动能定理（有答案）
1. 理解动能的概念，会用动能的定义式进行计算。
2. 知道动能定理的适用条件，知道动能定理解题的步骤。
3. 会用动能定理解决有关的力学问题。知道用动能定理处理问题的优点。
重点：动能定理的应用 难点：用动能定理解决力学问题
知识梳理
一、动能
1. 定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能，用符号k E 来表示。
2. 公式：动能的大小2k mv 2
1
E =
。 3. 动能是一个标量，只有大小没有方向，其单位为焦耳（J ）。 4. 动能是状态量，对应物体运动的一个时刻。
5. 动能具有相对性，对不同的参考系，物体的速度具有不同的瞬时值，也就有不同的动能。在研究物体的动能时，一般都是以地面为参考系。例如鸟与飞机相撞的过程。 二、动能定理
1. 动能定理的内容：合外力对物体做的总功等于物体动能的改变量。
2. 动能定理的物理意义：定理提出了做功与物体动能改变量之间的定量关系。
3. 动能定理的表达式：22
21211122
k k W
E E mv mv =-=
- 4. 应用动能定理解题步骤： （1）确定研究对象和研究过程。
（2）分析物理过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，画受力示意图，及过程状态草图，明确各力做功情况，即是否做功，是正功还是负功。
（3）找出研究过程中物体的初、末状态的动能（或动能的变化量）
（4）根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。 5. 应用解题注意的问题：
（1）我们学习的是质点的动能定理，研究对象一般是单个物体。
（2）公式的左边W 表示研究过程中合外力对物体做的功，或研究过程中物体所受各外力做功的代数和；W>0表示合外力是动力对物体做正功，物体的动能是增加的;W<0表示合外力为阻力对物体做负功，物体的动能是减少的。
公式的右边是物体在研究过程中动能的增量，即末态动能与初态动能的差。公式是标量式。 （3）动能定理虽然是在恒力作用、物体做匀加速直线运动下推导出来的，但对外力是变力，物体做曲线运动时，动能定理同样适用，此时式中的W 为变力所做的功。
（4）变力功无法从功的定义式求得，可由动能定理求出。就象由冲量的定义式无法求出变力的冲量只能由动量定理求出一样。
（5）若物体运动的过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以将全过程视为下一个整体来处理。
（6）动能定理对应的是下一个过程，并且它只涉及到物体的初、末状态的动能的整个过程中合外力做的功，它不涉及物体运动过程中的加速度、时间以及中间状态的速度和动能，因此用它处理问题时比较方便。
题型讲解
1. 恒力作用下的动能定理
物体从高出地面H 处由静止开始自由下落，不考虑空气阻力，落至地面的沙坑h 深处停止，如图所示.求物体在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？
【解析】法一：用牛顿定律和运动学公式求解.
物体先自由下落，然后匀减速运动，设物体落至地面时速度为v ，则
v 2=2gH
设沙坑中受到的平均阻力为F ，由牛顿第二定律得
F －mg =ma v 2=2ah
由以上三式得
h
h H mg F +=. 法二：物体运动分两个物理过程，先自由下落，然后做匀减速运动. 设落至地面时的速度为v ，由动能定理可得
22
1mv mgH =
第二个物理过程，由动能定理可得
22
1
0mv Fh mgh -=-
由两式解得
h
h H mg F +=. 法三：对全过程运用动能定理可得
mg (H +h )－Fh =0
解得
h
h H mg F +=. 【答案】
h
h
H + 点评:当物体的运动是由几个物理过程所组成，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个物理过程看做一个整体进行研究，从而避开每个运动过程的具体细节，具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点.特别是初末速度均为零的题目，显得简捷、方便.对于多过程的问题要找到联系两过程的相关物理量. 2. 变力做功情况下动能定理的应用
如图所示，质量为m 的小物体静止于长为l 的木板边缘.现使板由水平放置绕其另一端O 沿逆时针方向缓缓转过α角，转动过程中，小物体相对板始终静止，求板对物体的支持力对物体做的功.
【解析】由力的平衡条件可知，支持力F N ＝mg cos α，随板的转动（α增大）而减少，而方向始终与物体
的速度方向同向，是一个变力. 对物体的运动过程应用动能定理，有
W FN +W G +W f =0
其中W f 为静摩擦力做的功，且W f ＝0，W G ＝－mgl sin α，所以W FN ＝mgl sin α. 【答案】mgl sin α
3. 多物体多过程情况下动能定理的应用
质量为M 的机车，牵引着质量为m 的车厢在水平轨道上匀速直线前进，某时刻两者脱钩，机车行驶L 的路程后，司机发现车厢脱钩，便立刻关闭发动机让机车自然滑行，已知机车和车厢在运动中受阻力都是其重力的k 倍，机车的牵引力始终保持不变.试求机车、车厢都停止时，两者之间距离是多大？ 【解析】车厢、机车自脱钩到都停止，其位置如图所示
.
设机车牵引力为F ，对机车从脱钩到停止过程应用动能定理得
212
1
0)(Mv kmgs FL -=-+①
脱钩前，对机车和车厢整体F =k (M +m )g ②
由①②得kMg
mv gL m M k s 2
121
)(++=
对车厢脱钩到停止的过程，应用动能定理得
222
1
0mv kmgs -=-
解得kg
v s 22
2=
所以，两者都停止时，相距L M m M s s +=
-21
.【答案】L M
m
M + 第17讲 重力势能、机械能守恒定律、能量守恒
教学目标
1. 理解重力势能、机械能、能量守恒的概念，并会对其进行计算.
2. 理解重力势能的变化和重力做功的关系，能熟练应用机械能守恒定律解决力学问题. 重点：1. 重力势能的变化和重力做功的关系 2. 机械能守恒定律以及它的含义和适用条件。 难点：机械能守恒定律以及它的含义和适用条件。
知识梳理
一、重力势能
1. 定义：通俗地说，物体由于被举高而具有的能量叫重力势能，用符号E p 表示，物体的质量越大，离地
越高，重力势能就越大。
2. 定义式：E P=mgh，即物体的重力势能E p等于物体的重量mg和它的高度h的乘积。
3．单位：在国际单位制中是焦耳(J)。
4．重力势能是状态量。
5．重力势能是标量，即只有大小，没有方向。
6．重力势能的相对性
要确定重力势能的大小，首先必须确定一个参考平面(高度为零，重力势能为零的一个水平面)。相对于不同的参考平面，在确定位置上的物体的重力势能有不同的值，这就是重力势能的相对性。例如：水平桌面离水平地面的高度为H，一小球在水平桌面上方h高处，选水平桌面为参考平面时，小球的重力势能为mgh；若选地面为参考平面，小球的重力势能就是mg(H+h)。
选择哪个平面做参考平面，原则上是任意的，而不是硬性规定的，因此重力势能虽是标量但却有正负之分。比如：物体在参考平面以上h高处，其重力势能为E P=mgh；当该物体在参考平面以下h低处，其重力势能就是-mgh，重力势能的正负可表示大小，比如对同一个参考平面，重力势能有一2 J和一3 J两个值，比较其大小有一2 J>一3 J。
实际问题中选择哪个水平面作为参考平面?可视研究问题的方便而定．通常(没有特别说明时)选择地面作为参考平面。
7．重力势能是属于系统的
如果没有地球，就没有重力，也就谈不上重力势能了，所以重力势能是属于物体与地球所组成的系统所有的。(重力势能的这个特点与动能不同，动能是运动物体单独具有的)通常我们说物体具有多少重力势能，只是一种简略的习惯说法(严格地说应是，某物体与地球这一系统具有多少重力势能)。
8．对重力势能相关问题的理解
(1)重力势能是一个相对量，它的数值决定于零势能位置(参考平面)的选择。
(2)同一个物体在两个位置上重力势能的变化量是绝对的，与零势能位置的选择无关。
(3)零势能位置的选择是任意的。实际问题中应以计算方便为原则。常见的是以地面为零势能位置。
(4)重力势能是一个标量，没有方向，但有正负。Ep>0时，表示物体的重力势能比在零势能位置时多；Ep (5)重力势能是物体和地球这一系统所共有的，不是物体单独所有的。通常说某物体的重力势能是多少，只是一种简化的说法。 二、重力势能的变化与重力做功的关系 1. 力对物体做正功时，物体的重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功； 2. 重力对物体做负功(或者说物体克服重力做功)时，物体的重力势能增加，增加的重力势能等于物体克服重力所做的功； 3. 其定量关系式为：WG=-△EP=EPl-EP2即重力对物体所做的功等于物体重力势能的增量的负值。 4. 要重力做功不等于零，重力势能就发生变化；也只有在重力做功不等于零时，重力势能才发生变化。以上结论不管是否有其他力对物体做功，也不管物体怎样运动均成立。 三、重力做功的特点 1. 重力所做的功只跟初位置和末位置的高度差有关，跟物体运动的路径无关。 2. 因为重力是恒力，大小恒定，方向总是竖直向下，根据恒力做功的公式可知，重力做功的大小由重力大小和重力方向上位移的大小即竖直方向上的高度差决定，与其他因素无关，所以只要起点和终点的位置相同，不论沿着什么路径由起点到终点，沿着直线路径也好，沿着曲线路径也好，重力所做的功相同。 3. 重力做功的这个特点，为我们提供了一个求重力做功的简单而重要的方法，也正因为重力做功有此特点，才能引入重力势能的概念。 四、弹性势能 1. 定义：物体由于发生(弹性)形变而具有的能量叫弹性势能。卷紧了的发条、被拉弯了的弓、被拉伸或压 缩的弹簧、击球时的羽毛球拍等都具有弹性势能。 2. 弹性势能存在于发生弹性形变的物体之中。 3. 弹性势能的大小跟物体的性质和形变的大小有关，形变越大，弹性势能越大。弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定，劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能越大。 五、机械能守恒 1. 机械能 动能和势能统称机械能，即E =E K ＋E P 。 2. 机械能守恒定律 （1）机械能能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这就是机械能守恒定律的内容。 （2）机械能守恒定律的表达式 如果物体除受重力和弹力作用外，不受其他外力的作用，若用1k E 和2k E 分别表示物体的初动能和末动能， W 表示重力所做的功，由动能定理有 12k k E E W -= 根据重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，则有 21P P E E W -= 故有 1221k k P P E E E E -=- 移项得 2211 k P k P E E E E +=+ 等号左侧为物体在初位的机械能，等号右侧为末位置的机械能，上式就是机械能守恒定律的表达式。 在实际应用中上式一般写为 2 222112 121mv mgh mv mgh +=+，列式时要选择势能零势面，并且速度v 应该是物体得对地速度。 另外，机械能守恒定律的表达式还常写作P k E E ?-=?,即系统动能的增加量等于势能的减小量。 使用此表达式解决问题时，不需要选择势能的零势面。 （3）机械能守恒定律的条件 ①选定的物体系内，只有重力（或弹力）做功，其他力对物体不做功。 ②除重力、弹力以外的其它力对物体做功，但是做的总功为零。 机械能守恒不能简单的理解为机械能的总量保持不变，因为机械能守恒是指能量转化过程中的守恒，不仅要求物体（或物体系）的总的机械能保持不变，还要求存在动能和势能的相互转化。那种没有动能和势能相互转化的机械能不变，不能看作是机械能守恒。例如，静止在桌面上的物体，其机械能不变，当然不违背机械能守恒。但是，这仅是一种一切力都不做功的特例，实际上，当把机械能守恒定律应用于这类问题时，既无意义也解决不了任何问题 3. 机械能的变化 根据机械能守恒定律，物体（或物体系）的机械能的变化与重力和弹力做功无关，也就是说物体（或物体系）机械能的变化等于除重力、弹力以外的其他力做功的大小，且除重力、弹力以外的其他力对物体做正功，物体机械能增加；除重力、弹力以外的其他力对物体做负功，物体的机械能减小。 而根据前面的学习，我们知道势能的变化仅与引起势能的力做功有关，且引起势能的力做正功，势能减小；引起势能的力做负功，势能增加。动能的变化等于合外力对物体做的功。 4. 几种作用类型的分析 （1）机械能守恒的条件决不是合外力的功等于零，更不是合外力为零，例如水平飞来的子弹打入静止的光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都为零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减小。 （2）对于某个物体系内，只有重力或弹簧的弹力做功，其他力不做功，其他力不做功或者其他力做功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹簧中弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化。 （3）对于物体系统只有动能和势能的互相转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则系统的机械能守恒。（4）对于一些绳子突然绷紧，物体间碰后粘合在一起的情况，除非题目特别说明，机械能必定不守恒。 5. 机械能守恒定律与动能定理的比较 机械能守恒定律和动能定理是力学中的两条重要的规律，在物理学中占有重要的地位，它们之间有明显的区别，但也有相同点，了解这些对应用这两条规律解决问题极为重要。 机械能守恒定律和动能定理都是从功和能量变化的角度来研究物体在力的作用下运动状态的改变，表达这两个规律的方程都是标量方程，这是它们的共同点。 机械能守恒定律是有条件的，就是只允许重力做功，而动能定理的成立是没有条件限制的，它不但允许重力做功，还允许其他力做功，这是它们的不同点之一。 在研究、解决做功的能量变化的问题中，如果守恒条件得到满足，可以用守恒定律加以解决；如果守恒条件不具备，虽然无法应用守恒定律，但用动能定理照样可以解决问题。就是说当不能用守恒定律解决问题时，应该想到用动能定理来试一下。事实上，在守恒条件得到满足时，机械能守恒定律适用的场合，动能定理也照样适用。 6. 应用机械能守恒定律解题的步骤 （1）根据题意选取研究对象（物体或物体系） （2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。 （3）恰当的选取零势面，确定研究对象在研究过程的初末态的机械能。 （4）根据机械能守恒定律列方程 （5）求解验证 六、功能关系 1．能是物体做功的本领．也就是说是做功的根源．功是能量转化的量度．究竟有多少能量发生了转化，用功来量度，二者有根本的区别，功是过程量，能是状态量． 2．我们在处理问题时可以从能量变化来求功，也可以从物体做功的多少来求能量的变化．不同形式的能在转化过程中是守恒的． 3. 功和能量的转化关系 （1）合外力对物体所做的功等于物体动能的增量． W合=E k2一E k1（动能定理） （2）只有重力做功（或弹簧的弹力）做功，物体的动能和势能相互转化，物体的机械能守恒。 （3）重力功是重力势能变化的量度,即W G=－ΔE P重＝一（E P末一E P初) =E P初一E P末（4）弹力功是弹性势能变化的量度，即W弹＝一△E P弹＝一（E P末一E P初) =E P初一E P末（5）除了重力，弹力以外的其他力做功是物体机械能变化的量度，即W其他=E末一E初 （6）一对滑动摩擦力对系统做总功是系统机械能转化为内能的量度，即f·S相＝Q （7）电场力功是电势能变化的量度，即W E =qU=一ΔE =-(E 末一E 初）=E 初一E 末 （8）分子力功是分子势能变化的量度 七、能量守恒 能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式的能转化为另一种形式的能，或者从一个物体转移到另一个物体，能的总量保持不变。 1. 应用能量守恒定律的两条思路： （1）某种形式的能的减少量，一定等于其他形式能的增加量． （2）某物体能量的减少量，一定等于其他物体能量的增加量． 2. 摩擦力做功的过程能量转化的情况 （1）静摩擦力做功的特点 ①静摩擦力可以做正功，也可以做负功还可能不做功． ②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体（静摩擦力起着传送机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能量． ③相互摩擦的系统，一对静摩擦力所做功的代数和总等于零． （2）滑动摩擦力做功的特点： ①滑动摩擦力可以做正功，也可以对物体做负功，还可以不做功（如相对运动的两物体之一对地面静止，则滑动摩擦力对该物不做功）． ②在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力，对物体系统所做总功的多少与路径有关，其值是负值，等于摩擦力与相对路程的积，即W f =f 滑 ·S 相对 表示物体系统损失机械能克服了摩擦力做功，ΔE 损= f 滑·S 相对=Q （摩擦生热）． ③一对滑动摩擦力做功的过程，能量的转化和转移的情况：一是相互摩擦的物体通过摩擦力做功将部分机械能转移另一个物体上，二是部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量． 3. 用能量守恒定律解题的步骤 （1）确定研究的对象和范围，分析在研究的过程中有多少种不同形式的能（包括动能、势能、内能、电能等）发生变化． （2）找出减少的能并求总的减少量ΔE 减，找出增加的能并求总的增加量ΔE 增 （3）由能量守恒列式，ΔE 减=ΔE 增。 （4）代入已知条件求解． 题型讲解 1. 重力势能与弹性势能 如图所示，劲度系数为1k 的轻质弹簧分别与质量为1m 、2m 的物块1、2拴接，劲度系数为2k 的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上，整个系统处于平衡，试计算此时弹簧1k 、2k 中储存的弹性势能分别为多大？ 【解析】对物块1分析，它受竖直向下的重力和轻质弹簧1k 对它的竖直向上的弹力的作用，设轻质弹簧1k 的形变量为 1x ，则由平衡条件可得111x k g m ，所以可得轻质弹簧1k 中储存的弹性势能 为 1 22 12 111 221k g m x k E P ==。对物块1、2整体分析，受到竖直向下的大小为g m m )(21+的重力，轻质 弹簧 2k 对它的竖直向上的弹力作用，设轻质弹簧2k 的形变量为2 x ，则由平衡条件可得 2221)(x k g m m =+，所以可知弹簧2k 中储存的弹性势能为2 22212 222 P k 2g )m m (x k 21E +==。 【答案】1 2 2 112k g m E P = 2 2 2212 2)(k g m m E P += 2. 单个物体在变速运动中的机械能守恒问题 如图所示，一个光滑的水平轨道AB 与光滑的圆轨道BCD 连接，其中图轨道在竖直平面内，半径为R ，B 为最低点，D 为最高点．一个质量为m 的小球以初速度v 0沿AB 运动，刚好能通过最高点D ，则（ ） A ．小球质量越大，所需初速度v 0越大 B ．圆轨道半径越大，所需初速度v 0越大 C ．初速度v 0与小球质量m 、轨道半径R 无关 D 。小球质量m 和轨道半径R 同时增大，有可能不用增大初速度v 0 【解析】球通过最高点的最小速度为v ，有mg=mv 2 /R ，v= gR 这是刚好通过最高点的条件，根据机械能守恒，在最低点的速度v 0应满足 ?m v 02=mg2R ＋?mv 2，v 0= gR 5 【答案】B 3. 系统机械能守恒问题 如图所示，总长为L 的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？ 【解析】铁链的一端上升，一端下落是变质量问题，利用牛顿定 律求解比较麻烦，也超出了中学物理大纲的要求．但由题目的叙 述可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光滑”提示 我们无机械能与其他形式的能转化，则机械能守恒，这个题目我 们用机械能守恒定律的总量不变表达式E 2=E l ，和增量表达式ΔE P = 一ΔE K 分别给出解答，以利于同学分析比较掌握其各自的特点． （1）设铁链单位长度的质量为P ，且选铁链的初态的重心位置所在水平面为参考面，则初态E 1=0 滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4，E P/=－PLgL/4 E k2=?Lv 2即终态E 2=－PLgL/4＋?PLv 2 由机械能守恒定律得E 2= E 1有 －PLgL/4＋?PLv 2=0，所以v=2/gL （2）利用ΔE P =－ΔE K ，求解:初态至终态重力势能减少，重心下降L/4，重力势能减少－ΔE P = PLgL/4，动能增量ΔE K =?PLv 2，所以v=2/gL 点评：（1）对绳索、链条这类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置对物体来说，不是固定不变的，能否确定其重心的位里则是解决这类问题的关键，顺便指出的是均匀质量分布的规则物体常以重心的位置来确定物体的重力势能．此题初态的重心位置不在滑轮的顶点，由于滑轮很小，可视作对折来求 重心，也可分段考虑求出各部分的重力势能后求出代数和作为总的重力势能．至于零势能参考面可任意选 取，但以系统初末态重力势能便于表示为宜． （2）此题也可以用等效法求解，铁链脱离滑轮时重力势能减少，等效为一半铁链至另一半下端时重力势能的减少，然后利用ΔE P =－ΔE K 求解. 4. 机械能守恒定律与圆周运动结合 如图5—69所示，长为l 不可伸长的细绳一端系于O 点，一端系一质量为m 的物体，物体自与水平夹角300 （绳拉直）由静止释放，问物体到达O 点正下方处的动能是多少？ 【解析】vB= gl 2，其方向竖直向下，将该速度分解如图5一70所示 v2＝vcos300= gl 2cos300 由B 至C 的过程中机械能守恒 ?mv 2 2十mg0.5l=?mv 2 C 由此得?mv 2 C =5mgl/4 答案：5mgl/4 5. 功能关系 在水平地面上平铺n 块砖，每块砖的质量为m ，厚度为h ，如将砖一块一块地叠，需要做多少功？ 【解析】这是一道非常典型变质量与做功的题，先画清楚草图．根据功能关系可知：只要找出砖叠放起来 时总增加的能量 ΔE ，就可得到W 人＝ΔE ，而ΔE ＝E 末－E 初=nmgnh/2－nmgh/2=n （n －1）mgh/2 因此，用“功能关系”解题，关键是分清物理过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，列出这些变化了的能量即可． 【答案】n （n －1）mgh/2 6. 能量守恒 图中，容器A 、B 各有一个可自由移动的轻活塞，活塞下面是水，上面是大气．大气压恒定，A 、B 的底部由带有阀门K 的管道相连，整个装置与外界绝热，原先，A 中水面比B 中高，打开阀门，使A 中的水逐 渐向B 中流，最后达到平衡，在这个过程中．（ ） A ．大气压力对水做功，水的内能增加 B ．水克服大气压力做功，水的内能减少 C ．大气压力对水做功，水的内能不变 D ．大气压力对水不做功，水的内能增加 【解析】由题设条件可知，打开阀门k ，由于水的重力作用·水从A 流向B 中，由于水与器壁间的摩擦作用，振动一段时间最后达到平衡状态；A 和B 中水面静止在同一高度上，水受到重力、器壁压力和两水面上大气压力的作用，器壁压力与水流方向垂直，。不做功，最后A 、B 中水面等高。相当于A 中部分水下移到B 中，重力对水做功，设A 、B 的横截面积分别为S A 、S B ，两个活塞竖直位移分别为L A 、L B ，大气压力对容器A 中的活塞做的功为W A =P 0S A L A ，容器B 中的活塞克服大气压力做的功W B =P 0S B L B ，因此大气压力通过活塞对整个水做功为零，即大气压力对水不做功，根据能量守恒定律，重力势能的减少等于水的内能的增加，所以选项D 是正确答案．【答案】D 点评：本题的关键是取整个水为研究对象，明确它的运动情况。正确分析它的受力，确定水受的力在水运动过程中做的功，应用能的转化和守恒定律推断能量变化关系。
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