![人教版数学八年级上册 全等三角形中考真题汇编[解析版]](https://img.doczj.com/img28/14rqxoo5us4m9rw0asfte7n9hw86yyw2-81.webp)
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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，
且∠EAF＝1
2
∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．
（4）能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且
∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长．
【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN10．【解析】
试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得
EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△AD G，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作
∠CAD=∠BAM，截取AD=A M，连接CD，DN，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再证MN=ND，则求出ND的长度，即可得到答案．
解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）EF＝BE＋FD仍然成立．
证明：如答图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，
在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
又∵∠EAF＝1
2
∠BAD，
∴∠F AG＝∠F AD＋∠DAG＝∠F AD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－1
2
∠BAD＝
1
2
∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF与△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．
又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．
∴EF＝BE＋FD．
（3）如答图2，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝1
2
∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE＋FB成立．
∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）.
答：此时两舰艇之间的距离为210海里；
（4）如答图3，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，
在△ACD与△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，
则△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°，
∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°，
∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD，
又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°，
∴对于四边形AMCD符合探索延伸，
则ND=MN ，
∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3， ∴MN=ND=10．
2．（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF . （1）试说明：△AED ≌△AFD ；
（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE 的长；
（3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE 2的长.
【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130 【解析】
试题分析：()1由ABE AFC ≌， 得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠，
45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即
45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠，
从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌
得到ED FD =，再证明90DCF ∠=?，
利用勾股定理即可得出结论.
()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2
AH BH BC ===
1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长，即可求得2DE .
试题解析：()
1ABE AFC ≌，
AE AF =，BAE CAF ∠=∠，
45,EAD ∠=90,BAC ∠= 45,BAE CAD ∴∠+∠=
45,
CAF CAD
∴∠+∠=
即45.
DAF
∠=
在AED和AFD中，{
AF AE
EAF DAE
AD AD，
=
∠=∠
=
.
AED AFD
∴≌
()2AED AFD
≌，
ED FD
∴=，
,90.
AB AC BAC
=∠=?
45
B ACB
∴∠=∠=?，
45
ACF，
∠=?
90.
BCF
∴∠=?
设.
DE x
=
,9.
DF DE x CD x
===- 3.
FC BE
==
222,
FC DC DF
+=
()2
22
39.
x x
∴+-=
解得： 5.
x=
故 5.
DE=
()3过点A作AH BC
⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，
1
4.
2
AH BH BC
===
1
DH BH BD
=-=或7,
DH BH BD
=+=
22217
AD AH DH
=+=或65.
22
234
DE AD
==或130.
点睛：D是斜边BC所在直线上一点,注意分类讨论.
3．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.
（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD
（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的
点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+1
2
BC+CD.
【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）（1）运用SAS证明△ABE≌AFE即可；
（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得出DF=DC，即可得出结论；
（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE≌△AFE（SAS），△DGE≌△DCE（SAS），由全等三角形的性质得出BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=GE，∠CED=∠GED，进而证明△EFG是等边三角形；
（2）由△EFG是等边三角形得出GF=EE=BE=1
2
BC，即可得出结论．
【详解】
（Ⅰ）（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，
在△ABE 和△AFE 中，
AB AF BAE FAE AE AE ?
∠??
∠??＝＝＝， ∴△ABE ≌△AFE （SAS ）， （2）∵△ABE ≌△AFE ， ∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ， ∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE ， ∴FE=CE ，
∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°， ∴∠DEF=∠DEC ， 在△DEF 和△DEC 中，
FE CE DEF DEC DE DE ?
∠??
∠??＝＝＝， ∴△DEF ≌△DEC （SAS ）， ∴DF=DC ， ∵AD=AF+DF ， ∴AD=AB+CD ；
（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE=
1
2
BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ）， △DEG ≌△DEC （SAS ），
∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ， ∵BE=CE ， ∴FE=GE ，
∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°， ∴∠AEF+∠GED=60°， ∴∠GEF=60°， ∴△EFG 是等边三角形， （2）∵△EFG 是等边三角形， ∴GF=EF=BE=
1
2
BC ， ∵AD=AF+FG+GD ，
∴AD=AB+CD+1
2
BC ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 坐标为()6,0、()0,6，P 为线段AB 上的一点．
（1）如图1，若P 为AB 的中点，点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点，且保持
AM ON =，则在点M 、N 运动的过程中，探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点，过B 点作BD OP ⊥，交OP 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且PEA BDO =∠∠，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见解析；（2）OD=AE ，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；
（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题； 【详解】
（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下： 如图1中，连接OP ．
∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6）， ∴OB=OA=6，∠AOB=90°， ∵P 为AB 的中点，
∴OP=
1
2
AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，
在△PON 和△PAM 中，
ON AM PON PAM OP AP =??
∠=∠??=?
， ∴△PON ≌△PAM （SAS ）， ∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ， ∴∠NPM=∠OPA=90°， ∴PM ⊥PN ，PM=PN ．
（2）结论：OD=AE ．理由如下：
如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ． ∵BD ⊥OP ，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°， ∴∠AOG=∠DBO ， ∵OB=OA ， ∴△DBO ≌△GOA ， ∴OD=AG ，∠BDO=∠G ， ∵∠BDO=∠PEA ， ∴∠G=∠AEP ， 在△PAE 和△PAG 中，
AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△PAE ≌△PAG （AAS ）， ∴AE=AG ， ∴OD=AE ．
【点睛】
考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．如图1，在ABC ?中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．
（1）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE
、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时
DE AD BE
、、之间的数量关系（不需要证明）．
【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE，理由见解析；(2) DE=BE-AD
【解析】
【分析】
(1)DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE，证得
△ACD
≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，即有DE=AD-BE；
(2)DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD．证明的方法与(1)一样．
【详解】
(1)不成立．
DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE，
理由如下：如图，
∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB
=，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
90
ADC CEB
CAD BCE
AC CB
∠=∠=?
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
(2)结论：DE=BE-AD．
∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB
=，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
90
ADC CEB
CAD BCE
AC CB
∠=∠=?
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．
6．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC边的中点连接AD，则易证AD＝BD＝CD，即AD＝
1
2
BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于
1
2
BC．
理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，
即可证得AH＝BC，此时AD＝
1
2
BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．
（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；
（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出
△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还
有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．
（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．
【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.
【解析】
【分析】
（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．
【详解】
（1）证明：如图2中，
∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，
∴△ADB≌△HDC（SAS），
∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，
∴AB∥CH，
∴∠BAC+∠ACH＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACH＝∠BAC＝90°，
∵AC＝CA，
∴△BAC≌△HCA（SAS），
∴AH ＝BC ， ∴AD ＝DH ＝BD ＝DC ， ∴AD ＝
1
2
BC ． 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （2）解：有这样分关系式．
理由：如图4中，延长ED 到H 山顶DH ＝DE ．
∵ED ＝DH ，∠EDB ＝∠HDC ，DB ＝DC ， ∴△EDB ≌△HDC （SAS ）， ∴∠B ＝∠HCD ，BE ＝CH ， ∵∠B +∠ACB ＝90°， ∴∠ACB +∠HCD ＝90°， ∴∠FCH ＝90°， ∴FH 2＝CF 2+CH 2， ∵DF ⊥EH ，ED ＝DH ， ∴EF ＝FH ， ∴EF 2＝BE 2+CF 2．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF 2＝BE 2+CF 2． 证明方法类似（2）． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．已知：在ABC ?中，,90AB AC BAC =∠=?，PQ 为过点A 的一条直线，分别过
B C 、两点作,BM PQ CN PQ ⊥⊥，垂足分别为M N 、.
（1）如图①所示，当PQ 与BC 边有交点时，求证：MN CN BM =-；
（2）如图②所示，当PQ 与BC 边不相交时，请写出线段BM CN 、和MN 之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）MN BM CN =+（或BM MN CN =-或
CN MN BM =-），理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件先证AMB CNA ≌??，得到,AM CN BM AN ==，即可证得
MN CN BM =-；（2）由（1）知AMB CNA ≌??，得到,AM CN BM AN ==，即可
确定MN BM CN =+. 【详解】
证明：∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥， ∴∠AMB=∠CAN=90?, ∵∠BAC=90?， ∴∠CAN+∠ACN=90?，
∠CAN+∠BAM=90?（或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠） ∴BAM ACN ∠=∠， 在AMB ?和CNA ?中，
∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴()AMB CNA AAS ≌??， ∴,AM CN BM AN ==， ∵MN AM AN =-， ∴MN CN BM =-.
（2）MN BM CN =+（或BM MN CN =-或CN MN BM =-）. 理由：∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥， ∴∠AMB=∠CAN=90?, ∵∠BAC=90?， ∴∠CAN+∠ACN=90?，
∠CAN+∠BAM=90?（或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠）, ∴BAM ACN ∠=∠， 在AMB ?和CNA ?中，
∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴()AMB CNA AAS ≌??，
∴,AM CN BM AN ==， ∴MN AN AM BM CN =+=+. 【点睛】
此题考察三角形全等的应用，正确确定全等三角形是解题关键，由此得到对应相等的线段，确定它们之间的和差关系得到BM CN 、和MN 之间的关系式.
8．（1）在等边三角形ABC 中，
①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，且AE CD =，BD 与EC 交于点F ，则
BFE ∠的度数是___________度；
②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点，且AE CD =，BD 与EC 的延长线
交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；
（2）如图③，在ABC ?中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与
BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）． 【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠= 【解析】 【分析】
（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；
②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°； （2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α. 【详解】
解：（1）①如图①中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60；
②如图②，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∴∠CAE=∠BCD=′120°
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．
故答案为60；
（2）如图③中，
图③
点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴=，
OC OA
∴∠=∠=
OAC ACOα
=-，
∴∠=∠?
EAC DCBα
180
=，AE CD
AC BC
=，
AEC CDB
∴???，
∴∠=∠，
E D
∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．
BFE D DCF E ECA OACα
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
9．如图1，已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，D为CF上一点，且DA＝DB．
（1）求证：∠ACB＝∠ADB；
（2）求证：AC+BC＜2BD；
（3）如图2，若∠ECF＝60°，证明：AC＝BC+CD．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，证明Rt△DAM≌Rt△DBN，得出∠DAM=∠DBN，则结论得证；
（2）证明Rt△DMC≌Rt△DNC，可得CM=CN，得出AC+BC=2BN，又BN＜BD，则结论得证；
（3）在AC上取一点P，使CP=CD，连接DP，可证明△ADP≌△BDC，得出AP=BC，则结论可得出．
【详解】
（1）证明：过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，
∵CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，
∴DM＝DN，
在Rt△DAM和Rt△DBN中，
DA DB
DM DN
=
?
?
=
?
，
∴Rt△DAM≌Rt△DBN（HL），
∴∠DAM＝∠DBN，
∴∠ACB＝∠ADB；
（2）证明：由（1）知DM＝DN，
在Rt△DMC和Rt△DNC中，
DC DC
DM DN
=
?
?
=
?
，
∴Rt△DMC≌Rt△DNC（HL），
∴CM＝CN，
∴AC+BC＝AM+CM+BC＝AM+CN+BC＝AM+BN，
又∵AM＝BN，
∴AC+BC＝2BN，
∵BN＜BD，
∴AC+BC＜2BD．
（3）由（1）知∠CAD＝∠CBD，在AC上取一点P，使CP＝CD，连接DP，
∵∠ECF＝60°，∠ACF＝60°，
∴△CDP为等边三角形，
∴DP＝DC，∠DPC＝60°，
∴∠APD＝120°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCD＝120°，
在△ADP和△BDC中，
APD BCD
PAD CBD
DA DB
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ADP≌△BDC（AAS），
∴AP＝BC，
∵AC＝AP+CP，
∴AC＝BC+CP，
∴AC＝BC+CD．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G
(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；
(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。
(3)聪明的斯扬同学通过测量发现，当点 D 在线段 AB 上时，EG 的长始终等于 AC 的一半，他想当点D 运动到图 2 的情况时，EG 的长是否发生变化?若改变，说明理由；若不变，求出 EG 的长。
【答案】（1）4
3
；（2）见详解；（3）不变.
【解析】
【分析】
（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．当DF⊥AB时，通过解直角△BDF求得x的值，易得t 的值；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，构建全等三角形：△DHG≌△FCG，结合全等三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF；
（3）过F作FH⊥AC，可证△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再证△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解题．
【详解】
解：（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．
当DF⊥AB时，∵∠B=60°，
∴∠DFB=30°，
∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），
解得x=4
3
，
故t=4
3
；
（2）如图1，过点D 作DH ∥BC 交AC 于点H ，则∠DHG=∠FCG ．
∵△ABC 是等边三角形， ∴△ADH 是等边三角形， ∴AD=DH ． 又AD=CF ， ∴DH=FC ．
∵在△DHG 与△FCG 中，
DGH FGC DHG FCG DH FC ∠∠?
?
∠∠???
＝＝＝， ∴△DHG ≌△FCG （AAS ）， ∴DG=GF ；
（3）如图2，过F 作FH ⊥AC ， 在△ADE 和△CFH 中，
90AED FHC A FCH AD CF ∠∠???
∠∠???
＝＝＝＝， ∴△ADE ≌△CFH （AAS ）， ∴DE=FH ，AE=CH ， ∴AC=EH ，
在△GDE 和△GFH 中，
DEG FHG DGE FGH DE FH ∠∠??
∠∠???
＝＝＝∴△GDE ≌△GFH （AAS ）， ∴EG=GH ，
∴EG=1
2
EH=
1
2
AC．
【点睛】
本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△GDE≌△GFH是解题的关键．