直线的方向向量与平面的法向量
【问题导思】
图3－2－1
1．如图3－2－1，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →
有怎样的关系？
【提示】 AB →∥CD →
.
2．如图直线l ⊥平面α，直线l ∥m ，在直线m 上取向量n ，则向量n 与平面α有怎样的关系？
【提示】 n ⊥α.
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.
空间中平行关系的向量表示
线线平行
设两条不重合的直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，
则l ∥m ?a ∥b ?(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)
线面平行
设l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α?a ·u
＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0
面面平行
设α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β?u ∥v ?(a 1，
b 1，
c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)
求平面的法向量
图3－2－2
已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，
AD ＝1
2
，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD 与平面SAB 的一个法向量． (2)求平面SCD 的一个法向量．
【自主解答】 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (1
2
，0,0)，S (0,0,1)．
(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →
＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →
＝(12
，0,0)是平面SAB 的一个法向量．
(2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC →
＝(1,1，－1)．
设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →
. 所以????? n ·DC →＝0n ·
SC →＝0，得方程组?????
12x ＋y ＝0x ＋y －z ＝0.∴?????
x ＝－2y
z ＝－y ，
令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．
1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量． 2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： (1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．
(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组
???
??
n ·
a ＝0，n ·
b ＝0. (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．
3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组?
????
n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数多个解，只需给x ，
y ，z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．
正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：
图3－2－3
(1)平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)平面BDEF 的一个法向量．
【解】 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)
(1)连AC ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →
＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．
(2)DB →＝(2,2,0)，DE →
＝(1,0,2)．
设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴?????
n ·DB →＝0n ·
DE →＝0， ∴?????
2x ＋2y ＝0x ＋2z ＝0， ∴?????
y ＝－x z ＝－12x . 令x ＝2得y ＝－2，z ＝－1.
∴n ＝(2，－2,1)即为平面BDEF 的一个法向量.
长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E
＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.
【自主解答】 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a,0,0)，C 1(0，b ，c )，E (23a ，23b ，c )，F (a ，b 3，2
3
c )．
∴FE →＝(－a 3，b 3，c 3)，AC 1→
＝(－a ，b ，c )，
∴FE →＝13
AC 1→.
又FE 与AC 1不共线， ∴直线EF ∥AC 1.
利用向量法证明线线平行的方法与步骤：