函数的最值与导数的教学设计(比武课)
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高三数学复习中对“导数的应用”的教学反思 新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用一直是高考试题的重点和热点之一。本学期笔者上了一节市公开课，经课前准备和课后调查，发现学生在导数的应用中疑点较多，本文对几类常见问题进行剖析和探究，以期引起大家的注意。 问题⑴：若0x 为函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0吗？ 答：不一定,缺少一个条件(可导函数)。反例：函数x y =在0=x 处有极小值，而)(0x f '不存在。 正确的命题是：若0x 为可导函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0 问题⑵：若)(0x f '= 0, 则函数f(x)在0x 处一定有极值吗？ 答：不一定。反例：函数3x y =有)0(f '= 0，而f(x) 在0=x 处没有极值。 正确的命题是：若)(0x f '= 0,且函数f(x)在0x 处两侧的导数值符号相反，则函数f(x)在0x 处有极值. 问题⑶：在区间),(b a 上的可导函数f(x)，)(x f '>0是函数f(x)在该区间上为增 函数的充要条件吗？ 答：不一定。反例：函数3x y = 在),(∞+-∞上为增函数，而)0(f '= 0。 正确的命题是：（函数单调性的充分条件） 在区间),(b a 上，)(x f '>0是f(x)在该区间上为增函数的充分而不必要条件. （函数单调性的必要条件）函数f(x)在某区间上可导，且单调递增，则在该区间内)(x f '≥0。 另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学（数学分析）上函数单调性的概念不一致。数学分析上函数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。 问题⑷：单调区间),(b a 应写成开区间还是写成闭区间？ 答： 若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。 问题⑸：“曲线在点P 处的切线”与“曲线过点P 的切线”有区别吗？ 例1（人教社高中数学第三册第123页例3）：已知曲线33 1)(x x f =上一点P
第1课时 课型：新授课 主备人：武果果 一、学习目标 1?借助函数图像，直观的理解函数的最大值和最小值概念； 2. 弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数于(兀)必有最大 值和最小值的充分条件； 3. 会利用导数求连续函数/(兀)在闭区间［"］上的最大值和最小值。 二、 考情分析 1. 考纲要求：会求闭区间上函数的最大值与最小值； 2?考情分析：运用导数研究函数的最值； 3?备考要求：注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用。 三、 课前自主学习 1?导入学习 复习:(1)极大(小)值概念: ____________________________________________________ (2)求函数极值的方法： ________________________________________________ 实例导入：预习课本心完成下面问题： ⑴你能找出函数 尸/(兀)在区间上的极大值、极小值、最大值、最小值吗？ (2)函数y = /(x)在开区间仏b)上的极大值、极小值、最大值、最小值存在吗？ ⑶若函数)/(x)在区间［d,b ］上不连续还存在极大值、极小值、最大值、最小值吗？ 新知：函数y = 在闭区间［⑦切上的最值： 一般地，如果在区间［⑦切上函数y = /(x)的图像是一条 ________ 的曲线，那么它必有最 大值和最小值. 例1?求函数/*(%) = 6 + 12x-x 3在【-亍3］上的最大值与最小值。 选2?2 § 13.3函数的最大(小)值与导数
解-7/(X)=6+12X-A3???广(0 = 由厂(兀) = 0,解得兀= 当X变化时，f(x)与#(尢)的变化情况如下表: ???函数心在［-事3］上的最大值是____ ；最小值是_______ 结论：求函数y = /(x)在［d,b］上的最值的步骤： ⑴.求函数y = /(%)在(d,b)内的_______ ; ⑵.将函数〉，= /&)的 _____ 与____________ 比较，其中最大的一个是最大值,最小的一个 是________ O 2. 自我检测 练习(1)?已知a为实数,/(x) = (x2-4)(x-a),若广(-1) = 0,求/⑴在 ［-2, 2］上的最大值和最小值. 7i n (2).求函数/(x) =-2cosx-x在区间［-亍，-］上的最大值与最小值。
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】
试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
§1.3.3 函数的最大（小）值与导数 宜宾市四中李斌 一、教学内容分析 1.在教材中的位置： 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1》人教A版，第三章、第三节“导数在研究函数中的应用” 2.学习的主要工具： 基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。 3.学习本节课的主要目的： 本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后“生活中的优化问题”打好基础。 4.本节课在教材中的地位： 函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。 二、学情分析 学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。 三、课堂设计思想 培养学生学会学习、学会探究、学会合作是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。
四、教学目标 1．知识和技能目标 （1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。 （2）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的方法 和步骤。 2．过程和方法目标 （1）问题驱动，自主探究，合作交流。 （2）培养学生在生活中学习数学的方法。 3．情感和价值目标 （1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． （4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 五、教学重点与难点 重点：求闭区间上连续可导的函数的最值的求解，理解确定函数最值的方法，并联系函数单调性的应用。 难点：求函数的最值的方法的提炼，同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系 六、教学方法 发现探究式、启发探究式 本节课教学基本流程： 复习检查→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、课后升华、当堂检测→布置作业 七、教学过程设计
《函数的最大(小)值与导数》教案 【教学目标】 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习回顾： 1．极值的概念： 极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点． 极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点． 2． 判断函数)(x f y =的极值的方法： 解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时： （1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值. 3． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，
§1.3.3 函数的最大值与最小值 【课标要求】 1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念. 2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数 )(x f 必有最大值和最小值的充分条件. 3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤. 【重点难点】利用导数求函数的最大值和最小值；函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 【课前预习】 1.极大值，极小值的概念： 连续可导函数在某点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），这时称在该点处函数取得 ．（极大值） 连续可导函数在某点处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增），这时称在该点处函数取得 ．（极小值） 总结：连续可导函数()y f x =在0x x =处取得极大（小）值的必要条件是0x x =左右两侧的单调性的不同． 2.求函数极值的步骤： （１）求函数()y f x =定义域； （２）求函数()y f x =的导函数()'y f x =； （３）求出()'0f x =的根； （４）列表判断．（检验()'f x 在方程()'0f x =两侧的根的符号，若根的左侧附近为正，右侧附近为负，则函数()y f x =在这个根处取得极大值；若根的左侧
附近为负，右侧附近为正，则函数()y f x =在这个根处取得极小值．） （５）写出结论． 3. 请画出32()35f x x x =-+，[2,3]x ∈-的草图. 总结：我们知道，极值反映的是连续可导函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。但是，在解决实际问题时我们更关心的是 是函数在某个区间上的最大值、最小值. 【新授内容】 情景： 问题1：由函数32()35f x x x =-+图像可得，()f x 在[2,3]-上的最大值为 ；最小值为 .（最大值为5，最小值为15-） 问题２：观察下面的函数图像，说出函数在[],a d 上的最值． 函数()y f x =在[],a b 上的最值可能是区间端点处的函数值，也可能是函数在这个
《导数与函数的单调性》教学反思 一、本节课的成功之处： 1.注重教学设计 本节课由于提前撰写了教学设计，并且经过了精心的修改，通过课堂教学的实施，能够把新课标理念渗透到教学中去，体现了以学生为主体，以教师为主导的作用发挥的比较到位，学生能极思考，思维敏捷，合作学习氛围浓厚，是一堂成功的教学设计课。 2. 注重探究方法和数学思想的渗透 教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，从图像上发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，再从理论上探究验证，这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知。同时也渗透了归纳推理的数学思想方法。培养了学生的探索精神，积累了探究经验。 3. 突出学生主体地位，教师做好组织者和引导者 教师在整个教学过程一直保持着组织者与引导者的身份，通过抛出的若干问题，促使学生主动探索、积极思维。充分发挥学生的主动性，让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法，提炼规律。并体验发现规律的喜悦感，激发热爱数学的积极情绪。 4. 现代信息技术的合理使用 多媒体的使用，第一，在教学上节省了时间，让学生有更多时间去探究。第二，利用几何画板的优势，使原本不能画出的图像都通过几何画板画出，直观的验证了函数的导数的正负与单调性的关系。帮助学生发现规律。使探究落到实处。 二、本节课存在的不足之处是： （1）课件中有些漏掉的部分。 （2）作业部分未展示。 （3）复习导数概念时，由于学生说不清楚，教师没及时中断，导致引入时间有点长。 三、改进思路： （1）加强学习现代信息技术，提高制作多媒体技术的水平。 （2）在设计教学时，在考虑全面一些，是教学过程更符合学生实际水平。 《导数与函数的单调性》教学反思 一、本节课的成功之处： 1.注重教学设计
第2课时 导数与函数的极值、最值 一、选择题 1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －x D ．y ＝x ＋2 x 解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 D 2．(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤? ????a ＋b 22 ＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 答案 D 3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ? ???? a >12，当x ∈(－2,0)时， f (x )的最小值为1，则a 的值等于 ( ) A.14 B.13 C.1 2 D ．1 解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1 a ， 当0
∴f (x )max ＝f ? ???? 1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案 D 4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是 ( ) 解析 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案 D 二、填空题 6．(2017·咸阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.
1.3.2函数的极值与导数习题课说课稿 高二数学组康海萍 [教材分析]： 《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。 [学情分析]： 学生已经初步学习了函数极值与导数的关系，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。 [教学目标]： 知识与技能： ?掌握函数极值的定义，会从几何图形直观求解函数极值，增强学生的数形结合意识； ?利用导数求函数极值的一般方法求解较复杂函数的极值； ?探究含有参数的极值问题。 过程与方法： ?培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。 情感态度与价值观： ?体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性； ?培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神； [教学重点和教学难点]： 教学重点：利用求导数的方法求解函数极值的问题。 教学难点：含有参数的极值问题。 [教法学法分析]： 教法分析和教学用具： 本节课我将采用定义检测—夯实基础—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。并利用信息技术创设实际问题的情境。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。 学法分析 通过图像研究函数的极值定义，提高了学生的导数概念的认识。通过用较复杂求极值问题巩固求极值的方法，通过分类讨论解决含有参数的极值问题。
教学过程教学内容设计意图 一、定义检测：例1下列函数在x=0有极值点的是（） x y A 1 = 、x y B= 、 x sinx y= 、 C x D? ? ? ? ? = 2 1 y 、 培养学生深入挖掘教材能力， 加深对概念的理解，培养学生 养成数形结合的解题意识 函数极值点必须有定义，区间 端点不能为极值点，单调函数 一定没有极值，可导函数导数 为0同时导数异号才是有极值 的充要条件 二、夯实基础：例2、求函数 x x y ln 1 =的极值 解：函数的定义域为) ,1( )1,0(+∞ ? ()2 ln ) ln 1( ) ( x x x x f + - = ' 令0 ) (= 'x f解得x= e 1 列表 （0， e 1 ） e 1 （ e 1 ，1） ) ,1(+∞ + 0 - - 单调递增极大 值 单调递减单调递减 当x= e 1 时，函数有极大值e e f- = ) 1 ( 此题易错点是忽略或求错函 数定义域，在求导过程中求错 导数式，这些都需要扎实的基 本功 通过易错点纠正培养学生严 谨的思维习惯，同时规范解题 步骤 三、合作探究： 对学生解决不了的问题，重点讲解思路与方法，引导学生最终去解决问题，以生成新目标、新知识、新能力。 分组讨论—小组汇报—教师点拨。含有参数的极值问题 题型一:已知函数在某点处取得极值 例3、已知函数2) ( ) (c x x x f- =在x=2处有极大 值，则求常数c的值 解：由已知2 24 3 ) (c cx x x f+ - = ' 因为函数x c cx x x f2 2 32 ) (+ - =在x=2处有极大 值，所以0 )2(= 'f，解得c=2或6 当x=6时，36 24 3 ) (2+ - = 'x x x f ) ( ), 6,2(< ' ∈x f x，0 ) ( ), ,6(< ' +∞ ∈x f x 所以x=6是函数的极小值，应舍去 同理可检验x=2合题意 在该题处学生极有可能在利 用导数为0求得c的值之后止 步，实际上我们需要检验。因 为导数为0是极值的必要条件
“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评 1教学预设 1.1教学标准 （1）通过情境的介绍，让学生知道导数的实际背景，体验学习导数的必要性； （2）通过大量的实例的分析，让学生知道平均变化率的意义，体会平均变化率的思想及内涵，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景； （3）通过实例的分析，让学生感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活，感悟数学的价值； （4）通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，进而抽象概括出函数的平均变化率，会求函数的平均变化率. 1.2标准解析 1.21内容解析 本节是导数的起始课，主要包括三方面的内容：变化率、导数的概念、导数的几何意义.实际上，它们是理解导数思想及其内涵的不同角度.首先，从平均变化率开始，利用平均变
化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上精确描述，即导数；然后，从数转向形，借助函数图象，探求切线斜率和导数的关系，说明导数的几何意义.根据教材的安排，本节内容分4课时完成.第一课时介绍平均变化率问题，在“气球膨胀率”、“高台跳水”两个问题的基础上，归纳出它们的共同特征，用f（x）表示其中的函数关系，定义了一般的平均变化率，并给出符号表示.本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透. 教学重点在实际背景下直观地解释函数的变化率、平均变化率. 1.22学情诊断 吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单.从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的 本质是本节课教学的关键.而对本节课（导数的概念），学生
《函数的最大（小）值与导数》说课稿 说教材 （-）地位与重要性 函数的最大（小）值与导数是《高中数学》选修2-2的内容，本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f（x）是闭区间［“ b］上的连续函数，那么f（x）在闭区间［/ b］上有最大值和最小值”,以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义.函数的最值问题与导数，不等式、方程、参数范用的探求及解析儿何等知识综合在一起往往能编拟综合性较强的新型题Lb可以综合考查学生应用函数知识分析解决问题的能力，从而成为高考的高档解答题，是近年来高考的热点之一. （二）教学目标 知识与能力U标：了解函数在某点取得极值，会利用导数求函数的极大值和极小值.以及闭区间上函数的最大（小）值.,培养学生数形结合、化归的数学思想和 运用基础理论研究解决具体问题的能力。情感LI标：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。 过程LI标：通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。 （三）教学重难点 重点：会求闭氏间上连续函数可导的函数的最值. 难点：本节课突破难点的关键是：理解方程f‘（X）二0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点.所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法 二、说教法与学法 【教法】 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输.为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法】 对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用. 在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略, 并归纳岀自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习” o 三、说教学过程 本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入一一合作学习，探索新知一一 指导应用，鼓励创新一一归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织.
第 1 页 共 1 页 《导数及其应用》教学反思 高考对“导数及其应用”这部分的要求是：了解其背景，掌握其定义和几何意义，熟记求导公式和求导法则，利用导数知识解决函数中的有关问题：如有关曲线的切线问题，高次函数的单调性问题，极值或最值问题，恒成立或存在性问题等等。在高考中相应的试题频频出现，因此我们要十分重视本章的教学，在“导数及其应用”的教学中，我体会到应注意以下几个问题： 一、函数()y f x =在0x 处的导数()'0000()()lim x f x x f x f x x ?→+?-=?中，x ?可正可负，但不能为零。学生不好理解，第一次学习，老师应结合图像或动画给出解释，帮助学生透彻理解。 二、函数()y f x =在0x 处的导数()'0f x 与其在开区间(),a b 内的导函数（简称导数） () 'f x 不同， () 'f x 是一个与 () f x 有关的新函数，可用极限或求导公式求得，而 () '0f x 是一个与0 x 对应的唯一确定的值，而且，当() 'f x 中的x =0x 时，则 () 'f x = () 0'f x ，所 以要求 () '0f x ，可先求 () 'f x 再代人0x 即可。 在变速运动中，若位移函数() s s t =，则瞬时速度 ()'() v t s t = 关于求曲线()y f x =过某点的切线问题，我认为教材的处理不是很好，两个例题都是求曲线过某点 00(,) p x y 的切线，第一个是点 00(,) p x y 在曲线上，直接求此点的斜率 '0() k f x =，再由点斜式得切线方程，这种情况下只有一条切线。第二个是点00(,) p x y 不 在曲线上. 三、在利用导数求函数的单调区间，极值，最值时，一定先考虑函数的定义域。 虽然本章的重点是导数的应用：求函数的切线方程，单调区间、极值、最值。难点是导数概念的产生。教学中我打算使学生体会导数的演变过程，感受导数的思想和内涵，所以我在第一节课没有赶进度，而是慢慢地让学生理解函数的平均变化率，平均速度，为下一节的瞬时速度和函数的瞬时变化率即导数打下基础。我想只要学生理解了思想，掌握了方法，再加快训练的步伐应该不成问题。而且后面的重点并不难。
导数的几何意义教案 一、【教学目标】 1.知识与技能目标： （1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/ x f 的几何意义就是函数)(x f 的 图像在 0x x =处的切线的斜率。（数形结合），即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/＝切线的斜率 (2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。 2.过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 3.情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。 【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。 【课型】探究课 【教学重点与难点】 重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义 二、【教学过程】 （一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。 师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写： 导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/ （注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意 义奠定基础） 师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角
《函数的最大值和最小值与导数》教学设计 【课本教材内容分析】 本节教材知识间的前后联系，以及在课堂教学中的地位与作用： 导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。 新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。众所周知，函数又是中学数学研究导数的一个重要载体，因此函数问题涉及高中数学比较多的知识点和数学思想方法。 导数作为研究函数的一种重要工具，在宁夏高考进入新课标实验区之后，不但成为宁夏高考文理科数学的必考题，而且也逐渐成为高考试卷中起到拔高作用的热点难题。在学习时应引起我们教师和学生的充分重视。 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法与函数导数之间的关系及其简单的应用问题，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，并且以本节知识为基础，可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．为下一节“生活中的优化问题”的教学打下坚实的基础。这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值． 高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦. 【课堂教学三维目标】 根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标： 1．知识和技能目标 （1）．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；并且能理解函数最值与极值的区别和联系 （2）理解可导函数的最值存在的可能位置． （3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤． 2．过程和方法目标 （1）通过函数图象的直观，让学生发现函数极值与最值的关系，掌握利用导数求函数最值的方法。 (2) 在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识． (3) 培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． 3．情感态度和价值观目标 (1) 渗透数形结合的思想，体会导数在求函数最值中的优越性，优化学生的思维品质。 (2) 认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．
海口市2009年高中数学课堂教学优质课评比教学实录 1.1.3 导数的几何意义 李明（湖南师大附中海口中学） 12月4日于海南华侨中学 一、创设情境、导入新课 师：上节课我们学习了导数的概念，请回答：函数在0x x =处的导数0'()f x 的含义？ 生：函数在0x x = 处的瞬时变化率. ()()00/ 000()lim lim x x f x x f x y f x x x ?→?→+?-?==?? 师：那么，用定义求导数分哪几个步骤？同学们可参考教材第6页例1. 生：第一步：求平均变化率()00() f x x f x y x x +?-?=??； 第二步：求瞬时变化率，即()/ 00lim x y f x x ?→?=? 师：非常好，并且我们从求导数的步骤中发现：导数就是求平均变化率y x ??当x ?趋近于O 时的极限.明确 了导数的概念之后，今天我们来学习导数的几何意义.
21 y y -二、引导探究、获得新知 师：观察函数y=f(x)的图象，平均变化率y x ??在图中 有 什么几何意义？ 生：平均变化率表示的是割线AB 的斜率. 师：是的，平均变化率y x ?? 师：请看教材第7页图1.1-2： P 是一定点，当动点n P 沿着曲线y=f(x)趋近于点P 时，观察割线n PP 的变化趋势图. （多媒体显示【动画1】）
生：当点n P 沿着曲线y=f(x)趋近于点P 时，割线n PP 趋近于在P 处的切线PT. 师：看来这位同学已经预习了，他说的很对，“当点n P 沿着曲线y=f(x)逼近点P 时，即0x ?→，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.”这就是切线的概念. 师：观察图①，曲线y=f(x)与它的割线有2个交点，与它的切线PT 有1个交点. 那么，能否根据直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系？ 生：若曲线与直线有2个公共点，则它们相交；若曲线与直线有1个公共点，则它们相切. ① ② 师：观察图②，请指出（1）直线l 1与曲线L 是什么位置关系？（2）直线l 2与曲线L 是什么位置关系？ 生：直线l 1与曲线L 相交，直线l 2与曲线L 相切. 师：直线l 1与曲线L 有唯一公共点但它不是曲线的切线，l 2与曲线L 不只一个公共点，但它是曲线在A 处的切线.所以，今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系，应该从定义出发. 师：由切线的定义可知，
1 《函数的最大（小）值与导数》说课稿 一、说教材 （一）地位与重要性 函数的最大（小）值与导数是《高中数学》选修2-2的内容，本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f (x 是闭区间[a ，b ]上的连续函数，那么f (x 在闭区间[a ，b ]上有最大值和最小值” ，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．函数的最值问题与导数，不等式、方程、参数范围的探求及解析几何等知识综合在一起往往能编拟综合性较强的新型题目，可以综合考查学生应用函数知识分析解决问题的能力，从而成为高考的高档解答题，是近年来高考的热点之一. （二）教学目标 知识与能力目标：了解函数在某点取得极值, 会利用导数求函数的极大值和极小值. 以及闭区间上函数的最大(小值. ，培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。情感目标：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积 极性，树立学好数学的信心。 过程目标：通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、
抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。 (三教学重难点 重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值． 难点：。本节课突破难点的关键是：理解方程f ′(x =0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法 二、说教法与学法 【教法】 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 【学法】 对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳 2 出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”。
函数的最大(小)值与导数教案 §函数的最大值与导数 一、教学内容分析 1.在教材中的位置： 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》人教A版，第一章。第三节“导数在研究函数中的应用” 2.学习的主要工具： 基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。 3.学习本节课的主要目的： 本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后内容“生活中的优化问题”打好基础。 4.本节课在教材中的地位： 函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。 二、学情分析 学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于
运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。 三、课堂设计思想 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。 第 1 页共 7 页 四、教学目标 1．知识和技能目标 弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和 熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件。 掌握求在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大值和最小值的方法 和步骤。 复习巩固求函数最值的其他方法，例如单调性，基本不等式等。 2．过程和方法目标 问题驱动，自主探究，合作交流。培养学生在生活中学习数学的方法。