2009年中考试题专题之17-等腰三角形与勾股定理试题及答案
一、选择题
1．（2009年山西省）如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°BC ＝3,AC ＝4,AB 的垂直平分
线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ） A ．
32 B ．76 C ．256
D ．2
【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质 【答案】B
2．(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都
是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是
A ．13
B ．26
C ．47
D ．94
【关键词】勾股定理 【答案】C
3．（2009年湖北十堰市）如图，已知Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝ 4，BC ＝3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）． A ．
π5168 B ．π24 C ．π5
84
D ．π12
4．(2009年湖州)如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD ⊥BC ，则ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比等于（ ）
A
D B
C
A ．1∶3
B ．2∶3
C
2 D
3
【关键词】等边三角形的性质，相似的性质 【答案】A
5．（2009年广西钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分
D ．CD 平分∠ACB
A
B
C
D
【关键词】全等三角形、等腰三角形三线合一． 【答案】A
6．（2009年衡阳市）如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB ＝1000米，BC ＝600米，AC ＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．AC 中点 D ．∠C 的平分线与AB 的交点
【关键词】勾股定理的逆定理，三角形中垂线 【答案】A
7．（湖北省恩施市）如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( )
A ．
B ．25 C
． D ．
35
8．（浙江省丽江市）如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平
D
C
E
F
A B
行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ A ） A ．172 B ．52 C ．24 D ．7
∴ 2
2
2
AD DB DE +=．
9．（2009白银市）如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4， 则⊙O 的半径为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 【关键词】勾股定理 【答案】
A
10．（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是
A ．
12 B ． 14 C ． 15 D ． 110
【关键词】勾股定理 【答案】C
11．（2009白银市）如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝（ ） A ．2
B ．3
C
．
D
．
l 1 l 2
l 3
A
C
B
【关键词】勾股定理，四边形的性质 【答案】C
13．（2009年烟台市）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点， 且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则 CD 的长为（ ） A ．
32
B ．
23
C ．
12
D ．
34
【关键词】等腰三角形 【答案】B
13． （2009年嘉兴市）如图，等腰△ABC 中，底边a BC =，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线
交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，设2
1
5-=k ，则DE ＝（ ▲ ） A ．a k 2 B ．a k 3 C ．2
k
a
D ．
3
k
a
【关键词】等腰三角形 【答案】A
14．（2009泰安）如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC ＝6，则DF 的长是 （A ）2 （B ）3 （C ）
2
5
（D ）4 【关键词】角平分线、中位线 【答案】B
A
D C
E B
A
D C
P
B 60°
15．（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A
． B ．25 C
．5 D ．35 【关键词】图形的展开、勾股定理 【答案】B
16．（2009恩施市）16．如图6，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是（ ） A
． B
． C
． D
． 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】
D
17．（2009丽水市）如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ） A
．172 B ．52 C ．24 D ．7
【关键词】直线与直线的距离、勾股定理，解直角三角形 【答案】A
18．．（2009年宁波市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【关键词】等腰三角形 【答案】B
19． （2009年滨州）如图3，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高 AD ＝8， 则边BC 的长为（ ） A ．21 B ．15 C ．6 D ．以上答案都不对 【关键词】勾股定理． 【答案】A
20．(2009武汉)9．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠ADO+∠DCO 的大小是（ ） A ．70° B ．110° C ．140° D ．150°
【关键词】等腰三角形 多边形的内角和 【答案】D
提示：∠BAO+∠BCO ＝∠ABO+∠CBO ＝∠ABC ＝70°，所以∠BOA+∠BOC ＝360°－140°＝220°，所以∠AOC ＝140°。
21．（2009重庆綦江）如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是（ ） A ．(4，0) B ．（1．0） C ．（-22，0） D ．（2，0）
B
C
O
A
D
A
C D B
l 1 l 2
l 3
A
C
B
y
【关键词】直角坐标系，等腰三角形 【答案】B
22．（2009威海）如图，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（ ） A ．20
B ．30
C ．35
D ．40
【关键词】等腰三角形 【答案】B
23．（2009襄樊市）如图，已知直线110AB CD DCF =?∥，∠，且AE AF =，则A ∠等于（ B ）
A ．30?
B ．40?
C ．50?
D ．70?
解析：本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵110AB CD DCF =?∥，∠，所以110EFB DCF ∠=∠=?，∴70AFE ∠=?，∵AE AF =，∴70E AFE ∠=∠=?，∴40A ∠=?，故选B 。
【关键词】平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理 【答案】B
24．（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）
A ．30o
B ．40o
C ．45o
D ．36o
A
F B
D
E
B
A
D
C
【关键词】等腰三角形
【答案】D
25．(2009年温州)如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分么BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是( )
A．7+5B．10 C．4+25D．12
【关键词】等腰三角形“三线合一”的性质
【答案】B
26．(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张
【关键词】等腰三角形性质，三角形相似的性质，梯形中位线
【答案】C
27．(2009年云南省)如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE 交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）
A．13 B．14
C．15 D．16
【关键词】垂直平分线 等腰三角形 【答案】A
（2009呼和浩特）在等腰ABC △中，AB AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A ．7 B ．11 C ．7或11 D ．7或10 【关键词】等腰三角形 【答案】 二、填空题
1． （2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4 cm ，则其腰上的高为 cm ．
【关键词】等腰三角形的性质
【答案】2．(2009年泸州)如图1，在边长为1的等边△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为 ． 【关键词】等边三角形． 【答案】
3
3
3．（2009年泸州）如图2，已知Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝ 4，过直角顶点C 作 CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ， 垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组
A
D E
B C
线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1＝ ，
=5
55
4C A A C
【关键词】勾股定理． 【答案】
512，4
5． 4．（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，
90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段 楼梯所铺地毯的长度应为 ．
【关键词】30°所对的直角边等于斜边的一半， 勾股定理．
【答案】（2+23）米．
5． （2009年滨州）已知等腰ABC △的周长 为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围 是 ．
【关键词】等腰三角形． 【答案】2．5＜x ＜5．
6． (2009年四川省内江市)已知Rt △ABC 的周长是344+，斜边上的中线长是2，则S △
ABC ＝____________
【关键词】边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，完全平方公式． 【答案】8
(2009年黄冈市)11．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度．
【关键词】等腰三角形 【答案】?70或?20
7．(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三
B
C
A
30°
角形围成的。在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
【关键词】勾股定理 【答案】76
8．（2009年湖南长沙）如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．
【答案】4
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。根据等腰三角形的三线合一可得：
)(362
121cm BC BD =?==
，在直角三角形ABD 中，由勾股定理得：222AD BD AB +=,所以，)(4352222cm BD AB AD =-=-=
。
9． （2009襄樊市）在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
解析：本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P 在BA 上时，BP ＝t ，AP ＝12-t ，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t ＝7；②当点P 在AC 上时， PC ＝24-t ，t+3＝2（24-t+3），解得t ＝17，故填7或17。 【关键词】等腰三角形的性质 【答案】7或17
10．（2009年浙江省绍兴市）如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P 在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为__________°（只需写出0°～90°的角度）．
【关键词】等腰三角形的性质
A
C D
B
【答案】50°
11．（2009年娄底）如图6，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝ ．
【关键词】勾股定理、切线的性质 【答案】
125
12．（贵州安顺）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车外围周长（图乙中的实线）是_____76_____．
13．（2009年浙江省湖州市）如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．
关键词】勾股定理，半圆 【答案】2π 14． （2009年宜宾）已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
第12题图
【关键词】勾股定理
C
A
B
S 1
S 2
【答案】
2
9． 15．（2009年长沙）如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，44BOC ∠=°，则A ∠的度数为 ．
答案：22° 【关键词】圆、角
16．（2009年长沙）如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．
答案：4
【关键词】等腰三角形 17．(2009年湖州)如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．
【关键词】勾股定理，圆的面积 【答案】2π
18．（2009临沂）如图，过原点的直线l 与反比例函数1
y x
=-的图象交于M ，N 两点，根据图象猜想线段MN 的长的最小值是___________．
C
A
B
S
1
S 2 A
C D
B
【关键词】反比例函数，勾股定理
【答案】19．（2009年漳州）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是_____________． 【关键词】三角形中位线定理，等边三角形 【答案】
4
20． （2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4 cm ，则其腰上的高为 cm ．
【关键词】等腰三角形的性质
【答案】21．（2009年）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．
【关键词】勾股定理 【答案】
22．（2009年安徽）13、长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），
则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．
【关键词】勾股定理
【答案】
23．（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；
如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．
【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理 【答案】10，
24．（2009年邵阳市）如图所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2，则这外圆锥的侧面积为______（结果保留π）。
【关键词】等边三角形；勾股定理 【答案】2π
25．(2009年云南省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点
D ，D
E ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM ． 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 ．（写出一个即可）
B A 6cm 3cm
1cm
【关键词】等腰三角形
【答案】△MBD 或△MDE 或△EAD
26．（2009辽宁朝阳）如图，ABC △是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．若2BC =，则DE DF +=_____________． 【关键词】正三角形与面积
三、解答题
1．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD//BC ，AB ＝DC,AD ＝2,BC ＝4，延长BC 到E ，使CE ＝AD ． （1）证明：ΔBAD ≌ΔDCE ；
（2）如果AC ⊥BD ，求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．
【关键词】在等腰梯形性质进行转化。 【答案】
（1）证明：AD BC CDA DCE ∴∠=∠ ∥，
． 又 四边形ABCD 是等腰梯形，BAD CDA ∴∠=∠， BAD DCE ∴∠=∠． AB DC AD CE == ，， BAD DCE ∴△≌△．
（2）AD CE AD BC =∴ ，∥，
四边形ACED 是平行四边形， AC DE ∴∥．
F E B
C D
A
B D
C E
M
A
D
A
B
E
C
F （第24题）
AC BD DE BD ⊥∴⊥ ，．
由（1）可知，BAD DCE △≌△，DE BD ∴=． 所以，BDE △是等腰直角三角形，即45E ∠=°， DF FE FC CE ∴==+．
四边形ABCD 是等腰梯形，而24AD BC ==，， 1FC ∴=． 2CE AD == 3DF ∴=．
．（2009年浙江省绍兴市）如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；
（2）求证：BD CE =．
【关键词】等腰三角形的性质
【答案】（1）ΔABD 是等腰直角三角形，90∠=°BAD ，所以∠ABD ＝45°,AB ＝AC,所以∠ABC ＝70°,所以∠CBD ＝70°+45°＝115°．
(2)AB ＝AC,90BAD CAE ∠=∠=°,AD ＝AE,所以ΔBAD ≌ΔCAE,所以BD ＝CE ．
2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，
，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．
（1）四边形OABC 的形状是 ， 当90α=°时，
BP
BQ
的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求
BP
BQ
的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．
（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使
1
2
BP BQ =
？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【关键词】勾股定理
【答案】解：（1）矩形（长方形）；
4
7
BP BQ =． （2）① POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°， COP A OB ''∴△∽△．
CP OC A B OA ∴
='''，即6
68
CP =， 92CP ∴=，7
2
BP BC CP =-=．
同理B CQ B C O '''△∽△，
CQ B C
C Q B C '∴
='''
，即10668CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=．
7
22
BP BQ ∴
=． ②在OCP △和B A P ''△中，
90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠??
'∠=∠=??''=?
，°，
， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△． OP B P '∴=． 设B P x '=，
在Rt OCP △中， 2
2
2
(8)6x x -+=，解得254
x =
． 12575
6244
OPB S '∴=??=△．
） （图3）
（图2）
x
（备用图）
（3）存在这样的点P 和点Q ，使1
2
BP BQ =． 点P
的坐标是19P ??- ???
，2764P ??- ???，． 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==，
12POQ S PQ OC =
△，1
2
POQ S OP QH = △， PQ OP ∴=．
设BP x =，
1
2
BP BQ =
， 2BQ x ∴=，
① 如图1，当点P 在点B 左侧时，
3OP PQ BQ BP x ==+=，
在Rt PCO △中，222(8)6(3)x x ++=，
解得11x =，21x = 9PC BC BP ∴=+=
19P ??
∴-
???
． ②如图2，当点P 在点B 右侧时，
OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．
在Rt PCO △中，2
2
2
(8)6x x -+=，解得25
4
x =
． PC BC BP ∴=-257844
=-
=，
2764P ??∴- ???
，．
综上可知，存在点19P ?
?
- ??
?
，2764P ??- ???，，使12BP BQ =．
3．(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，
以AD 为一边向右作正三角形ADE 。 （1）求ABC 的面积S ；
（2）判断AC 、DE 的位置关系，并给出证明。 【关键词】正三角形 【答案】
解：（1）在正ABC △
中，4AD ==
11
422
S BC AD ∴=
?=??． （2）AC DE 、的位置关系：AC DE ⊥．
在CDF △中， 9030CDE ADE ∠=-∠=°°，
180180603090CFD C CDE ∴∠=-∠-∠=--=°°°°°， AC DE ∴⊥． 4．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，
50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+．
（1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、
B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
【关键词】勾股定理、对称、设计方案 【答案】
P
图（1）
图（3）
图（2）
2010年中考数学复习试题汇编之17.2-等腰三角形与勾股定理 11．（2009年衡阳市）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ； （2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论． 【关键词】等腰三角形、矩形 【答案】解：（1）证明： AE DA DAE BAF BAC ⊥??=∠??=??=∠+∠∠+∠???? ? ?? ? ? ??=∠+∠∠∠?∠∠∠?∠90901802 1 )(21BAE BAD 180BAF BAC BAF 21 BAE BAF AE BAC 2 1BAD BAC AD ＝＝平分＝平分 （2）AB ＝DE ，理由是： DE AB D AE DAE AEB AE BE ADB BC AD BAC AD AC AB =?????? ??? ???=∠?=∠?⊥?=∠?⊥???? ∠=是矩形四边形平分B 90 90 90 12．（山东省临沂市） 如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45方向上． （1）求出A ，B 两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）． A B C D E
解：（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°． ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形． AO ∴= ，BO = ∴A B ， 两村的距离为AB AO BO =+==km ）． 方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ． 易证四边形CDBE 是矩形， ∴2CE BD ==． 在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==． ∴AB ==km ） ∴A B ， 两村的距离为． （2）作图正确，痕迹清晰． 作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于 1 2 AB 的长为 半径作弧，两弧交于两点M N ，， 作直线MN ； ②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求． （7分 13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千 米／时 (即 3 50 米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上， 北 东 B A C D l B A C D l N M O P
第十七章 勾股定理单元测试 （题数： 20 道 测试时间： 45 分钟 总分： 100 分） 班级： _______ 姓名： ________ 得分： ________ 、单选题（每小题 3分，共 24 分） 1．在△ ABC 中， AB= 2 ，BC= 5，AC= 3，则（ ） A. ∠ A=90 B. ∠ B=90 C. ∠ C=90 D. ∠ A=∠B 5．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 13cm ，则图中所有的正方形的面积之和为（ ） A. 169 cm 2 B. 196 cm 2 C. 338cm 2 D. 507 cm 2 6．如图，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所爬行的 最短路线的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 7 ．在直角三角形中，有两边分别为 3 和 4 ，则第三边是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 7 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S 2， ? ，按照此规律继续 下去，则 S 9 的值为（ ） 2．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝ 90°， BC ＝15， AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知 VABC 中， A 1 B 1 C ，则它的三条边之比为（ 23 A. 1:1: 2 C. 1: 2: 3 D. 1:4:1
全等三角形、勾股定理教案
从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即 22 2 90CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB ? ?=??∠=??=???⊥??=?? 四、全等三角形 1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； 2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 3、全等三角形的判定定理： ⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） ⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”； ⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”） ⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）； (5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 注意：对应相等意思是：例如三角形ABC 和三角形DEF ，AB 和DE 是对应边，AB=DE ；BC 和EF 是对应边，BC=EF ；AC 和DF 是对应边，AC=DF 角A 和角D 是对应角，角A=角D 角B 和角E 是对应角，角B=角E 角C 和角F 是对应角，角C=角F 这些对应关系都可以从题目给出的三角形XXX 和三角形yyy 中按顺序写好
勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。，那么这个三角形是直角三角形。 a . 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 b .若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c .定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222 a c b +=，那么以a ，b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时， 称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 （3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式
2020中考分类汇编等腰三角形与勾股定理 一、选择题 1．〔2018年山西省〕如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°BC ＝3,AC ＝4,AB 的垂直平分 线DE 交BC 的延长线于点E ，那么CE 的长为〔 〕 A ． 32 B ．76 C ．25 6 D ．2 【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质 【答案】B 2．(2018年达州)图是一株漂亮的勾股树，其中所有的四边形差不多上正方形，所有的三 角形差不多上直角三角形．假设正方形A 、B 、C 、D 的边长分不是3、5、2、3，那么最大正方形E 的面积是 A ．13 B ．26 C ．47 D ．94 【关键词】勾股定理 【答案】C 3．〔2018年湖北十堰市〕如图，Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝ 4，BC ＝3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，那么所得几何体的表面积是〔 〕． A ． π5168 B ．π24 C ．π5 84 D ．π12 A D B E C
4．(2018年湖州)如图，在正三角形ABC中，D，E，F分不是BC，AC，AB上的点，DE ⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，那么ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比等于〔〕 A．1∶3 B．2∶3 C ∶2 D ∶3 【关键词】等边三角形的性质，相似的性质 【答案】A 5．〔2018年广西钦州〕如图，AC＝AD，BC＝BD，那么有〔〕 A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB A B C D 【关键词】全等三角形、等腰三角形三线合一． 【答案】A 6．〔2018年衡阳市〕如图2所示，A、B、C分不表示三个村庄，AB＝1000米，BC ＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，那么活动中心P 的位置应在〔〕A．AB中点B．BC中点 C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点 【关键词】勾股定理的逆定理，三角形中垂线 【答案】A 7．〔湖北省恩施市〕如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，上只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( ) A． B．25 C ．D．35 D C E F A B
第十七章勾股定理 17.1勾股定理 第1课时勾股定理 二驹学旦匣 【知识与技能】 了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程 【过程与方法】 在探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他 人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性 【情感态度】 1. 通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情 2. 在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神 【教学重点】 探索和证明勾股定理? 【教学难点】 用拼图的方法证明勾股定理? '教学里程 一、情境导入，初步认识 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议， 被誉为数学界的“奥运会”?这就是本届大会会徽的图案（教师出示图片或照片） （1）你见过这个图案吗？ （2）你听说过“勾股定理”吗？ 【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代 数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”?通过对图片的观察，为学生积 极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料 二、思考探究，获取新知 毕达哥拉斯是古希腊著名数学家?相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系?请你也观察一下类似的图案（教材P22 图形），你有什么发现？ 【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形，再把
两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征. 【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和?问题等腰直角三角形三边 的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢？请同学们继续观察P23图17.1-3 ,运用割补法分别计算正方形A、B C和正方形A'、B'、C'的面积，看看它们之间有什么关系？ 【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C'的面积，教师巡视，针对学 生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积?一方面，正方形C的面积为： 52-4X Z X 2 X 3=25-12=13;另一方面也有正方形C的面积为：4X ? X 2X 3+1=13,而这两 种方法都可以从图中直接获得，同样可得到正方形C'的面积为34. 通过观察上述问题的探讨，若将直角三角形的两直角边记为a,b，斜边为c,则应有a2+b2=c2, 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方?上述结论我们都是通过特例而获得的， 是否对所有的直角三角形都能成立呢？有没有办法来证明呢？ 做一做 将一张白纸对折，再对折，然后随意画一个直角三角形，用剪刀沿画线裁出四个全等的直角 三角形，在较大直角边处标记b，较短直角边处标记a，斜边标记c，然后按图示方式拼图. (1)中间小正方形边长是多少？它的面积呢？ (2)你能由大正方形的面积的两种不同计算方法探讨出三角形三边a、b、c的数量关系吗? 不妨试试看. 【教学说明】通过动手操作，可激发学生学习兴趣，并在解决问题过程中体验探究的乐趣和成功的快乐，在快乐中学习，增长知识 最后师生共同探讨： 1 S大正方形=c2=4X 2 X a X b+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2. 即a2+b2=c2. 有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 教师简要阐述：现有记载的证明勾股定理的方法多达数百种，前面我们利用的面积法证明勾 股定理的方法实际上是我国古人赵爽的证法，所拼成的图案称为“赵爽弦图” 三、运用新知，深化理解
第17章 勾股定理知识点及典型 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体
勾股定理（1） 知识与技能：掌握勾股定理和他的简单的应用，理解定理的一般探究方法。 过程与方法：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数与形结合的数学思 想。 情感态度与价值观：在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。 教学重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边的长。 教学难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角形另一边的长。 教具准备：方格纸、4个全等的三角形，小黑板等。 教与学互动设计： 一、创设情境导入新课 引导学生观察课本第64页的地面图形，说说你发现了什么？ 提问：①图中有些什么形状？ ②三个正方形之间有什么关系？ ③通过②的结论你能有什么猜想？说说看。 二、实验操作探求新知 1.数格子 （1）要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 （2）要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 （3）要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 讨论、得出结论：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.证明猜想。 要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形，推理得出 a2+b2=c2
10c 20cm 3.得出结论 定理：经过证明被确认的命题叫做定理。 勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 三、应用迁移 例1.求下图中的字母A ，B 所代表的正方形的面积。 例2.一个文具盒的尺如 图，一根长30cm 的细 木棒能否放进这个文具 盒，为什么？ 练习：填空 （1）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=5,b=12,则c = (2) 在Rt ?ABC 中，∠B=90°，a=3,b=4, 则c = (3) 在等腰Rt ?ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AC ：BC ：AB= （4）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC ：AC ：AB= 探究2.
等腰三角形与勾股定理 一、选择题 1．(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、 B 、 C 、 D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是( A ．13 B ．26 C ．47 D ．94 2．（2009年广西钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB A B C D 3．（2009年衡阳市）如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB ＝1000米，BC ＝600米，AC ＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．AC 中点 D ．∠C 的平分线与AB 的交点 4．（湖北省恩施市）如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，有只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( ) A ． B ．25 C ． D ．35 5．（浙江省丽江市）如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ） A ．172 B ．52 C ．24 D ．7 l 1 l 2 l 3 A C B 第4题图 第5题图 图2
第十七章勾股定理教案 课题：17.1勾股定理（1） 课型：新授课 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股 定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 【学习重点】：勾股定理的内容及证明。 【学习难点】：勾股定理的证明。 【学习过程】 一、课前预习 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2 ）若D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。 （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长 问题：你是否发现2 3+2 4与25，2 5+2 12和213的关系，即2 3+2 4 25，2 5+2 12 2 13， 二、自主学习 思考： （图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ （3）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （4）你能发现课本图1－3中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （5）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 A B
第12 题图 A C D B 1．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车外围周长（图乙中的实线）是_________ 2．如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ． 3.已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，44BOC ∠=°，则A ∠的度数为 ． 5．如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ． 6．如图，过原点的直线l 与反比例函数1 y x =- 的图象交于M ，N 两点，根据图象猜想线段MN 的长的最小值是___________． 7．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是_____________． 8． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4 cm ，则其腰上的高为 cm ． 9．如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、计，则乙楼的高度是 米． 10、长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ． C A B S 1 S 2
第十七章：勾股定理知识点归纳 1.勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为口，由，斜边为C，那么 X 十变形公式C= a2b2，b= c2b2,a=.c2a2 2?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3?勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。 在3C 中a = 则c= a2b2, b= c2b2, a=、c2a2,②已知直角三角形一边，另外两边之间的数量关系 利用勾股定理：a2 b2c2，列方程求解。 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 2.2 2 如果三角形三边长a, b , c满足a b c ,那么这个三角形是直角三角形，
最长边所对的角等于90 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一
第十七章：勾股定理知识点归纳 种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状， 在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 较，若它们相等时，以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形； 时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以 为三边的三角形是锐角三角形； 作比 若，
三角形勾股定理公式 勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem或Pythagoras's theorem）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。 在平面一个直角三角形上用直线a的平方+直线B的平方=斜线C的平方 这就是勾股定理 经典证明方法细讲 方法一： 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC 的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴∠EGF = ∠BED， ∵∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴∠BED + ∠GEF = 90°， ∴∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴∠ABC = ∠EBD. ∴∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90°
又∵∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2 方法二 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°,
人教版初中数学第十七章勾股定理知识点
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第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 17.2 勾股定理的逆定理 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形. 3、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数 常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 b a c b a c c a b c a b c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A
第十七章勾股定理 一、选择题（共18小题；共90分） 1. 若直角三角形的三边长分别为，，，则的可能值有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 三角形的三边长，，满足，则此三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知的三边长分别为，，，则的面积为 ( ) A. B. C. D. 不能确定 4. 设，是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为，斜边长为，则的值是 ( ) A. B. C. D. 5. 下列各组数中是勾股数的是 ( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如果将长为，宽为的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是 ( ) A. B. C. D. 7. 中，，，高，则的长为 ( ) A. B. C. 或 D. 以上都不对 8. 三角形的三边长分别为（是自然数），这样的三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或直角三角形 9. 下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是 ( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点 落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 A. B. C. D. 11. 已知，，是的三边长，且满足，则的形状 是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
12. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线 顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是 A. B. C. D. 13. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点，， 连接，则的长为 A. B. C. D. 14. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格 点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15. 2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》， 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示)，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，那么的值为 A. B. C. D. 16. 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走米，小丽走直线用了分钟，小芳先 去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了分钟，从家到图书馆用了分钟，则以公园、图书馆和小芳家这三个地方为顶点所组成三角形为 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 17. 已知的三边为、、，且，，，则是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点， DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A ． 1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 如图，在△ABC 中，AB =AC ，?=∠40A ，则△ABC 的外角∠BCD ＝ °． 如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。 如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6，则AD=__________________. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1 B 2= B 1 A 2，连结A 2 B 2…按此规律上去，记∠A 2 B 1 B 2=1θ，∠3232A B B θ=，…，∠n+11A n n n B B θ+= 则⑴1θ= ； ⑵ n θ= 。 （第14题） A B C D
如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______． 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度． 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA． （1）求证：DE平分∠BDC； （2）若点M在DE上，且DC=DM， 求证：ME=BD． 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．
勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 二、 练习题 1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ） A. 第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．310 C.25 D ．5 12 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2
第 17 章 勾股定理单元测试 （时间：120 分钟 总分：120 分） 班级 学号 姓名 得分 一、相信你一定能选对！（每小题 3 分，共 30 分） 1. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 2. 三角形的三边长分别为 6,8,10，它的最短边上的高为( ) A. 6 B. C. D. 8 3. 下面几组数 : ①7,8,9；② 12,9,15 ；③ m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数 ,m > n ）；④ a 2 , a 2 + 1, a 2 + 2 .其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 4. 三角形的三边为 a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a:b:c=8∶16∶17 B ． a 2-b 2=c 2 C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a:b:c =13∶5∶12 5. 三角形的三边长为 (a + b ) 2 = c 2 + 2ab ,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形. 6．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是（ ） A ．5 B ．25 C ． 7 D ．5 或 7 7．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm ，c=10cm ，则 Rt△ABC 的面积是（ ） A. 24cm 2 B. 36cm 2 C. 48cm 2 D. 60cm 2 8．直角三角形中一直角边的长为 9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 9. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速 度都是 40 米/分，小红用 15 分钟到家，小颖 20 分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A ．600 米 B. 800 米 C. 1000 米 D. 不能确定 10.（2009 丽水市）如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ， A 三角形的顶点在相互平行的三条直线 l 1，l 2，l 3 上，且 l 1，l 2 之 C 间的距离为 2 , l 2，l 3 之间的距离为 3 ,则 AC 的长是（ ） A ． 2 17 B ． 2 5 C ． 4 2 D ．7 B l 3 l 2 l 1 二、你能填得又快又对吗？（每小题 3 分，共 24 分） 11. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则 AB 2+ AC 2 + BC 2 =_______．
第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理 01 基础题 知识点1 勾股定理的证明 1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2． 2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，能得到勾股定理吗？ 解：∵梯形的面积为12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12ab ＋1 2 c 2， ∴a 2＋2ab ＋b 2＝ab ＋ab ＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2. 知识点2 利用勾股定理进行计算 3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C ) A ．a 2＋b 2＝c 2 B ．b 2＋c 2＝a 2 C ．a 2＋c 2＝b 2 D ．c 2－a 2＝b 2 4．(2019·平顶山期末)在△ABC 中，∠B ＝90°.若BC ＝3，AC ＝5，则AB 等于(C ) A ．2 B ．3 C ．4 D .34 5．已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C ) A ．4 cm B ．4 3 cm C ．6 cm D ．6 3 cm 6．(2019·毕节)如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上．若EB ＝1，EC ＝2，则正方形ABCD 的面积为(B ) A .3 B ．3 C . 5 D ．5 7．(2019·洛阳期中)如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝5 cm ，BC ＝13 cm ，BD 是AC 边上的中线，则△BCD 的面积是15__cm 2． 8．(2019·郑州高新区期末)如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为64． 【变式】 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆S 1，S 2，S 3.若S 2＝32π，S 3＝18π，则斜边上半圆的面积S 1＝50π．