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第届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案

第届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及

答案

Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题

2015年9月19日

说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。图中p 、+e 和e ν分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始，质子p 与12C 核发生反应生成13N 核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。已知+e 、p 和He 核的质量分别为 MeV/c 2、 u 和 u （1u≈ MeV/c 2），电子型中微子e ν的质量可以忽略。

（1）写出图中X 和Y 代表的核素；

（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式；（3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。

二、（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为L 的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M 的小球A 和B 。开始时细杆静止；有一质量为m 的小球C 以垂直于杆的速度0v 运动，与A 球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。

（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C 碰后的速度表出）；（2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C 的速度和系统的动能。

三、（20分）如图，一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v 0与竖直方向成θ（π3π

θ<<

）角，并同时以角速度0ω（0ω的正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为k ，重力加速度大小为g 。忽略空气阻力。

（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度；

（2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度；

（3）若让θ角可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。

四、（25分）如图，飞机在距水平地面（xz 平面）等高的航线KA （沿x 正方向）上，以大小为v （v 远小于真空中的光速c ）的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P 点（其x 坐标为P x ）发射扇形无线电波束（扇形的角平分线与航线垂直），波束平面与水平地面交于线段BC （BC 随着飞机移动，且在测量时应覆盖被测目标P

c V 1 3V 1

p 32 5V 1 航线KA 的距离为0R 。天线发出的无线电波束是周期性的等幅高频脉冲余弦波，其频率为0f 。

（1）已知机载雷达天线经过A 点（其x 坐标为A x ）及此后朝P 点相继发出无线电波信号，由P 反射后又被机载雷达天线接收到，求接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差（频移）。

（2）已知BC 长度为s L ，讨论上述频移分别为正、零或负的条件，并求出最大的正、负频移。

（3）已知0s R L >>，求从C 先到达P 点、直至B 到达P 点过程中最大频移与最小频移之差（带宽），并将其表示成扇形波束的张角θ的函数。

已知：当1y <<2

y ≈+。

五、（20分）如图，“田”字形导线框置于光滑水平面上，其中每个小正方格每条边的长度l 和电阻R 分别为0.10 m 和1.0 Ω。导线框处于磁感应强度 1.0 T B =的均匀磁场中，磁场方向竖直向下，边界（如图中虚线所示）与de 边平行。今将导线框从磁场中匀速拉出，拉出速度的大小为 2.0 m/s =v ，方向与de 边垂直，与ae 边平行。试求将导线框整体从磁场中拉出的过程中外力所做的功。

六、（23分）如图，一固定的竖直长导线载有恒定电流I ，其旁边有一正方形导线框，导线框可围绕过对边中心的竖直轴O 1O 2转动，转轴到长直导线的距离为b 。已知导线框的边长为2a （a b <），总电阻为R ，自感可忽略。现使导线框绕轴以匀角速度ω逆时针（沿轴线从上往下看）方向转动，以导线框平面与长直导线和竖直轴所在平面重合时开始计时。求在t 时刻

（1）导线框中的感应电动势E ；（2）所需加的外力矩M 。

七、（22分）如图，1mol 单原子理想气体构成的系统分别经历循环过程abcda 和abc a '。已知理想气体在任一缓慢变化过程中，压强p

和体积V 满足函数关系()=p f V 。

（1）试证明：理想气体在任一缓慢变化过程的摩尔热容可表示为式中，V C 和R 分别为定容摩尔热容和理想气体常数；

（2）计算系统经bc '直线变化过程中的摩尔热

容；（3）分别计算系统经bc '直线过程中升降温

的转折点在p-V 图中的坐标A 和吸放热的转折点在p-V 图中的

坐标B ；

（4）定量比较系统在两种循环过程的循环效率。八、（20分）如图，介质薄膜波导由三层均匀介质组成：中间层1为波导薄膜，其折射率为1n ，光波在其中传播；底层0为衬底，其折射率为0n ；上层2为覆盖层，折射率为2n ；102n n n >≥。光在薄膜层1里来回反射，沿锯齿形向波导延伸方向传播。图中，i j θ是光波在介质j 表面上的入射角，t j θ是光波在介质j 表面上的折射角。

（1）入射角i1θ在什么条件下光波可被完全限制在波导薄膜里（即光未折射到衬底层和覆盖层中）

（2）已知波导薄膜的厚度为d ，求能够在薄膜波导中传输的光波在该介质中的最长波长max λ。

已知：两介质j 与k 的交界面上的反射系数（即反射光的电场强度与入射光的电场强度之比）为

式中，i j θ和t j θ是分别是光波在介质j 的表面上的入射角和折射角，余类推；正弦函数和余弦函数在复数域中可定义为

sin 2i i e e i θθθ--=

，cos 2

i i e e θθ

θ-+= 第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答

2015年9月19日

0一、（15分）

（1）图中X 和Y 代表的核素分别为

15O 和 13C

①

（2）一个循环所有的核反应方程式依循换次序为

1213p C N +→

②

13e N C e ν+→++ ③

1314p C N +→

④

1415p N O +→ ⑤ 15

15e O N e ν+→++ ⑥

15124p N C He +→+ ⑦

（3）整个循环的核反应，相当于

4e 4p He 2e 2+→++ν ⑧

完成一个碳循环过程释放的核能为

p e H (42) [(4 1.0078 4.0026)931.49420.511] MeV 25.619 MeV E m M m c ?=--=?-?-?≈

⑨ 评分参考：第（1）问4分，X 和Y 正确，各2分；第（2）问6分，②③④⑤⑥⑦式各1

分；第（3）问5分，⑧式2分，⑨式3分。二、（15分）（1）（解法一）

取碰前B 球所在位置O 为原点，建立坐标系（如图）。碰撞前后系统的

动量及其对细杆中心的角动量都守恒，有

0A B x x x m m MV MV =++v v ①

A By 0y y m MV MV =++v ②

A C

0A B 2222

x x x L L L L

m m M V M V =+-v v ③ 式中，x v 和y v 表示球C 碰后的沿x 方向和y 方向的速度分量。由于

轻杆

长度为L ，按照图中建立的坐标系有

222A B A B [()()][()()]x t x t y t y t L -+-=

④

由上式对时间求导得

A B A B A B A B [()()][()()][()()][()()]0x x y y x t x t V t V t y t y t V t V t --+--=

⑤ 在碰撞后的瞬间有

A B A B (0)(0),

(0)(0)x t x t y t y t L ====-==

⑥

利用⑥式，⑤式在碰撞后的瞬间成为 A A B B (0)(0)y y y y V V t V t V ≡===≡

⑦

由①②⑦式得

A By 2y y

V V M ==-v

⑧ 由①②③式得

A 0()x x m

V M

-v v

⑨ B 0x V = ⑩ 利用⑧⑨⑩式，碰撞后系统的动能为

222222A Ay

Bx By 2222

A Ay 22220111()()()22211 ()(2)

22112 ()224x y x x y x x x y

E m M V V M V V m M V V m M m m m M M

=+++++=++++=+-+v v v v v v v v

（解法二）

取碰前B 球所在位置O 为原点，建立坐标系（如图）。设碰撞后，小球C 的运动速率为v ，细

杆中心的运动速度为C V ，细杆绕中心转动的角速度为ω。碰撞前后系统的动量及其对细杆中心的

角动量都守恒，有

0C 2x x m m MV =+v v

① C 02y y m MV =+v ②

022222

x L L L L m m M ω??=+ ???v v ③

式中，x v 和y v 表示球C 碰后的沿x 方向和y 方向的速度分量。由①②③式得

()c 02x x m

V M

-v v ④

C 2y y m

V M

v ⑤

x O

()0x m

ω=

-v v ⑥

碰撞后系统的动能为

22C C 111()(2)()22222x y x y L E m M V V M ω??=++

++? ???

v v ⑦ 利用④⑤⑥式，系统动能⑦式可表示成

2222

0112()224x x y m M m E m m M M

+=+-+v v v v

⑧

（2）解法（一）的式或者解法（二）的⑧式即为

001()21242x y M m m m M m m E m M M m M M m ++??=-

+ ?++?

?v v v +v

可见，在条件

x y m

M m =

+=v v v 下，碰后系统动能达到其最小值

220

12m E M m =+v

它是小球仅与球A 做完全非弹性碰撞后系统所具有的动能。

评分参考：第（1）问10分，（解法一）①②③④⑤⑦⑧⑨⑩式各1分；（解法二）①②式各1分，③式2分，④⑤⑥各1分，⑦式2分，⑧式1分；第（2）问5分，式各2分，式1分。三、（20分）

（1）设圆环的质量为m ，它在碰撞过程中受到的地面对它的水平冲量为t I ；碰撞后圆环质心的速度大小为v ，v 与竖直向上方向的夹角（按如图所示的顺时针方向计算）为β，圆环的角速度为ω。规定水平向右方向和顺时针方向分别为水平动量和角速度的正方向。在水平方向，由动量定理有

0sin sin t m m I βθ-=v v ①

由对质心的动量矩定理有

0()()t

rm r rm r rI ωω-=- ②

按题意，圆环在弹起前刚好与地面无相对滑动，因而此时圆环上与地面的接触点的水平速度为零，即

sin 0r βω-=v ③

由题意知

00cos cos 0

θ-=-v v

④

联立①②③④式得

v ⑤ 001

tan (tan )

2cos r k ωβθθ=-+v ⑥ 001

(sin )

2r r

ωωθ=+v

⑦ （2）若圆环与地面碰后能竖直弹起，则其速度与竖直方向的夹角

将上式代入⑥式得，使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件为

sin r ωθ=-

⑧

在此条件下，在与地面刚刚碰后的瞬间有

0ω=，0cos k θ=-v v ⑨

即圆环做竖直上抛运动。圆环上升的最大高度为

222222220

00cos ()222k k r h g g g

θω-===

v v v ⑩ （3）由于忽略空气阻力，圆环再次弹起后，角速度保持为ω不变，质心做以初速度为v 的斜抛运动。圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式为

2000cos sin 2(sin )

k s r g g

θβ

θω==-+v v v

s 取最大值时，θ

的取值θ满足

00(cos2sin )0k ds r d g

θωθθ

-=v v

由得式得

222

000

8sin r r ωωθ-±+=

将代入式得

2222222

000000001(83)82(8)

k r r r r r s ωωωωω++--+=

v v v

2222222000000002(83)82(8)

k r r r r r s ωωωωω+--++=-

v v v

式中1s 和2s 分别对应于式右端根号前取正和负号的情形。由以上两式可知，s 的最大值为

2222222

00000000max (83)82(8)

k r r r r r s ωωωωω++--+=

v v v

又因为

由上式得，当s 取最大值时，r 、v 0和0ω应满足

r ω>v

评分参考：第（1）问9分，①②式各2分，③④⑤⑥⑦式各1分；第（2）问4分，⑧⑨式各1分，⑩式2分；第（3）问7分，式各1分。四、（25分）

（1）解法（一）

按照题给坐标系，设待测点P 的位置为P (,0,)x a ，飞机在0t =时所在点K 的位置为(0,,0)h 。在时刻1t ，飞机所在位置A 点的坐标为1A (,,0)x x h =，机载雷达此时发出一光信号；该信号到达P 点，经反射后，于时刻2t 返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达的位置为2A (,,0)x x h '=，如图所示。由于光速不变，飞机做匀速直线运动，有

222201P 02P 21()()()

R x x R x x c t t +-++-=- ①

2121()x x t t -=-v ②

式中0R 1t '，飞机所在位置A 点的坐标为1(,,0)x h '，机载雷达此时发出另一光信号；该信号到达P 点，经反射后，于时刻2t '返回至飞机的机载雷达被接受，此时

飞机的机载雷达的位置为2

(,,0)x h '。同理有

21()c t t ''- ③

121()x x t t ''''-=-v ④

111()x x t t ''-=-v ⑤

由①②式和c <

211 11t t c

t -==

=21)

t - ⑥

上式右端已略去了2(/)c v 级的高阶项。由⑥式解得

211P 2 112()

t t x x c

-≈

-v ⑦

同理，由③④式和c <

211P 2

2 ()t t x x c

'''-≈+-v ⑧

由⑦⑧式得

2211112

22()()()t t t t x x c

'''---≈+-v ⑨

利用⑤式，⑨式成为

2112

11211()()22())

t t t t t t c

c t t ''---'≈+-'-v ⑩

上式右端已略去了2(/)c v 级的高阶项。令

10t t T '-= 式中，0T 为机载雷达在发射的光信号的周期，则

2t t T '-= 是机载雷达接受到相应的光信号的周期。⑩式可写成

00T T -= 或

D 00f f f f ≡-=

式中1x 已用A x 替代，而

是相应的光信号的频率，D f 是接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差（频移）。式也可写为

2cos f f f f c

α≡-=-v

式中

即α为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角。

解法（二）

取航线KA 和直线BC 所构成的平面为新的坐标平面。K 为坐标原点，航线KA 为x 轴，从K 指向BC 与Z 轴交点的直线为y 轴；在时刻1t ，飞机所在位置A 点的坐标为1A (,0)x x =；目标点P 的位置P 0(,)x R 在这个坐标系里是固定的。

设机载雷达于时刻t 发出的发射信号的相位为

式中0ω和?分别是相应的角频率和初相位。机载雷达于时刻1t 在A '点2A 1((),0)x x t '=接收到的经P 反射的信号是机载雷达于时刻1t -τ在A 点1A 1((),0)x x t =-τ发出的，其相位为

()()101t t '=-+Φωτ? ① 式中τ为信号往返过程所需的时间，它满足

c τ

②

21x x -=τv

③

经过时间间隔t ?，同理有

()()101t t t t ''+?=+?-+Φωτ?

④

c 'τ ⑤

1x x '''-=τv

⑥

另外，由于同样的原因（飞机作匀速直线运动），还有

11x x t '-=?v ⑦

设机载雷达收到的信号的圆频率为ω，则应有 ()()11t t t t ''+?-=?ΦΦω ⑧

由②③式和c <

1 11c

=τ ⑨ 上式右端已略去了2(/)c v 级的高阶项。由⑨式解得

01P 1

01P 2201P

201P 2

201P 1P 22()1 1()2()1()2()2()

R x x c

R x x R x x c

R x x R x x x x c

+-≈

-+-+-??

≈+

?+-?

+-=+-τv v

v ⑩

同理，由⑤⑥式和c <

2201P 1P 2

2()2 ()R x x x x c

'+-''≈+-τv

由①④⑧式得

00()()t t ωωτωτ'?=?--- 将

2πf =ω 代入式，利用⑦⑩式，在t ?很小的情形下，略去t ?的高阶项，得 A P D 00220A P ()f f f f

c R x x ≡-=-

+- 或

D 00

2cos f f f f c

α≡-=-v

式中

即α为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角。

（2）由于机载雷达天线发射的无线电波束面的张角的限制（见图（b ）），有 22

2200ππ

2(/2)(/2)

s s s s R L R L α-

≤≤

+++ 频移D f 分别为正、零或负的条件是：

当π/2α<（A P x x <）时，频移0D f >；

当π/2θ=（A P x x =）时，即机载雷达发射信号时正好位于P 点到航线的垂足处，频移 D 0f =

当π/2θ>（A P x x >）时，频移0D f <。

当220π/2/2(/2)s s L R L α=-+（A P /2s x x L -=-）时，即

机载雷达发射信号时正好位于A P (/2,,0)s x x L h =-处，正的频移最大

D10220(/2)s

s f f

c R L =

当220π/2/2(/2)s s L R L α=++（A P /2s x x L -=）时，即机载雷达发射信号时正好位于A P (/2,,0)s x x L h =+处，负的频移的绝对值最大

D20220(/2)s

s f f

c R L =-

（3）在飞机持续发射的无线电波束前沿BC 全部通过目标P 点过程中，多普勒频移的带宽为

12002204sin

2(/2)s

D D D s f f f f f c c R L θ

?≡-=

=+v 由于0s R L >>，有1θ<<，故

将上式代入到式得

2D f f c θ?=v

评分参考：第（1）问 16 分，

(解法一) ①式2分，②式1分，③式2分，④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各1分；

(解法二) ①式1分，②式2分，③④式各1分，⑤式2分，⑥⑦⑧⑨⑩式各1分；

第（2）问 6分，式2分，频移D f 分别为正、零或负的条件正确（包括式）给2分，式各1分；

第（3）问 3分，式2分，式1分。五、（20分）

在de 边未出磁场的过程中，ab 、cf 和de 三边切割磁力线运动，每条边产生的感应电动势相等，但感应电流为零，故不需要外力做功 10W = ① 在de 边出磁场但cf 边未出磁场过程中，ab 和cf 两条边做切割磁力线运动，导线框的等效电路如图a 所示。等效电路中每个电阻的阻值R =Ω。按如图所示电流方向，根据基尔霍夫第一定律可得

136251

6784735, , , .

I I I I I I I I I I I I I +=??+=??

=+??+=+? ②

由基尔霍夫第二定律，对4个回路可列出4个独立方程

135254

36747820,20,20, 20.

U I R I R U I R U I R I R U I R U I R I R I R U I R I R I R -+--=??-+-+=??

---=??-+-=? ③ 式中，感应电动势U 为

0.20V U bl ==v ④

联立②③④式得：

120.025A I I ==

⑤

340.050A I I == ⑥

此时，ab 边和ed 边所受的安培力大小分别为 ⑦

ab 1ab 0.0050N F BI l == cf 3cf 0.010N F BI l == ⑧

式中l ab 和l ed 分别为ab 边和ed 边的长度。外力所做的功为 ⑨ 2ab ef cf ef 0.0015J W F l F l =+= 式中l ef 表示ef 边的长度。

在cf 边移出磁场后，只有边ab 切割磁力线运动产

动势的大小和电阻阻值不变。根据基尔霍夫定律可得

136251

6784735, , , .

I I I I I I I I I I I I I +=??+=??

=+??+=+? ⑩

和

135254

36747820,20,20, 20.

U I R I R I R U I R I R I R I R I R I R I R I R I R -+-=??-++=??

---=??-+-=?

联立⑩式得

120.075A I I ==

此时，ab 边受到的安培力为 ab 10.015N ab F BI l == 外力所做的功为 3ab af 0.0015J W F l == 整个过程中外力做的功为 1230.0030J W W W W =++=

评分参考：①式1分，②③④式各2分，⑤⑥⑦⑧⑨式各1分，⑩式各2分，式各1分。

六、（23分）

（1）设t 时刻导线框平面与长直导线和转轴组成平面之间的夹角为θ的值为t θω=，如图a 所示（俯视图），导线框旋转过程中只有左、右两边（图中分别用A 、B 表示）切割磁力线产生感应电动势。A 、B 两条边的速度大小相等，

a ω=v ①

A 、

B 处对应的磁感应强度大小分别为

0112I

B r μπ=

②

222I

B r μπ=

③ 其中，0μ为真空磁导率，r 1、r 2分别为A 和B 到长直导线的垂直距离。A 、B 两边对应的感应电动势分别为

20111

02222

2sin sin 2sin sin a I

E B a r a I

E B a r ====1ωμχχπωμχχπv v

④ 式中1π2

-χ、2π

-χ分别为A 、B 的速度方向与r 1、r 2的夹角。根据几何关系得

12=+=-χθα

χθβ

⑤

其中α、β分别为r 1、r 2与x 方向的夹角。⑤式代入④式得导线框中的感应电动势为

2011212sin()sin()a I E E E r r ??

+-=+=+????

ωμθαθβπ

⑥

根据几何关系及三角形余弦定理得α、β、r 1、r 2与a 、b 、θ之间的关系为

cos cos sin sin

b a r a r θαθα-?

=??

?=??

⑦ 22

cos cos sin sin

b a r a r θβθβ+?

=??

?=??

⑧ 222

1222

2cos 2cos r a b ab r a b ab θ

θ?=+-?=++?

⑨ 将⑦⑧⑨式代入⑥式得导线框的感应电动势为

202222

02222

sin 112cos 2cos sin 11 2cos 2cos a Ib E a b ab a b ab a b I t a b ab t a b ab t ωμθπθθμωωπωω??=+ ?+-++??

??=+ ?+-++??

⑩ （2）（解法一）

导线框在电流I 的磁场中旋转，受到安培力相对于轴的合力矩0M 的作用，要使导线框保持角速度为ω的匀速旋转，所加的外力矩M 必须满足

M M +=

正方形导线框上、下两边所受安培力的方向与转轴平行，力矩为零，只有导线框左、右两边（分别用A 、B 表示）受到的安培力1F 和2F 对合力矩有贡献，如图b 所示（俯视图）。由②③式和安培力公式得1F 和2F 的大小为

01112aIi

F aiB r μπ==

2222aIi

F aiB r μπ==

式中i 为导线框中的感应电流。由欧姆定律有

202222

sin 112cos 2cos a Ib t E i R R a b ab t a b ab t ωμωπωω??==+ ?+-++??

安培力的合力矩为

0112212122012cos(

)cos(

)

22sin()sin()

sin()sin()M F d F d F a F a F a F a a Ii r r =+=--+-+=++-??+-=+????

θαθβθαθβμθαθβπ

其中，d 1和d 2分别为F 1和F 2与转轴之间的垂直距离，2

--π

θα和

-+π

θβ分别为d 1和d 2

与A 、B 连线之间的夹角。

将⑦⑧⑨式代入式得需要加的外力矩为

2002222

242220222222

2422

220222222

sin 112cos 2cos sin 112cos 2cos 4()sin ()4cos a Iib t M M a b ab t a b ab t a b I t R a b ab t a b ab t a b I a b t

R a b a b t μωπωωμωωπωωμωωπω??

=-=-+ ?+-++????

=-+ ?

+-++??

??+=- ?+-??

（2）（解法二）

导线框在电流I 的磁场中旋转，受到安培力相对于轴的合力矩0M 的作用，要使导线框保持角速度为ω的匀速旋转，所加的外力矩M 必须满足

M M +=

此时，安培力的合力矩的功率P 0应与导线框中感应电流的功率P i 相等，即

P P =

式中

24222

22022222

sin 112cos 2cos i a I b t E P R R a b ab t a b ab t ωμωπωω??

==+ ?+-++??

安培力的合力矩为

4222

0022222

sin 112cos 2cos i

P P a I b t M R a b ab t a b ab t ωμωωωπωω??

===+ ?+-++??

由式可得，外力矩M 为

4222

20022222

242222

222222

sin 112cos 2cos 4()sin ()4cos a I b t M M R a b ab t a b ab t a b I a b t R a b a b t ωμωπωωμωωπω??

=-=-+ ?+-++??

??+=-

?+-??

评分参考：第（1）问13分，①②③式各1分，④式2分，⑤式1分，⑥式2分，⑦⑧⑨式各1分，⑩式2分；第（2）问10分，（解法一）式各2分，式各1分，式各2分；（解法二）式各2分。七、（22分）

（1）根据热力学第一定律，有

dU Q W δδ=+

① 这里，对于1mol 理想气体经历的任一缓慢变化过程中，Q δ，W δ和dU 可分别表示为

Q C dT πδ=，W pdV δ=-，V dU C dT = ②

将理想气体状态方程两边对T 求导，可得

dV dp dV

V R dT dV dT

+= ③

式中利用了

根据③式有

dV R

dp dT p V dV

+ ④

联立①②④式得

V pR C C dp p V

π=+

+ ⑤

（2）设bc '过程方程为

p V αβ=- ⑥

根据

可得该直线过程的摩尔热容为

2V V

C C R V

παβαβ-=+

⑦

式中，V C 是单原子理想气体的定容摩尔热容，3

V C R =。对bc '过程的初态11(3,)p V 和终态

11(,5)p V ，有

1111

35p V p V αβαβ=-=- ⑧

由⑧式得

111

7, 22p p V αβ=

= ⑨

由⑥⑦⑧⑨式得

1835414V V C R V V π-=

⑩

（3）根据过程热容的定义有

C T

π?=

式中，Q ?是气体在此直线过程中，温度升高T ?时从外界吸收的热量。由⑩式得

11414835V V Q

T V V R -??=

1835414V V Q R T V V -?=?-

由式可知，bc '过程中的升降温的转折点A 在-p V 图上的坐标为

1177

(,)24

A V p

由式可知，bc '过程中的吸放热的转折点B 在-p V 图上的坐标为

3521 (

,)816

V p B

（4）对于abcda 循环过程，ab 和bc 过程吸热，cd 和da 过程放热

()()()()1111

1.53

2.515ab V b a b a bc p b a c b Q nC T T RT RT p V Q nC T T RT RT p V =-=-==-=-=

式中，已利用已知条件1mol n =，单原子理想气体定容摩尔热容3

V C R =，定压摩尔热容

p C R =。气体在abcda 循环过程的效率可表示为循环过程中对外做的功除以总吸热，即

40.2218abcda abcda ab bc W pV Q Q pV η===+

对于abc a '循环过程，ab 和bB 过程吸热， ''和Bc c a 过程放热。由热力学第一定律可

得，bB 过程吸热为

()()()1111

3=11.392

bc bB bB V B b B B Q U W nC T T p p V V pV '=?-=-+

+- 所以，循环过程abc a '的效率为

40.27814.39abc a abc a ab bc W p V Q Q p V η'''=

==+

由式可知

abc a abcda ηη'>

评分参考：第（1）问5分，①②③④⑤式各1分；第（2）问5分，⑥⑦⑧⑨⑩式各1分；第（3）问7分，式1分，式各2分，式各1分；第（4）问5分，式各1分。八、（20分）

（1）对于光线在波导层和衬底层的折射情况，根据折射定律有

1i10t0

sin sin n n θθ=

① 若要求光线不会折射到衬底中，即发生全反射，应有

i110 C θθ≥

② 式中，10 C θ为光线在波导层和衬底层的交界面上发生全反射的临界角

010 C 1arcsin n n θ??

③

同理应有

i212 C θθ≥

④ 式中，12 C θ为光线在波导层和衬底层的交界面上发生全反射的临界角

212 C 1arcsin n n θ??

⑤

由题设102n n n >≥，可知

10 C 12 C θθ≥

⑥

所以，当入射角0i11arcsin n n θ??

≥

???

时，光被完全限制在波导薄膜里。（2）考虑光波在波导薄膜中传播时处于临界的

全反射状态。此时光波的波长可由光的入射角

决定。此时光在介质1n 与0n 交界面的反射处于

全反射的临界状态，光在介质1n 与2n 交界面的反射也为全反射。如右图所示，10?和12?分别为

1和0界面以及1和2界面上的反射引入的相位（10

10i r e ?-=和12

12i r e ?-=）。过1和2界面上的反

射点做直线（虚线）垂直于光线A ，设光线A 到

虚线之前的路程长为l 。此后，光线A 与再经过两次反射的光线B 之间的相位差应该为2π的整数倍，以致光可在波导薄膜中传输。故

i11012

i1i1i1

1012

2sec 222sec 2tan sin 24cos d l

m d d d θππ??λ

θθθπ??λ

πθ??λ

??-=

---=--=--=-

⑦

式中，0,1,2,3,m =，λ为所传输光波在波导薄膜介质中的波长。

考虑介质1n 与0n 交界面的反射，由①式得

1i1

t00

sin sin 1n n θθ=

⑧

考虑到⑧式，在介质1n 与0n 交界面的反射系数为

1i10t01i1

101i10t01i1

cos cos cos 1cos cos cos n n n r n n n θθθθθθ-=

==+

⑨

由上式可以得到介质1n 与0n 交界面的反射相位

100?=

⑩

再考虑介质1n 与2n 交界面的反射，由①式得

1i1t222

sin sin n n n n θθ=

按照题给的推广的定义，上式右边大于或等于1也并不奇怪。当02n n >时，按照题给的推广的正弦和余弦的定义可知，t 2cos θ是一个纯虚数，可以写为

t 2cos θ=

考虑到式，则在介质1n 与2n 交界面的反射系数为

1i12t2121i12t2

cos cos exp 2cos cos n n r i n n θθθθ?-==

- +?

由上式可以得到介质1n 与2n 交界面的反射相位为

12?=

将⑩和式代入到⑦式中得，在给定m 的情况下能在薄膜波导中传输的光波在该介质中的的最长波长（截止波长）为

λ=

式中，0,1,2,3,m =。当0m =时可得，能在薄膜波导中传输的光波在该介质中的的最长波长为

max λ

评分参考：第（1）问10分，①②式各2分，③④式各1分，给出“入射角0i11arcsin n n θ??

≥

???

时，光被完全限制在波导薄膜里”的结论给2分，⑤⑥式各1分；第（2）问10分，⑦式2分，⑨⑩式各1分。

第届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

第届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷一、（23分）有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T 拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H 表示）的可能值以及与各H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。二、（25分）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度0v 沿垂直于杆DB 的方间与右端小球B 作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。三、（23分）有一带活塞的气缸，如图1所示。缸内盛有一定质量的气体。缸内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸到气缸外，外界可使轴和叶片一起转动，叶片和轴以及气缸壁和活塞都是绝热的，它们的热容量都不计。轴穿过气缸处不漏气。如果叶片和轴不转动，而令活塞缓慢移动，则在这种过程中，由实验测得，气体的压强p 和体积V 遵从以下的过程方程式图1 其中a ,k 均为常量, a ＞1（其值已知）。可以由上式导出，在此过程中外界对气体做的功为式中2V 和1V ,分别表示末态和初态的体积。如果保持活塞固定不动，而使叶片以角速度ω做匀角速转动，已知在这种过程中，气体的压强的改变量p ?和经过的时间t ?遵从以图2 下的关系式式中V 为气体的体积，L 表示气体对叶片阻力的力矩的大小。上面并没有说气体是理想气体，现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度有关的知识，求出图2中气体原来所处的状态A 与另一已知状态B 之间的内能之差（结果要用状态A 、B 的压强A p 、B p 和体积A V 、B V 及常量a 表示）四、（25分）图1所示的电路具有把输人的交变电压变成直流电压并加以升压、输出的功能，称为整流倍压电路。图中1D 和2D 是理想的、点接触型二极管（不考虑二极管的电容），1C 和2C 是理想电容器，它们的电容都为C ，初始时都不带电，G 点接地。现在A 、G 间接上一交变电源，其电压A u ，随时间t 变化的图线如图2所示．试

2020年第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案精品

第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共九题，满分 160 分．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后结果的不能得分．有数字计算的题．答案中必须明确写出数值和单位．填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程．一、（ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）．若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小．设重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 ．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足： ( a ）每个摆的摆长不小于 0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同的一个小位移 xo ( xo <<0.45m ) ，然后同时释放，经过 40s 后，所有的摆能够同时回到初始状态． 2 ．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为________________________________________. 二、（ 20 分）距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M ，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为 T ，摆动范围的最大张角为△θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程．若 L=10 光年， T =10 年，△θ = 3 毫角秒， M = Ms （Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU （平均日地距离）作为单位，只保留一位有效数字．已知 1 毫角秒=1 1000角秒，1角秒= 1 3600 度，1AU=1.5×108km, 光速 c = 3.0 ×105km/s.

第35届全国中学生物理竞赛决赛试题(word版)

第35届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题（上海交大） 1、（35分）如图，半径为R 、质量为M 的半球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上有一质量为m 、半径为r 的匀质小球。某时刻，小球收到微扰由静止开始沿半球表面运动。在运动过程中，小球相对半球的位置由角位置θ描述，θ为两球心连线与竖直线的夹角。己知小球绕其对称轴的转动惯量为225 mr ，小球与半球间的动摩擦因数为μ，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度大小为g 。（1）（15分）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为θ1时，半球运动的速度大小1()M V θ和加速度大小1()M a θ；（2）（15分）当小球纯滚动到角位置θ2时开始相对于半球滑动，求θ2所满足的方程（用半球速度大小2()M V θ和加速度大小2()M a θ以及题给条件表示）；（3）（5分）当小球刚好运动到角位置θ3时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小3()m v θ 2、（35分）平行板电容器极板1和2的面积均为S ，水平固定放置，它们之间的距离为 d ，接入如图所示的电路中，电源的电动势记为U 。不带电的导体薄平板3（厚度忽略不计）的质量为m 、尺寸与电容器极板相同。平板3平放在极板2的正上方，且与极板2有良好的电接触。整个系统置于真空室内，真空的介电常量为0ε。合电键K 后，平板3与极板1和2相继碰撞，上下往复运动。假设导体板间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板3与极板1或2碰撞后立即在极短时间内达到静电干衡；所有碰撞都是完全非弹性的。重力加速度大小为g 。（1）（17分）电源电动势U 至少为多大？（2）（18分）求平板3运动的周期（用U 和题给条件表示）。已知积分公式 ( 2ax b C =+++，其中a >0，C 为积分常数。

第24届全国中学生物理竞赛复赛试题及详解(WORD版)

第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷（本题共七大题，满分160分）一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期s T 00.2=。一小球B 放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P 端的正上方，到P 端的距离为m h 80.9=。平板静止在其平衡位置。水球B 与平板PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度0μ，使它从水平台面抛出。已知小球B 与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，0μ的值应在什么范围内？取2 /8.9s m g = 二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置。BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角，已知AB 杆的长度为l ，BC 杆和CD 杆的长度由图给定。求此时C 点加速度c a 的大小和方向（用与CD 杆之间的夹角表示）三、（20分）如图所示，一容器左侧装有活门1K ，右侧装有活塞B ，一厚度可以忽略的隔板M 将容器隔成a 、b 两室，M 上装有活门2K 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定，拔掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为P 0、温度为T 0的大气中。

历届全国初中物理竞赛热与能

最近十年初中应用物理知识竞赛题分类解析专题13--热和能一、选择题典例3（2011上海第25界初中物理竞赛）当物体中存在温度差时，热量会从温度高的地方向温度低的地方传递。对于一长度为L 、横截面积为S 的均匀金属棒，当两端的温度差稳定为△T 时，△t 时间内从高温端向低温端传递的热量△Q 满足关系式： t L T kS Q ??=?.；其中k 为棒的导热系数。如图所示，长度分别为L 1、L 2，导热系数分别为k 1、k 2，的两个横截面积相等的细棒在D 处紧密对接，两金属棒各自另一端分别与温度为400开、300开的恒定热源良好接触。若L 1∶L 2=1∶2，k 1∶k 2=3∶2，则在稳定状态下，D 处的温度为（） A ．375开 B ．360开 C ．350开 D ．325开解析：设在稳定状态下，D 处的温度为T ，则对于长度为L 1的细棒，()11 400-k S T Q t L ?=?，对于长度为L 2的细棒，()22 300k S T Q t L -?=?，联立解得T=375K ，选项A 正确。 .答案：A

【点评】此题考查热传递及其相关知识。典例4．（2011上海第25界初中物理竞赛复赛）将一功率为P=500瓦的加热器置于装有水的碗中，经过分钟后，碗中水温从T 1=85℃上升到T 2=90℃，之后将加热器关掉分钟，发现水温下降℃。试估算碗中所装水的质量。解答：加热器在2分钟内所供应的总热量，等于水温升高所吸收的热量，加上散失到周围环境的热量，即Pt=cm (T 2-T 1)+Q 若水温变化不大，则散失到周围环境的热量与时间成正比。因此加热器关掉1分钟，从热水散失的热量等于Q/2，此热量等于热水温度下降℃所放出的热量，即Q/2=cm△T 从以上两式可以解得Pt=cm (T 2-T 1+2△T) m= ()212Pt c T T T -+?=()35001204.210 5.0+2 1.0????kg=。【点评】此题考查热量、能量守恒定律及其相关知识。【竞赛实战训练】 1．(2009全国初中应用物理知识竞赛题)炎热无风的夏天，小宇走在被晒得发烫的柏油路上，看见前面的路面已被一辆洒水车洒水淋湿了。他认为走在淋湿了的路面上一定比走在干燥的路面上感到凉爽，于是赶快走过去，结果在洒过水的路面上，他却感到更加闷热了。你认为产生这种感觉的主要原因是( ) A ．洒水车中的水经过曝晒后，内能增大，温度很高

全国中学生物理竞赛决赛试题及答案

第27届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案一、（25分）填空题 1．一个粗细均匀的细圆环形橡皮圈，其质量为M，劲度系数为k，无形变时半径为R。现将它用力抛向空中，忽略重力的影响，设稳定时其形状仍然保持为圆形，且在平动的同时以角速度ω绕通过圆心垂直于圆面的轴线匀速旋转，这时它的半径应为。 2．鸽哨的频率是f。如果鸽子飞行的最大速度是u，由于多普勒效应，观察者可能观测到的频率范围是从到。（设声速为V。） 3．如图所示，在一个质量为M、内部横截面积为A 的竖直放置的绝热气缸中，用活塞封闭了一定量温度度为 T的理想气体。活塞也是绝热的，活塞质量以及活塞和气缸之间的摩擦力都可忽略不计。已知大气压强为 p，重力加速度为g，现将活塞缓慢上提，当活塞到达气缸开口处时，气缸刚好离开地面。已知理想气体在缓慢变化的绝热过程中pVγ保持不变，其中p是气体的压强，V是气体的体积，γ是一常数。根据以上所述，可求得活塞到达气缸开口处时气体的温度为。

4．（本题答案保留两位有效数字）在电子显微镜中，电子束取代了光束被用来“照射”被观测物。要想分辨101.010m -?（即原子尺度）的结构，则电子的物质波波长不能大于此尺度。据此推测电子的速度至少需被加速到。如果要想进一步分辨121.010m -?尺度的结构，则电子的速度至少需被加速到，且为使电子达到这一速度，所需的加速电压为。已知电子的静止质量 319.110kg e m -=?，电子的电量 191.610C e -=-?，普朗克常量346.710J s h -=??，光速813.010m s c -=??。

二、（20分）图示为一利用传输带输送货物的装置，物块（视为质点）自平台经斜面滑到一以恒定速度v运动的水平长传输带上，再由传输带输送到远处目的地，已知斜面高 2.0m h=，水平边长 4.0m L=，传输带宽 2.0m d=，传输带的运动速度 3.0m/s v=。物块与斜面间的摩擦系数 10.30 μ=。物块自斜面顶端下滑的初速度为零。沿斜面下滑的速度方向与传输带运动方向垂直。设斜面与传输带接触处为非常小的一段圆弧，使得物块通过斜面与传输带交界处时其速度的大小不变，重力加速度2 10m/s g=。 1．为使物块滑到传输带上后不会从传输边缘脱离，物块与传输带之间的摩擦系数 2 μ至少为多少？ 2．假设传输带由一带有稳速装置的直流电机驱动，与电机连接的电源的电动势200V E=，内阻可忽略；电机的内阻10 R=Ω，传输带空载（无输送货物）时工作电流 02.0A I=，求当货物的平均流量（单位时间内输送货物的质量），稳定在640kg/s 9 η=时，电机的平均工作电流等于多少？假设除了货物与传输带之间的摩擦损耗和电机的内阻热损耗外，其它部分的能量损耗与传输带上的货物量无关。

第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案

第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . 二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处. 1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量； 2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件.

三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令m L λ= 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 k E k L αβγλω= 式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g . 提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为 d (())d d d d d Y X t Y X t X t = 例如，函数cos ()t θ对自变量t 的导数为 dcos ()dcos d d d d t t t θθθθ= 四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为 q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势max V .

第24届全国中学生物理竞赛复赛试题(WORD版)

第28届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案

第28届全国中学生物理竞赛决赛试题一、（15分）在竖直面将一半圆形光滑导轨固定在A 、B 两点，导轨直径AB =2R ，AB 与竖直方向间的夹角为60°，在导轨上套一质量为m 的光滑小圆环，一劲度系数为k 的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与A 、B 两点，如图28决—1所示。当圆环位于A 点正下方C 点时，弹性绳刚好为原长。现将圆环从C 点无初速度释放，圆环在时刻t 运动到C'点，C'O 与半径OB 的夹角为θ，重力加速度为g .试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：（1） θ=90°（2）θ=30° 二、（15分）如图28决—2所示，在水平地面上有一质量为M 、长度为L 的小车，车两端靠近底部处分别固定两个弹簧，两弹簧位于同一直线上，其原长分别为l 1和 l 2，劲度系数分别为k 1和k 2；两弹簧的另一端分别放着一质量为m 1、m 2的小球，弹簧与小球都不相连。开始时，小球1压缩弹簧1并保持整个系统处于静止状态，小球2被锁定在车底板上，小球2与小车右端的距离等于弹簧2的原长。现无初速释放小球1，当弹簧1的长度等于其原长时，立即解除对小球2的锁定；小球1与小球2碰撞后合为一体，碰撞时间极短。已知所有解除都是光滑的；从释放小球1到弹簧2达到最大压缩量时，小车移动力距离l 3.试求开始时弹簧1的长度l 和后来弹簧2所达到的最大压缩量Δl 2 . 图28决—2

三、（20分）某空间站A 绕地球作圆周运动，轨道半径为 r A =6.73×106m.一人造地球卫星B 在同一轨道平面作圆周运动，轨道半径为r B =3r A /2，A 和B 均沿逆时针方向运行。现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫星，为了节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面，且近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的轨道上，如图28决—3所示。已知地球半径为R e =6.38×106m ，地球表面重力加速度为g =9.80m/s 2.试求：（1）飞船离开空间站A 进入椭圆转移轨道所必须的速度增量Δv A ，若飞船在远地点恰好与卫星B 相遇，为了实现无相对运动的捕获，飞船所需的速度增量Δv B . （2）按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站 A 至少需要绕地球转过的角度。图28决—3

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案(WORD精校版)

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为年，1986 年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP与SP0的夹角θP=°。已知：1AU=×1011m，引力常量G=×10－11Nm2/kg2，太阳质量m S=×1030kg，试求P到太阳S的距离r P及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、 CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l。 1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。 2、若μA=，μC=，θ=°。求系统平衡时α的取值范围（用数值计算

求出）。三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。一半径为R，质量为M的薄壁圆筒，，其横截面如图所示，图中O是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q′（位于圆筒直径两端） m的小球，处，另一端各拴有一个质量为 2 正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω0。若要使卫星减慢或者停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，解除小球与卫星的联系，于是卫星转动停止。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q′处。

2016全国初中物理竞赛复赛试题(含答案)

2016全国初中物理竞赛复赛试题(含答案）初中物理是义务教育的基础学科，一般从初二开始开设这门课程，教学时间为两年。一般也是中考的必考科目。随着新高考/新中考改革，学生的综合能力越来越重要，录取方式也越来越多，三位一体录取方式十分看重学生的课外奖项获取。万朋教育小编为初中生们整理了2016年全国初中物理竞赛试卷和答案，希望对您有所帮助。第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共8题，满分160分。一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为ρ；物块边长为b ，密度为'ρ，且ρρ<'。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。解：由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为 2b f b x g ρ= ( x b ≤) (1) 式中 g 为重力加速度.物块的重力为 3 g f b g ρ'= (2) 设物块的加速度为a ，根据牛顿第二定律有

3 g b b a f f ρ'=- (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得 g a x b b ρρρρ'?? =- - ?'? ? (4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ' 而建立新坐标系，简称X 系. 新旧坐标的关系为 X x b ρρ ' =- (5) 把(5)式代入(4)式得 g a X b ρρ=-' (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =，则0a =，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x 系中的坐标为 0x b ρρ ' = (7) 物块运动方程在 X 系中可写为 ()()cos X t A t ω?=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 ()()sin V t A t ωω?=-+ (9) 式中ω为振动的圆频率 'g b ρωρ= (10) 在(8)和(9)式中 A 和?分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即0t =时刻有x =0，由(5)式得

第34届全国中学生物理竞赛决赛试题

第34届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题(2017) 一、(35分)如图,质量分别为、的小球、放置在光滑绝缘水平面上,两球之间用一原长为 , 劲度系数为 .的绝缘轻弹簧连接. (1) 时,弹簧处于原长,小球有一沿两球连线向右的初速度 ,小球静止.若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内,求两球在任一时刻的速度. (2)若让两小球带等量同号电荷,系统平衡时弹簧长度为 ,记静电力常量为 .求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率(极化电荷的影响可忽略). 二、(35分)双星系统是一类重要的天文观测对象.假设某两星体均可视为质点,其质量分别为和 ,一起围绕它们的质心做圆周运动,构成一双星系统,观测到该系统的转动周期为 .在某一时刻, 星突然发生爆炸而失去质量 .假设爆炸是瞬时的、相对于星是各向同性的,因而爆炸后星的残余体星的瞬间速度与爆炸前瞬间星的速度相同,且爆炸过程和抛射物质都对星没有影响.已知引力常量为 ,不考虑相对论效应. (1)求爆炸前星和星之间的距离 ; (2)若爆炸后星和星仍然做周期运动,求该运动的周期 ; (3)若爆炸后星和星最终能永远分开,求和三者应满足的条件. 三、(35分)熟练的荡秋千的人能够通过在秋千板上适时站起和蹲下使秋千越荡越高.一质量为的人荡一架底板和摆杆均为刚性的秋千, 底板和摆杆的质量均可忽略,假定人的质量集中在其质心.人在秋千上每次完全站起时起质心距悬点的距离为 ,完全蹲下时此距离变为 .实际上,人在秋千上站起和蹲下过程都是在一段时间内完成的.作为一个简单的模型,假设人在第一个最高点点从完全站立的姿势迅速完全下蹲,然后荡至最低点 , 与的高度差为 ;随后他在点迅速完全站l 0 a b 爆炸前瞬间爆炸后瞬间

第13届全国中学生物理竞赛复赛试题及解答

第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题 1.如图所示，有一由匀质细导线弯成的半径为α的圆线和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图）。在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度B随时间t均匀减小，其变化率的大小为一已知常量k。已知2r 1＝3r 2 。求：图中AB两点的电势差U A -U B 。 2.长度为4毫米的物体AB由图所示的光学系统成像，光学系统又一个直角棱镜、一个汇聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上，求：像的位置；像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。 3.如图所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳连接成菱形ABCD，静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短CA 方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V，其他质点也获得一定的速度，∠BAD＝2α（α<π/4）。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。

4.在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a（a>R），且与环面垂直，如图所示。已知环上均匀带电，总电量为q，试问： 1.当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？ 2.当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？ 3.当导体球的电势为V O 时，球球上总电荷又是多少？ 4.情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？ 5.情况2与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？〔注〕已知：装置不变时，不同的静电平衡带电状态可以叠加，叠加后仍为静电平衡状态。 5、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计），直径为d＝2.0米，球内充有压强P 1.005×105帕的气体，该布料所能承受的最大不被撕破力为f m ＝8.5×103牛/米（即对于一块展平的一米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5×103牛时，布料将被撕破）。开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为P ao ＝1.000×103帕，温度T ＝293开，假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化，压强的变化为α p ＝-9.0帕/米，温度的变化为α T ＝-3.0×10-3开/米，问该气球上升到多高时将撕破？假设气球上升很缓慢，可以为球内温度随时与周围空气的温度保持一致，在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。 6.有七个外形完全一样的电阻，已知其中6个的阻值相同，另一个的阻值不同，请按照下面提供的器材和操作限制，将那个限值不同的电阻找出，并指出它的阻值是偏大还是偏小，同时要求画出所用电路图，并对每步判断的根据予以论证。提供的器材有：1电池；2一个仅能用来判断电流方向的电流表（量程足够），它的零刻度在刻度盘的中央，而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱流入电流表的；3导线若干操作限值：全部过程中电流表的使用不得超过三次。

第29届全国高中物理竞赛复赛试题及答案

一、由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为 2b f b x g ρ= (x b ≤) (1) 式中g 为重力加速度.物块的重力为 3g f b g ρ'= (2) 设物块的加速度为a ，根据牛顿第二定律有 3g b b a f f ρ'=- (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得 g a x b b ρρρρ'??=-- ?'?? (4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ' 而建立新坐标系，简称X 系. 新旧坐标的关系为 X x b ρρ'=- (5) 把(5)式代入(4)式得 g a X b ρρ=-' (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =，则0a =，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x 系中的坐标为 0x b ρρ '= (7) 物块运动方程在X 系中可写为

()()cos X t A t ω?=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 ()()sin V t A t ωω?=-+ (9) 式中ω为振动的圆频率 ω= (10) 在(8)和(9)式中A 和?分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即0t =时刻有x =0，由(5)式得 (0)X b ρρ '=- (11) (0)0V = (12) 由(8)至(12)式可求得 A b ρρ '= (13) ?=π (14) 将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得 ()()cos X t b t ρωρ '=+π (15) ()()V t t ω=+π (16) 由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在x 系中看，物块下底面坐标为b 时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在X 系中这一临界坐标值为 b 1X X b ρρ'??==- ?? ? （17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下b X 处. 注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A ，下面分两种情况讨论： I ．b A X ≤. 由(13)和(17)两式得 ρρ'≥2 (18) 在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期 22T ωπ= = (19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间

2019年全国初中应用物理竞赛复赛试题(word原版)

2019年全国初中应用物理竞赛复赛试题注意事项： 1.请在密封钱内填写所在地区、学校、姓名和考号. 2.用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写 3.本试卷共有六个大题，满分为100分. 电机来发电。该发种电机铭牌部分数据如下表所示，根据表中的数据求： (1)在允许的连续运行时间内，发电机以额定功率输出，能够提供的电能是多少度? (2)己知汽油的热值是q=4.6xl07J/kg ，密度是 0.71 x 103kg/m 3，设该汽油机的效率为35%，则该汽油发电机油箱的容积至少需要多大? (3)汽油发电机将内能转化为电能的效率是多少? 二、(16分)长期以来，我国北方地区域镇居民的冬季来暖计量一般都按住宅面积收费，导致用户节能意识差，造成严重的资源浪费。作为建筑节能的一项基本措施，近几年部分地区试点以热量表作为计量收费的依据和于段，经测算可节能约20%---30%。如图2所示，一个完整的热量表由以下三个部分组成：一只被体流量计，用以测量经热交换的热水流量；一对用铅电阻制作的温度传感器，分别测量供暖进水和回水温度；一低功耗的单芯片计算机，根据与其相连的流量计和温度传感器提供的流量和温度数据，利用热力学公式可计算出用户从热交换系统获得的热量，通过液晶显示器将测量数据和计算结果显示出来。以下是某用户家中的热量表的部分参数，已知水的比热容取4.2xl03J/(kg·C)，天然气的燃烧值约为 8X 10 7J/m 3。 (1)试通过以上数据计算该型号热量表能测量的最大供热功率是多少? (2)在一次要查看热量表记录情况时，通过逐次点按热量表上的信息显示按钮，液晶显示器逐项循环显示出了下列数据：根据这些数据推算，求此次查看时该用户家平均每小时从暖气中得到的热量约为多少J?到此次查看时为止，该用户从这套供暖系统得到的总能量相当于完全燃烧了多少m 3的天然气?

第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答

第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、开始时U 形管右管中空气的体积和压强分别为 V 2 = HA （1） p 2= p 1 经过2小时，U 形管右管中空气的体积和压强分别为 A H H V )(2?-=' （2） 2 2 22 V V p p '=' （3）渗透室下部连同U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为 HA V V ?+='11 （4） H g p p Δ22 1ρ+'= （5）式中ρ 为水的密度，g 为重力加速度．由理想气体状态方程nRT pV =可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数 RT V p RT V p n 1111 - ''= ? （6）在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数 A nN N ?= （7）式中N A 为阿伏伽德罗常量．渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了?p V ΔnRT p = ? （8）经过2小时渗透室上部分中空气的压强为 p p p ?-='00 （9）测试过程的平均压强差 [])(2 1 10 10p p ()p p p '-'+-=? （10）根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数 11111s m Pa 104.2---?=?= tS p Nd k （11）评分标准：本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分．二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O 处，设待测量星体位于C 处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A 时，另一个卫星恰好到达远地点B 处，只要位于A 点的卫星用角度测量仪测出AO 和AC 的夹角α1，位于B 点的卫星用角度测量仪测出BO 和BC 的夹角α2，就可以计算出此时星体C 与地心的距离OC ．因卫星椭圆轨道长轴的长度

第29届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案(word版)

29届全国中学生物理竞赛决赛试题 panxinw 整理一、(15分) 如图，竖直的光滑墙面上有A 和B 两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为l ，有一原长为l 、劲度系数为k 的轻橡皮筋，一端由A 钉固定，另一端系有一质量为m=g kl 4的小球，其中g 为重力加速度．钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连．现将小球水平向右拉伸到与A 钉距离为2l 的C 点，B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触．初始时刻小球获得大小为20gl v 、方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿竖直方向的速度为零的时刻．

二、(20分) 如图所示，三个质量均为m的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点A、B和C处．AD ⊥BC，且AD=BD=CD=a，小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架悬空．桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ，在AD杆上距A点a／4 1．试论证在上述推力作用下，杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时，三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力； 2．如果在AD杆上有一转轴，随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕该转轴转动．问转轴在AD杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出该推力的大小．

三、(20分) 不光滑水平地面上有一质量为m的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为μ．柱体正视图如图所示，正视图下部为一高度为h的矩形，上部为一半径为R的半圆形．柱体上表面静置一质量同为m的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为h／2，链条和柱体表面始终光滑接触．初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑．试求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系时， 1．柱体能在地面上滑动； 2．柱体能向一侧倾倒； 3．在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生．

第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题(含答案)

第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题一、（20分）某甲设计了1个如图复19-1所示的“自动喷泉”装置，其中A 、B 、C 为3个容器，D 、E 、F 为3根细管，管栓K 是关闭的．A 、B 、C 及细管D 、E 中均盛有水，容器水面的高度差分别为1h 和1h 如图所示．A 、B 、C 的截面半径为12cm ，D 的半径为0.2cm ．甲向同伴乙说：“我若拧开管栓K ，会有水从细管口喷出．”乙认为不可能．理由是：“低处的水自动走向高外，能量从哪儿来？”甲当即拧开K ，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不明白自己的错误所在．甲又进一步演示．在拧开管栓K 前，先将喷管D 的上端加长到足够长，然后拧开K ，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度处． (1)．论证拧开K 后水柱上升的原因． (2)．当D 管上端足够长时，求拧开K 后D 中静止水面与A 中水面的高度差． (3)．论证水柱上升所需能量的来源．二、 (18 分) 在图复19-2中，半径为R 的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外，磁感应强度B 随时间均匀变化，变化率/B t K ??=(K 为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场，沿图中AC 弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC 与半径OA 的夹角/4απ=．直线上有一任意点，设该点与A 点的距离为x ，求从A 沿直线到该点的电动势的大小．三、（18分）如图复19-3所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有三个带正电的质点1、2、3，位于边长为l 的等边三角形的三个顶点处。C 为三角形的中心，三个质点的质量皆为m ，带电量皆为q 。质点 1、3之间和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在3的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点3运动到C 处时，其速度大小为多少？四、（18分）有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数．在图复19-4-1中，E 为电压可调的直流电源。K 为开关，L 为待测线圈的自感系数，L r 为线圈的直流电阻，D 为理想二极管，r 为用电阻丝做成的电阻器的电阻，A 为电流表。将图复19-4-1中a 、b 之间的电阻线装进图复19-4-2所示的试管1内，图复19-4-2中其它装置见图下说明．其中注射器筒5和试管1组成的密闭容器内装有

29届全国中学生物理竞赛决赛试题

29届全国中学生物理竞赛决赛试题一、(15分) 如图，竖直的光滑墙面上有A 和B 两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为l ，有一原长为l 、劲度系数为k 的轻橡皮筋，一端由A 钉固定，另一端系有一质量为m= g kl 4的小球，其中g 为重力加速度．钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连．现将小球水平向右拉伸到与A 钉距离为2l 的C 点，B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触．初始时刻小球获得大小为2 0gl v 、方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿竖直方向的速度为零的时刻．

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