2019-2020学年山东省泰安市岱岳区七年级（下）期末数学试卷
（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或者选出的答案超过一个，均记零分，共48分.）
1．（4分）用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（）A．由①得B．由①得
C．由②得D．由②得y＝2x﹣5
2．（4分）下列定理中，逆命题是假命题的是（）
A．在一个三角形中，等角对等边
B．全等三角形对应角相等
C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D．等腰三角形两个底角相等
3．（4分）下列事件中，随机事件是（）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．经过有交通信号的路口，遇到红灯
C．在只装了红球的袋子中摸到白球
D．太阳从东方升起
4．（4分）已知方程组中的x，y满足5x﹣y＝3，则k＝（）A．﹣5B．﹣3C．﹣6D．﹣4
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（4分）如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）
A．150°B．180°C．210°D．240°
7．（4分）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的有几个（）
A．2B．3C．4D．5
8．（4分）已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点的坐标为（1，a），则方程组的解是（）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD 10．（4分）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组（）
A．
B．
C．
D．
11．（4分）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（）
①AC＝AF，
②∠F AB＝∠EAB，
③EF＝BC，
④∠EAB＝∠F AC，
A．①②B．①③④C．①②③④D．①③
12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（）
A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n D．2n
二、填空题（只填写最后结果．每小题4分，共24分）
13．（4分）在同一平面内，已知直线a、b、c，且a∥b，b⊥c，那么直线a和c的位置关系是．
14．（4分）已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和是3，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数是．
15．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S
＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是．
△ABC
16．（4分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠
ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．
17．（4分）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其它均相同，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率在25%附近摆动，则口袋中白球的个数可能为．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是．
三、解答题（要求写出必要的计算过程、证明过程或推理步骤．共7小题，满分78分）19．（12分）解下列二元一次方程组：
（1）；
（2）．
20．（10分）如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B＝∠1，∠2＝∠E，试说明AD ∥CE．
21．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点
E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝4，求EF的长．
22．（12分）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF．求证：AB＝BD+CF．
23．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE ＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
25．（12分）河大附中初一年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人．
（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A需要100元，一辆B需120元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少．
2019-2020学年山东省泰安市岱岳区七年级（下）期末数学试卷
（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或者选出的答案超过一个，均记零分，共48分.）
1．（4分）用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（）A．由①得B．由①得
C．由②得D．由②得y＝2x﹣5
【分析】根据代入消元法解二元一次方程组，尽量选择两个方程中系数的绝对值是1的未知数，然后用另一个未知数表示出这个未知数．
【解答】解：观察可知，由②得y＝2x﹣5代入后化简比较容易．
故选：D．
2．（4分）下列定理中，逆命题是假命题的是（）
A．在一个三角形中，等角对等边
B．全等三角形对应角相等
C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D．等腰三角形两个底角相等
【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【解答】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，正确，是真命题；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C、逆命题为：等边三角形是有一个角是60度的等腰三角形，正确，是真命题；
D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题；
故选：B．
3．（4分）下列事件中，随机事件是（）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．经过有交通信号的路口，遇到红灯
C．在只装了红球的袋子中摸到白球
D．太阳从东方升起
【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，不符合题意；
B、经过有交通信号的路口遇到红灯，是随机事件，符合题意；
C、在只装了红球的袋子中摸到白球，是不可能事件，不符合题意；
D、太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
4．（4分）已知方程组中的x，y满足5x﹣y＝3，则k＝（）A．﹣5B．﹣3C．﹣6D．﹣4
【分析】令方程相加得到5x﹣y＝2k+11，代入5x﹣y＝3即可得到一个关于k的方程，从而求解．
【解答】解：，
①+②得：5x﹣y＝2k+11，
∵5x﹣y＝3，
∴2k+11＝3，
解得：k＝﹣4，
故选：D．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．
通过已知条件由∠B＝90°，∠BAE＝10°?∠AEB，
∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE
∴∠EAC＝∠C，
又∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠AEB＝80°，
又∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠C＝40°．
故选：B．
6．（4分）如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）
A．150°B．180°C．210°D．240°
【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：过点E作EF∥11，
∵11∥12，EF∥11，
∴EF∥11∥12，
∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，
故选：C．
7．（4分）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的有几个（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据轴对称图形的特点进行判断即可．
【解答】解：∵在方格纸中，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，
故选：B．
8．（4分）已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点的坐标为（1，a），则方程组的解是（）
A．B．C．D．
【分析】方程组的解是一次函数的交点坐标即可．
【解答】解：∵直线y＝2x经过（1，a）
∴a＝2，
∴交点坐标为（1，2），
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
∴方程组的解，
故选：A．
9．（4分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
A、∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
10．（4分）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组（）
A．
B．
C．
D．
【分析】设每支铅笔x元，每本笔记本y元，根据购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元可列出方程组．
【解答】解：设每支铅笔x元，每本笔记本y元，
根据题意得．
故选：B．
11．（4分）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（）
①AC＝AF，
②∠F AB＝∠EAB，
③EF＝BC，
④∠EAB＝∠F AC，
A．①②B．①③④C．①②③④D．①③
【分析】根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等可得AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，再利用等式的性质可得∠EAB＝∠F AC．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，
∴∠EAB＝∠F AC，
正确的是①③④，
故选：B．
12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（）
A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n D．2n
【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．
【解答】解：第一个正方形的面积为1＝20，
第二个正方形的面积为（）2＝2＝21，
第三个正方形的面积为22，
…
第n个正方形的面积为2n﹣1．
故选：B．
二、填空题（只填写最后结果．每小题4分，共24分）
13．（4分）在同一平面内，已知直线a、b、c，且a∥b，b⊥c，那么直线a和c的位置关系是a⊥c．
【分析】根据平行线的性质进行解答即可．
【解答】解：如图所示：
同一平面内，已知直线a、b、c，且a∥b，b⊥c，
∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∴b⊥c，
∴∠2＝90°，
∴∠1＝90°，
∴a⊥c．
故答案为：a⊥c．
14．（4分）已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和是3，若颠倒个位数字与
十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数是21．
【分析】设这个两位数十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得，10x+y﹣（10y+x）＝9，x+y＝3，据此列方程组求解．
【解答】解：设这个两位数十位数字为x，个位数字为y，
由题意得，，
解得：．
则这个两位数为21．
故答案为：21．
15．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S
＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是3．
△ABC
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×4×2+AC?2＝7，
解得AC＝3．
故答案为：3．
16．（4分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠
ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝30°．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
17．（4分）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其它均相同，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率在25%附近摆动，则口袋中白球的个数可能为12．
【分析】直接利用频率的求法进而分析得出答案．
【解答】解：设口袋中白球的个数为x，
由题意可得：×100%＝25%，
解得：x＝12．
故答案为：12．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是．
【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD 中，∠C＝90°，根据AD2＝AC2+CD2构建方程即可解决问题；
【解答】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∠C＝90°，AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝32+（5﹣x）2，
解得x＝，
∴CD＝BC﹣DB＝5﹣＝，
故答案为．
三、解答题（要求写出必要的计算过程、证明过程或推理步骤．共7小题，满分78分）19．（12分）解下列二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×3+②，5m＝20，
解得m＝4，
把m＝4代入①，4﹣n＝2，
解得n＝2，
∴原方程组的解是；
（2），
由①可得x+1＝6y③，
将③代入②得，12y﹣y＝11，
解得y＝1，
将y＝1代入①得，x+1＝6，
解得x＝5，
∴原方程组的解是．
20．（10分）如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B＝∠1，∠2＝∠E，试说明AD ∥CE．
【分析】利用平行线的判定得出AB∥DE，再利用平行线的性质得出∠E＝∠ADE，进而得出AD∥CE．
【解答】证明：∵∠B＝∠1，
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠E，
∴∠E＝∠ADE，
∴AD∥CE（内错角相等，两直线平行）．
21．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝4，求EF的长．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝4，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝8，
∴EF＝DE＝4．
22．（12分）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF．求证：AB＝BD+CF．
【分析】根据平行线的性质可得∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，利用AAS证明△ADE≌△CFE可得AD＝CF，进而可证明结论．
【解答】证明：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∵AB＝BD+AD，
∴AB＝BD+CF．
23．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．
【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．
【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC＝∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE ＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
25．（12分）河大附中初一年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人．
（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A需要100元，一辆B需120元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少．
【分析】（1）根据载客量，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据题意列出方程，可得答案．
【解答】解：（1）设A、B型车每辆可分别载学生x，y人，
可得：，
解得：，
答：A、B型车每辆可分别载学生30人，40人；
（2）设租用A型a辆，B型b辆，
可得：30a+40b＝350，
因为a，b为正整数，所以方程的解为：，
方案一：A型1辆，B型8辆，费用：100×1+120×8＝1060元；
方案二：A型5辆，B型5辆，费用：100×5+120×5＝1100元；
方案三：A型9辆，B型2辆，费用：100×9+120×2＝1140元；
所以租用1辆A型8辆B型车花费最少为1060元．