7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一
行的数是 98
2101? （可以用指数表示） 解：易知：
)(i 该数表共有100行；
)(ii 每一行构成一个等差数列，且公差依次为
989923212,...,2,2,1====d d d d )(iii 100a 为所求。
设第)2(≥n n 行的第一个数为n a ，则
2121122)2(-----+=++=n n n n n n a a a a
2
322]22[2---++=n n n a
2
2432222]22[2----+?++=n n n n a
2
33232--?+=n n a ......
2
112)1(2--?-+=n n n a 2
2
)1(-+=n n
故98
1002101?=a .
8、某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机
一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 27 （精确到分）． 解：旅客候车的分布列为
候车时间的数学期望为
2718
1
90121703615031302110=?+?+?+?+?
二、解答题
1、（14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆22
11612
x y +=交于不同两点
A ，
B ，与双曲线221412
x y
-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量
0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
解：（本小题满分14分）设直线m kx y l +=:（其中m k ,为整数）与椭圆22
11612
x y +=交
于不同两点A ，B ，与双曲线22
1412
x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线L ，使得向量
0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由。
解：由
?????=+
+=112
162
2
y x m kx y 消去y 化简整理得 04848)43(222=-+++m kmx x k
设),(),,(2211y x B y x A ，则2
21438k km
x x +-=+.
0)484)(43(4)8(2
221>-+-=?m k km （1）······4分
由???
??=-
+=112
422y x m kx y 消去y 化简整理得
0122)3(222=----m kmx x k
设),(),,(4433y x D y x C ，则2
4332k
km
x x -=+. 0)12)(3(4)2(2222>+-+-=?m k km （2）······8分 因为0AC BD +=，所以0)()(1324=-+-x x x x ，此时，0)()(1324=-+-y y y y .由
4321x x x x +=+，得
2
232438k km
k km -=+-
.
所以02=km ，或2
231
434k
k -=+-
.由上试解得0=k 或0=m .当0=k 时，由（1）和（2）得3232<<-m .因m 是整数，所以m 的值为.3,2,1,0,1,2,3---当0=m 时，
由（1）和（2）得33<<-k .因k 是整数，所以.1,0,1-=k 于满足条件的直线共有9条。···································14分
2、（15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}
n a
满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；
(Ⅱ)若1p =，1
4
q =
，求{}n a 的前n 项和． 解法一：（I ）由韦达定理知,0≠=?q βα又,p =+βα所以 ...)5,4,3(,)(2121=-+=-=----n a a qx px a n n n n n αββα
整理得
).(211----=-n n n n a a a a βαβ
令n n n a a b β-=+1，则,...).2,1(1==+n b b n n α所以｛n b ｝是公比为α的等比数列. 数列｛n b ｝的首项为：
.)()(222121αβαβαββαββ=+--+=--=-=p q p a a b
所以,11
2+-=?=n n n b αα
α即,...).2,1(11==-++n a a n n n αβ 所以,...).2,1(1
1=+=++n a a n n n αβ
①当042
=-=?q p ，,0≠=βα,...)2,1(,2111=+==+==++n a a p a n n n αβααα 变为,...).2,1(1
1=+=++n a a n n n αα整理得，
,...).2,1(,111==-++n a
a a a n
n
n n 所以，数列｛n n a a ｝成公差为1的等差数列，其首项为
221
==
α
α
α
a ，所以
.1)1(12+=-+=n n a n
n
α
于是数列｛n a ｝的通项公式为
n
n n a α)1(+=·····················5分
②当042
>-=?q p 时，βα≠，
1
1+++=n n n a a αβ
1
+--+
=n n a ααβαββ ,...).2,1(11=---+=++n a n n n αα
βα
ααβββ
整理得，
,...).2,1(),(1
21=-+=-++++n a a n n n n αβαβαβα
所以，数列{}α
βα-++1
n n a 成公比为β的等比数列，其首项为
.2
221α
ββαβαβααβα-=-++=-+a 所以
.12
1-+-=-+n n n a βα
ββαβα
于是数列｛n a ｝的通项公式为
α
βαβ--=++1
1n n n a ················10分
（II ）若,41,1==q p 则,042=-=?q p 此时.2
1
==βα由第（I ）步的结果得，数列｛n a ｝的通项公式为n n n n n a 21
)21)(1(+=+=，所以，｛n a ｝的前n 项和为
n n n n n s 212...242322132++++++=-
14322
12...24232221+++++++=n n n n n s 以上两式相减，整理得
12
3
2321++-=n n n s 所以.23
3n
n n s +-
=·······``````····················15分 解法二：（I ）由由韦达定理知,0≠=?q βα又,p =+βα所以
.,2221αββαβα++=+=a a
特征方程02
=+-q p λλ的两个根为βα,.
①当0≠=βα时，通项,...)2,1()(21=+=n n A A a n n α.由2
213,2αα==a a 得
???=+=+2
221213)2(2)(α
αα
αA A A A 解得.121==A A 故
n
n n a α)1(+=···············5分
②当βα≠时，通项,...).2,1(21=+=n A A a n n n βα由αβ
βαβα++=+=2
221,a a 得
???++=++=+αββαβαβ
αβα2
22221
21A A A A 解得.,21α
ββ
αβα-=--=
A A 故 α
βαβαββαβα--=-+--=++++1
111n n n n n a ············10分 （II ）同解法一。
3、（15分）求函数y = 解：函数的定义域为]13,0[。因为
)13(213271327x x x x x x y -+++=-+++=
1327+≥
1333+=
当0=x 时等号成立。故y 的最小值为1333+················5分
又由柯西不等式得
22)1327(x x x y -+++=
,121))13(3)27(2)(3
1
121(=-+++++≤x x x
所以
.11≤y ····················10分 由柯西不等式等号成立的条件，得,27)13(94+=-=x x x 解得9=x .故当9=x 时等号成立。因此y 的最大值为11.·········· ·············15分
2009年全国高中数学联合竞赛加试
试题参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其它中间档次。
一、解答题（共4小题，每小题50分，共200分）
1、如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ?（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ?的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．
⑴求证：MP MT NP NT ?=?；
⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ?，QCB △的内心分别为1I ，2I ，
B
求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．
证明：（1）连NI ，MI .由于PC//MN ，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形。因此NP//MC ，PM//NC ······················ ······10分
连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为
MCI BCI MCB ACI MAC MIC ∠=∠+∠=∠+∠=∠,
所以MC=MI ，同理
NC=NI.
于是
NP=MI ，PM=NI.
故四边形MPNI 为平行四边形。因此PNT PMT S S ??=（同底，等高）······20分
又P ，N ，T ，M 四点共圆，故?=∠+∠180PMT TNP .由三角形面积公式
PMT
MT PM S PMT ∠?=
?sin 2
1
PNT NT PN S PNT ∠?=
=?sin 2
1
PMT NT PN ∠?=
sin 2
1
于是NT PN MT PM ?=?························30分
（2）因为
N CI QCI NQC ACI NCA NCI 1111∠=∠+=∠+∠=∠，
所以1NI NC =.同理2MI MC =.由NT NP MT MP ?=?得
.NP
MT
MP NT = 由（1）所证MP=NC ，NP=MC .故 2
1MI MT
NI NT =··············40分 又因
MT I QMT QNT NT I 21∠=∠=∠=∠，
有
MT I NT I 21~??.
故.21MTI NTI ∠=∠从而
2121TI I NTM NQM QI I ∠=∠=∠=∠.
因此T I I Q ,,,21四点共圆··························50分
2、求证不等式：
2111ln 12n k k n k =??
-<- ?+??
∑≤，1n =，2，… 证明：首先证明一个不等式： （1） .0,)1ln(1><+<+x x x x
x
事实上，令
.1)1ln()(),1ln()(x
x x x g x x x h +-
+=+-= 则对0>x ，
.0)1()1(111)(',0111)('2
2>+=+-+=>+-
=x x x x x g x x h 于是
.0)0()(,0)0()(=>=>g x g h x h
在（1）中取n
x 1=
得
（2） n
n n 1
)11ln(11<+<+·············10分 令∑=-+=n
k n n k k x 12
ln 1
，则21
1=x ， )11
1ln(121-+-+=--n n n x x n n
n
n n 112-+< .0)1(1
2
<+-=n
n 因此2
1
...11=<<<-x x x n n ·······················30分
又因为
)1
1ln(1ln )1ln 2(ln ...))2ln()1(ln())1ln((ln ln 1
1
∑-=+=+-++---+--=n k k n n n n n
从而
)1
1ln(11
1
12∑∑-==+-+=n k n
k n k k k x
1))11ln(1(21
12+++-+=∑-=n n
k k k n k )1
1
(1
12
k k k n k -+>∑-= ∑-=+-=1
12)1(1
n k k k
∑-=+-≥1
1)1(1
n k k k
11
1->+-=n
················50分
3、设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．
证法一：对任意正整数t ，令).!(k l t k m ??+=我们证明.1),(=l C k
m
设p 是l 的任一素因子，只要证明：p |/ k m C .
若p |/ !k ，则由
∏=+-=k
i k
m
i k m C k 1)(!
∏=+≡
k
i k tl i 1
)]!([(
∏=≡
k
i i 1
).(mod !p k ≡
即p 不整除上式，故p |/ k
m C ·························20分
若p | k !，设1≥α使!|k p α，但1
+αp
|/ k !.则)!(|1
k l p
+α.故由
∏=+-=k
i k m
i k m C k 1)(!
∏=+≡
k
i k tl i 1)]!([(
∏=≡
k
i i 1
).(mod !1
+≡αp
k
及α
p | k !，且1
+αp
|/ k !，知αp | k !k m C 且1
+αp
|/ k !k m C .从而p |/ k
m C ·········50分
证法二：对任意正整数t ，令.)!(2
k l t k m ??+=我们证明.1),(=l C k
m
设p 是l 的任一素因子，只要证明：p |/ k
m C .
若p |/ !k ，则由
∏=+-=k
i k
m
i k m C k 1)(!
∏=+≡
k
i k tl i 12
])!([(
∏=≡
k
i i 1
).(mod !p k ≡
即p 不整除上式，故p |/ k
m C ·························20分
若p | k !，设1≥α使!|k p α，但1+αp
|/ k !.21
)!(|k l p
+α.故由
∏-=+-=11
)(!k i k
m
i k m C k
∏=+≡
k
i k tl i 1
2
])!([(
∏=≡
k
i i 1
).(mod !1
+≡αp
k
及α
p | k !，且1
+αp
|/ k !，知αp | k !k m C 且1
+αp
|/ k !k m C .从而p |/ k
m C ·········50分
4、在非负数构成的39?数表
111213141516171
212223242526272829
313233343536373839
x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x
?? ?
= ? ??? 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表
111213
21
2223313233x x x S x x x x x x ?? ?
= ? ?
??
满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ??
?
? ???
（1k =，2，…，9）均存在某个
{}123i ∈，，使得
⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：
（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ?? ?
? ? ???
，*1k ≠，2，3使得33?数表
***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ?? ?'= ? ? ?
?
?
仍然具有性质()O ．
证明：（i ）假设最小值3,2,1},,,m in{321==i x x x u i i i i 不是取自数表S 的不同列。则存在一列不含任何i u .不妨设.3,2,1,2=≠i x u i i 由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是.3,2,1,2=
(ii)由抽屉原理知
},m in{},,m in{},,m in{323122211211x x x x x x
中至少有两个值取在同一列。不妨设
323231222221},m in{,},m in{x x x x x x ==.
由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111u x =.同样，第二列中也必含某个.2,1,=i u i 不妨设222u x =.于是333x u =，即i u 是数表S 中的对角线上数字：
111213212223313233x x x S x x x x x x ?? ?= ? ???
记M=｛1，2，...，9｝，令集合
}3,1},,m in{|{21=>∈=i x x x M k I i i ik
显然},|{323111x x x x M k I k k >>∈=且I ?3,2,1.因为32113818,1,x x x x ≥>，所以I ∈8.
故Φ≠I .于是存在I k ∈*
使得}|max {22*I k x x k k ∈=.显然，.3,2,1*≠k
下面证明33?数表
***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ?? ?'= ? ? ?
?
? 具有性质（O ）.
从上面的选法可知).3,1(},,min{},,min{:2121'
*===i x x x x x u i i ik i i i 这说明
332313112111},min{,},min{**u x x x u x x x k k ≥>≥>
又由S 满足性质（O ），在（3）中取*k k =，推得,22*u x k ≤于是**222221'
2},,{min k k x x x x u == 下证对任意的,M k ∈存在某个3,2,1=i 使得ik i x u ≥'
.假若不然，则
3,1},,m in{21=>i x x x i i ik 且*22k k x x >.这与*2k x 的最大性矛盾。因此，数表'S 满足性质
（O ）。·································30分
下证唯一性。设有M k ∈使得数表S
????
? ??=k k k x x x x x x x x x S 333
31
22221
11211? 具有性质（O ）.不失一般性，我们假定
111312111},,m in{x x x x u ==
（4） 222322212},,m in{x x x x u ==
333332313},,m in{x x x x u ==
3132x x <
由于3132x x <，2122x x <，及（i ），有.},,min{?11112111x x x x u
k ==又由（i)知：或者k k x x x x u
a 3332313},,m in{?)(==，或者.},,m in{?)(2222212k k x x x x u
b == 如果)(a 成立，由数表S
?具有性质（O ），则 11112111},,m in{?x x x x u
k == （5） 22222212},,m in{?x x x x u
k == k k x x x x u
3332313},,m in{?== 由数表S
?满足性质（O ），则对于M ∈3至少存在一个}3,2,1{∈i 使得3?i i x u ≥，又由（4），（5）式知，.?,?2322213111x x u x x u
<=<=所以只能有.?3333x x u k ≥=同样由数表S 满足性质（O ），可推得.333k x x ≥于是3=k ，即数表S
S ?=··············40分 如果)(b 成立，则
11112111},,m in{?x x x x u
k == （6） k k x x x x u
2222212},,m in{?== 32332313},,m in{?x x x x u
k == 由数表S
?满足性质（O ），对于M k ∈*，存在某个3,2,1=i 使得*?ik i x u ≥，由I k ∈*及（4）和（6）式知，.?,?33231111**u x x u
x x k k =>=>于是只能有.?222*k k x u x =≤类似地，由'S 满足性质（O ）及M k ∈可推得*2'
22k k x u x =≤，从而k k =*
············50分
