解析几何大量精选
1
2 1.在直角坐标系xOy 中,点M
到点()1,0F
,)2,0F 的距离之和是4,点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q .
5 ⑴求轨迹C 的方程;
6 ⑵当0AP AQ ?=时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点.
7 【解析】 ⑴ 2214
x y +=.
8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程, 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=, 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q , 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ①
12 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则122814kb
x x k +=-+,21224414b x x k -=+ ②
13 且22
2
2
121212122
4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+,
14 显然,曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -, 15 所以()112,AP x y =+,()222,AQ x y =+. 16 由0AP AQ ?=,得1212(2)(2)0x x y y +++=.
17
将②、③代入上式,整理得22121650k kb b -+=.
18 所以(2)(65)0k b k b -?-=,即2b k =或65
b k =.经检验,都符合条件①
19 当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+.显然,此时直线l 经过定点()2,0-20 点.
21 即直线l 经过点A ,与题意不符.
22 当6
5b k =时,直线l 的方程为665
5y kx k k x ??=+=+ ??
?
.
23
显然,此时直线l 经过定点6
,05
??- ??
?
点,满足题意. 24 综上,k 与b 的关系是65
b k =,且直线l 经过定点6
,05??
- ???
25
26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1
2
,以原点为圆心,椭圆的短半
27
轴为半径的圆与直线0x y -+相切. 28 ⑴ 求椭圆C 的方程;
29 ⑵ 设(4,0)P ,A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ,证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ;
31 ⑶ 在⑵的条件下,过点Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求OM ON ?的取32 值范围.
33 【解析】 ⑴22
143
x y +=.
34
⑵ 由题意知直线PB 的斜率存在,设直线PB 的方程为(4)y k x =-.
35 由22(4),1.4
3y k x x y =-??
?+=??得2222(43)3264120k x k x k +-+-=. ①
36
设点11(,)B x y ,22(,)E x y ,则11(,)A x y -. 37 直线AE 的方程为21
2221
()y y y y x x x x +-=
--. 38 令0y =,得221221
()
y x x x x y y -=-
+. 39 将11(4)y k x =-,22(4)y k x =-代入整理,得12121224()
8
x x x x x x x -+=
+-.②
40
由①得21223243k x x k +=+,21226412
43
k x x k -=+代入②整理,得1x =.
41 所以直线AE 与x 轴相交于定点(10)Q ,.
42
⑶ 54,4?
?--???
?. 43
44
45 3.设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合,
46 12F F ,分别是椭圆的左、右焦点,且离心率1
2
e =
,过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭47 圆C 交于M N 、两点.
48 ⑴ 求椭圆C 的方程;
49 ⑵ 是否存在直线l ,使得2OM ON ?=-.若存在,求出直线l 的方程;
50
若不存在,说明理由.
51 【解析】 ⑴22
143
x y +=.
52 ⑵ 由题意知,直线l 与椭圆必有两个不同交点. 53 ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.
54 ②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠,且11()M x y ,,22()N x y ,.
55
由22
143(1)x y y k x ?+
=???=-?
,得2222(34)84120k x k x k +-+-=, 56
2122834k x x k +=
+,2122
412
34k x x k -=+, 57
21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ?=+=+-++
58 2222
22
222
4128512(1)2343434k k k k k k k k k ---=+?-?+==-+++,
59
所以k =
60 故直线l
的方程为1)y x =-
或1)y x =-.
61 本题直线l 的方程也可设为1my x =-,此时m 一定存在,不能讨论,62 且计算时数据更简单.
63 64 65 4.如图,椭圆()22122:10x y C a b a b
+=>>
x 轴被曲线22:C y x b
=-66 截得的线段长等于1C 的长半轴长.
67
⑴ 求12C C ,的方程;
68 ⑵ 设2C 与y 轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点
69 A B ,,直线MA MB ,分别与1C 相交与D E ,.
70 ①证明:MD ME ⊥;
71 ②记MAB MDE △,△的面积分别是12S S ,.问是否存在直线l ,使得
72 1217
32
S S =
?请说明理由. 73
【解析】 ⑴ 2
22114
x y y x +==-,.
74 ⑵ ①由题意知,直线l 的斜率存在,设为k ,
75 则直线l 的方程为y kx =.
76 由2
1
y kx
y x =??
=-?得210x kx --=,
77 设()()1122A x y B x y ,,,,则12x x ,是上述方程的两个实根,于78 是12121x x k x x +==-,. 79 又点M 的坐标为()01-,, 80 所
以
81 ()()()2
12121212121212
111111MA MB
kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x +++++++?=?===-, 82 故MA MB ⊥,即MD ME ⊥.
83 ②设直线KM 的斜率为1k ,则直线的方程为11y k x =-,
84
由12
1
1y k x y x =-???
=-??
,解得0
1x y =??=-?
或1
2
1
1x k y k =???=-??,则点A 的坐标为85 ()211
1k k
-,.
86 又直线MB 的斜率为1
1
k -
,同理可得点B 的坐标为87 211111k k ??-- ???
,. 88
于是211111111||||||||22||
k S MA MB k k k +=?=-=.
89
由122
1440y k x x y =-???
+-=??
得()
22
111480k x k x +-=, 90
解得01x y =??=-?或12
1
2
12181441
14k x k k y k ?
=?+??-?=?+?
,则点D 的坐标为21122118411414k k k k ??- ?++??,; 91
又直线MB 的斜率为1
1
k -
,同理可得点E 的坐标92 21122118444k k k k ??
-- ?++??
,. 93
于是()()()
211222
11321||1
||||2144k k S MD ME k k +?=?=++. 94
因此2221111
22211(14)(4)14
4176464S k k k S k k ??++==++ ???
, 95
由题意知,
212114174176432
k k ??++=
???解得214k =或211
4k =. 96
又由点A B ,的坐标可知,21211111
111k k k k k k k -
==-+
,所以3
2k =±. 97
故满足条件的直线l 存在,且有两条,其方程分别为32
y x =和
98 3
2
y x =-.
99 100 5. 在直角坐标系xOy 中,点M
到点()1,0F
,)2,0F 的距离之和是4,101 点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 102 交于不同的两点P 和Q .
103 ⑴ 求轨迹C 的方程;
104 ⑵ 当0AP AQ ?=时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点.
105 【解析】 ⑴ 2
214
x y +=.
106 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程, 107 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=, 108 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q , 109 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ①
110 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则122
814kb
x x k +=-+,21224414b x x k -=+ ② 111 且22
2
2
121212122
4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+,
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