)d D

f x y σ??1

2(,)d D f x y σ

=??(2)(,)(,),f x y f x y -=-则(,)d 0D

f x y σ=??

当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果. 例1比较下列各对二重积分的大小 （1）

2()D

x y d σ+??与3()D

x y d σ+??，其中2

2:(2)

(1)2D x y -+-≤。

（2）

ln()D

x y d σ+??与

2

[ln()]D

x y d σ+??，其中D 是三角形区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)。

例2 判断积分

22223

4

1d d x y x y x y +≤--??

的正负号.[负]

例3 估计下列积分之值

22d d I :10100cos cos D

x y

D x y x y

=+≤++??

[1.96 I 2]

三、二重积分的几何意义

1．若(,)0f x y >，(,)D

f x y d σ?? 表示曲顶柱体的体积

2．若(,)0f x y <，(,)D

f x y d σ?? 表示曲顶柱体的体积的负值

3．(,)D

f x y d σ?? 表示曲顶柱体的体积的代数和

例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.[

3

163

R ]

小结： 二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；

二重积分的性质。

作业：习题 10-1（P136）基础题：4(1) ;5(1)

高等数学教案

§10-2 二重积分的计算法

利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。

一、 利用直角坐标计算二重积分

１、x -型区域，y -型区域

我们用几何观点来讨论二重积分

(),D

f x y d σ??的计算问题。

讨论中,我们假定(),0f x y ≥； 假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤

≤≤≤??12()()表示,

其中()()

12

,

x x

??在[],a b上连续。

图10-2-1 图10-2-2

据二重积分的几何意义可知, ()

,

D

f x y dσ

??的值等于以D为底,以曲面(),

z f x y

=为顶的曲顶柱体的体积。

图10-2-3

在区间[],a b上任意取定一个点0x,作平行于yoz面的平面0

x x

=,这平面截曲顶柱体所

得截面是一个以区间()()

1020

,

x x

??

??

??为底,曲线()

,

z f x y

=为曲边的曲边梯形,其面积为

()()

()

()

20

10

00

,

x

x

A x f x y dy

?

?

=?

一般地,过区间[],a b上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

()()

()

()

2

1

,

x

x

A x f x y dy

?

?

=?

利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

V A x

a

dx f x y dy dx

b

x

x

a

b

==

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

()(,)

()

()

?

?

1

2

从而有

dx

dy

y

x

f

d

y

x

f

b

a

x

x

D

??

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

)

(2

)

(1

)

,

(

)

,

(

?

?

σ

(1)

上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,)

,

(y

x

f只看作y的函数,对)

,

(y

x

f计算从)

(

1

x

?到)

(

2

x

?

的定积分,然后把所得的结果( 它是x的函数 )再对x从a到b计算定积分。

这个先对y, 后对x的二次积分也常记作

f x y d dx f x y dy

D a

b

x

x

(,)(,)

()

()

σ

?

?

????

=

1

2

在上述讨论中,假定了()

,0

f x y≥，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的)

,

(y

x

f (在D上连续),公式(1)总是成立的。

类似地,如果积分区域D可以用下述不等式

c y

d y x y

≤≤≤≤

,()()

φφ

12

表示,且函数

φ1()y,φ2()y在[,]

c d上连续, ()

,

f x y在D上连续,则

f x y d f x y dx dy dy f x y dx

D y

y

c

d

c

d

y

y

(,)(,)(,)

()

()

()

()

σ

φ

φ

φ

φ

???

???

=

?

?

?

?

?

?

?

?

=

1

2

1

2

(2)

图10-2-4 图10-2-5

显然,(2)式是先对

x,后对y的二次积分。

2．二重积分化二次积分时应注意的问题

（1）. 积分区域的形状

前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:

对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。

如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集。

（2）. 积分限的确定

二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。

画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 )

图10-2-6

在[],a b 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点

))(,(1x x ?与))(,(2x x ?,这里的)(1x ?、)(2x ?就是将x ,看作常数而对y

积分时的下限和上限；又因x 是在区间[],a b 上任意取的,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b 。

例1. 计算d ,D

I x y σ=

??

其中D 是直线 y ＝1, x ＝2, 及y ＝x 所围的闭区域.

（可用X –型区域，Y –型区域分别求解）[98

] 例2. 计算

d ,D

x y σ??

其中D 是抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区域.

（先对 x 后对 y 积分）[458

] 例3. 计算

sin d d ,D x

x y x ??其中D 是直线,0,y x y ==所围成的闭区域.[2]

（先对 y 后对 x 积分）

例4. 交换下列积分顺序22222820

2

d (,)d (,)d x x I x f x y y x f x y y -=

+???

关键画图[

2280

2d (,)d y y

y f x y x -?

?

]

例5. 计算2ln(1)d d ,D

I x y y x y =

++??

其中D 由24,y x =-3,1y x x =-=所围成.

关键：画图，切割积分区域，利用对称性[0]

3．求体积

思考 例6. 求由曲面z x y =+22

2及z x y =--6222

所围成的立体的体积。

解

1. 作出该立体的简图, 并确定它在xoy 面上的投影区域

图10-2-7

消去变量z 得一垂直于xoy 面的柱面2

2

2x y +=,立体镶嵌在其中,立体在xoy 面的投影区域就是该柱面在xoy 面上所围成的区域

D x y :222+≤

2. 列出体积计算的表达式

V x y x y d D

=---+??[()()]6222222σ

=--??()63323x y d D

σ

3. 配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算

图10-2-8

V d x d y d D

D

D

=--??????63322σσσ

而

2D

d σπ=??

由,x y 的对称性有

x d y d D

D

22σσ????=

x d x dx

dy x x dx

D

x x 2

2

2

2

2222

22

2

2

22σ?????==------

=-=??42442

2

2

220

2

x

x dx sin cos θθπ

=?

--+?162121222()!!()!!()!!π

=????1611422

π

=π

所求立体的体积为

V =-=1266πππ

4．更换积分次序

练习1 改变积分 1

10

(,)x

dx f x y dy -?

?

的次序.[110

(,)y

dy f x y dx -??

]

练习2

改变积分

1

220

1

(,)(,)x

dx f x y dy dx f x y dy -+???

的次序.

[

1

20

1(,)y

dy f x y dx -?

?

]

练习3

改变积分

20

(,)(0)a

dx f x y dy a >?

的次序.

[

2

22220

22(,)(,)(,).a

a a

a

a a

y y a a

a

a

dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ++?

???

??]

练习4 求

2

()D

x y dxdy +??

，其中D 是由抛物线2y x =和2x y =所围平面闭区域. [33

140

] 练习5 求

2

2y D

x e dxdy -??，其中D 是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形. [12(1)6e -] 练习6 计算积分

1

2

114

2y

x I dy e dx =

?

?121

y x

y dy e dx +?

. [38e

小结：二重积分计算公式

d θ

直角坐标系下 ????

=D

b

a

x x dy y x f dx dxdy y x f )

()

(21),(),(φφ X —型

??

??=d

c

y y D

dx y x f dy dxdy y x f )

()

(21),(),(?? Y —型

作业 习题10-2（P154）

基础题：2 (1),(4); 3; 4 (3);7; 10

提高题：6 (4);

高 等 数 学 教 案

§10-2二重积分的计算法

二、利用极坐标计算二重积分

1. 变换公式

按照二重积分的定义有

f x y d f

D

i i i

i

n

(,)lim(,)

σξησ

λ

??∑

=

→=

01

?

图10-2-9

现研究这一和式极限在极坐标中的形式。

用以极点0为中心的一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族射线θ=常数,将D 剖分成个小闭区域。

除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域

i

σ

?的面积可如下计算

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

r

r

r

r

r

rθ

θ

θ

σ?

?

?

+

=

?

-

?

?

+

=

?)

2(

2

1

2

1

)

(

2

12

2

i

i

i

i

i

i

i

i r

r

r

r

r

r

θ

θ?

?

=

?

?

?

+

+

=

2

)

(

其中,

i

r表示相邻两圆弧半径的平均值。

在小区域

i

σ

?上取点()

,

i i

rθ,设该点直角坐标为()

,

i i

ξη,据直角坐标与极坐标的关系有

ξθηθ

i i i i i i

r r

==

cos,sin

于是

lim(,)lim(cos,sin)

λλ

ξησθθθ→=→=

∑∑

=?

0101

f f r r r r

i i i

i

n

i

n

i i i i i i i

???

即

f x y d f r r rdrd

D D

(,)(cos,sin)

σθθθ

????

=

由于().

D

f x y dσ

??也常记作().

D

f x y dxdy

??, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式

f x y dxdy f r r rdrd

D D

(,)(cos,sin)

????

=θθθ

(1) (1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,rdrdθ就是极坐标中的面积元素。

(1)式的记忆方法:

x r

→cosθ

y r

→sinθ

dxdy rdrd

→θ

f x y dxdy

D

(,)

??f r r rdrd

D

(cos,sin)

θθθ

??

2. 极坐标下的二重积分计算法

极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。

(1)积分区域D可表示成下述形式

αθβ?θ?θ

≤≤≤≤

12

()()

r

其中函数()

1

?θ,()

2

?θ在[],αβ上连续。

图10-2-10

则

f r r rdrd d f r r rdr

D

(cos,sin)(cos,sin)

()

()

θθθθθθ

α

β

?θ

?θ

????

=

1

2

(2) 积分区域D 为下述形式

图10-2-11

显然,这只是(1)的特殊形式()10?θ≡ ( 即极点在积分区域的边界上 )。故

f r r rdrd d f r r rdr

D

(cos ,sin )(cos ,sin )()

θθθθθθα

β?θ????=0

(3) 积分区域D 为下述形式

图10-2-12

显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域D 的内部 ),D 可剖分成1D 与

2D ,而

D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπ?θπθπ?θ

故 D r :,()020≤≤≤≤θ

π?θ

则 f r r rdrd d f r r rdr

D

(cos ,sin )(cos ,sin )()

θθθθθθπ

?θ????=0

20

由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D 用极坐标变量,r θ表示成如下形式

αθβ?θ?θ≤≤≤≤,()()12r

3. 使用极坐标变换计算二重积分的原则

(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

高数重积分测试题

高数测试题七（重积分部分）答案 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1、交换积分0 (,)(a y dy f x y dx a ? ?为常数）的次序后得（ B ） A 00 (,)y a dx f x y dy ?? B 0 (,)a a x dx f x y dy ?? C (,)a x dx f x y dy ? ? C 0 (,)a y dx f x y dy ?? 2、设2222 222()()x y z t F t f x y z dv ++≤= ++??? ，其中 f 为连续函数，(0)f '存 在，而(0)0,(0)1f f '==，则5 0() lim t F t t →=（ B ） A π B 45π C 35π D 2 5 π 3、球面2 2 2 2 4x y z a ++=与柱面2 2 2x y ax +=所围成立体体积（含在柱内部分）为（ C ） A 2cos 2 04a d π θ θ? ? B 2cos 20 8a d π θ θ?? C 2cos 20 4 a d πθ θ? ? D 2cos 20 2 a d π θ πθ-?? 4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )D xy x y d σ+??=（ A ） A 1 2 cos sin D x yd σ?? B 1 2D xyd σ?? C 1 (cos sin )D xy x y d σ+?? D 0 5、设22222222 22sin()1 arctan 0 (,)0 2 x y x y x y x y f x y x y π?++≠??++=? ?+=?? ，

高等数学定积分应用

第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用

一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+

高等数学二重积分总结

第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。

高数重积分测试题

重积分测试题 一、填空题 1. 222x y R σ+≤=?? ； 2. 1(1)x y x y d σ+≤++=?? ； 3. 将二重积分 (,)D f x y d σ??化为二次积分 （两种次序都写出来） ，其中D 为,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域； 4. 改变积分次序 2120(,)y y dy f x y dx -=?? ； 5. 将二重积分(,)D f x y d σ ??转化为极坐标系下的两次单积分 ，其中D 为0,y y == 6. 将三重积分(,,)f x y z d v Ω???化 为三次积分 ，其中Ω为22z x y =+， 1,0,0,0x y y x z +====所围成的封闭区域； 7. 将三重积分(,,)f x y z dv Ω???化为柱面坐标系下的三次积分 ，其中Ω为22z x y =+ ， z =所围成的封闭区域. 二、计算题 1. 计算二重积分 D xydxdy ??，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域； 2. 计算二重积分D x ydxdy -??，其中D ：221,0,0x y x y +≤≥≥； 3. 计算二次积分 1 10x y dx dy ?； 4. 计算三重积分 3z dv Ω???，其中Ω ：2221,x y z z ++≤≥ 5. 计算三重积分 Ω ???，其中Ω 是由柱面y =及平面0, (0),0z z a a y ==>=所围成的区域. 三、应用题 求旋转抛物面22z x y =+ 与上半球面z = 所围成的立体体积及表面积.

一、填空题 1．32 3R π； 2. 2 ； 3.1000(,)(,)x f x y dy f x y dy +? 及0(,)y f x y dx ； 4. 122001 0(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+???； 5. 2cos 200(cos ,sin )d f d πθ θρθρθρρ??； 6. 2211000(,,)x x y dx dy f x y z dz -+???； 7. 22100(cos ,sin ,)d d f z dz π ρθρρρθρθ?? 二、计算题 1. 110ln 32- ； 2. 21)3 ； 3. 12 ； 4. 116 π ； 5. 289a 三、应用题 V = ； 121)1)6A A A π=+=+

高数下册之重积分

第九章 重积分 以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a ，b)上可积，到积分? b a dx x f )(其中)(x f 为 被积函数，（a ，b ）为积分区间。我们若把 )(x f 推广到多元函数。(a ，b)推广到区域。曲线， 曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。〖补充〗：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！ 第一节 二重积分的概念和性质 一、二重积分的概念 先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体积。（二）求平方薄片的质量。 （一） 求曲顶柱体体体积： 设z=f(x.，y)是定义在有界区域性D 上的非负连续函数。我们称曲面z=f(x ，y)，xoy 平面上的区域D 和准线为D 的边界，母线平行于z 轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V 。 首先用一组曲线T 把区域D 划分为n 个小区域i σ?（i=1，2，…,n ）这样就把原柱体分为n 个小曲顶柱体V i 。又记i σ?为T i 的面积，λi 为i σ?的直径，对于i σ?来说，由于f(x ，y)在i σ?连续。故当λi 很小时，f(x ，y)在i σ?上各点的函数值近似相等，从而可视i σ?上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在i σ?中任放一点以 ),(i i f ηξ为高的小平顶柱体的体积为 i i i f σηξ?),(。并用它来代替这个小曲顶柱体的体积V i 把所有这些小平顶柱体的体积加起 来便得曲顶柱体的体积的近似值： ∑∑==??≈∨=N i N i i i i i f V 1 1 )(σηξ 最后，当分割T 的细度 O Max T i →=λ时有： ∑=→??N i i i i V f 1 )(σ ηξ

高等数学 第七章 定积分的应用

第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

高数教案第十章重积分

高等数学教案

第十章重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准

线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.) z f x y =。 当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。 （假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我

们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i = →= ∑ lim() , λ ξησ 01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在() ,x y处的面密度为() ,x y ρ,这里(),0 x y ρ≥,而且(),x y ρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。 图10-1-2 将D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，用 i λ记 i σ ?的直径, i σ ?既代表第i个小区域又代表它的面积。 当{} 1 max i i n λλ ≤≤ =很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为 ρξησξησ (,)(,) i i i i i i ?? ?∈ 于是∑ = ? ≈ n i i i i M 1 ) , (σ η ξ ρ M i i i i n = →= ∑ lim(,) λ ρξησ 01 ? 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 （二）二重积分的定义

高等数学定积分的应用

授课单元12教案

教学内容 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的f (?)?x 的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最近似值，即表成乘积 iinb ??????x ?ff ?xdx ?lim （即整体量） 后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分． iia 0??1i ? 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实 ??b ,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时，为了方便，一般把计算在区间 ： 两步： x [a ,b ] ，求出积分区间确定积分变量1） （[x ,x ?dx ]]a ,b [ ，并在该小区间上找出所求量Q ） 在区间上，任取一小区间的微分元（2素 dQf (x )dx ＝b Q 的定积分表达式（3） 写出所求量?dxxQ ?)f (a 用以上两步来解决实际问题的方 法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 b ? f (?x )dxA oxba ,x ?x ?)(xy ?f 1、 ．由 轴所围成图形面积公式 及，a

d????(y?)dyA y dy,x??(y),y?c1及、轴所围成图形面积公式c3xy?2x??1,x?例求曲线轴所 ???xxdxs???dx解 围成的图形面积及x与直线172033 40?1??????????xxxy?yyx?yy?yx?a,x?b(a?b)所围2、和由两条连续曲线与直线 ?dxyy?xx?A）的面积成平面图形（如图112a 2211b??????

高等数学重积分总结

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第九章二重积分【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义

为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域 i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对 应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域

高数 重积分 (1)

高数资料 第十章重积分 重积分 积分类型计算方法典型例题 二重积分 ()σd , ??= D y x f I 平面薄片的质 量 质量=面密度 ?面积 （1）利用直角坐标系 X—型???? = D b a x x dy y x f dx dxdy y x f)( ) ( 2 1 ) , ( ) , (φ φ Y—型?? ??=d c y y D dx y x f dy dxdy y x f)( ) ( 2 1 ) , ( ) , (? ? P141—例1、例3 （2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段)； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22 () x yα +, α为实数) 2 1 () () (cos,sin) (cos,sin) D f d d d f d β?θ α?θ ρθρθρρθ θρθρθρρ = ?? ?? 02 θπ ≤≤0θπ ≤≤2 πθπ ≤≤ P147—例5 （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论） P141—例2 应用该性质更方便

110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy f x y x f x y f x y D D ???-=-?? =???-=??? ??对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分 计算步骤及注意事项 1． 画出积分区域 2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性 三重积分 ???Ω = dv z y x f I ),,( 空间立体物的质量 (1) 利用直角坐标? ??截面法投影法 投影 ????? ?=Ω b a y x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f ) ,() ,()() (2121d ),,(d d d ),,( P159—例1 P160—例2 （2） 利用柱面坐标 cos sin x r y r z z θ θ=?? =??=? 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围: ○ 1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○ 2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2 2 2 2 ()()f x y f x z ++ 21() () (,,)d d d (cos ,sin ,)d b r a r f x y z V z f z β θα θθρθρθρρΩ =??? ??? P161—例3 （3）利用球面坐标 cos sin cos sin sin sin cos x r y r z r ρθ?θρθ?θ?==?? ==??=? dv r drd d =2sin ??θ 适用范围: ○ 1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. P165—10-(1)

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高等数学教案 §9 重积分 第九章 重积分 教学目的： 1. 理解二重积分、 三重积分的概念， 了解重积分的性质， 知道二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。 教学重点： 1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标） ； 2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点： 1、 利用极坐标计算二重积分； 2、 利用球坐标计算三重积分； 3、 物理应用中的引力问题。 §9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 设有一立体 它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母 线平行于 z 轴的柱面 它的顶是曲面 z f(x y) 这里 f(x y) 0 且在 D 上连续 这种立体叫做 曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 1 2 n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于 z 轴的柱面 这些柱面把原来的曲 顶柱体分为 n 个细曲顶柱体 在每个 i 中任取一点 ( i i ) 以 f ( ii ) 为 高而底为 i 的平顶柱体的体积为 f ( i i ) i (i 1 2n ) 这个平顶柱体体积之和 n V f ( i , i ) i i 1

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即 n V lim f ( i , i )i i 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(x y)处的面密度为(x y)这里(x y) 0 且在 D 上连续现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 12n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 (i i)i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 n M( i , i )i i 1 将分割加细取极限得到平面薄片的质量 n M lim( i , i )i i 1 其中是个小区域的直径中的最大值 定义设f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 12n 其中i 表示第i 个小区域也表示它的面积在每个i 上任取一点(i i )作和n f ( i , i )i i 1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数 f(x y)在闭区域 D 上的二重积分记作 f (x, y)d即 D

高等数学典型例题与应用实例(重积分B部分)

例 利用二重积分的性质，估计积分 2222(2)d D x y x y σ+-?? 的值，其中D 为半圆形区域22 4,0x y y +≤≥． 解 我们先求函数2 2 2 2 (,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值． 由22 220,420,x y f x xy f y x y '?=-=? ?'=-=??解得D 内驻点为(2,1)±，(2,1)2f ±=． 在边界1:0L y =(22)x -≤≤上，2 ()(,0)g x f x x ==在1L 上(,)f x y 的最大值为4，最小值为0． 在边界22 2:4L x y +=(0)y ≥上， 242()(,4)58(22)h x f x x x x x =-=-+-≤≤ 由3 ()4100h x x x '=-=得驻点123550,,22 x x x ==- =，(0)(0,2)8h f ==． 5537 ()(,)2224 h f ± =±=． 综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0．又D 的面积为2π，所以由二重积分的估值性质知 222202(2)d 82D x y x y πσπ?≤+-≤???， 即 22220(2)d 16D x y x y σπ≤+-≤??． 例 设D 为xoy 平面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 为D 在第一象限的部分，则 (cos sin )( )D xy x y dxdy +=??． （A ）1 2 cos sin D x y dxdy ?? （B ）1 2D xy dxdy ?? （C ）1 4 (cos sin )D xy x y dxdy +?? （D ）0 解 区域D 如图所示，并记0D 为以(1,1),(1,1),(0,0)-为顶点的三角

高数(同济第六版)下册重积分习题精选

第十章 重积分一、计算二次积分dy xy dx x x 21 02∫∫解dx dx x x dy xy dx x x x x x )()(33 1063310210742?∫=?∫=∫∫40 1102415][85=?=x x 二、求由1=xy 及25=+y x 所围成区域的面积。解所求面积dy dx x x ∫∫?251212三、写出二重积分dxdy y x f D ),(∫∫的直角坐标计算公式，积分区域D 如下： 1.D 是以)0,0(O ，)1,2(A ，)1,2(?B 为顶点的三角形。解dy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f x x D ),(),(),(1201022 121∫∫+∫∫=??∫∫dx y x f dy y y ),(2210∫∫=?2.D 是曲线2x y =，1=y 所包围的区域。 dx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f y y x D ),(),(),(101112∫∫=∫∫=??∫∫3.其中D 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,1(B 为顶点的三角形。解dx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f y x D ),(),(),(110010∫∫=∫∫=∫∫四、写出二重积分dxdy y x f D ),(∫∫的极坐标计算公式，积分区域D 如下：1.{}222),(a y x y x ≤+)0(>a 解dxdy y x f D ),(∫∫=ρ ρθρθρθπd f d a )sin ,cos (020∫∫2.{} x y x y x 2),(22≤+解dxdy y x f D ),(∫∫=ρρθρθρθθπ πd f d )sin ,cos (cos 2022∫∫?3.{} 2222),(b y x a y x ≤+≤解dxdy y x f D ),(∫∫=ρ ρθρθρθπd f d b a )sin ,cos (20∫∫4.{} 10,10),(≤≤?≤≤x x y y x 解dxdy y x f D ),(∫∫=ρ ρθρθρθθθπd f d )sin ,cos (sin cos 1 200∫∫+0.00.20.40.60.8 1.0 0.00.5 1.0x y

高等数学重积分总结

第九章 二重积分 【本章逻辑框架】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点 (,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各 小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。

(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲 顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分 (,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上 的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ???，同时用i σ?表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ?和()j i j σ?≠除边界外无公共点。 i σ?既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和 对任意点(,)i i i ξησ∈? ,作和式1 (,).n i i i i f ξησ=?∑ 取极限 若i λ为i σ?的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限0 1 lim (,)n i i i i f λξησ→=?∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为

高等数学定积分应用习题答案

第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 22 =+b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==

第十章____重积分(高等数学教案)

重积分 【教学目标与要求】 1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。【教学重点】 1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）； 2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3.二、三重积分的几何应用及物理应用。 【教学难点】 1.利用极坐标计算二重积分； 2.利用球坐标计算三重积分； 3.物理应用中的引力问题。 【教学课时分配】 (10学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§10. 1 二重积分的概念与性质 【回顾】定积分 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积. (1)分割：用分点a =x 0

高等数学二重积分总结.讲解学习

高等数学二重积分总 结.

第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的

质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12, , , n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个 小区域i σ?上的点(, i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”， 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(, f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1 若在D 上(, f x y ≥0，则(, d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (, f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(, f x y ＝1时，(, d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2 若在D 上(, f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(, d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3若(, f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(, d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积.