第三章《直线与方程》单元测试题
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150°
[答案] C
[解析] 直线AB 的斜率为33－3－1－1＝－3，则直线AB 的倾斜角是120°.
2．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
[答案] D
[解析] Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，由AB <0，BC <0，得－A B >0，－C
B >0，故直
线Ax ＋By ＋C ＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
3．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
[答案] C
[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点(1＋m
2，0)在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标
代入直线方程，解得m ＝3.
4．已知直线(2m 2－m ＋3)x ＋(m 2＋2m )y ＝4m ＋1在x 轴上的截距为1，则实数m 的值为( )
A ．2或1
2
B ．2或－12
C ．－2或－1
2
D ．－2或1
2
[答案] A
[解析] 由题意，知直线过点(1,0)，代入直线方程整理得2m 2－5m ＋2＝0，解得m ＝2
或m ＝12
.
5．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( )
A ．19x －9y ＝0
B ．9x ＋19y ＝0
C ．3x ＋19y ＝0
D ．19x －3y ＝0
[答案] C
[解析] 解?????
x －3y ＋4＝0
2x －y ＋5＝0得???
x ＝－
19
7
y ＝37
，即直线l 1，l 2的交点是(－197，3
7
)，由两点式
可得所求直线的方程是3x ＋19y ＝0.
6．已知直线l 1：(k －3)x ＋(5－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．1或4 D ．1或2
[答案] C
[解析] 由题意得2(k －3)2－2(5－k )＝0，整理得k 2－5k ＋4＝0，解得k ＝1或k ＝4.故选C.
7．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(17，2
7)
C ．(27，17)
D ．(17，114
)
[答案] C
[解析] 直线方程变形为k (3x ＋y －1)＋(2y －x )＝0，则直线通过定点(27，1
7
)．
8．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝1
2x ＋4
C ．y ＝－2x －83
D ．y ＝12x －8
3
[答案] C
[解析] 直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k ＝－2，直线方程y ＝3x ＋4中，令y ＝0，则x ＝－43，即所求直线与x 轴交点坐标为(－4
3，0)．故所求直线方程为y ＝－
2(x ＋43)，即y ＝－2x －8
3
.
9．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0
[答案] D
[解析] 将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”：在直线x －2y ＋1＝0上取一点P (3,2)，点P 关于直线x ＝1的对称点P ′(－1,2)必在所求直线上，只有选项D 满足．
10．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )
A ．－4
B ．－2
C ．0
D ．2
[答案] B
[解析] 因为l 的斜率为tan135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝2－(－1)3－a ＝1，解
得a ＝0.又l 1∥l 2，所以－2
b
＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.
11．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的关系如右图所示，则( )
A ．b >0，d <0，a B ．b >0，d <0，a >c C ．b <0，d >0，a >c D ．b <0，d >0，a [解析] 由图象知－1a >－1c >0，－b a <0，－d c >0，所以c 0. 12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6) D ．(0,2) [答案] A [解析] 设B (x ，y )，根据题意可得????? k Ac · k BC ＝－1|BC |＝|AC | ， 即????? 3－43－0· y －3x －3＝－1(x －3)2 ＋(y －3)2 ＝ (0－3)2＋(4－3)2 ， 解得????? x ＝2y ＝0或????? x ＝4y ＝6 ，所以B (2,0)或B (4,6)． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a ＝________. [答案] －8 [解析] 根据题意可知k AC ＝k AB ，即12－28－3＝a －2－2－3，解得a ＝－8. 14．与直线7x ＋24y ＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________． [答案] 7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0 [解析] 设所求直线为7x ＋24y ＋m ＝0. 把直线7x ＋24y ＝5整理为一般式得7x ＋24y －5＝0. 由两平行直线间的距离公式得：|m ＋5| 72＋242 ＝3， 解得m ＝70或－80， 故所求直线方程为7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0. 15．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________． [答案] 3 2 [解析] 依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5| 2?|m ＋7|＝|m ＋5|?m ＝－6， 即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6| 2 ＝3 2. 16．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤ [解析] 两平行线间的距离为 d ＝ |3－1|1＋1 ＝2， 由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°， 所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°. [点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变． 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－34， (1)求直线l 的方程； (2)若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． [解析] (1)直线l 的方程为：y －5＝－3 4(x ＋2)整理得 3x ＋4y －14＝0. (2)设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0， d ＝|3×(－2)＋4×5＋n |32＋42＝3， 解得n ＝1或－29. ∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程． [解析] (1)设点C 的坐标为(x ，y )，则有x ＋52＝0，3＋y 2＝0， ∴x ＝－5，y ＝－3，故C 的坐标为(－5，－3)． (2)由题意在，M (0，－5 2 )，N (1,0)， ∴直线MN 的方程为x ＋ y －52 ＝1，即5x －2y －5＝0. 19．(本小题满分12分)求经过两直线3x ＋4y －5＝0与2x －3y ＋8＝0的交点M ，且与直线l 1：2x ＋y ＋5＝0平行的直线l 2的方程，并求l 1与l 2间的距离． [解析] 由????? 3x ＋4y －5＝02x －3y ＋8＝0解得? ???? x ＝－1y ＝2，所以交点M (－1,2)． 由直线l 2与直线l 1：2x ＋y ＋5＝0平行，得直线l 2的斜率为－2. 所以直线l 2的方程为y －2＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＝0. 由两平行直线间的距离公式，得l 1与l 2间的距离为|5－0| 22＋12 ＝ 5. 20．(本小题满分12分)根据下列条件求直线方程： (1)已知直线过点P (－2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1； (2)过两直线3x －2y ＋1＝0和x ＋3y ＋4＝0的交点，且垂直于直线x ＋3y ＋4＝0. [解析] (1)设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1. 由题意得??? ?? －2a ＋2b ＝1 12|ab |＝1 解得????? a ＝2，b ＝1，或????? a ＝－1 b ＝－2 故所求直线方程为x 2＋y ＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. (2)解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0，即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0. 由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0，得 －1 3·(－3＋λ3λ－2)＝－1. 解得λ＝310 . 故所求直线方程是3x －y ＋2＝0. 解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0. 由????? 3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，解得????? x ＝－1，y ＝－1， 即两已知直线的交点为(－1，－1)． 又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)， 故－3＋1＋m ＝0，m ＝2. 故所求直线方程为3x －y ＋2＝0. 21．(本小题满分12分)直线过点P (4 3，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点， O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： (1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6. 若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由． [解析] 设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)， 若满足条件(1)，则a ＋b ＋ a 2＋ b 2＝12， ① 又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2 b ＝1. ② 由①②可得5a 2－32a ＋48＝0， 解得????? a ＝4， b ＝3，或??? a ＝12 5 ， b ＝92， ∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y 9＝1， 即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 若满足条件(2)，则ab ＝12， ③ 由题意得，43a ＋2 b ＝1， ④ 由③④整理得a 2－6a ＋8＝0， 解得????? a ＝4，b ＝3或? ???? a ＝2， b ＝6， ∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y 6＝1， 即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. 综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0. 22．(本小题满分12分)有定点P (6,4)及定直线l ：y ＝4x ，点Q 是l 上在第一象限内的点，PQ 交x 轴的正半轴于点M ，问点Q 在什么位置时，△OMQ 的面积最小，并求出最小值． [解析] 如图，由点Q 在直线y ＝4x 上，设点Q (x 0,4x 0)，且x 0＞0.需求直线PQ 与x 轴的交点M 的横坐标，因为S △OQM ＝1 2 ·|OM |·4x 0＝f (x 0)是x 0的函数，利用函数求最小值的方法求得面积的最小值及点Q 的坐标． 设点Q (x 0,4x 0)(x 0＞0且x 0≠6)， ∴直线PQ 的方程为y －4＝4x 0－4 x 0－6(x －6)． 令y ＝0得x ＝5x 0 x 0－1， ∴点M 的坐标为(5x 0 x 0－1，0)． 设△OMQ 的面积为S ， 则S ＝12|OM |·4x 0＝10x 20 x 0－1， 即10x 20－Sx 0＋S ＝0. ∵x 0∈R ，∴关于x 0的一元二次方程有实根． ∴Δ＝S 2－40S ≥0，即S ≥40. 当S ＝40时，x 0＝2,4x 0＝8， ∴点Q 的坐标为(2,8)． 而当x 0＝6时，点Q 的坐标为(6,24)， 此时S＝1 2×6×24＝72＞40，不符合要求． 故当点Q的坐标为(2,8)时，△OMQ的面积最小，且最小值为40.
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