不定积分知识点总结

不定积分知识点总结

不定积分知识点总结

不定积分

1、原函数存在定理

定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F'(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

分部积分法

如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

定积分

1、定积分解决的典型问题

(1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件

定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积

3、定积分的若干重要性质

性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx

推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx

性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m (b-a )≤∫abf(x)≤dx≤M (b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）(b-a )。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c (a

∫acf(x)dx=∫cbf(x)dx ,否则(只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。

定积分的应用

求平面图形的面积（曲线围成的面积）

直角坐标系下（含参数与不含参数）

极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ2)

旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx ,其中f(x)指曲线的方程）

平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA (x )dx,其中A (x )为截面面积）

功、水压力、引力

不定积分与定积分复习提纲

不定积分与定积分 复习提纲 主要知识点：不定积分和定积分 1. 不定积分相关概念 2. 不定积分的计算 3. 定积分的相关概念 4. 定积分的计算及其应用 一、 不定积分相关概念 1. 原函数 导函数：函数()y f x =，则称()f x '为函数()f x 的导函数。 原函数：函数()y f x =，则称()f x 为函数()f x '的原函数。 说明：函数()f x 若存在原函数()F x ，则一定有无数个原函数()F x C +，并 ()()=+?f x dx F x C 3. 不定积分的性质： (()())d ()d ()d f x g x x f x x g x x +=+??? ()d ()d ,f x x f x x ααα=??为常数 4. 不定积分和导数之间的关系：

二、 不定积分的计算 1. 直接使用积分公式计算 2. 凑微分法（第一类换元法）基础:常见的凑微分形式 （1）()C x d dx += （2）()C kx d k dx +=1 （3）()C x d xdx +=221 （4）()C x d dx x +=323 1 （5） ?? ? ??+-=C x d dx x 112 （6）( ) C x d dx x +=21 （7）()C x d dx x +=ln 1 （8）()C e d dx e x x += （9）()C x d xdx +-=cos sin （10）()C x d xdx +=sin cos （11） ()C x d dx x +=tan cos 12 （12） ()C x d dx x +=+arctan 11 2

不定积分知识点总结

不定积分知识点总结 不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F' (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤M ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c ( a 定积分的应用 求平面图形的面积（曲线围成的面积） 直角坐标系下（含参数与不含参数） 极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式 S=R2θ/2)

2018考研高数重点复习定积分与不定积分定理总结

2018考研高数重点复习定积分与不定积 分定理总结 在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的定积分与不定积分定理定义汇总。 ?不定积分 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x ∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 ●分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ?定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 ●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 ●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx ≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a ?定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

专题13定积分与微积分基本定理知识点

专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0

学习不定积分的方法总结

学习不定积分的方法总结 定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系，其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。下面是的关于学习不定积分的方法总结的相关资料，欢迎阅读！ 一、不要过多关心为什么要学积分，尤其是手算求积分 不定积分的繁琐会令很多人望而生畏，累觉不爱后必然引出一个经典问题——我干嘛要爱它啊！离了它我照样活啊！ 其实很多专业为什么要学高等数学是一个足够专门写一本书的争议话题，我个人认为最需要想清楚的还是以下几条： （1）可交换的概念，有些问题的学习顺序是不可交换的，比如一个人脑子里一旦有了钱，他就很难再静下心来学数学了——最多对付着教教数学基础课，嗯。所以不要总想着为什么不能一边学金融一边用到什么数学补什么。 （2）比起二十年前，眼下的社会并不妨碍偏才怪才的发展，如果你喜欢唱歌，大可以去参加各种选秀，其实大部分自以为唱歌很好的同学充其量也就是个企业年终晚会主唱的水平，不然这年代你可能早就脱颖而出了，参考tfboys。如果你只是个普通大学生，那么积分对你将来的发展大概率会有用的。 （3）除去个别生在“教育世家”的同学之外，要明白你现在能密切接触到的人里最懂教育学的是你的大学老师们，你不信我们去信网上的所谓心灵鸡汤，你自己说你4842。

（4）虽然时代发展了，计算机技术可以代替很多人类劳动，但是不定积分是个特例。你可以不去用手算十位数乘法，可以不去用手算求平方根，可以不去用手算sin2是多少，因为这些你都大概知道可以怎么算，只是算起来麻烦所以交给了计算机（sin2虽然上大学以前不会算，但是现在起码有taylor公式）。 但是不定积分不同，你问一百个普通数学老师，会有九十九个不清楚计算机到底是怎么实现的不定积分，注意是不定积分，定积分怎么做还是会的。所以你连它大概怎么算出来的都不清楚，就敢用它的结果吗？（我好像听见了学生说“敢”的声音……） 所以说，还是不要讨论为什么要学积分这个话题，为什么要学积分，因为考试考，少废话。少说多干，行胜于言，“我不相信教育会是完全快乐的。” 二、要清楚积分相关的教学和考试要求 （1）一定要清楚，不可积（这里指不定积分）函数类是比可积的“多”很多的，可积的没有初等函数表示的是比有初等函数表示的“多”很多的，有初等函数表示但是不容易算出来的是比容易算出来的多很多的，容易算出来的是比我们考试会考的多很多的。这里的多是个什么概念，近似的理解成就是无理数比有理数“多”的那种多。所以放心，把教材上所有题目都刷一遍也不存在“运动过量”的问题。 （2）充分重视因式分解在学习方法上的借鉴意义。因式分解和不定积分都是比较自然的思维方向的运算的逆运算，所以没学之前应该都觉得是很神奇的东西。想不明白怎么学积分，不妨回忆下初中是

不定积分技巧总结

不定积分技巧总结 作者:蔡浩然 题记题记：：不定积分不定积分，，是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础，，题型极多题型极多，，几乎是每一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律，，结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭感觉乱闯，，运气好运气好，，有时可以闯出来有时可以闯出来，，有很多时候是闯不出来候是闯不出来，，或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了。。为了在求不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有： ? ???????→????????+??? ?????→+→+∫∫∫x c a ac x c a d x c a ac dx x c a c dx c ax arctan 11 111111222即??? ? ????→ +∫x c a ac dx c ax arctan 1 1 2 【相乘开根作分母，前比后，开根作系数】 另外，[] x x x x dx tan sec ln tan sec 21 sec 3 ++=∫最好也可以记下来最好也可以记下来，，因为经常要用到因为经常要用到，，并且也不难记并且也不难记， ，括号里面是x sec 的原函数和导数之和。 一、一、三角函数篇 三角函数篇原则是：尽量凑微分，避免万能代换。

1.11.1、 、正余弦型1.1.11.1.1、分母二次带常数，分子不含一次项型 、分母二次带常数，分子不含一次项型∫ +dx x A 2 sin 1 或 dx x A x ∫ +2 2 sin cos 右式可通过变形，分离常数化为左式。而 ()→++→+→+∫∫∫ A x A x d dx x x A x dx x A 2 2222tan 1tan tan sec sec sin 1()C x A A A A +??? ?????++→ tan 1arctan 11 1.1.21.1.2、分母一次带常数，分子常数型 、分母一次带常数，分子常数型∫∫ ??→+dx x A x A dx x A 2 2sin sin sin 1()∫∫+?+?→dx x A x d dx x A A 2 222cos 1cos sin 特别的，当 1 =A 时，原式就可化为 ∫∫+→dx x x d dx x A 2 2cos cos cos 1.1.31.1.3、分母一次无常数，分子常数型 、分母一次无常数，分子常数型

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总 结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：

不定积分_定积分复习题与答案

上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<

不定积分解法总结

不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。 1 换元积分法 换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。 1.当出现 22x a ±，22a x -形式时，一般使用t a x sin ?=，t a x sec ?=， t a x tan ?=三种代换形式。 C x a x x a dx C t t t t a x x a dx +++=+++==+? ??222 22 2 ln tan sec ln sec tan 2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 C x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==???sin 2cos 2sin 2cos 2) cos cos (2sin 2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， c x dt t dt t t dt t t t dt t t t t x x x dx +- =--=--=--=??? ? ??-?-? = --? ????66 12 12 5 12 6 212 12arcsin 6 1 11 6 1 111 11 1 11 1 3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。 使用万能代换2 tan x t =，

定积分知识点总结

定积分知识点总结 北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()(

特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下 和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和，可以得到

不定积分知识点总结

不定积分知识点总结 不定积分知识点总结 不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F'(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积

3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m (b-a )≤∫abf(x)≤dx≤M (b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）(b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c (a

不定积分总结

不定积分

一、原函数 定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。 例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。 2 211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是 2 11x +的原函数。 原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。 注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。 设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。 注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数） 注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为?dx x f )(。 如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 C x F dx x f +=?)()(，（C 为任意常数）

x y o )(x F y = C x F y +=)( 三、不定积分的几何意义 不定积分的几何意义如图5—1所示： 图 5—1 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为 )(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由) (x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ． 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线． 四、不定积分的性质（线性性质） [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ()() kf x dx k f x dx =??k （ 为非零常数）

不定积分的解题方法与技巧

不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一． 直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二． 第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分 公式即可解决。 （3）当0

不定积分知识点总结

三一文库（https://www.doczj.com/doc/2318646107.html,）/总结 〔不定积分知识点总结〕 引导语：不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点，那么不定积分要怎么学好呢？接下来是小编为你带来收集整理的不定积分知识点总结，欢迎阅读！ ▲不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数 的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数 的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ▲定积分 1、定积分解决的典型问题

(1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设及分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则 ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤ ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分 值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点 ( ab )外连续，而在点的邻域内无界，如果两个广义积分∫af(x)dx与∫bf(x)dx 都收敛，则定义∫af(x)dx=∫bf(x)dx ,否则 (只要其中一

定积分知识点汇总(新、选)

定积分 一．定积分的几何意义 ① ()0f x >时，()b a f x dx S =? ()0f x <时， ()b a f x dx S =-? ()f x 有正有负时， 1(), b a f x dx S =?2(), c b f x dx S =-? 3()d c f x dx S =? 面积和123()()()b c d a b c S S S f x dx f x dx f x dx ++=-+? ?? [()()]b a f x g x dx S -=? 二．定积分基本性质 ①当a b =时，()0b a f x dx =? . ②()()b b a a kf x dx k f x dx =? ? ③1212[()()()]()()()b b b b n n a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx ±±???±=±±÷??±? ??? ④ 12 1 ()()()()n b c c b a a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++???+? ??? ⑤若奇函数()y f x =在[,]a a -上连续不断，则()0a a f x dx -=? ⑥若偶函数()y f x =在[,]a a -上连续不断，则0()2()a a a f x dx f x dx -=? ? 123()()()().d b c d a a b c f x dx f x dx f x dx f x dx S S S =++=-+? ? ??

微分基本定理：如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，且'()()F x f x =，则 ()() ()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? （牛顿—莱布尼兹公式） 1.直线0,,0x x y π===与曲线sin y x =所围成图形的面积用定积分表示为 2.用定积分表示抛物线2 23y x x =-+与直线3y x =+所围成图形的面积为 3.曲线2 1,2,0,0y x x x y =-===围成的阴影部分的面积用定积分表示为 4.由曲线24,4,0,0y x x x y =-===和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ） 4 2 .(4)A x dx -? 4 20 .|(4)|B x dx -? 420 .|4|C x dx -? 24 2202 .(4)(4)D x dx x dx -+-?? 5.计算下列定积分 （1）3 23 9x dx --? （2）1 21 44x dx --?

不定积分解题技巧汇编

不定积分解题技巧探讨 数学与计算机科学学院 数学与应用数学（s ） 2011031103 作者：方守强 指导 老师：邓勇平 【摘要】在微分学中不定积分是数学分析的一个重要内容，我们经常用的解题方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等。在我们接触过的有限的教材中，不定积分显得十分简明，但是利用基本积分公式及其性质，只能求出部分相对简单的积分，对于一些比较复杂的积分，则有一定难度。有时，我们在计算中会发现有的不定积分是无法用直接的方法来计算的，这就要求我们在平时的学习中，多进行归纳总结和概括推广。针对我们在学习中经常遇到的一些困难，本文将总结求不定积分的几种基本方法和技巧，列举一些典型例子，运用技巧解题。 【关键词】 不定积分；难度；典型；技巧 引言 《数学分析》是数学与应用数学专业的大学生必修的基础理论课程,其核心任务是训练逻辑思维、应用技巧、提高学生研究能力和分析问题解决问题的能力,为今后其他数学课程的学习提供可靠的理论基础和强有力的解决问题的工具。不定积分是积分学的基础，掌握的深浅会影响相关课程的学习和理解,对于学习其他知识也有着相当重要的意义。对不定积分求解方法进行探讨，不仅会使求解不定积分的方法易于掌握，而且有助于提高对不定积分概念的理解和学习，激发学生学习数学的兴趣。为此，在前人的基础上，本文对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳总结及探讨。 一:不定积分的概念与性质 定义1 如果F （x ）是区间I 上的可导函数，并且对任意的x ∈I ，有)()(x f x F ='dx 则称F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数。 定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I 上连续，那么f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在可导函数F （x ），使得)()(x f x F ='（x ∈I ）。 定理2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，则 （1） F （x ）+C 也是f(x)在区间I 上的原函数，其中C 是任意函数； （2） f(x)在I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F （x ）+C 称为f(x)在区间I 上的不定积分，记为 ()?dx x f ,即()()?+=C x F dx x f 。其中记号? 称为积 分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。 性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则 ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 性质2 设函数f(x)存在原函数，k 为非零常熟，则()()? ? =dx x f k dx x kf 。 附：常用积分公式

不定积分求解方法及技巧小汇总

不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。 一?不定积分的概念与性质 定义1如果F (x)是区间I上的可导函数，并且对任意的x I，有F'(x)=f(x)dx则称F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数 F (x),使得F (x) =f(x) (x I) 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，贝U (1) F (x) +C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； (2)f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2 设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数 F (x) +C称 为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分 变量，C称为积分常数。 性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x) g(x)]dx= f(x)dx g(x)dx. 性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，贝U kf(x)dx=k f(x)dx. 二.换元积分法的定理 如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ (x)] ( (x).做变量代换u= (x),并注意到’(x) dx=d (x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有 g(x)dx= f[ (x)] ( (x)dx= f(u)du. 如果f(u)du 可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

定积分知识总结

定积分知识总结 一、基本概念和性质 （1）定义 []()[]()) ()(lim ) ()()(,,,,0 max ...,) ()(lim lim )(11 11111101 1 -=∞ →-=----∞ →∞ →=∞ →-?-?=-?≈=→-∞→==-?=?∑∑∑∑?i i n i i n i i n i i i i i i i i i i i i i i i i i n i n n i n n i i b a n x x f x x f S x x f S I S I S I x x I x x n b x x x a n b a x x f S dx x f ξξξξξ④求极限：即③求和：， 上任取一点在上用矩形代替在上的代数面积为在②记时，要求当＜＜＜个小区间，区间分成①把的定义： []dx x g dx x f dx x g x f a b b a b a b a b a ??+??=??+?-=????)()()()(12βαβα②线性运算性质：①）定积分的性质 （ )()()(=??-=????a a a b b a dx x f dx x f dx x f ()）） （定要求的区间可积即可，不一其中，包含③区间的可加性：b a c c b a dx x f dx x f dx x f b c c a b a ,,,()()()(∈?+?=????

[][][][]????????≥≡=?≥?≥?≥≥?≥b a b a b a b a b a b a dx x g dx x f x g x f x g x f b a x g x f x f x f dx x f x f x f b a x f dx x g dx x f x g x f b a x g x f dx x f x f b a x f )()(),()(),()(,)(),(0 :0)(00:0)(0 )(0)(0)(,)()()(),()(,)()(0 )(0)(,)(＞则： 不恒等于且上连续，在区间推论：若区间上都等于则是指在整个；，也可能整个区间均为可能个别点上等于＞，则不恒等于，上连续，在⑥若则上可积且在，⑤若，则上可积且在④ [][][][][]) ()()(,,)() ()()(,)(,)()()(,)(a b f dx x f b a b a x f a b M dx x f a b m M m b a x M x f m b a x f dx x f dx x f b a x f b a b a b a b a -?=?∈-≤?≤-∈≤≤?≤???? ?ξξ，使得： 点上连续，则至少存在一在闭区间若⑨（积分中值定理） 均为常数，则：，，，上可积，在⑧若上可积，则 在⑦若 二、微积分基本公式 1、积分上限函数及其导数 定义：设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分?x a dt t f )(和x 对应，因此?x a dt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记 为 ?=Φx a dt t f x )()(，],[b a x ∈. 称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.