当前位置：文档之家› (完整版)导数压轴题分类(6)---函数的隐零点问题(含答案)

(完整版)导数压轴题分类(6)---函数的隐零点问题(含答案)

导数压轴分类（6）---函数的隐零点问题

任务一、完成下面问题，总结隐零点问题的解题方法。

例1. [2013湖北理10] 已知a 为常数，函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点21x x ，，且21x x ＜，则（）

A.)(1x f ＞0，)(2x f ＞21-

B. )(1x f ＜0，)(2x f ＜2

1- C. )(1x f ＞0，)(2x f ＜21- D . )(1x f ＜0，)(2x f ＞21-

例2. [2012全国文21] 设函数2)(--=ax e x f x .

（1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值。

k 的最大值=2

任务二、完成下面问题，体验隐零点问题的解题方法的应用。

2.1 [2015北京海淀二模理18] 设函数2ln 1)(x

x x f -=. （Ⅰ）求函数)(x f 的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线x x y ln =

存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标0y ＜1-

提示解析：（Ⅰ）函数)(x f 的零点为x e =，单调减区间32(0,)e ；单调增区间32(,)e +∞；（Ⅱ）x

x y ln =存在斜率为6的切线即存在点000ln (,)x x x 处导数为6，于是020

1ln 6x x -=，即2001ln 60x x --=，令2()1ln 6f x x x =--为增函数，易判断所以01(,1)2x ∈，所以20000000

ln 1616x x y x x x x -===-为减函数，所以0001

2|231x y y =<=-=-

2.2 [2013全国Ⅱ理21] 设函数)ln()(m x e x f x +-=.

（Ⅰ）若x ＝0是)(x f 的极值点，求m ＞0，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）当m ≤2时，求证：)(x f ＞0.

任务三、完成下面问题，体验隐零点问题解题的运用，提高解题能力。

2．3. [2016广州一模理21] 已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值；（Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.

（Ⅰ）解：因为+3()e

x m f x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.………………………1分因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1m f '==，解得0m =.…………………………………………………2分

（Ⅱ）证法一：因为+3()e

x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x m x -+->．当1m ≥时，()()+1e

ln 12e ln 12x m x x x +-+-≥-+-．

要证()+e ln 120x m x -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出三种思路证明1e ln(1)20x x +-+->．

思路1：设()()1e

ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()

121e 01x p x x +'=+>+．所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-

+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分因为121e 202h ??'-=-< ???

，()0e 10h '=->，所以函数()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ??∈- ???

. 8分因为()00h x '=，所以0+101e 1

x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，

所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分

所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201

x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分思路2：先证明1e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分设()1e 2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．

因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，

所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增．所以()()10h x h ≥-=．

所以1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分所以要证明1

e ln(1)20x x +-+->，

只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111

x p x x x '=-

=++．当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增．所以()()00p x p ≥=．

所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分由于取等号的条件不同，所以1e ln(1)20x x +-+->．

综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分（若考生先放缩()ln 1x +，或e x 、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明1e

ln(1)20x x +-+->．令1t x =+，转化为证明e ln 2t t ->()0t >．……………………………………5分因为曲线e t y =与曲线ln y t =关于直线y t =对称，

设直线0x x =()00x >与曲线e t y =、ln y t =分别交于点A 、B ，点A 、B 到直线y t

=的距离分别为1d 、2d ，则)122AB d d =+．其中012x d 00

d =

()00x >． ①设()000e x h x x =-()00x >，则()00e 1x h x '=-．因为00x >，所以()00e 10x h x '=->．

所以()0h x 在()0,+∞上单调递增，则()()001h x h >=．所以00

122x d =>

②设()000ln p x x x =-()00x >，则()0000

111x p x x x -'=-=．因为当001x <<时，()00p x '<；当01x >时，()00p x '>，

所以当001x <<时，函数()000ln p x x x =-单调递减；

当01x >时，函数()000ln p x x x =-单调递增．

所以()()011p x p ≥=

．所以2d ≥．

所以

)122AB d d ≥+>=?．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分证法二：因为+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，

所以()3()f x g x x >-等价于()+e

ln 120x m x -+->．…………………………4分以下给出两种思路证明()+e

ln 120x m x -+->．思路1：设()()+e

ln 12x m h x x =-+-，则()+1e 1x m h x x '=-+. 设()+1e 1x m p x x =-+，则()()

+21e 01x m p x x '=+>+．所以函数()p x =()+1e 1

x m h x x '=-+在()+∞-1，上单调递增．………………6分因为1m ≥，所以()()1e +1e 1e

e e e e 10m m m m m m h ----+-+'-+=-=-<，()0e 10m h '=->. 所以函数()+1e 1x m h x x '=-+在()+∞-1，上有唯一零点0x ，且()

01e ,0m x -∈-+. …8分

因为()00h x '=，所以0+01e 1

x m x =+，即()00ln 1x x m +=--．………………9分当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.

所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x ．……………………………………10分所以()()()0+00e ln 12x m h x h x x ≥=-+-00121x m x =

++-+ ()0011301

x m x =+++->+．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分思路2：先证明e 1()x

x x ≥+∈R ，且ln(1)(1)x x x +≤>-．…………………5分设()e 1x F x x =--，则()e 1x F x '=-．

因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>，

所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．

所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．

所以()(0)0F x F ≥=，即e 1()x x x ≥+∈R ．…………………………………7分所以ln(1)x x +≤（当且仅当0x =时取等号）．…………………………………8分再证明()+e

ln 120x m x -+->．由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………9分因为1x >-，1m ≥，且1e 2x x +≥+与ln(1)x x +≤不同时取等号，

所以 ()()+11e ln 12e e ln 12x m m x x x -+-+-=?-+-

11e (2)2(e 1)(2)0m m x x x -->+--=-+≥．

综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即00， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0