2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（九）
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{0，1，2}，B ＝
{}1x x ≤，则A
B 的子集个数为
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 2．已知复数z ＝1＋2i ，则
2
z ＝
A 3
B ．3
C 5
D ．5 3．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若25a =，1316a a =，则12a ＝
A ．12
B ．35
C ．75
D ．90 4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？”翻译过来就是：现有牛、马、羊吃了人家的田里的青苗，青苗主人要求三畜的主人一共赔偿粟米5斗．羊主人说：“我的羊所吃数是马的一半．”马主人说：“我的马所吃数是牛的一半．”现在按照三畜所吃青苗数的比例进行分配赔偿，问牛、马、羊的主
人赔偿粟米斗数分别为 A ．207，107，57 B ．57，107，207 C ．207，57，107 D ．107，57，20
7
5．已知
()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()f x g x x x a -=++，
则(2)g ＝
A ．﹣4
B ．4
C ．﹣8
D ．8
6．某学校鼓励学生参加社区服务，学生甲2019年每月参加社区服务的时长（单位：小时）分别为1x ，2x ，…，12x ，其均值和方差分别为x 和2
s ，若2020年甲每月参加社区服务的时长增加1小时，则2020年甲参加社区服务时长的均值和方差分别为 A ．x ，2
s B ．1x +，2
1s + C ．x ，2
1s + D ．1x +，2
s 7．61()ax x
-的展开式中的常数项为160，则a 的值为
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣4
D ．4
8．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝CC 1，BC ＝1，点M 在正方形CDD 1C 1内，C 1M ⊥平面A 1CM ，则三棱锥M —A 1CC 1的外接球表面积为 A ．
11
2
π B ．7π C ．11π D ．14π 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．以下四个命题中，真命题的是
A ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题
B ．“x ＞2”是“lg(3)0x -<”的必要不充分条件
C ．若命题p ：x ?∈R ，2
10x
x ++<，则?p ：x ?∈R ，210x x ++≥
D ．若a ＜b ＜0，则a 2＜ab ＜b 2
10．已知P 是双曲线C ：
22
1169
x y -=右支上一点，F 1，F 2分别是C 的左，右焦点，O 为坐标原点，19
OP OF 4
+=，则 A ．C 的离心率为
54 B ．C 的渐近线方程为43
y x =± C ．点P 到C 的左焦点距离是234 D ．△PF 1F 2的面积为45
4
11．已知函数()sin cos (sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则 A ．
()f x 在(0，4
π
)上单调递增
B ．()f x 是周期函数，且周期为2π
C ．
()f x 有对称轴
D ．函数()()1g x f x =
+在(π-，π)上有且仅有一个零点
12．已知直线2y x =-+分别与函数1e 2
x
y =
和ln(2)y x =的图像交于点A(1x ，1y )，
B(2x ，2y )，则
A ．1
2e e 2e x
x +> B
．124
x x >
C ．
1
221
ln ln 0x x x x +> D ．1
2e ln(2)2x x +> 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，
12e -与12e e λ+的夹角为90°，则实数λ
的值是 ． 14．函数
()sin f x x x =在点(2
π
，()2
f π
)处的切线方程为 ．
15．广东省2021年的新高考按照“3＋1＋2”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数
学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目．则甲，乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法数为 ．
16．已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F
l 交C 于A ，
B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ，若点F
到C 的准线的距离为3，则sin ∠QMN 的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
在①a cosB ＝b sinA ，②b 2
ac ＝a 2＋c 2，③sinB ＋cosB
补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， ，△ABC 的面积为2，a ＝2，求b ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足223n S n n =-，数列{}3log n b 是公差为﹣1的等差数列，11b =．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设2121n n n c a b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
19．（本小题满分12分）
某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况，在开学初进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时对相应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5分，“要加油”记0分．现随机抽取年级120名学生的成绩，统计结果如下所示：
（1）若测试分数90分及以上认定为优良．分数段在[120，150]，[90，120)，[0，90)内女生的人数分别为4人，40人，20人，完成下面的2×2列联表，并判断：是否有95％以
（2）用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取10人进行座谈，现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和记为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)．
附表及公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥E—ABCD 中，底面ABCD 为菱形，BE ⊥平面ABCD ，G 为AC 与BD 的交点．
（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（2）若∠BAD ＝60°，AE ⊥EC ，求直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221x y a b
+=(a ＞b ＞0)经过点P(12)，且两焦点与短轴的两个端点的
连线构成一正方形．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于M ，N 两点．是否存在一定点E(t ，0)，使得x 轴上的任意一点（异于点E ，F ）到直线EM ，EN 的距离相等？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分） 已知函数2
1()()ln 12
f x x a x x ax a =+--+-． （1）若a ＝1，求函数
()f x 的单调区间；
（2）若2
1()ln 22
f x a x x x >--在(1，+∞)上恒成立，求整数a 的最大值．