第十章?
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算法初步、统计、统计案例
第一节算法初步
1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． (2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． 2．程序框图
定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形． 3．三种基本逻辑结构及相应语句
[小题体验]
1．(教材习题改编)如图所示的程序框图的运行结果为________．
解析：因为a ＝2，b ＝4，所以输出S ＝24＋4
2＝2．5．
答案：2．5
2．执行如图的程序框图，则输出的结果为________．
解析：进行第一次循环时， S ＝
100
5
＝20，i ＝2，S ＝20>1； 进行第二次循环时， S ＝20
5
＝4，i ＝3，S ＝4>1；
进行第三次循环时，
S ＝4
5＝0．8，i ＝4，S ＝0．8<1，
此时结束循环，输出的i ＝4． 答案：4
1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
3．易混淆当型循环与直到型循环．
直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．
[小题纠偏]
1．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为( )
A ．i ＞7？
B ．i ＞9？
C ．i ＞10？
D ．i ＞11?
解析：选A ∵21＋23＋25＋27＝170，∴判断框内应补充的条件为i ＞7？或i ≥9？． 2．如图所示，程序框图的输出结果是________．
解析：第一次循环：S ＝1
2，n ＝4；
第二次循环：n ＝4<8，S ＝12＋1
4，n ＝6；
第三次循环：n ＝6<8，S ＝12＋14＋1
6
，n ＝8；
第四次循环：n ＝8<8不成立，输出S ＝12＋14＋16＝11
12．
答案：1112
考点一 算法的三种基本结构(基础送分型考点——自主练透)
高三培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数1y x x =+-的最小值为________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且10 2f ??= ???，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ? ??? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ? ??? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 ６．中心对称 例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+ D ．()3f x +是奇函数 ７．周期性的应用 例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算 一、选择题 培优点一 函数的图象与性质 对点增分集训
数学（理） 培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10 培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40
培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型93
2019届高三好教育精准培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数y x =+________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ??= ? ??，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ???? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ???? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 培优点一 函数的图象与性质
统计与统计案例 A 级 基础 一、选择题 1．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( ) A ．860 B ．720 C ．1 020 D ．1 040 2．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( ) A ．13 B ．19 C ．20 D ．51 3．“关注夕阳、爱老敬老”——某爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (单位：万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝mx ＋0.35，则预测2019年捐赠的现金大约是( ) A.5万元 C ．5.25万元 D ．5.5万元 4．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )
A.3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 5．(2019·衡水中学检测)某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按(0，10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下： 记甲种酸奶与乙种酸奶的日销售量(单位：箱)的方差分别为s21，s22，则频率分布直方图(甲)中的a的值及s21与s22的大小关系分别是() A．a＝0.015，s21 统计案例 一、选择题 1．(2018·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是( ) A ．①简单随机抽样，②系统抽样 B ．①分层抽样，②简单随机抽样 C ．①系统抽样，②分层抽样 D ．①②都用分层抽样 答案：B 解析：因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法，故选B. 2．(2018·贵州遵义联考)某校高三年级有1 000名学生，随机编号为0001,0002，…，1 000.现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是( ) A ．0927 B ．0834 C ．0726 D ．0116 答案：A 解析：系统抽样就是等距抽样，被抽到的编号满足0122＋5k ，k ∈Z .因为0927＝0122＋5×161，故选A. 3．(2018·江西九校联考(一))一组数据共有7个数，其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则这个数的所有可能值的和为( ) A ．3 B ．17 C ．－11 D ．9 答案：D 解析：设这个数是x ，则平均数为25＋x 7，众数为2，若x ≤2，则 中位数为2，此时x ＝－11，若2 2005年高考数学培优试题精选六 1. 年已知???<--≥+-=) 0() 0()(2 2x x x x x x x f ，则不等式02)(>+x f 解集是（ ） A ．)2,2(- B ．),2()2,(∞+?--∞ C ．)1, 1(- D ．), 1()1, (∞+?--∞ 2. 若a,b R ∈则|a| <1，|b|<1，是|a+b|+|a-b|<2成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 设x x x f sin )(=,若1x 、?? ? ???-∈2,22ππx 且)()(21x f x f >，则下列不等式必定成立的 是 （ ） A ．21x x > B ．21x x < C ．2 22 1x x > D ．021>+x x 4. )x (f 是定义在R 上的偶函数,)x (g 是定义在R 上的奇函数,已知)x (g =)1x (f -,若)1(g -=2001,则)2004(f 的值是 ( ) A.2001 B.-2001 C.-2002 D.2002 5. 设函数f(x)的定义域是[-4，4]，其图象如图，那么不等式 0sin ) (≤x x f 的解集( ) A ．[-2，1] B ．[-4，2]∪[1，4] C ．[)π--，4∪[)02，-∪[)π，1 D ．不同于（A ）、（B ）、（C ） 6. 若方程021411 =+? ? ? ??+??? ??-a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．()1,∞- B ．)2,(--∞ C ．()2,3-- D ．()0,3- 第1章集合与常用逻辑用语 第1讲集合的概念与运算 板块一知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1集合与元素 1．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． 2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法． 4．常见数集的记法 考点2集合间的基本关系 A B或 B A ??A ?B(B≠?) 考点3集合的基本运算 A∪B＝A∩B＝?A＝ [必会结论] 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A. [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．() (2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A?B，则实数m＝1 或 m＝1 2.() (3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝?，则ρ所满足的条 件是ρ≥1.() (4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y ∈B}中有4个元素．() (5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．() 答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)× 2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x ＞3}，则A∩B＝() A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 答案 A 解析∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A. 3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0 一、选择题 1．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( ) A ．73 B ．78 C ．77 D ．76 解析：样本的分段间隔为80 16＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5 ＝78.故选B. 答案：B 2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示： 则这20A ．180,170 B ．160,180 C ．160,170 D ．180,160 解析：用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 答案：A 3．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确． 答案：A 4．(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( ) A ．5 B ．7 C ．10 D ．50 解析：根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50. 答案：D 5．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据： 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^ ＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 解析：∵x ＝2＋4＋5＋6＋8 5＝5， y ＝ 30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m 5 ， ∴当x ＝5时，y ＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m 5＝50，解得m ＝60. 答案：D 高中数学统计与统计案例概率知识点 统计与统计案例概率（文科） 知识点 1．抽样调查 (1)抽样调查 通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行______，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出______，这就是抽样调查． (2)总体和样本 调查对象的称为总______体，被抽取的称为样______本． (3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点： ①______ ②节约人力、物力和财力． 2．简单随机抽样 (1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率． (2)通常采用的简单随机抽样的方法：_____ 3．分层抽样 (1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 4．系统抽样 系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按______(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机 械抽样． 5．统计图表 统计图表是______数据的重要工具，常用的统计图表有______ 6．数据的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数． 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数． 平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该______ (2)样本方差 标准差s ＝ 1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， 其中x n 是样本数据的第n 项，n 是，______x 是______ 标准差是刻画数据的离散程度的特征数，样本方差是标准差的______．通常用样本方差估计总体方差，当______时，样本方差很接近总体方差． 7．用样本估计总体 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是______，另一种______． (2)在频率分布直方图中，纵轴表示，______数据落在各小组内的频率用______表示，各小长方形的面积总和等于.______ (3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图． (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且______，方便表示与比较． 2020届高三文科数学精准培优专练：离心率（附解析） 例1：已知椭圆2221(0)12 x y a a +=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该椭圆 的离心率为（ ） A ． 14 B ．12 C 例2：已知点P 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>右支上一点， 1F 是双曲线的左焦点， ） A C ． 例3：已知1F ，2F 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在C 上， 12||3||PF PF =，且121 cos 3 F PF ∠= ，则双曲线的离心率e =（ ） 三、利用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解e 二、构造a ，c 的齐次式求解e 一、直接求出a ，c 或求出a 与b 的比值求解e 例4：设点P 为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是 12PF F △的内心，若1IPF △，2IPF △，12IF F △的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=， 则双曲线的离心率为（ A ．2 B 一、选择题 1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A B ．1 C D ．2 对点增分集训 2．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则（ ） A ．222a b = B ．2234a b = C ．2a b = D ．34a b = 3．已知点(0,3)到双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线的距离为2，则C 的离心 率是（ ） A ． 32 B ．94 4．已知抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的 两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ） A C ．2 D 5．已知抛物线2 2(0)y px p =>与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>有相同的焦点F ，点A 是 两曲线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为（ ） A 1 B 1 C 6．设F 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径 的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（ ） A C ．2 D 7．设1A ，2A ，1 B 分别是椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右、上顶点，O 为坐标 原点，D 为线段1OB 的中点，过2A 作直线1A D 的垂线，垂足为H ，若2||3 A H =，则C 的离心率为（ ） 第17讲 统计与统计案例 A 组 一、选择题 1．某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（ ） A ．①②③ B ．②③ C ． ③④ D ．①④ 【答案】B 【解析】由题意得，从男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生，该抽样应该是简单的随机抽样，其中男生被抽到的概率为135 P = ，女生被抽到的概率为22 5P =，所以只有②③是正 确的，故选B. 2.如下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）。已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为（ ） A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 【答案】C 【解析】由中位数的定义可知5=x ，因8.16524930)85(?=+++++y ，故8=y ，应选C 。 3．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的结果，认为0H 成立的可能性不足1%，那么2 K 的一个可能取值为( ) A ．7.897 B.6.635 C. 5.024 D. 3.841 【答案】A 【解析】由题这种血清能起到预防感冒的作用为99%的有效率，显然0 6.635,k >所以选A. 4．下列说法正确的是 （ ） A ．在统计学中,回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B ．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点 中的一个点 C ．在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高 D ．在回归分析中,相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差 【答案】C a x b y ???+=),,(11y x ),,(22y x ),(,33y x ),(n n y x 2 R 98.02 R 80.0 专题突破练20 统计与统计案例 1. (2020吉林辽源高三检测,18)某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数.满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本.发现所有数据均在[40,100]内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,回答下列问题: (1)算出第三组[60,70)的频数,并补全频率分布直方图; (2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表) 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①;y ^ =-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^ =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 3.(2020河南郑州高三检测,19)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表: (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d. 统计与统计案例 第一节随机抽样 1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是( ) A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验 答案：D 2.总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( ) 答案：D 3.为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A．50 B．40 C．25 D．20 答案：C 4.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 答案：B 5.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案：4 6.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在 抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( ) A．90 B．100 C．180 D．300 答案：C 7.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________． 答案：5 8.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝() A．54 B．90 C．45 D．126 答案：B 9.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人). 从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________． 答案：30 10.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案：1800 11.某市有A、B、C三所学校，共有高三文科学生1 500人，且A、B、C三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取________人． 答案：40 2020届高三文科数学精准培优专练：外接球（附解析） 例1：已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =， AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ） A B ． C ．132 D ． 例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积是（ ） A C D 例3：已知,A B 是球O 的球面上的两点，90AOB ∠=?，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 三、其他柱体、锥体的外接球问题 二、与正棱锥有关的外接球问题 一、构造正方体与长方体的外接球问题 一、选择题 1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 则几何体的外接球的表面积为（ ） A ．3π B ． C ．12π D ． 3．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ． 32π 3 4．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD 体，则这个球的表面积为（ ） A ． 169π16 B ． 289π16 C ．25π 16 D ．8π 5，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ． D ．6π 对点增分集训 2012级高三数学培优资料（教师版） 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数 ] 31[-.所以泰勒 公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0' f x 0(x -x )+()0f''x 2!02(x -x )+???+ ()()0 n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x = ()(1)(1)! n f n ξ++10)(+-n x x 称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x +()02!f''2x +???+()()0! n f n n x +0()n x . 利用泰勒公式证明不等式：若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有 直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0) (x f n ,则有公式 )()(! )()(!2)()(!1)()()()(00)(2 00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得 统计与统计案例(文科) 统计与统计案例 第一节随机抽样 1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是( ) A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验 答案：D 2.总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( ) 答案：D 3.为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A．50 B．40 C．25 D．20 答案： C 4.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 答案：B 5.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案：4 6.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况， 在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( ) A．90 B．100 C．180 D．300 答案：C 7.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________． 答案：5 8.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝() A．54 B．90 C．45 D．126 答案：B 9.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人). 个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________． 答案：30 10.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案：1800 11.某市有A、B、C三所学校，共有高三文科学生1 500人，且A、B、C三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取________人． 答案：40 5.2异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断 高考命题规律 1.高考常考考题,属于立体几何“两小”常见的一个考点. 2.选择题或填空题,5分,中高档难度. 3.全国高考有2种命题角度,分布如下表. 命题角度1两条异面直线所成的角高考真题体验·对方向 1.(2019浙江·8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则() A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γ C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β G 为AC 中点,点V 在底面ABC 上的投影为点O ,则点P 在底面ABC 上的投影点D 在线段AO 上,过点D 作DE 垂直AE ,易得PE ∥VG ,过点P 作PF ∥AC 交VG 于点F ,过点D 作DH ∥AC ,交BG 于点H ,则α=∠BPF ,β=∠PBD ,γ=∠PED ,所以cos α= PF PB = EG PB = DH PB < BD PB =cos β,所以α>β,因为tan γ= PD ED > PD BD =tan β,所以γ>β.故选B . 2.(2018全国Ⅱ·9)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CC 1的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.√2 2 B.√3 2 C.√5 2 D.√7 2 DD 1的中点F ,连接AC ,EF ,AF ,则EF ∥CD ,故∠AEF 为异面直线AE 与CD 所成的角.设正方体边长为2a ,则易知AE=√AC 2+CE 2=3a , AF=√AD 2+DF 2=√5a ,EF=2a. ∴cos ∠AEF=(3a )2+(2a )2-(√5a )2 2×3a×2a =2 3. ∴sin ∠AEF=√53.∴tan ∠AEF=√5 2. 典题演练提能·刷高分 2018届高三文科数学培优资料（一） 圆锥曲线的方程与性质 一、知识整合 二、真题感悟： 1． (全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直 径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C 解析 由题意知：F ????p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2 ，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2 ，设以MF 为直径的圆的圆心为????52，y M 2，所以圆的方程为????x －522＋????y －y M 22＝25 4 ，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ????5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 2． (全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2 ，则C 的渐近线方程为 ( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 答案 C 解析 由e ＝c a ＝5 2知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k . 所以b a ＝12 . 即渐近线方程为y ＝±1 2x .故选C. 3． (山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23 －y 2 ＝1的右焦点的连线交C 1于 第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316 B.38 C.233 D.433 答案 D 解析 抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为??? ?0，p 2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±3 3 x . 由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ????33 p ，p 6. 由F 、F ′、M 三点共线得p ＝43 3 . 4． (福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3 (x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ________． 答案 3－1 解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2， 所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ， 所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a ＝3－1. 5． (浙江)设F 为抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两 点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 答案 ±1 解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组 ????? y ＝k (x ＋1) y 2 ＝4x .2019年高考数学统计案例(文科) 含解析
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