第一讲集合的概念及运算
考点解读
【基础性考点知识突破】
一、集合的含义及表示方法
1．元素与集合的含义
一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．2．集合中元素的性质
集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性．
(1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征．
(2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素．
(3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序．
3．集合的表示
集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和Venn图法．一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用Venn图法．正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征．
4．元素与集合的关系
“属于”或“不属于”，记为“”或“?”．
二、集合与集合之间的关系
1．集合与集合之间的关系
(1)包含关系
子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A，显然A?A，??A.
(2)相等关系
如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B.
对于两个集合A与B，如果A?B，同时B?A，那么集合A与集合B相等，记作A=B．
(3)真子集关系
对于两个集合A 与B ，若A ?B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .显然有下面的结论：
①对于集合A 、B 、C ，如果A ?B ，B ?C ，则A ?C ；
②对于集合A 、B 、C ，如果A
B ，B
C ，则A C ．
(4)不包含关系 用表示
2．空集
不含任何元素的集合叫做空集，记作?．
空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集．
3．有限集的子集、真子集的个数
关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集的
个数有2n 个，即02C C C 2n n n n n ++???+=（个），非空子集的个数有（21n -）个；真子集的个数有（21n -）个；非空真子集的个数有（22n
-）个，
三、集合的交、并、补集的运算
1．交集
(1)定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }.
(2)性质：A ∩A =A ；A ∩B =B ∩A (交换律)； A ∩?=?；(A ∩B )?A ；(A ∩B )?B ；
若A ?B ，则A ∩B =A ．
2．并集
(1)定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }.
(2)性质：A ∪A =A ；A ∪B =B ∪A (交换律)；
A ∪?=A ；A ?(A ∪
B )；B ?(A ∪B )；
若A ?B ，则A ∪B =B ．
3．补集
(1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给
定的集合就称为全集，记作U ．设A ?U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在集合U 中的补集，记作U A e，即U A e={x |x ∈U 且x ?A }（如图）．
(2)性质：A ∪(U A e)=U ；A ∩(U A e)=?，U e(U A e)=A ，U ?e=U , U U e=?．
4．集合运算中常用的结论
(1)U e(A ∩B )=(U A e)∪(U B e)，U e(A ∪B )=(U A e)∩(U B e)
(2)A ?B ?A ∩B =A ；A ?B ?A ∪B =B .
【培优性方法技巧综合】
1．在处理有关集合的问题时首先确定集合中的元素是点集还是数集，然后明确集合中的元素所满足的条件，理解并正确掌握集合的相关术语及符号表示是解决集合问题的关键．
2．判断两集合间的关系
①化简集合，从表达式中寻求两集合间的关系；
②用列举法表示两集合，从元素中寻求关系．
3．根据两集合的关系求参数的方法
①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到．
【提示】①题目中若有条件B ?A ，则应分B =?和B ≠?两种情况进行讨论． ②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．
③两集合之间的关系与运算可以相互转化，即A B A
B B A B B ??=?=． 4．应当考虑空集的几种情况：在?A B ，A
B ，=A B A ，=A B B ，都应当
考虑到=?A 时的情况．
5．要注意表示集合的语言、文字、符号、图形的沟通与转化，对于某些集合运算的问题，文字描述较为抽象，可借助于Venn 图及坐标轴，利用几何图形的直观性，以“形”助
“数”．同时加强与其他章节的渗透，在复习中要控制难度．
考点分类精讲
考点1 集合的概念
1．集合概念的准确理解．
2．集合的表示方法的准确把握与灵活运用．
3．集合中元素的性质的灵活运用．
【例1】集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
点拨：解决集合的有关问题，首先要明确集合元素的构成形式；其次要注意集合元素性质（即元素的三性：确定性、互异性、无序性）的灵活运用，它既是解决有些题的切入点，也是问题解决之前的检验点．
【例2】若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则a ＝( )
A ．92
B ．98
C ．0
D ．0或98 点拨：由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想．
考点2 集合之间的关系
1．集合间的相等、子集、真子集关系的确定．
2．已知集合的包含关系，确定有关参数的取值范围．
3．求有关集合的子集的个数．
【例3】已知集合1{|,}6A x x a a Z ==+∈，1{|,}23b B x x b Z ==-∈，{|2
c C x x == 1,}6
c Z +∈，则A ，B ，C 之间的关系 A ．A =B C B ．A B =C C ．A B C D ．B C =A
点拨：辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，可将元素列举出来直观分析，也可从描述法中认识集合中元素具备的特性，定性分析，以上两种思想是解决此类问题的通法，应根据问题的具体情况合理选择．
【例4】集合{,,,,}S a b c d e =，包含{,}a b 的S 的子集共有( ).
A ．2个
B ．3个
C ．5个
D ．8个
点拨：解决集合的子集的个数的问题，应注意利用排列组合知识，特别是两个基本计数
原理来分析解决问题．
考点3 集合的运算
1．进行具体集合的交、并、补运算．
2．利用集合的运算性质解决问题．
3．与集合运算有关的开放性问题．
【例5】已知集合{||2|}A x x a =-≤，2{|540}B x x x =-+≥．若A B =?，求实数
a 的取值范围．
点拨：解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
【例6】设全集I R =，已知集合2{|(3)0}M x x =+≤，2{|60}N x x x =+-=．
(1)求()I M N e；
(2)记集合A ＝()
I M N e，已知集合{|15,}B x a x a a R =--∈≤≤，若 B A A =，求实数a 的取值范围．
点拨：B
A A =时，
B =?的情况． 考点4 集合的综合运用
1．集合运算的逆向问题．
2．集合与函数、方程、不等式的综合问题．
3．集合的开放问题与实际应用问题．
【例7】已知{|(1,0)(0,1),}P m m R ==+∈a a ，{|(1,1)(1,1),}Q n n R ==+-∈b b 是两
个向量集合，则P Q =I
A ．{(1,1)}
B ．{(1,1)}-
C ．{(1,0)}
D ．{(0,1)}
点拨：解答集合的运算类试题必须彻底弄清楚参与运算的集合的意义，即参与运算的集合是由哪些元素组成的，不然就会得出错误的答案，本题这样设计还不至于有多大问题，如果本题中集合Q 改为{|(1,1)(1,1),}
Q m m R ==+-∈b b ，就可能出现得到的方程组是111m m m =-??=+?
，而这个方程组无解，就可能认为P Q =?，这就是没有理解集合的意义所致，实际上本题中的集合P ，Q 都可以看做坐标平面上的点集，集合P 是直线1x =上的点
的集合，集合Q 是直线2x y +=上的点的集合，所求的交集就是这两条直线的交点坐标．
【例8】某试验班有21个学生参加数学竞赛，17个学生参加物理竞赛，10个学生参加化学
竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，问需要预订多少张火车票？
点拨：解决有些集合问题，若充分利用Venn 图，可以使有些问题得到快速地解决．
【例9】定义集合运算:{}
,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *的所有元素之和为
A ．0
B ．2
C ．3
D ．6
点拨：本题是属于创新型的概念理解题，准确地理解A B *是解决本题的关键所在，并且又考查了集合元素的互异性，因此要准确理解集合含义，明确题目所要解决的问题，才能使问题得以解决，从而培养学生分析问题、解决问题的能力． 本专题试题训练
详见《试题精练》
§集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解． 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2.
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况． 3．正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?.
集合及集合的表示 【学习目标】 1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“?”表示元素与集合之间的关系． 2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等． 【要点梳理】 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用. 要点一：集合的有关概念 1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集. 要点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合B的元素． 3．关于集合的元素的特征 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合. 要点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 4．元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A ? (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A 5．集合的分类 (1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：?. (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 6．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N + 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 要点二：集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合. 1.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
1 集合的概念与运算（一） 目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质， 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法． 重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 基本知识点： 知识点1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N * 或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N * 或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 知识点3、元素与集合关系（隶属） （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写 知识点4、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
集合的概念与运算训练 一、选择题 1．（07浙江）设全集U ={1，3，5，6，8}，A ={1，6}，B ={5，6，8}，则(C U A )∩B =( ) A ．｛6｝ B ．{5，8} C ．{6，8} D ．{3，5，6，8} 2．（09山东）集合{0,2,}A a =,2{1,}B a =,若{0,1,2,4,16}A B = ,则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 3．（10湖北）设集合M ={1,2,4,8}，N ={x |x 是2的倍数}，则M ∩N =( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 4．（08安徽）若A 为全体正实数的集合，{2,1,1,2}B =--则下列结论中正确的是（） A ．{2,1}A B =-- B ．()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ．(){2,1}R C A B =-- 5．（06陕西）已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}, 则P ∩Q 等于( ) A ． {2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 6．（07安徽）若22 {|1},{|230}A x x B x x x ===--=，则A B ＝( ) A ．{3} B ．{1} C ．? D ．{1}- 7．（08辽宁）已知集合{31}M x x =-<<，{3}N x x =≤-，则M N = （） A ．? B ．{3}x x ≥- C ．{1}x x ≥ D ．{1}x x < 8．（06全国Ⅱ）已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N = ( ) A ．? B ．{|03}x x << C ．{|13}x x << D ．{|23}x x << 9．（09陕西）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N 为（） A ．[0，1） B ．（0，1） C ．[0，1] D ．（-1，0] 10．（07山东）已知集合11{11}| 242x M N x x +??=-=<<∈????Z ，，，，则M N = （） A ．{11}-， B ．{0} C ．{1}- D ．{10}-， 11．（11江西）已知集合{}? ?????≤-=≤+≤-=02,3121x x x B x x A ，则B A 等于（） A ．{10}x x -≤< B ．{01}x x <≤ C ．{02}x x ≤≤ D ．{01}x x ≤≤ 12．（07广东）已知集合1{10{0}1M x x N x x =+>=>-，，则M N = （） A ．{11}x x -<≤ B ．{1}x x > C ．{11}x x -<< D ．{1}x x -≥ 13．（08广东）届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（） A. A B ? B. B C ? C. B ∪C = A D. A∩B = C 14．（09广东）已知全集U =R ，则正确表示集合M = {-1，0，1}和N = {x |x 2+x =0}关系的韦恩（Venn ） 图是（） A ． B ． C ． D ．
§1.1集合的概念与运算
1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 A B(或 B A) 3. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个． (2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√) (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) (5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.(√) (6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则?U P＝{2}．(√) 1．(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于() A．[－2，－1]B．[－1,2) C．[－1,1]D．[1,2) 答案 A 解析∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}， ∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A. 2．(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0} 答案 A 解析因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A. 3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9 答案 C
新课标 集合的含义及其表示 姓名：_________ 一、选择题： 1.下面四个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：（2）若a N -?，则a N ∈ （3）244x x +=的解集为{2，2}；（4）0.7Q ∈，其中不正确命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C.2 D.3 2.下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ） A.(){}(){}3,2,2,3M N = B.{}{}3,2,2,3M N == C.(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D. {}(){}1,2, 1.2M N == 3.下列方程的实数解的集合为12,23?? -???? 的个数为 （ ） （1）224941250x y x y +-++=;(2)2620x x +-=; (3) ()()2 21320x x -+=;(4) 2 620x x --= A.1 B.2 C.3 D.4 4.集合{} (){} 2 2 10,6100 A x x x B x N x x x =++==∈++=，{}450 C x Q x =∈+<， {}2D x x =为小于的质数 ，其中时空集的有 （ ） A. 1个B.2个 C.3个 D.4个 5. 下列关系中表述正确的是 （ ） A.{}200x ∈= B.(){}00,0∈ C. 0∈? D.0N ∈ 6. 下列表述正确的是（ ） A.{}0=? B.{}{}1,22,1= C.{}?=? D.0N ? 7. 下面四个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：（2）方程()()()3 1250x x x -+-=的 解集含有3个元素；（3）0∈?（4）满足1x x +>的实数的全体形成的集合。其中正确命题的个数是 （ ） A.0 B. 1 C. 2 D.3 二．填空题： 8.用列举法表示不等式组240121x x x +>??+≥-?的整数解集合为 9.已知集合12,6A x x N N x ?? =∈∈??-?? 用列举法表示集合A 为 10.已知集合241x A a x a ??-?? ==??+???? 有惟一解，又列举法表示集合A 为 三、解答题： 11．已知{}{}2A=1,a,b ,,,B a a ab =，且A=B ，求实数a,b ; 12. 已知集合{} 2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数 （1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 是单元素集，求a 的值 （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围 13. 设集合{} 22,M a a x y a Z ==-∈ （1）请推断任意奇数与集合M 的关系 （2）关于集合M ，你还可以得到一些什么样的结论
2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案新人教版必 修1 【考点透视】 1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2．了解空集和全集的意义. 3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题. 5．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】 题型1．正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（） A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1} 思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D． 点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组 21, 1. y x y x ?=+ ? =+ ? 0, 1, x y = ? ? = ? 得 1, 2. x y = ? ? = ? 或 从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的． 例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（） A．P B．Q C． D．不知道 思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了． 解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y ≥0},Q={y|y≥1}，知Q P，即P∩Q=Q．∴应选B． 例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（） A．P∩Q=? B．P Q C．P=Q D．P Q
第一节 集合 一．考试要求： 理解集合，子集，补集，交集，并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并用它们正确表示一些简单的集合。 二．基本概念和性质 1．集合的基本概念： 某些指定的对象集在一起成为一个集合。其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。 2．集合的三种表示方法：_________、________、_________，它们各有优点，用什么方法来 表示集合要具体问题具体分析。 3．集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。 4．集合间的关系及运算 子集：___________________________________称A 为B 的子集，记作为_____; 真子集：___________________________________称A 为B 的真子集，记为_____; 空集：____________________,记为_____ 补集：如果已知全集U ，集合A U ?，则U C A =_________________; 交集：A B =___________________;并集：A B =_____________________ 5.集合中常用运算性质 若,A B B A ??则______，若,A B B C ??则_______, ___A ?, 若,A ≠?则___A ?，___,__,__,__A A A A A A =?==?= __U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B === ____A B A B A B ??=?= 6．熟练掌握描述法表示集合的方法，理解下列五个常见集合： {}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________ (3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________ x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈ 7．特别注意： （1）空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，特别是空集，避免误解或漏解。 （2）为了直观表示集合之间的关系，常用韦恩图来解决问题，另外要充分利用数轴和平面 直角坐标系来反映集合及其关系。 （3）解决有关集合问题，关键在于集合语言的转化。 三、例题选讲
第一讲集合的概念及运算 考点解读 【基础性考点知识突破】 一、集合的含义及表示方法 1．元素与集合的含义 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合． 构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．2．集合中元素的性质 集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性． (1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征． (2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素． (3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序． 3．集合的表示 集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和Venn图法．一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用Venn图法．正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征． 4．元素与集合的关系 “属于”或“不属于”，记为“”或“?”． 二、集合与集合之间的关系 1．集合与集合之间的关系 (1)包含关系 子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A，显然A?A，??A. (2)相等关系 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B. 对于两个集合A与B，如果A?B，同时B?A，那么集合A与集合B相等，记作A=B． (3)真子集关系
对于两个集合A 与B ，若A ?B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .显然有下面的结论： ①对于集合A 、B 、C ，如果A ?B ，B ?C ，则A ?C ； ②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，则A C ． (4)不包含关系 用表示 2．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记作?． 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集． 3．有限集的子集、真子集的个数 关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集的 个数有2n 个，即02C C C 2n n n n n ++???+=（个），非空子集的个数有（21n -）个；真子集的个数有（21n -）个；非空真子集的个数有（22n -）个， 三、集合的交、并、补集的运算 1．交集 (1)定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }. (2)性质：A ∩A =A ；A ∩B =B ∩A (交换律)； A ∩?=?；(A ∩B )?A ；(A ∩B )?B ； 若A ?B ，则A ∩B =A ． 2．并集 (1)定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. (2)性质：A ∪A =A ；A ∪B =B ∪A (交换律)； A ∪?=A ；A ?(A ∪ B )；B ?(A ∪B )； 若A ?B ，则A ∪B =B ． 3．补集 (1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给
高中数学 第一讲 集合(一) 1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。 2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。 3理解子集、真子集概念，会判 断 和证明两个集合包 4.会判断简单集合的相等关系 ⑴结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念； ⑵掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。 二．重点知识分析： 1.集合的基本概念及表示方法。 2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。 3.子集的概念、真子集的概念。 三．难点知识分析： 1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。 2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。 3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。 4.集合的交、并的性质。 三．知识要点精讲 1.集合的概念 ⑴集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。
⑵元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2.集合元素的性质：元素具有确定性、互异性、无序性。 ◆确定性 我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合是一个“整体”，构成集合的对象必须是“确定的”。 怎样理解集合的“确定的”性呢？ 其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不能是模棱两可的，通过这个特征，我们能很容易判断一个元素是否是这个集合的元素。 例1 判断下列对象能否构成集合。 １.某校的年轻教师 ２.某校大于50岁的教师 ３.某校的女教师 ◆互异性 集合中的元素是互不相同的，不能重复出现。 通俗地讲就是一个集合中不存在相同的元素，每个元素都是独一无二的。 例2 已知{ }12,12-∈a a ，则a ＝ . ◆无序性 集合中的元素是没有顺序的。 这个是从集合表示方法的角度来强调的。比如{1,2}和{2,1}其实表示的是同一个集合。元素前后顺序的不同并不影响相同集合的判断。 注意：数列的表示从外观看象集合的列举法表示，但是数列中元素的顺序不同，他所表示的数列也不一样。 例3 （湖北高考）设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={}Q b P a b a ∈∈+,|，若 P={}5,2,0，Q={ }6,2,1，则P+Q 中元素的个数是（ ） A.9 B.8 C.7 D.6 2.集合的分类及表示方法 ⑴集合通常用大写拉丁字母A 、B 、C ……表示，元素通常用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示。 这只是一个约定俗成，使用的时候便于区分。 ⑵常见数集的表示： 自然数集，即非负整数集，记作N ；（注：包括“0”） 正整数集，记作N + 或者N *；（注：不包括“0”） 整数集，记作Z ；
第一篇集合与常用逻辑用语 专题1.1 集合的概念与运算 【考纲要求】 1. 了解集合的含义、元素与集合的属于关系． 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 【命题趋势】 1. 利用集合的含义与表示求集合的元素或元素的个数． 2．根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围． 3．考查数集的交集、并集、补集的基本运算． 4．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合问题． 5．以集合为载体结合其他数学知识考查新概念、新性质、新法则的创新问题的应用.1.元素与集合【核心素养】 本讲内容主要考查数学抽象和数学运算的核心素养. 【素养清单?基础知识】 1．集合的有关概念 (1) 集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2) 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3) 元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4) 五个特定的集合及其关系图： N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系
(1) 子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )． (2) 真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A ?B 或B ùA . A ? B ? ? ???? A ? B ， A ≠ B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3) 集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元 素的特性． (4) 空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3．集合间的基本运算 (1) 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (2) 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }． (3) 补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . 【素养清单?常用结论】 (1) 子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2) 交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3) 并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4) 补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5) 含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6) 等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 【真题体验】
第1讲集合的概念与运算 【2013年高考会这样考】 1．考查集合中元素的互异性． 2．求几个集合的交、并、补集． 3．通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力． 【复习指导】 1．主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算，立足基础，抓好双基． 2．练习题的难度多数控制在低中档即可，适当增加一些情境新颖的实际应用问题或新定义题目，但数量不宜过多． 基础梳理 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A B(或B A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的基本运算 (1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (3)补集：?U A＝{x|x∈U，且x?A}． (4)集合的运算性质 ①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B； ②A∩A＝A，A∩?＝?； ③A∪A＝A，A∪?＝A； ④A∩?U A＝?，A∪?U A＝U，?U(?U A)＝A.
集合的概念与运算 适用学科咼中数学适用年级高中一年级 适用区域通用课时（分钟）2课时 知识点 集合的概念，兀素与集合的关系及表示，集合的表示方法相等关系，包含关系，不 包含关系 教学目标 了解集合的含义，体会兀素与集合的属于关系； 能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体冋题；理解集合之间包含与相 等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义?教学重点兀素与集合的关系，集合兀素的特性；集合之间包含与相等的含义 教学难点集合之间包含与相等的含义，集合兀素的特性 主要以一元二次不等式，函数的定义域（特别是对数函数的定义域与带根号的函数的定义域） 与值域为背景进行考察，求解时，掌握一元二次不等式的解法及函数定义域值域的求法时正 确求解的关键 （2 ）本部分在高考中的题型以选择题为主，几乎历年一道必考送分，各位同学要抓住这个'相关知识 集合 q概念、一组对象的全体? x^A,x老A。兀素特点：互异性、无序性、确定性。 关系 子集x^A= B二A匸B。0匸A; A匸B, BG C= AG C n个兀 素集合子集数2n。 真子集x^ Aa x E B, Ex。E B,x o 更A二 A U B 相等A匸B,B匸A二A = B 运算 交集 A"B ={x|x^ A,且B}C U（A U B）=（C U A）D（C U B） C U（A D B）=（C U A）U（C U B） C u （C U A） = A 并集 AUB ={x|x^ A,或B} 补集 Cu A = {x|x^U 且x 更A 三、知识讲解 1?集合的含义 集合的交并补运算在高考中几乎是每年必考,
§1.1集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．
1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2. (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况． 3．正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?. 题型一集合的基本概念 例1(1)下列集合中表示同一集合的是(B)
第1讲集合的概念与运算 一、知识梳理 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 表示 关系 自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即 若x∈A，则x∈B) A?B(或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A中 A B(或 B A) 集合相等集合A，B中元素相同A＝B 集合的并集集合的交集集合的补集 图形语言 符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈}B ?U A＝{x|x∈U且x?A}
常用结论|三种集合运用的性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A． (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B． (3)补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A；?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)． 二、教材衍化 1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则() A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P 解析：选D．因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a?P.故选D． 2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．() (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A．() (3)若A B，则A?B且A≠B．() (4)N*N Z.() (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)× 二、易错纠偏 常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致错； (2)集合运算中端点取值致错； (3)忘记空集的情况导致出错．
第一讲 集合概念及集合上的运算 知识、方法、技能 高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合. 在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目. 赛题精讲 Ⅰ．集合中待定元素的确定 充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例. 例1：求点集}lg lg )9 131lg(|),{(33y x y x y x +=++中元素的个数. 【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知,9131,0,033xy y x y x =++ >>及 由平均值不等式，有,)9 1()31()(3913133333xy y x y x =??≥++ 当且仅当33333 1,91,9131====y x y x 即（虚根舍去）时，等号成立. 故所给点集仅有一个元素. 【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之. 例2：已知.}.,22|{},,34|{2 2B A x x x y y B x x x y y A ?∈+--==∈+-==求R R 【思路分析】先进一步确定集合A 、B. 【略解】,11)2(2≥--=x y 又.33)1(2≤++-=x y ∴A=}.31|{},3|{},1|{≤≤-=?≤=-≥y y B A y y B y y 故 【评述】此题应避免如下错误解法： 联立方程组 ?????+--=+-=.22,3422x x y x x y 消去.0122,2=+-x x y 因方程无实根，故φ=?B A . 这里的错因是将A 、B 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是
§1.1集合的概念与运算 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：＿，＿，＿ (2)元素与集合的关系是＿或＿关系，用符号或表示． (3)集合的表示法：、 (4)常见数集的记法 (1)子集：． (2)真子集： (3)空集
(4)若A含有n个元素，则A的子集有个，A的非空子集有个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则 3．集合的运算 并集的性质： A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?. 交集的性质： A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A? 补集的性质： A∪(?U A)＝；A∩(?U A)＝；?U(?U A)＝ 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．() (2){1,2,3}＝{3,2,1}．() (3)?＝{0} () (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. () (5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N. () (6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则?U P＝{2}．() 2．(2013·北京)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于 () A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1} 3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()
A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 4． (2013·课标全国Ⅱ)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 5． 设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰 含有一个整数，则实数a 的取值范围是________． 题型一 集合的基本概念 例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所 含元素的个数为 ( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．10 (2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝? ?? ? ??0，b a ，b ，则b －a ＝________. 思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“三性”． 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思