第七单元 三角函数
考点一 三角函数求值
1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1
3
,则cos (α-β)= .
【解析】∵α与β关于y 轴对称,∴α+β=π+2k π(k ∈Z ),则sin α=sin β=13
,∴|cosα|=
2√23,cos α=-cos β,∴cos (α-β)=-cos 2α+sin 2
α=-79
. 【答案】-79
2.(2016年全国Ⅲ卷) 若tan α=34
,则cos 2
α+2sin2α=( ).
A .6425
B .4825
C .1
D .1625
【解析】cos
2
α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×3
41+(34)
2=64
25.
【答案】A
3.(2016年上海卷)方程3sin x=1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 .
【解析】由3sin x=1+cos2x ,得3sin x=2-2sin 2
x ,所以2sin 2
x+3sin x-2=0,解得sin x=12
或sin x=-2(舍去),
所以原方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6
.
【答案】π6或5π6
考点二 三角函数的图象与性质
4.(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线C 1:y=cos x ,C 2:y=sin (2x +
2π
3
),则下面结论正确的是( ).
A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度,得到曲线
C 2
B .把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度,得到曲线C 2
C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12
,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度,得到曲线C 2
D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度,得到曲线C 2
【解析】因为C 2:y=sin (2x +
2π
3
)=sin (2x +π2+π6)=cos (2x +π6
),所以只需把C 1上各点的横坐标缩短到原
来的12
,纵坐标不变,再向左平移π12
个单位长度,即得到曲线C 2.
【答案】D
5.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f (x )=cos (x +π3
),则下列结论错误的是( ).
A .f (x )的一个周期为-2π
B .y=f (x )的图象关于直线x=8π3
对称
C .f (x+π)的一个零点为x=π6
D .f (x )在(π2
,π)上单调递减
【解析】函数f (x )的周期为2k π(k ∈Z ),故A 正确;
由x+π3
=k π(k ∈Z ),得x=k π-π3
(k ∈Z ),当k=3时,x=8π3
,故B 正确;
f (x+π)=-cos (x +π3),则当x=π
6时,f (x+π)=0,故C 正确;
函数f (x )的图象是由函数y=cos x 的图象向左平移π3个单位长度得到的,故函数f (x )在(-π3,2π
3
)上单调递减,在(
2π3,5π
3
)上单调递增,故D 错.
【答案】D
6.(2017年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin 2
x+√3cos x-34(x ∈[0,π2
])的最大值是 .
【解析】f (x )=sin 2
x+√3cos x-34=1-cos 2
x+√3cos x-34
=-(cosx -√3
2
)2
+1,∵x ∈[0,π2
],∴cos x ∈[0,1],∴f (x )的最
大值为1.
【答案】1
7.(2017年天津卷)设函数f (x )=2sin (ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f (5π8
)=2,f (11π
8
)=0,且f (x )的最小正
周期大于2π,则( ).
A.ω=23
,φ=π12
B .ω=23,φ=-
11π
12
C .ω=13,φ=-
11π
24
D .ω=13,φ=7π24
【解析】由题意知,函数f (x )的最小正周期为T=4(
11π8-5π8)=3π,∴ω=2
3
,即f (x )=2sin (2
3x +φ).
∵|φ|<π,f (5π8)=2,∴φ=π
12.
【答案】A
8.(2016年全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin2x 的图象向左平移π12
个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ).
A .x=kπ2-π6
(k ∈Z )
B .x=kπ2+π6
(k ∈Z )
C .x=kπ2-π12
(k ∈Z )
D.x=kπ
2+π
12
(k∈Z)
【解析】平移后的图象对应的解析式为y=2sin2(x+π
12),令2(x+π
12
)=kπ+π
2
(k∈Z),得对称轴方程为
x=kπ
2+π
6
(k∈Z).【答案】B
9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π
2),x=-π
4
为f(x)的零点,x=π
4
为y=f(x)图象的对称轴,
且f(x)在(π
18,5π
36
)上单调,则ω的最大值为().
A.11
B.9
C.7
D.5
【解析】由已知可得-π
4
ω+φ=kπ,k∈Z,①
π4ω+φ=mπ+π
2
,m∈Z,②
由①+②,得2φ=(k+m)π+π
2.因为|φ|≤π
2
,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±π
4
.
由①-②,得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.
因为函数f(x)在区间(π
18,5π
36
)上单调,所以只要该区间位于函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间即可,且
5π36-π
18
≤1
2
×2π
ω
,即ω≤12.
①当φ=π
4
时,f(x)=sin(ωx+π
4
),则kπ-π
2
≤π
18
ω+π
4
且5π
36
ω+π
4
≤kπ+π
2
,k∈Z,解得36k-27
2
≤ω≤36k+9
5
.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,故ω的最大值为9.
②当φ=-π
4
时,f(x)=sin(ωx-π
4
),则kπ-π
2
≤π
18
ω-π
4
且5π
36
ω-π
4
≤kπ+π
2
,k∈Z,解得36k-9
2
≤ω≤36k+27
5
.
由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤27
5
,故ω的最大值为5.
综上可知,ω的最大值为9.
【答案】B
高频考点:三角函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式.
命题特点:1.三角函数的图象和性质是高考考查的重点内容,而同角三角函数的基本关系式和诱导公式一般与性质和恒等变换相结合考查;
2.关于函数图象的平移考查得比较多,而函数图象的性质考查得比较全面;
3.以容易题和中档题为主,但考查的内容比较灵活.
§7.1三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公
式
一角的概念
1.任意角:(1)定义:角可以看成平面内的绕着端点从一个位置旋转到另一个位
置所成的.(2)分类:角按旋转方向分为、和.
2.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是
S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.
3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在
第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.
二弧度制
1.角度制和弧度制的互化:180°=πrad,1°=π
180rad,1rad=(180
π
)°.
2.扇形的弧长公式:l=|α|r ,扇形的面积公式:S=12lr=1
2|α|r 2
.
三 任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P (x ,y )
时,sin α= ,cos α= ,tan α=y x
(x ≠0).
四 同角三角函数的基本关系
1.平方关系: .
2.商数关系: .
五 诱导公式
组数
一
二
三
四 五
六
角 2k π+α(k ∈Z ) π+α -α
π-α
π
2
-α π
2
+α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α 正切
tan α
tan α -tan α -tan α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变 符号看象限
记忆 规律
奇变偶不变,符号看象限
已知点P (sin α,cos α)在第二象限,则角α的终边在( ).
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
cos 2π3
+tan225°=( ).
A.12 B .-12
C .32
D .-32
已知α∈(-π,-π2),且sin α=-12
,则cos α等于( ).
A .-12
B .12
C .-√32
D .√3
2
已知tan (2017π+α)=1
2,则
cosα-3sinα
2sinα+cosα
等于( ).
A .-2
B .1
2
C .-23
D .-14
在平面直角坐标系中,角α的终边过点P (2,1),则cos 2
α+sin2α的值为 .
已知一扇形的圆心角为α(0<α<2π),所在圆的半径为R.
(1)若α=π3
,R=10cm ,求扇形的弧长及面积;
(2)若扇形的周长是一定值C (C>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?
知识清单
一、1.(1)一条射线 图形 (2)正角 负角 零角 三、y x
四、1.sin 2
α+cos 2
α=1 2.
sinα
cosα
=tan α 五、cos α cos α sin α -sin α 基础训练
1.【解析】由题意得{
sinα<0,
cosα>0,
所以角α的终边在第四象限,故选D .
【答案】D
2.【解析】cos 2π3
+tan225°=-12
+1=12
.
【答案】A
3.【解析】|cosα|=√1?sin 2α=√1?(-12
)2
=√32
,∵α∈(-π,-π2
),∴cos α<0,∴cos α=-√3
2
,故选C .
【答案】C
4.【解析】tan (2017π+α)=tan α=1
2,所以cosα-3sinα2sinα+cosα=1?3tanα2tanα+1=-1
4
,故选
D .
【答案】D
5.【解析】∵平面直角坐标系中,角α终边过点P (2,1),∴x=2,y=1,r=|OP|=√5,∴cos α=x r =2√5=2√55,sin α=y r =1√5=√5
5
,
则cos 2
α+sin2α=4
5+2sin αcos α=45+45=85
.
【答案】85
6.【解析】(1)设弧长为l ,扇形面积为S ,
则α=π3,R=10,l=π3×10=
10π
3
cm , S=1
2×
10π3×10=50π3
cm 2
. (2)(法一)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,α=C
R
-2,
S 扇=12α·R 2=12(C R -2)R 2=12CR-R 2=-(R 2-C
2R)=-(R -C 4)2+C 2
16,
∴当R=C
4时,扇形面积取最大值C 2
16,此时α=C
R -2=2.
(法二)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,∴R=
C 2+α
. ∴S 扇=12α·R 2=12α·(C
2+α)2=C 2
2α·1
4+4α+α2=C 2
2·
1
α+4
α+4
≤C 216
.
当且仅当α2
=4,即α=2时,扇形面积取最大值C 216
.
题型一 任意角的三角函数
【例1】已知角α的终边经过点P (x ,-√2)(x ≠0),且cos α=√55x ,则√5sin α+1
tanα= .
【解析】∵P (x ,-√2)(x ≠0),
∴点P 到原点的距离r=√x 2+2.
又cos α=√5
5
x ,∴cos α=
x
2=√5
5x.
∵x ≠0,∴x=±√3,∴r=√5.
当x=√3时,√5sin α+
1tanα=-2√2+√62
;
当x=-√3时,√5sin α+
1tanα=-2√2-√6
2
.
【答案】-
2√2±√62
【变式训练1】已知角2α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边过点(-1,√3),2α∈[2π,4π),则sin α等于( ).
A.-12
B .12
C .-√3
2
D .23
【解析】由题意得,角2α的终边在第二象限且tan2α=-√3,∴2α=2π+2π3,即α=π+π3
,∴sin α=-√3
2
.
【答案】C
题型二 扇形的弧长、面积公式的应用
【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.
(1)若α=60°,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积. (2)若扇形的周长为4,求当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 【解析】(1)设弧长为l ,弓形面积为S 弓,则α=60°=π3
,l=π3
×10=
10π
3
, S 弓=S 扇-S △=1
2×
10π3
×10-12×102×sin π
3 =
50π3
-50√32=50(π3-√3
2). (2)扇形周长2R+l=2R+αR=4,∴R=
4α+2
,
∴S 扇=12αR 2=12α·(4
α+2)2
=8α4+4α+α2=
8
4+α+4α
≤1.
当且仅当α=4α
,即α=2时,扇形面积有最大值1.
理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长的公式.
【变式训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?
【解析】设扇形的半径为r ,弧长为l ,则l+2r=20,即l=20-2r (0 ∴扇形的面积S=12lr=1 2(20-2r )r=-r 2+10r=-(r-5)2+25. ∴当r=5时,S 有最大值25, 此时l=10,α=l r =2rad. ∴当α=2rad 时,扇形的面积取最大值. 题型三 同角三角函数基本关系式的应用 【例3】在△ABC 中,sin A+cos A=1 5. (1)求sin A cos A 的值; (2)求tan A 的值. 【解析】(1)∵sin A+cos A=15 , ① ∴两边平方得1+2sin A cos A=1 25, ∴sin A cos A=-12 25. (2)由(1)得sin A cos A=-1225 <0, 又0 ∵(sin A-cos A )2=1-2sin A cos A=1+2425=49 25, 又sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, ∴sin A-cos A=7 5. ② 由①②可得sin A=45 ,cos A=-35 , ∴tan A=sinA cosA =4 5-35 =-4 3. 【变式训练3】(1)已知tan α=2,则sin 2 α+sin αcos α-2cos 2 α= . (2)已知sin 2 α=3sin 2 β,tan α=2tan β,则cos 2 α= . 【解析】(1)sin 2 α+sin αcos α-2cos 2 α = sin 2α+sinαcosα-2cos 2αsin 2α+cos 2α =tan 2α+tanα-2tan 2α+1=4 5. (2)∵sin 2 α=3sin 2 β, ① tan 2α=4tan 2 β, ② 由①÷②得,4cos 2 α=3cos 2 β, ③ 由①+③得,sin 2 α+4cos 2 α=3,∴cos 2 α=23 . 【答案】(1)45 (2)23 题型四 三角函数诱导公式的应用 【例4】已知sin α, 1 cos (θ+π6) 分别是方程5x 2 -12x-9=0的两根. (1)求cos ( 5π 6 -θ)和sin (θ+ 2π 3 )的值; (2)若3π<α<7π2 , 求 sin(5π-α)cos(2π-α)cos (3π 2-α)-sin 2α cos (π 2-α)sin(?π-α) 的值. 【解析】∵sin α, 1 cos (θ+π6) 分别是方程5x 2 -12x-9=(5x+3)(x-3)=0的两根, ∴sin α=-3 5, 1 cos (θ+π6) =3,∴cos (θ+π 6)=13 . (1)cos ( 5π6-θ)=cos [π-(π6+θ)]=-cos (π6+θ)=-13 , sin (θ+ 2π3)=sin [π 2 +(θ+π 6)]=cos (θ+π6)=13 . (2)∵3π<α<7π2 ,∴α是第三象限角. ∵sin α=-35,∴cos α=-4 5. sin(5π-α)cos(2π-α)cos ( 3π2-α)-sin 2αcos (π2 -α)sin(?π-α) = -sin 2αcosα-sin 2α sin 2α =-1-cos α =-1 5. 【变式训练4】已知f ( π 12 +x)= sin(π-x)cos(2π-x)tan(π-x) cos (-π 2+x ) . (1)求f (- 9π 4 )的值. (2)若f (x )=14,求sin (x + 23π 12 )+cos (x + 17π 12 )的值. 【解析】f ( π12+x)=sinx ·cosx ·(-tanx)sinx =-cos x ·tan x=-sin x. (1)令π 12+x=-9π4,则x=-9π4-π12=-7π3 , ∴f (- 9π4)=-sin (-7π3)=sin π3=√32 . (2)∵f (x )=-sin (x - π12)=1 4 , ∴sin (x -π12)=-1 4, ∴sin (x +23π 12 )+cos (x + 17π 12 ) =sin [2π+(x -π12)]+cos [π+(x +5π 12)] =sin (x -π 12)-cos (x +5π 12) =sin (x -π 12)-cos [π 2+(x -π 12)] =2sin (x -π 12)=-1 2. 方法一 数形结合思想在三角函数线中的应用 当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,由于没有 给出具体的角度,所以用图形可以更直观地表示,可先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小. 【突破训练1】设θ是第二象限角,试比较sin θ2 ,cos θ2 ,tan θ2 的大小. 【解析】∵θ是第二象限角, ∴π 2 +2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, ∴π 4+kπ<θ 2 <π 2 +kπ,k∈Z, ∴θ 2 是第一象限角或第三象限角. 如图,结合单位圆上的三角函数线可得, ①当θ 2 是第一象限角时, sinθ 2=AB,cosθ 2 =OA,tanθ 2 =CT, 故cosθ 2 2 2 . ②当θ 2 是第三象限角时, sinθ 2=EF,cosθ 2 =OE,tanθ 2 =CT, 故sinθ 2 2 2 . 综上可得,当θ 2在第一象限时,cosθ 2 2 2 ; 当θ 2在第三象限时,sinθ 2 2 2 . 方法二分类讨论思想在三角函数化简中的应用 角中含有变量n,因而需对n的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体. 【突破训练2】求sin(4n-1 4π-α)+cos(4n+1 4 π-α)(n∈Z)的值. 【解析】当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则 原式=sin(8k-1 4π-α)+cos(8k+1 4 π-α) =sin[2kπ+(-π 4-α)]+cos[2kπ+(π 4 -α)] =sin(-π 4-α)+cos(π 4 -α) =-sin(π 4+α)+cos[π 2 -(π 4 +α)] =-sin(π 4+α)+sin(π 4 +α)=0; 当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则 原式=sin(8k+3 4π-α)+cos(8k+5 4 π-α) =sin[2kπ+(3π 4-α)]+cos[2kπ+(5π 4 -α)] =sin(3π 4-α)+cos(5π 4 -α) =sin[π-(π 4+α)]+cos[π+(π 4 -α)] =sin(π 4+α)-cos(π 4 -α) =sin(π 4+α)-cos[π 2 -(π 4 +α)] =sin(π 4+α)-sin(π 4 +α)=0. 故sin(4n-1 4π-α)+cos(4n+1 4 π-α)=0. 1.(2017日照市三模)若sin (π-α)=13 ,且π2 ≤α≤π,则cos α的值为( ). A. 2√2 3 B .- 2√2 3 C . 4√2 9 D.- 4√2 9 【解析】因为sin (π-α)=sin α=13,π2≤α≤π,所以cos α=-√1?sin 2α=- 2√2 3 . 【答案】B 2.(2017江西师大附中三模)已知sin (-π+θ)+2cos (3π-θ)=0,则 sinθ+cosθ sinθ-cosθ =( ). A.3 B.-3 C.1 3 D.-13 【解析】因为sin (-π+θ)+2cos (3π-θ)=0,所以-sin θ-2cos θ=0,可得tan θ=-2,所以 sinθ+cosθsinθ-cosθ=tanθ+1tanθ-1=-2+1-2-1=1 3 ,故选 C . 【答案】C 3.(2017江西八校联考)已知cos α-sin α=√2 4 ,则sin2α的值为( ). A.18 B.-18 C.78 D.-78 【解析】∵cos α-sin α=√2 4 ,∴1-sin2α=18,∴sin2α=78 . 【答案】C 4.(2017临城质检)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=-2√5 5 ,则y=( ). A.-8 B.-4 C.2 D.4 【解析】因为sin θ= y 4+y =- 2√5 5 ,所以y<0,且y 2=64,所以y=-8. 【答案】A 5.(2017宁德三模)已知sin (α+π6)=45,则cos (α-π3 )的值为( ). A.35 B.45 C.-45 D.-35 【解析】cos (α-π3)=cos (α+π6-π2)=sin (α+π6)=45 ,故选B. 【答案】B 6.(2017南昌二模)已知sin θ+2cos θ=0,则 1+sin2θ cos 2θ = . 【解析】由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ, 则 1+sin2θcos 2θ=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ cos 2θ =1. 【答案】1 7.(2016湖北二模)设f (x )={sinπx,x <1,√2f(x -2),x ≥1, 则f (-236)+f (9 4)= . 【解析】f (- 236)+f (94)=sin (-23π6)+√2f (94-2)=12+√2sin π4=3 2 . 【答案】32 8.(2017郴州市四检)已知3cos 2 θ=tan θ+3,且θ≠k π(k ∈Z ),则sin [2(π-θ)]= . 【解析】由题意可得3cos 2 θ-3=tan θ,即-3sin 2 θ= sinθ cosθ ,因为θ≠k π(k ∈Z ),所以sin θcos θ=-1 3,即 sin2θ=-23,所以sin [2(π-θ)]=-sin2θ=23 . 【答案】23 9.(2016许昌二模)已知点P (sin α-cos α,tan α)在第二象限,则α的一个变化区间是( ). A.(-π,-π2 ) B.(-π4,π4 ) C.(- 3π4,-π2) D.(π2 ,π) 【解析】因为点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,所以{sinα-cosα<0, tanα>0, 根据三角函数的性质可知选项C 正确. 【答案】C 10.(2016柳州二模)若角α满足α=2kπ 3+π 6 (k∈Z),则α的终边一定在(). A.第一象限或第二象限或第三象限 B.第一象限或第二象限或第四象限 C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 【解析】当k=0时,α=π 6 ,终边位于第一象限, 当k=1时,α=5π 6 ,终边位于第二象限, 当k=2时,α=3π 2 ,终边位于y轴的非正半轴上, 当k=3时,α=2π+π 6 ,终边位于第一象限. 综上可知,α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.故选D.【答案】D 11.(2016上饶月考)当0 4时,函数f(x)=cos2x cosxsinx-sin2x 的最小值是(). A.1 4B.1 2 C.2 D.4 【解析】当0 4时,0 cosxsinx-sin2x =1 tanx-tan2x , 设t=tan x,则0 t-t2=1 t(1-t) ≥4. 当且仅当t=1-t,即t=1 2 时等号成立.【答案】D 12.(2017金华质检)若2tanα=3tan2π 5,则cos(α- π 10) sin(α-2π5) =. 【解析】cos(α-π10) sin(α-2π5)= sin(α+2π5) sin(α-2π5) =sinαcos2π5+cosαsin2π5 sinαcos2π5-cosαsin2π5 = tanα+tan2π5 tanα-tan2π5 =5. 【答案】5 13.(2016西宁联考)已知A,B,C是三角形的内角,√3sin A,-cos A分别是方程x2-x+2a=0的两根. (1)求角A. (2)若1+2sinBcosB cos2B-sin2B =-3,求tan B. 【解析】(1)由已知可得,√3sin A-cos A=1,① 又sin2A+cos2A=1, ∴sin2A+(√3sin A-1)2=1, 即4sin2A-2√3sin A=0, 得sin A=0(舍去)或sin A=√3 2,∴A=π 3 或A=2π 3 , 将A=π 3或A=2π 3 代入①知A=2π 3 时等式不成立, ∴A=π 3 . (2)由1+2sinBcosB cos2B-sin2B =-3, 得sin2B-sin B cos B-2cos2B=0. ∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0, ∴tan B=2或tan B=-1. 当tan B=-1时,cos2B-sin2B=0,不合题意,舍去, ∴tan B=2. §7.2三角函数的图象与性质 【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=， 高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 三角函数专题训练 19．（本小题满分12分） 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且， （Ⅰ）若sin sin A B +=6，求A ； （Ⅱ）若ABC ?的外接圆半径为1，且,abx a b =+试确定x 的取值范围． 17．（本小题共12分） 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示． （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）在△ABC 中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围． 17．（本小题满分12分）已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==．记()n m x f ?= （I ）若32f ()α=，求23 cos()πα-的值； （Ⅱ）在?ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足 ()2cos cos a c B b C -=，若13f (A )+= ，试判断?ABC 的形状． 17、海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。（假设游船匀速行驶） （1）求该船行使的速度（单位：米/分钟）（5分） （2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远。（7分） 19．解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且， 所以cos cos a A b B =，-------------------------------------------1分 由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =， 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 三角函数大题压轴题练习 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解：（1） ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ （2） 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调 递减， 所以 当3 x π= 时，()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=，当12 x π =-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2．已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤， 所以ππ7π2666 x --≤≤， 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?????? ，． 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = （Ⅱ） 由（Ⅰ）知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ， 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 高一数学第一次月考试题 一． 选择题（每题５分，共６０分） １．函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2 π ２．0sin300＝（ ） A ．1 2 B ． 32 C ．－12 D ．－32 ３．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠ AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) ４．如果sin α－2cos α 3sin α＋5cos α ＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2 B ．2 D ．－2316 ５．函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2 π-=x B ．4 π-=x C ．8 π = x D ．4 5π= x ６．将函数y ＝sin(x －π 3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π 3个单位，得到的图象 对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin(12x －π 2) C ．y ＝sin(12x －π 6 ) D ．y ＝sin(2x －π 6 ) ７．已知α是第二象限角，且4tan =-3 α，则( ) A ．4sin =-5α B ．4sin =5α C ．3cos =5α D ．4cos =-5 α ８．已知3 cos +=25πθ?? ???，且3,22 ππθ? ? ∈ ??? ，则tan θ＝( ) A ．43 B ．－43 C ．34 D ．－34 ９．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|< π 2 )的部分图象如 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 高中数学三角函数复习专题 一、知识点整理 1角的概念的推广： 正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示： ① 终边为一射线的角的集合： x|x 2k ② 终边为一直线的角的集合： xx k 3、任意角的三角函数: (1) 弧长公式：1 aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，1为弧长 (2) 扇形的面积公式 :S 1 -IR R 为圆弧的半径，1为弧长。 2 (3) 三角函数定义： 角 中边上任意一点P 为(x,y)，设|OP| r 则： sin — ,cos r x J r tan y r=寸孑圧 x 女口：公式 cos( ) cos cos sin sin 的证明 (4)特殊角的三角函数值 ③两射线介定的区域上的角的集合: x2k ④两直线介定的区域上的角的集合： x k x k ,k Z ? k 360', k Z ,k Z = | ，k Z ； 反过来，角 的终边上到原点的距离为 r 的点P 的坐标可写为：P r cos ,r sin 4 x 4 4 sin cos tan - -si n + cos -ta n - + si n -cos -ta n + -si n -cos + tan 2 . -si n + cos -ta n 2k + + si n + cos + tan sin con tan 2 + cos + sin + cot 2 + cos -si n -cot 3 2 -cos -si n + cot 3_ 2 -cos + sin -cot 三角函数值等于 的同名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符 号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于 的异名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符号； 即:函数名改变，符号看象限： sin x 比如 cos 一 x 4 cos x cos x sin 一 (6)三角函数线：(判断正负、比较大小，解方程或不等式等) 如图，角 的终边与单位圆交于点P ,过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ，则 过点A(1,0)作x 轴的切线，交角终边0P 于点T ，贝U (7)同角三角函数关系式： ③ 平方关系：sin 2 a cos 2 a 1 ①倒数关系： tan acota 1 ②商数关系: tana ^ina cosa (8)诱导公试 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2- 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质 ①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（ ） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案
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