二次函数单元测试卷(解析版)
一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)
1.已知,抛物线y=-
1
2
x2 +bx+c交y轴于点C(0,2),经过点Q(2,2).直线y=x+4分别交x轴、y轴于点B、A.
(1)直接填写抛物线的解析式________;
(2)如图1,点P为抛物线上一动点(不与点C重合),PO交抛物线于M,PC交AB于N,连MN.
求证:MN∥y轴;
(3)如图,2,过点A的直线交抛物线于D、E,QD、QE分别交y轴于G、H.求证:CG ?CH 为定值.
【答案】(1)2
1
2
2
y x x
=-++;(2)见详解;(3)见详解.
【解析】
【分析】
(1)把点C、D代入y=-
1
2
x2 +bx+c求解即可;
(2)分别设PM、PC的解析式,由于PM、PC与抛物线的交点分别为:M、N.,分别求出M、N的代数式即可求解;
(3)先设G、H的坐标,列出QG、GH的解析式,得出与抛物线的交点D、E的横坐标,再列出直线AE的解析式,算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证.【详解】
详解:(1)∵y=-
1
2
x2 +bx+c过点C(0,2),点Q(2,2),
∴
2
1
222
2
2
b c
c
?
-?++
?
?
?=
?
=
,
解得:1
2b c =??=?
. ∴y=-
12
x 2
+x+2; (2) 设直线PM 的解析式为:y=mx ,直线PC 的解析式为:y=kx+2
由2
2122y kx y x x =+??
?=-++??
得
12
x 2
+(k-1)x=0, 解得:120,22x x k ==-, x p =22p x k =-
由2
1=22y mx y x x =???-++??
得
12
x 2
+(m-1)x-2=0, ∴124b
x x a
?=-
=- 即x p?x m =-4,
∴x m =4p x -=21
k -.
由24y kx y x =+??=+?
得x N =
2
1
k -=x M , ∴MN ∥y 轴.
(3)设G (0,m ),H (0,n ). 设直线QG 的解析式为y kx m =+, 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+
22
m
k -∴=
∴直线QG 的解析式为22
m
y x m -=
+ 同理可求直线QH 的解析式为22
n
y x n -=
+; 由222122m y x m y x x -?=+????=-++??
得
221
=222
m x m x x -+-++ 解得:122,2x x m ==-
2D x m ∴=-
同理,2E x n =-
设直线AE 的解析式为:y=kx+4,
由2
4122y kx y x x =+???=-++??
, 得
12
x 2
-(k-1)x+2=0 124b
x x a
∴?=-
= 即x D x E =4,
即(m-2)?(n-2)=4 ∴CG?CH=(2-m )?(2-n )=4.
2.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线L :y =ax 2﹣4ax (a >0)与x 轴正半轴交于点A .抛物线L 的顶点为M ,对称轴与x 轴交于点D . (1)求抛物线L 的对称轴.
(2)抛物线L :y =ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L ',抛物线L '的顶点为M ',若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形,求L '的表达式.
(3)在(2)的条件下,点P 在抛物线L 上,且位于第四象限,点Q 在抛物线L '上,是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点P 坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)2x =;(2)2
122
y x x =-
+ ;(3)存在,P 点的坐标为()
33,3+或()33,3-
-或()13,3-或()
13,3+-或31,2?
?- ??
?
【解析】 【分析】
(1)根据抛物线的对称轴公式计算即可.
(2)利用正方形的性质求出点M ,M ′的坐标即可解决问题. (3)分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可. 【详解】
解:(1)∵抛物线L :y =ax 2﹣4ax (a >0), ∴抛物线的对称轴x =﹣42a
a
-=2. (2)如图1中,
对于抛物线y =ax 2﹣4ax ,令y =0,得到ax 2﹣4ax =0, 解得x =0或4, ∴A (4,0),
∵四边形OMAM ′是正方形, ∴OD =DA =DM =DM ′=2, ∴M ((2,﹣2),M ′(2,2) 把M (2,﹣2)代入y =ax 2﹣4ax ,
可得﹣2=4a﹣8a,∴a=1
2
,
∴抛物线L′的解析式为y=﹣1
2(x﹣2)2+2=﹣
1
2
x2+2x.
(3)如图3中,由题意OD=2.
当OD为平行四边形的边时,PQ=OD=2,设P(m,1
2
m2﹣2m),则Q[m﹣2,﹣
1
2
(m﹣
2)2+2(m﹣2)]或[m+2,﹣1
2
(m+2)2+2(m+2)],
∵PQ∥OD,
∴1
2m2﹣2m=﹣
1
2
(m﹣2)2+2(m﹣2)或
1
2
m2﹣2m=﹣
1
2
(m+2)2+2(m+2),
解得m=33,
∴P33或(333或(133和33,
当OD是平行四边形的对角线时,点P的横坐标为1,此时P(1,﹣3
2 ),
综上所述,满足条件的点P的坐标为33或(333或(133)和
33)或(1,﹣3
2 ).
【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题
3.对于函数y=ax2+(b+1)x+b﹣2(a≠0),若存在实数x0,使得a2
x+(b+1)x0+b﹣2=x0成立,则称x0为函数y=ax2+(b+1)x+b﹣2(a≠0)的不动点.
(1)当a=2,b=﹣2时,求y=ax2+(b+1)x+b﹣2(a≠0)的不动点;
(2)若对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,且直线y =﹣x+2121
a +是线段AB 的垂
直平分线,求实数b 的取值范围.
【答案】(1)不动点是﹣1或2;(2)a 的取值范围是0<a <2;(3)b 的取值范围是﹣
4
≤b <0. 【解析】 【分析】
(1)将a =2,b =﹣2代入函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),得y =2x 2﹣x ﹣4,然后令x =2x 2﹣x ﹣4,求出x 的值,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;
(2)对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,可以得到x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)时,对于任何实数b 都有△>0,然后再设t =△,即可求得a 的取值范围;
(3)根据y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,可知点A 和点B 均在直线y =x 上,然后设出点A 和点B 的坐标,从而可以得到线段AB 的中点坐标,再根据直线y =﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线,从而可以求得b 的取值范围. 【详解】
解:(1)当a =2,b =﹣2时, 函数y =2x 2﹣x ﹣4, 令x =2x 2﹣x ﹣4, 化简,得x 2﹣x ﹣2=0 解得,x 1=2,x 2=﹣1,
即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点是﹣1或2; (2)令x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2, 整理,得 ax 2+bx+b ﹣2=0,
∵对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点, ∴△=b 2﹣4a (b ﹣2)>0,
设t =b 2﹣4a (b ﹣2)=b 2﹣4ab+8a ,对于任何实数b ,t >0, 故(﹣4a )2﹣4×1×8a <0, 解得,0<a <2,
即a 的取值范围是0<a <2; (3)由题意可得, 点A 和点B 在直线y =x 上,
设点A (x 1,x 1),点B (x 2,x 2),
∵A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点, ∴x 1,x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2=0的两个根, ∴x 1+x 2=﹣
b a
, ∵线段AB 中点坐标为(122x x +,122
x x
+), ∴该中点的坐标为(2b a -,2b a
-), ∵直线y =﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂直平分线,
∴点(2b a -,2b
a -)在直线y =﹣x+2121
a +上, ∴2b
a -
=21221
b a a ++
∴﹣b =
2
21
a a ≤
+4,(当a =2
时取等号)
∴0<﹣b
≤b <0,
即b 的取值范围是﹣4
≤b <0. 【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
4.已知点P(2,﹣3)在抛物线L :y =ax 2﹣2ax+a+k (a ,k 均为常数,且a≠0)上,L 交y 轴于点C ,连接CP .
(1)用a 表示k ,并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标; (2)当L 经过(3,3)时,求此时L 的表达式及其顶点坐标;
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图,当a <0时,若L 在点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,求a 的取值范围;
(4)点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)是L 上的两点,若t≤x 1≤t+1,当x 2≥3时,均有y 1≥y 2,直接写出t 的取值范围.
【答案】(1)k=-3-a ;对称轴x =1;y 轴交点(0,-3);(2)2
y=2x -4x-3,顶点坐标(1,-
5);(3)-5≤a <-4;(4)-1≤t ≤2. 【解析】 【分析】
(1)将点P(2,-3)代入抛物线上,求得k 用a 表示的关系式;抛物线L 的对称轴为直线
2a
x==12a
--
,并求得抛物线与y 轴交点; (2)将点(3,3)代入抛物线的解析式,且k=-3-a ,解得a=2,k=-5,即可求得抛物线解析式与顶点坐标;
(3)抛物线L 顶点坐标(1,-a-3),点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,这四个整点都在x=1这条直线上,且y 的取值分别为-2、-1、0、1,可得1<-a-3≤2,即可求得a 的取值范围;
(4)分类讨论取a >0与a <0的情况进行讨论,找出1x 的取值范围,即可求出t 的取值范围. 【详解】
解:(1)∵将点P(2,-3)代入抛物线L :2
y=ax -2ax+a+k ,
∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ;
抛物线L 的对称轴为直线-2a
x=-=12a
,即x =1; 将x=0代入抛物线可得:y=a+k=a+(-3-a)=-3,故与y 轴交点坐标为(0,-3);
(2)∵L 经过点(3,3),将该点代入解析式中, ∴9a-6a+a+k=3,且由(1)可得k=-3-a , ∴4a+k=3a-3=3,解得a=2,k=-5,
∴L 的表达式为2
y=2x -4x-3;
将其表示为顶点式:2
y=2(x-1)-5, ∴顶点坐标为(1,-5);
(3)解析式L 的顶点坐标(1,-a-3),
∵在点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,这四个整点都在x=1这条直线上,且y 的取值分别为-2、-1、0、1, ∴1<-a-3≤2, ∴-5≤a <-4;
(4)①当a <0时,∵2x 3≥,为保证12y y ≥,且抛物线L 的对称轴为x=1, ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上, 即t ≥-1且t+1≤3,解得-1≤t ≤2;
②当a >0时,抛物线开口向上,t ≥3或t+1≤-1,解得:t ≥3或t ≤-2,但会有不符合题意的点存在,故舍去, 综上所述:-1≤t ≤2. 【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,数形结合解题是关键.
5.如图1,抛物线2
1:C y x b =+交y 轴于()0,1A .
(1)直接写出抛物线1C 的解析式______________.
(2)如图1,x 轴上两动点,M N 满足:m n X X n -==.若,B C (B 在C 左侧)为线段
MN 上的两个动点,且满足:B 点和C 点关于直线:1l x =对称.过B 作BB x '⊥轴交1
C 于B ',过C 作CC x '⊥轴交1C 于C ',连接B C ''.求B C ''的最大值(用含n 的代数式表示).
(3)如图2,将抛物线1C 向下平移7
8
个单位长度得到抛物线2C .2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ,其横坐标为m .以OM 为直径作K ,记⊙K 的最高点为Q .若Q 在
直线2y x =-上,求m 的值.
【答案】(1)2
1y x =+;(2)1|n -;(3)14m =-
或12
m =- 【解析】 【分析】
(1)将()0,1A 带入抛物线1C 解析式,求得b 的值,即可得到抛物线1C 的解析式; (2)设(),0B q ,则()2,0C q -,求()2
B C ''
并进行化简,由1n q -≤<且12,
q
n <-得21n q -<,则当()
2max
B C ''??????时,取min 2q q n ==-,带入()2B C '',即可求得
()
max
B C '
'
;
(3)依题意将抛物线1C 向下平移
7
8
个单位长度得到抛物线2C ,求得2C 解析式,根据解析式特点设21,8M m m ??+ ???,得到2
22218OM m m ??=++ ??
?,由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:2111,22
28m OM m ??
??++ ? ?????,设Q y k =,则
2111228k OM m ??=
++ ???,化简得到22211084k m k m ?
?++-= ??
?,由Q 点在2y x =-上,得2Q k x m =-=-,继而得到2
31048m m -
+=,解得14m =-或12
m =-. 【详解】
解:(1)将()0,1A 带入抛物线2
1:C y x b =+,得b=1,
则2
1:1C y x =+,
(2)设(),0B q ,则()2,0C q -, ∴()
2
2
222
(2)(2)B C q q q q ''
??=--+--??
2204020q q =-+
()2
201q =-,
∵1n q -≤<且12,q n <-
21n q -<∴,
∴()
2
max
B C ''??????时,min 2q q n ==-, 即()
2
2220(21)20(1)B C n n ''
=--=-,
∴(
)
max
1|B C
n ''
=-,
(3)根据题意,将抛物线1C 向下平移7
8
个单位长度得到抛物线2C , ∴2
21:8
C y x =+
, ∴2
1,8M m m ??+ ??
?, ∴2
22218OM m m ??=++ ??
?,
∴由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:
2111,2228m OM m ??
??++ ? ????
?, 设Q y k =,则2111228k OM m ??
=
++ ???
, ∴2
22111428OM k m ??
??=-+ ??????
?, 化简上式得:2
2
2
11084
k m k m ?
?++
-= ??
?, ∵Q 点在2y x =-上,则2Q k x m =-=-, ∴k m =-为上述方程的一个解,
∴分析可知1()04k m k m ?
?+-=
??
?, 211
48
m m m -=+∴,
∴2
31
048
m m -
+=, 解得:114m =-,212m =-(经检验114m =-,212m =-是方程2
31048
m m -+=的
解),
故14m =-
或1
2
m =-. 【点睛】
本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识.解题关键是熟练掌握二次函数的性质,充分利用数形结合的思想.
6.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -. (1)若点(2,0)-也在该抛物线上,请用含a 的关系式表示b ;
(2)若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足:当120x x <<时,
()()12120x x y y --<;当120x x <<时,()()12120x x y y -->;若以原点O 为圆心,
OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C (点B 在点C 左侧),且ABC ?有一个内
角为60,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,若点P 与点O 关于点A 对称,且O 、M 、N 三点共线,求证:
PA 平分MPN ∠.
【答案】(1)21b a =-;(2)2
2y x =-;(3)见解析.
【解析】 【分析】
(1)把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式,然后整理函数式即可得到答案. (2)根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上,进而可得出0b =,由抛物线的对称性可得出ABC ?为等腰三角形,结合其有一个60?的内角可得出ABC ?为等边三角形,设线段BC 与y 轴交于点D ,根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标,再利用待定系数法可求出a 值,此题得解;
(3)由(1)的结论可得出点M 的坐标为1(x ,2
12)x -+、点N 的坐标为2(x ,
22
2)x -+,由O 、M 、N 三点共线可得出21
2
x x =-
,进而可得出点N 及点'N 的坐标,由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上,进而即可证出PA 平分MPN ∠. 【详解】
解:(1)把点()0,2-、()2,0-分别代入,得
2420c a b c =-?
?
-+=?
. 所以21b a =-.
(2),如图1,
当120x x <<时,()()12120x x y y --<,
120x x ∴-<,120y y ->, ∴当0x <时,y 随x 的增大而减小;
同理:当0x >时,y 随x 的增大而增大,
∴抛物线的对称轴为y 轴,开口向上,
0b ∴=.
OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C , ABC ∴?为等腰三角形,
又ABC ?有一个内角为60?, ABC ∴?为等边三角形.
设线段BC 与y 轴交于点D ,则BD CD =,且30OCD ∠=?, 又2OB OC OA ===,
·303CD OC cos ∴=?=,·
301OD OC sin =?=. 不妨设点C 在y 轴右侧,则点C 的坐标为31). 点C 在抛物线上,且2c =-,0b =,
321a ∴-=,
1a ∴=,
∴抛物线的解析式为22y x =-.
(3)证明:由(1)可知,点M 的坐标为1(x ,212)x -,点N 的坐标为2(x ,2
22)x -.
如图2,直线OM 的解析式为()110y k x k =≠.
O 、M 、N 三点共线,
10x ∴≠,20x ≠,且221212
22
x x x x --=,
1212
22
x x x x ∴-
=-, ()121212
2x x x x x x -∴-=-
,
122x x ∴=-,即21
2
x x =-, ∴点N 的坐标为12(x -
,21
4
2)x -. 设点N 关于y 轴的对称点为点'N ,则点'N 的坐标为12(x ,21
4
2)x -. 点P 是点O 关于点A 的对称点,
24OP OA ∴==,
∴点P 的坐标为()0,4-.
设直线PM 的解析式为24y k x =-,
点M 的坐标为1(x ,2
12)x -,
212124x k x ∴-=-,
2121
2x k x +∴=,
∴直线PM 的解析式为211
2
4x y x x +=-.
()
222111221111
224224
·42x x x x x x x +-+-==-,
∴点'
N在直线PM上,
PA
∴平分MPN
∠.
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次(二次)函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式;(2)①利用等边三角形的性质找出点C的坐标;
②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N在直线PM上.
7.如图,在平面直角坐标系x O y中,抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点,已知点A (-3,0),B(0,3),C(1,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;
(3)在直线x = -2上是否存在点M,使得∠MAC = 2∠MCA,若存在,求出M点坐标.若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)点(-
3
2
,
15
4
),△PDE的周长最大;(3)点M(-2,3)或(-2,3
【解析】
【分析】
(1)将A、B、C三点代入,利用待定系数法求解析式;
(2)根据坐标发现,△AOB是等腰直角三角形,故只需使得PD越大,则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标;
(3)作点A关于直线x=-2的对称点D,利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD,进而求得ME的长度,从而得出M坐标
【详解】
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(0,3),C(1,0),
∴
930
3
a b c
c
a b c
-+=
?
?
=
?
?++=
?
,解得:
1
2
3
a
b
c
=-
?
?
=-
?
?=
?
,
所以,抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)∵A (-3,0),B (0,3),
∴OA=OB=3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°, ∵PF ⊥x 轴,∴∠AEF=90°-45°=45°, 又∵PD ⊥AB ,∴△PDE 是等腰直角三角形,
∴PD 越大,△PDE 的周长越大,易得直线AB 的解析式为y=x+3, 设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ,
联立2
23
y x m y x x =+??=--+?,消掉y 得,x 2+3x+m-3=0, 当△=9-4(m-3)=0,即m=21
4
时,直线与抛物线只有一个交点,PD 最长, 此时x=-32,y=15
4,∴点(-32
,154),△PDE 的周长最大;
(3)设直线x=-2与x 轴交于点E ,作点A 关于直线x=-2的对称点D ,则D (-1,0),连接MA ,MD ,MC .
∴MA=MD ,∠MAC=∠MDA=2∠MCA , ∴∠CMD=∠DCM
∴MD=CD=2 , ∴3∴点M (-23)或(-2,3 【点睛】
本题是动点和最值的考查,在解决动点问题时,寻找出不变量来分析是解题关键,最值问题,通常利用对称来简化分析
8.如图,已知点()1,2A 、()()5,0B n n >,点P 为线段AB 上的一个动点,反比例函数
()0k
y x x
=
>的图像经过点P .小明说:“点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值逐渐增大,当点P 在点A 位置时k 值最小,在点B 位置时k 值最大.”
(1)当1n =时.
①求线段AB 所在直线的函数表达式.
②你完全同意小明的说法吗?若完全同意,请说明理由;若不完全同意,也请说明理由,并求出正确的k 的最小值和最大值.
(2)若小明的说法完全正确,求n 的取值范围. 【答案】(1)①1944y x =-+;②不完全同意小明的说法;理由见详解;当9
2
x =时,k 有最大值
8116
;当1x =时,k 有最小值2;(2)10
9n ≥;
【解析】 【分析】
(1)①直接利用待定系数法,即可求出函数的表达式; ②由①得直线AB 为1944y x =-+,则219
44
k x x =-+,利用二次函数的性质,即可求出答案;
(2)根据题意,求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+,设点P 为(x ,k
x
),则得到2210
44
n n k x x --=-,讨论最高项的系数,再由一次函数及二次函数的性质,得到对称轴52b
a -
≥,即可求出n 的取值范围. 【详解】
解:(1)当1n =时,点B 为(5,1), ①设直线AB 为y ax b =+,则
251a b a b +=??
+=?,解得:14
94a b ?=-????=??
,
∴1944
y x =-
+; ②不完全同意小明的说法;理由如下: 由①得19
44
y x =-
+, 设点P 为(x ,
k
x
),由点P 在线段AB 上则 1944
k x x =-+, ∴22191981
()444216
k x x x =-+=--+; ∵1
04
-
<, ∴当9
2x =
时,k 有最大值8116
; 当1x =时,k 有最小值2;
∴点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值先增大后减小,当点P 在点A 位置时k 值最小,在9
2
x =
的位置时k 值最大. (2)∵()1,2A 、()5,B n , 设直线AB 为y ax b =+,则
25a b a b n +=??
+=?,解得:24
104n a n b -?=???-?=??
, ∴21044
n n
y x --=
+, 设点P 为(x ,
k
x
),由点P 在线段AB 上则 2210
44
n n k x x --=
-, 当
2
04
n -=,即n=2时,2k x =,则k 随x 的增大而增大,如何题意; 当n≠2时,则对称轴为:10
10
42242
n n x n n --==--;
∵点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值逐渐增大,当点P 在点A 位置时k 值最小,在点B 位置时k 值最大.
即k 在15x ≤
≤
中,k 随x 的增大而增大; 当
2
04
n ->时,有 ∴2
04
10124n n n -?>???-?≤?-?
,解得:26n n >??≥-?,
∴不等式组的解集为:2n >; 当
2
04
n -<时,有 ∴2
0410524
n n n -???-?≥?-?,解得:
10
29n ≤<, ∴综合上述,n 的取值范围为:10
9
n ≥. 【点睛】
本题考查了二次函数的性质,反比例函数的性质,一次函数的性质,以及解不等式组,解题的关键是熟练掌握所学的知识,掌握所学函数的性质进行解题,注意利用分类讨论的思想进行分析.
9.在平面直角坐标系中,抛物线y=x 2+(k ﹣1)x ﹣k 与直线y=kx+1交于A ,B 两点,点A 在点B 的左侧.
(1)如图1,当k=1时,直接写出A ,B 两点的坐标;
(2)在(1)的条件下,点P 为抛物线上的一个动点,且在直线AB 下方,试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标;
(3)如图2,抛物线y=x 2+(k ﹣1)x ﹣k (k >0)与x 轴交于点C 、D 两点(点C 在点D 的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)A(-1,0) ,B(2,3)
(2)△ABP 最大面积
s=1927322288??=; P (1
2,﹣34
) (3)存在;k=25
【解析】 【分析】
(1) 当k=1时,抛物线解析式为y=x 2﹣1,直线解析式为y=x+1,然后解方程组
21
1
y x y x ?=?
=+?﹣即可; (2) 设P (x ,x 2﹣1).过点P 作PF ∥y 轴,交直线AB 于点F ,则F (x ,x+1),所以利用S △ABP =S △PFA +S △PFB ,
,用含x 的代数式表示为S △ABP=﹣x 2+x+2,配方或用公式确定顶点坐标即可.(3) 设直线AB :y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ,用k 分别表示点E 的坐标,点F 的坐标,以及点C 的坐标,然后在Rt △EOF 中,由勾股定理表示出EF 的长,假设存在唯一一点Q ,使得∠OQC=90°,则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ,设点N 为OC 中点,连接NQ ,根据条件证明△EQN ∽△EOF ,然后根据性质对应边成比例,可得关于k 的方程,解方程即可. 【详解】
解:(1)当k=1时,抛物线解析式为y=x 2﹣1,直线解析式为y=x+1. 联立两个解析式,得:x 2﹣1=x+1, 解得:x=﹣1或x=2,
当x=﹣1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3, ∴A (﹣1,0),B (2,3). (2)设P (x ,x 2﹣1).
如答图2所示,过点P 作PF ∥y 轴,交直线AB 于点F ,则F (x ,x+1).
∴PF=y F ﹣y P =(x+1)﹣(x 2﹣1)=﹣x 2+x+2.
S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF (xF ﹣xA )+PF (xB ﹣xF )=PF (xB ﹣xA )=PF ∴S △ABP=(﹣x 2+x+2)=﹣(x ﹣12)2+278
当x=
1
2时,yP=x 2﹣1=﹣34
.