两条直线的位置关系判断
方法
设平面上两条直线的方程分别为1
1
1
1
2
2
2
2
:0,:0
l a x b y c l a x b y c ++=++=
一.行列式法
记系数行列式为112
2
,a
b D a
b =112
2
,x c b D c b -=
-112
2
y a c D a c -=
-
1
l 和相交?0D ≠
1
221b a b a ≠?
1
l 和2
l 平行?0,0x
D D =≠或0,0y
D D =≠
1
l 和重合?0===x
y
D D D 二.比值法
1
l 和相交2
12
1
b b a
a ≠
()0b ,a 2
2≠;
1
l 和垂直?0b a b a 2
21
1=+;
1
l 和平行2
1
212
1
c c b b a
a
≠=
()
0c ,b ,a 222≠;
1
l 和重合2
1
212
1
c c b b a
a
==
()0c ,b ,a 222≠
三.斜率法
1
1
1
2
2
2
:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=(条件:两直线斜率都存在,则可化成点斜式)
12l l ?与相交2
1k k ≠ ;
1
2
l l ?与平行2
121
b b k k
≠=, 12l l ?与重合2
121b b k k ==,;
12l l ?与垂直-1
.=21k k ;
特别提醒:在具体判断两条直线的位置关系时,先考虑比值法,但要注意前提条件(分母不为零);再考虑斜率法,但也有条件(两条直线的斜率都存在),最后选择行列式(无条件);
注:(1)两直线平行是它们的法向量(方向向量)平行的充分非必要条件; (2)两直线垂直是它们的法向量(方向向量)垂直的充要条件;
(3)两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在;
(4)两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1,或者一个存在另一个不存在;
例题分析
1.下列命题中正确的是……………………………………………………………………(B )
A.平行的两条直线的斜率一定相等
B.平行的两条直线倾斜角相等
C.两直线平行的充要条件是斜率相等
D.两直线平行是他们在y轴上截距不相等的充分条件
分析:A.两条直线斜率均不存在时也是平行,此时斜率不存在;
C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件;
D.既不充分也不必要条件,因为两条直线斜率均不存在时也是平行,此时不存在y 轴上的截距,反之显然不成立;
2、若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为a1,a2,斜率分别为k1,k2,则下列命题
(1)若l1∥l2,则斜率k1=k2;(2)若斜率k1=k2,则l1∥l2;
(3)若l1∥l2,则倾斜角a1=a2;(4)若倾斜角a1=a2,则l1∥l2;
其中正确命题的个数是…………………………………………………………………(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
分析:(2)(3)(4)对,此时要注意已知条件l1与l 2为两条不重合的直线
3、已知两条不重合的直线l 1,l 2的倾斜角分别为α1,α2,给出如下四个命题: ①若sin α1=sinα2,则l 1∥l 2 ②若cos α1=cosα2,则l 1∥l 2 ③若l 1⊥l 2,则tan α1tanα2=﹣1 ④若l 1⊥l 2,则sin α1sinα2+cosα1cosα2=0
其中真命题是…………………………………………………………………………( B ) A .①③ B .②④
C .②③
D .①②③④
分析:①sin α1=sin α2, 可知α1=α2 或α1 +α2 =π,因为倾斜角α1,α2的范围[)π0,,所以不一定推出;
②cos α1=cos α2 ,可知 α1=α2 ,因为倾斜角α1,α2的范围[)π0,,所以可以推出;
③如果成立的话,必须斜率存在,可是α1=π,α2 =
2
π
,致使斜率不存在; ④若两条直线斜率都存在时,显然成立,若两条直线斜率有一个不存在时也成立,
下证,不妨设α1=π,α2 =2
π
,此时也成立;
4、已知直线06y )2k (x 3:l 1=++-与直线02y )3k 2(kx :l 2=+-+,记
3
k 2k )2k (3D -+-=
.”0D =”是”两条直线1l 与直线2l 平行”的……………………………
( A )
A .充分不必要条件;
B .必要不充分条件 ;
C .充要条件;
D .既不充分也不必要条件
5、若直线1:l 22+=+x ay a 与直线2:l 1+=+ax y a 不重合,则12l l ∥的充要条件( C )
A. 1a =-;
B. 1
2
=a ; C. 1a =; D. 1a =或1a =-.
分析:法1:比值法,此时要保证分母不为零,故讨论
当0a =时,1:2=l x ;2:1=l y ,此时垂直,不满足条件,舍去 当1a -=时,1:0-=l x y ;2:0-=l y x ,此时重合,舍去
当10a -,≠时,12122
111
+?
=≠?=+a a l l a a a ∥ 法2.())1a (1a 2D );1a (2a D ,a 1D y x 2+-=+-=-=)(1a =? 类似也可以用斜率法,此时只需要讨论0a =和0a ≠两种情况
6、直线,01by x :l ,01y ax :l 21=-+=++则1b
a -=是21l l ⊥的………………………………
( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 分析:?⊥21l l 0b a =+
7、“a=2”是”直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的…………………………………………( C ) A.充分不必要条件; B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:(比值法:先观察有没有一条直线方程前面的系数是不是均为零,若有就把其作为分母) 直线ax+2y=0平行于直线x+y=1?
1
121a ≠=2a =? 8.已知直线()01m 4y )m m (x )3m m 2(:l 221=---+-+与直线()R a 03y )1a (x 2:l 2∈=+-- (1)m 为___1m ≠且98
m ≠-__时,21l l 与相交;
(2)m 为__6- __时,21l l 与垂直;
分析:直线方程含有参数m ,故必须保证这个方程表示的是直线(y ,x 前面的系数不全为零),故1≠m
(1)21l l 与相交?98
≠-m ; (2)21l l 与垂直?6=-m
9、已知直线()R ααsin x y :l 1∈=和直线c x 2y :l 2+=,则下列关于直线21l ,l 关系判断正确的有____.③____
①.通过平移可以重合;②不可能垂直;③可能与x 轴围成直角三角形; 分析:①如果两条直线平移之后可以重合,就必须满足斜率相同,可是2αsin ≠ ②如果两条直线垂直就必须斜率之积等于-1,此时12αsin -=?,6
π5α=
③由第②问中,可知这两条直线有可能垂直,故可能与x 轴围成直角三角形,因为只要有一个角是直角就可以啦;
10、若直线l 1:2x+(m+1)y+4=0与直线l 2:mx+3y ﹣2=0平行,则m 的值为( C ) A .﹣2
B .﹣3
C .2或﹣3
D .﹣2或﹣3
分析:同第5题
11、已知P 1(a 1,b 1)与P 2(a 2,b 2)是直线y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组
的解的情况是…………………………………………( B )
A . 无论k ,P 1,P 2如何,总是无解
B . 无论k ,P 1,P 2如何,总有唯一解
C . 存在k ,P 1,P 2,使之恰有两解
D . 存在k ,P 1,P 2,使之有无穷多解
分析:此时使用行列式法,否则用其他方程需要讨论,因为要保证使用条件,故下面只需要先判断1221b a b a -是否为0
证: 因为 P 1(a 1,b 1)与P 2(a 2,b 2)是直线y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点并且直线y=kx+1的斜率存在,
∴k=,即a 1≠a 2,并且b 1=ka 1+1,b 2=ka 2+1,
∴a 2b 1﹣a 1b 2=a 2 (ka 1+1)-a 1 (ka 2+1)=ka 1a 2﹣ka 1a 2+a 2﹣a 1=a 2﹣a 1
∴方程组有唯一解.