已知函数f(x)=sin(wx+q) (w＞0,0≤q≤π)在R上是偶函数

已知函数f(x)=sin(wx+q) (w＞0,0≤q≤π）在R上是偶函数，其图像关于点M(3π/4,0）对称，且在区间【0，π/2】上是单调函数，求q和w的值。

∵f(x)是偶函数

∴f(-x)=f(x)

即sin(-wx+q)=sin(wx+q)

sinqcoswx-sinwxcosq=sinqcoswx+cosqsinwx

∴2sinwxcosq=0

∵sinwx是变量∴cosq=0

∵,0≤q≤π ∴q=π/2

∴f(x)=sin(wx+π/2)=coswx

∵f(x)图像关于点M(3π/4,0）对称

∴f(3π/4)=0

∴cos(3wπ/4)=0

∴3wπ/4=kπ+π/2,k∈Z

∴3w/4=k+1/2,k∈Z

∴w=4k/3+2/3=(4k+2)/3,k∈Z

又f(x)在[0,π/2]上单调

∴π/2≤T/2

∴T≥π

∴2π/w≥π

∴0

又∵w=(4k+2)/3,k∈Z

∴k=1时，w=2

∴w=2,q=π/2

奇函数和偶函数发言稿

函数的奇偶性讲稿 （一、导入新课） 现在开始上课，今天我为大家讲解一下有关函数奇偶性的概念以及如何判断函数奇偶性。 在此之前，先回忆一下之前讲的有关对称的概念，我们会发现生活中有很多对称的例子。例如：汽车车轮，人（一般只要是圆柱，圆锥，球，正方体，长方体几何体都是轴对称图形），篮球，羽毛球拍等. 而数学中也存在对称的例子，例如今天所要讲的奇函数和偶函数。大家可以在纸上画出函数y=x，y=1/x，y=cos x ,y=x2的图象，看一下这些函数有什么特点。 (y=x，y=1/x图象关于原点对称,=cos x ,y=x2的图象关于y轴对称)。（二、讲解新课） 如何从数值角度研究对称函数图象的自变量与函数值之间的规律。 下面以函数y=x2为例（画出函数图象），首先我们知道,对于任意x,-x与x 关于y轴对称，即x2与(－x)2两点到坐标y轴的距离相等，而且x2=(-x)2，也就是说函数y=x2的定义域上每一点都成立x2=(－x)2，而这样的函数我们通常称之为偶函数。 所以可以给出偶函数的定义：一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(－x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 注意“任意”两字。 （让大家举出一些偶函数的例子）既然关于y轴对称的函数我们称为偶函数，那么关于原点对称的函数呢？当然也有一个特定称谓叫做奇函数。而奇函数的自

变量与函数值之间具有怎样的数值规律呢?可以以函数y=1/x为例(同时画出出 y=1/x的图象)， 我们可以类似的方法,得出函数y=1/x的定义域上每一点都成立1/x=-1/(-x),所以奇函数的定义. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 下面如何判定函数奇偶性？ (三、例题讲解 写下：例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=x＋1/x; (2) f(x)= 1／x2; (3) f(x)=2x ; (4) f(x)=|x|－2; (5)f(x)=(1－x2)1/2; (6)f(x)=－x2,－3≤x≤1; (7)f(x)=2x－1;） 前三个题做完，可以发现判断奇偶性,只需验证 f(x)与f(－x)之间的关系.那如何判断一个函数不具有奇偶性呢？以第(1)为例,说说它为什么不是偶函数呢?（因为f(x)≠f(－x)），所以判断一个函数不具有奇偶性只需举一个反例就可说明. 另一个需要注意的是，通过第(6)题我们可以得出：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。 在这几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?

最新函数的奇偶性的经典总结

x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(，（2） x x x f -=3)( （3） ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。

函数的奇偶性的经典总结

x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，) ()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，) ()(x g x f 是偶函数。

奇函数偶函数教案

函数奇偶性教案(第一课时) 一、课题：谁是奇？谁是偶? 二、课型：概念学习型 三、教学目标：通过函数奇偶性的学习，使学生对函数的整体性质有一定的了解，并且让学生能够判断函数的奇偶性，以及体会数形结合的数学思想方法。 四、教学重点和难点：1）重点：对函数奇偶性概念的理解于应用。2）难点：判断奇偶性的方法。五、教学方法:利用已经学过的对称性，及前面学习过的函数图象来类比学习。 六、课时安排：2课时 七、教学设备：可以运用多媒体，也可以黑板讲解。 八、教学过程：

2）引入：观察下面的函数图像 偶函数： 先来看看前两个函数的图象,我们发现有共同的特点,那就是都是关于y 轴对称的，是吧!所以,我们就用奇偶性来表示函数图象的这种性质。那么，函数奇偶性的定义是怎么样的呢？下面我们就来定义一下： 一、 偶函数：一般的，如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x ，都有f(-x)=f(x),那么函数f(x) 就叫做

偶函数。 二、同理，我们也可以定义出奇函数的定义。请大家 归纳一下。 注意：１）定义域内的、任意的、定义域要关于原点对称才能判断！与函数的单调性的比较！２）首先定义域要关于原点对称才能判断奇偶性。既奇又偶函数：常值函数 三、如何判断函数的奇偶性：１）定义法：第一步， 先看函数的定义域是否关于原点对称，否则非奇非偶。第二步，直接或间接利用奇偶性的定义来判断。（可利用作差或用作商） ２）图象法：利用奇偶函数图象的对称性；来判断。 ３）复合函数的奇偶性判断：若复合函数是由若干个函数复合而成，则可依若干个函数的奇偶性而定。 四、例题：判断下列函数的奇偶性： （１） 4 f()x x=（２）5 f()x x=； （３） 1 f()x x x =+（４） 2 1 f()x x =． 九、板书设计和课后分析：

函数的奇偶性的典型例题

函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分

函数的奇偶性优秀教案

1.3.2(1)函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 提出问题 ①如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 结论：这两个函数之间的图象都关于y轴对称. ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？ 表1 表2 结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x). 定义： 1．偶函数 1 / 5

2 / 5 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 观察函数f(x)=x 和f(x)=x 1 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 2．奇函数 一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意： 1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质； 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数； 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数； 4、偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数 且()(||)f x f x = 奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论. 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数； 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数 例．判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()[1,2]f x x x =∈- 为非奇非偶函数 （2）32 ()1x x f x x -=-为非奇非偶函数 （3）x x x f +=3 )( 奇函数 （4）1 1 ) 1()(-+-=x x x x f

函数奇偶性知识点与经典题型归纳

函数奇偶性 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． （2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 例题精讲 【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值. 解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b ＝0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性 【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）2()||(1)f x x x =+；

高考数学奇函数与偶函数的性质及其应用

奇函数与偶函数的性质及其应用 1 奇函数的性质及其应用 奇函数的性质 设)(x f 是奇函数. (1)若)0(f 有意义，则0)0(=f ； (2)若a x f x g +=)()(，则a x g x g 2)()(=-+； (3)若函数)(x f 有最大(小)值，则函数)(x f 有最小(大)值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数. 证明 (1)在恒等式0)()(=-+x f x f 中，令0=x 后，可得0)0(=f . (2)可得a a x f a x f x g x g 2])([])([)()(=+-++=-+. (3)这里只证明结论：若函数)(x f 有最大值，则函数)(x f 有最小值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数. 设函数)(x f 的定义域是D ，得)()(,,00x f x f D x D x ≤∈?∈?. 因为奇函数)(x f 的定义域D 关于原点对称，所以D x D x ∈-∈?,，得 D x x f x f x f x f x f x f ∈--=-≥≤-=-0000),()()(),()()(，所以函数)(x f 有最小值(为)(0x f -)，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数. 题1 (普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a 使函数1 22)(+- =x a x f 为奇函数？ 解 由奇函数的性质(1)，可得1,01)0(==-=a a f . 还可验证：当1=a 时，0)()(=-+x f x f ，即)(x f 是奇函数. 所以存在实数1=a 使函数)(x f 为奇函数. 题2 (2007年高考安徽卷理科第11题)定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，若将方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为( )

奇函数偶函数

奇函数偶函数文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数． 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数． 说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇 (2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x)是不易的．为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数．用这个方法判断此函数较为方便：f(x) (3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值， 当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数． (4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形． (5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证． 例如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．

解设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0 则有－x1＞－x2＞0， ∵f(x)在(0，+∞)上是增函数， ∴f(－x1)＞f(－x2) 又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立， ∴=－f(x1)＞－f(x2) ∴f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数． 由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同． 类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反． 时，f(x)的解析式 解∵x＜0，∴－x＞0． 又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)． 偶函数

函数奇偶性的归纳总结(同名1076)

函数的奇偶性的归纳总结 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

最全面的函数的奇偶性知识总结及练习题

函数的奇偶性 中山七欧阳志平 【教学目标】 一、知识目标 1、深刻理解奇偶性的定义及图象特征； 2、掌握判定和证明奇偶性的方法； 3、学会利用函数的奇偶性解决问题 二、能力目标 培养学生的观察、分析、归纳、概括和综合分析能力，培养学生用数形结合和转化变换等思想分析数学问题。 三、情感目标 培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。 【教学重点】 1、理解奇偶性的定义； 2、掌握判定方法； 3、学会利用函数的奇偶性解题。 【教学难点】 灵活运用函数的奇偶性求解函数解析式、对称区间上函数的单调性的判断。 【考点分析】 1、考查判断函数的奇偶性的能力； 2、利用函数奇偶性的图像解题； 3、利用函数的奇偶性求解析式； 4、利用函数奇偶性求单调区间。

【知识点梳理】 一、函数奇偶性的概念 1函数的奇偶性的定义：在定义域关于原点对称的前提乐件下， 如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。例如：函数2 ()1f x x =+, 4 ()2f x x =-等都是偶函数。 如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数 ()f x 就叫做奇函数。例如：函数x x f =)(，x x f 1 )(= 都是奇函数。 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称； （2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。 因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。 （3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。 （4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足 )()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。 （5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。 （6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． 2、主要方法： (1)、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； (2)、牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； (3)、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=， () 1() f x f x =±-．

函数奇偶性归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

奇函数偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数．如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数．说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇 (2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x) 是不易的．为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数．用这个方法判断此函数较为方便：f(x) (3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值， 当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数．(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y 轴为对称轴的对称图形． (5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证． 例如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．解设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0 则有－x1＞－x2＞0， ∵f(x)在(0，+∞)上是增函数， ∴f(－x1)＞f(－x2) 又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立， ∴=－f(x1)＞－f(x2) ∴f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数． 由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同． 类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反． 时，f(x)的解析式 解∵x＜0，∴－x＞0． 又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)． 偶函數 f(x) = x2，偶函數的一個例子 設f(x)為一實變數實值函數，則f為偶函數若下列的方程對所有實數x都成立： f(x) = f( ? x) 幾何上，一個偶函數會對y軸對稱，亦即其圖在對y軸為鏡射後不會改變。 偶函數的例子有x、x2、x4、cos(x)和cosh(sec)(x)。 偶函數不可能是個雙射映射。 奇函數 f(x) = x，奇函數的一個例子 再次地，設f(x)為一個實變數實值函數，則f為奇函數若下列的方程對所有實數x都成立：f(x) = ? f( ? x) 或f( ? x) = ? f(x) 幾何上，一個奇函數對原點對稱，亦即其圖在繞原點做180度旋轉後不會改變。 奇函數的例子有x、x3、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。

奇函数与偶函数的几个问题

奇函数与偶函数的几个问题 1.已知函数f（x+1）为奇函数，函数f（x-1）为偶函数，且f（0）=2，求f（4）由题意得 f（-x+1）=-f（x+1）①，f（x-1）=f（-x-1）②，由①得f（x+1）=-f （-x+1），所以f（4）=f（3+1）=-f（-3+1）=-f（-2），又由②得 f（-2）=f （-1-1）=f（1-1）=f（0）=2 ，于是f（4）=-2 2.已知函数f（x﹣1）为奇函数，函数f（x+3）为偶函数，f（0）=1，求f（8） 分析：由f（x﹣1）为奇函数可得，f（﹣2）=f（﹣1﹣1）=﹣f（1﹣1）=﹣f（0）=﹣1，函数f（x+3）为偶函数?f（x+3）=f（﹣x+3），从而f（8）=f（﹣2）=﹣1． 解：∵函数f（x+3）为偶函数，∴f（x+3）=f（﹣x+3），∴f（8）=f（5+3）=f（﹣5+3）=f（﹣2）；又函数f（x﹣1）为奇函数，f（0）=1，∴f（﹣2）=f（﹣1﹣1）=﹣f（1﹣1）=﹣f（0）=﹣1，∴f（8）=﹣1． 3.函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x2-12x+16，求直线y=2与函数f（x）图象的所有交点的横坐标之和f(x+1)为奇函数=>f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x+1)+f(x+1)=0，函数f(x)图象关于点(1,0)对称，∴f(x)+f(2-x)=0，x<1时,2-x>1，∴当x>1时，f(x)==-f(2-x)=-[2(2-x)x2-12(2-x)+16]=-2x2-4x，直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标即为方程f(x)=2的解，分别解方程2x2-12x+16=2......(1)或解方程-2x2-4x=2........(2)得：方程(1)的解为：3±√2，方程(2)的解为：-1∴直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是5. 4.f(x)的定义域为R，且f(x+1)为奇函数，当x<1时，f(x)=2x2-x+1,则当x>1时，f(x)的递减区间为多少？ y=f(x)的图象向左平移一个单位后得到y=f(x+1)的图象，此图象关于点（0，0）中心对称，故y=f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，故可以由f(x)在x<1时的单调区间得到x>1 单调区间，它们的单调递减区间关于(1,0)对称，f(x+1)是奇函数,将y=f(x)向左平移1个单位得到y=f(x+1)图像，∴y=f(x+1)图像向右平移1个单位得到y=f(x)图像，∴y=f(x)图像关于点（1,0）对称，当x<1时，f(x)=2x^2-x+1=2(x-1/4)2+7/8，在 (-∞,1/4]上递减，在[1/4,1)上递增，则递减区间(-∞,1/4]关于（1,0）的对称，区间[7/4,+∞)仍为递减区间，当x>1时，求f(x)的递减区间是[7/4,+∞). 对于f(x+1),当x<0时,f(x+1)=2x2+3x+2 .结合奇函数可知这个函数的减区间是(-∞,-3/4) ,(3/4,＋∞），将此函数向右平移一个单位长度即可得到f(x)，单调区间增加一个单位, 5.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax+a+1，求f（﹣2）；若函数f（x）为R上的单调减函数，求a的取值范围 分析：利用奇函数的性质，求出f（﹣2）；借助二次函数图象的特征及奇函数性质可求a 的范围． 解：f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（﹣4+2a+a+1）=﹣3a+3；

奇函数、偶函数-高中数学知识点讲解

奇函数、偶函数 1．奇函数、偶函数 【奇函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 解题方法点拨： ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于 0 的部分的函数表达式，求它的小于 0 的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0 时，f（x）＝ x2+x 那么当x＜0 时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）?﹣f（x）＝x2﹣x?f（x）＝﹣x2+x 命题方向： 奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要 也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式． 【偶函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对称． 解题方法点拨： ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c 是多少？ ②结合函数图象关于y 轴对称求函数与x 轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为 2， 那么在区间（﹣2，8）函数与x 轴至少有几个交点． 命题方向： 与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．2．函数的值 【知识点的认识】 1/ 2

函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围． 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当x＞0 时，求 2x +8 的最小值，有 2x + ? 8 ?≥ 2 2? ? 8 ? = 8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为 2； ③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较 例题：求f（x）＝lnx﹣x 在（0，+∞）的值域 解：f′（x）=1 ?― 1 = 1― ? ? ∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减 ∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值； 故值域为（﹣∞，﹣1） 【命题方向】 函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主． 2/ 2