第17卷第4期2009年10月 系统科学学报 JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCE Vo1.17No.4 oct ，2009 复杂网络及其在国内研究进展的综述 刘建香 （华东理工大学商学院上海200237） 摘要：从复杂网络模型的演化入手，在简要介绍复杂网络统计特征的基础上，对国内关于复杂网络理论及其应用的研究现状从两方面进行综述：一是对国外复杂网络理论及应用研究的介绍，包括复杂网络理论研究进展的总体概括、复杂网络动力学行为以及基于复杂网络理论的应用研究介绍；二是国内根植于本土的复杂网络的研究，包括复杂网络的演化模型，复杂网络拓扑性质、动力学行为，以及复杂网络理论的应用研究等。并结合复杂网络的主要研究内容,对今后的研究重点进行了分析。 关键词：复杂网络；演化；拓扑；动力学行为中图分类号：N941 文献标识码：A 文章编号：1005-6408（2009）04-0031-07 收稿日期：2009-01-05 作者简介：刘建香（1974—），女，华东理工大学商学院讲师，研究方向：系统工程。E-mail ：jxliu@https://www.doczj.com/doc/232729120.html, 0引言 系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合的具有特定功能的有机整体[1]。而网络是由节点和连线所组成的。如果用节点表示系统的各个组成部分即系统的元素，两节点之间的连线表示系统元素之间的相互作用，那么网络就为研究系统提供了一种新 的描述方式[2、3] 。复杂网络作为大量真实复杂系统的高度抽象[4、5]，近年来成为国际学术界一个新兴的研究热 点，随着复杂网络逐渐引起国内学术界的关注，国内已有学者开始这方面的研究，其中有学者对国外的研究进展情况给出了有价值的文献综述，而方锦清[6]也从局域小世界模型、含权网络与交通流驱动的机制、混合择优模型、动力学行为的同步与控制、广义的同步等方面对国内的研究进展进行了简要概括，但是到目前为止还没有系统介绍国内关于复杂网络理论及应用研究现状的综述文献。本文从复杂网络模型的演化入手，在简要介绍复杂网络统计特征的基础上，对国内研究现状进行综述，希望对国内关于复杂网络的研究起到进一步的推动作用。 1.复杂网络模型的发展演化 网络的一种最简单的情况就是规则网络 [7] ，它 是指系统各元素之间的关系可以用一些规则的结构来表示，也就是说网络中任意两个节点之间的联系遵循既定的规则。但是对于大规模网络而言由于其复杂性并不能完全用规则网络来表示。20世纪50年代末，Erdos 和Renyi 提出了一种完全随机的网络模型———随机网络（ER 随机网络），它指在由N 个节点构成的图中以概率p 随机连接任意两个节点而成的网络，即两个节点之间连边与否不再是确定的事，而是由概率p 决定。或简单地说，在由N 个节点构成的图中，可以存在条边，从中随机连接M 条边所构成的网络就叫随机网络。如果选择M =p ，这两种构造随机网络模型的方法就可以联系起来。规则网络和随机网络是两种极端的情况，对于大量真实的网络系统而言，它们既不是规则网络也不是随机网络，而是介于两者之间。1998年，Watts 和Strogatz [8]提出了WS 网络模型，通过以概率p 切断规则网络中原始的边并选择新的端点重新连接 31--
复杂网络研究概述 周涛柏文洁汪秉宏刘之景严钢 中国科学技术大学，近代物理系，安徽合肥：230026 摘要：近年来，真实网络中小世界效应和无标度特性的发现激起了物理学界对复杂网路的研究热潮。复杂网络区别于以前广泛研究的规则网络和随机网络最重要的统计特征是什么？物理学家研究复杂网络的终极问题是什么？物理过程以及相关的物理现象对拓扑结构是否敏感？物理学家进入这一研究领域的原因和意义何在？复杂网络研究领域将来可能会向着什么方向发展?本文将围绕上述问题，从整体上概述复杂网络的研究进展。 关键词：复杂网络小世界无标度拓扑性质 A short review of complex networks Zhou Tao Bai Wen-Jie Wang Bing-Hong? Liu Zhi-Jing Yan Gang Department of Modern Physics, University of Science and Technology of China, Hefei, 230026 Abstract: In recent years, the discoveries of small-world effect and scale-free property in real-life networks have attracted a lot of interest of physicists. Which are the most important statistical characteristics for complex networks that known from regular networks and random networks? What is the ultimate goal of the study of complex networks? Are physical processes sensitive to the topological structure of networks? What are the reason and meaning that physicist come into the research field on complex networks? What are the directions for future research? In the present paper, we concentrate on those questions above and give a general review about complex networks. Keyword: complex networks, small-world, scale-free, topological characters 1 引言 自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述。一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来代表真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之间具有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边，有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻的。例如，神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络[1]；计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络[2]。类似的还有电力网络[1]、社会关系网络[1,3-4]、交通网络[5]等等。 数学家和物理学家在考虑网络的时候，往往只关心节点之间有没有边相连，至于节点到底在什么位置，边是长还是短，是弯曲还是平直，有没有相交等等都是他们不在意的。在这里，我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构。那么，什么样的拓扑结构比较适合用来描述真实的系统呢？两百多年来，对这个问题的研究经历了三个阶段。在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网，它看起来像是格子体恤衫上的花纹；又或者最近邻环网，它总是会让你想到一群手牵着手围着篝火跳圆圈舞的姑娘。到了二十世纪五十年代末，数学家们想出了一种新的构造网
复杂网络理论及其研究现状 复杂网络理论及其研究现状 【摘要】简单介绍了蓬勃发展的复杂网络研究新领域，特别是其中最具代表性的是随机网络、小世界网络和无尺度网络模型；从复杂网络的统计特性、复杂网络的演化模型及复杂网络在社会关系研究中的应用三个方面对其研究现状进行了阐述。 【关键词】复杂网络无标度小世界统计特性演化模型 一、引言 20世纪末，以互联网为代表的信息技术的迅速发展使人类社会步入了网络时代。从大型的电力网络到全球交通网络，从Internet 到WWW，从人类大脑神经到各种新陈代谢网络，从科研合作网络到国际贸易网络等，可以说，人类生活在一个充满着各种各样的复杂网络世界中。 在现实社会中，许多真实的系统都可以用网络的来表示。如万维网（WWW网路）可以看作是网页之间通过超级链接构成的网络；网络可以看成由不同的PC通过光缆或双绞线连接构成的网络；基因调控网络可以看作是不同的基因通过调控与被调控关系构成的网络；科学家合作网络可以看成是由不同科学家的合作关系构成的网络。复杂网络研究正渗透到数理科学、生物科学和工程科学等不同的领域，对复杂网络的定性与定量特征的科学理解，已成为网络时代研究中一个极其重要的挑战性课题，甚至被称为“网络的新科学”。 二、复杂网络的研究现状 复杂网络是近年来国内外学者研究的一个热点问题。传统的对网络的研究最早可以追溯到18世纪伟大数学家欧拉提出的著名的“Konigsberg七桥问题”。随后两百多年中，各国的数学家们一直致力于对简单的规则网络和随机网络进行抽象的数学研究。规则网络过于理想化而无法表示现实中网络的复杂性，在20世纪60年代由Erdos和Renyi（1960）提出了随机网络。进入20世纪90年代，人们发现现实世界中绝大多数的网络既不是完全规则，也不是完全随机
复杂网络理论及其应用研究概述 刘涛 ，陈忠，余哲 （上海交通大学安泰管理学院，上海市华山路1954号287＃信箱，200030） liuzhang@https://www.doczj.com/doc/232729120.html, 摘 要：本文从统计特性、结构模型和网络上的动力学行为三个层次简述复杂网络相关研究，并着重介绍了网络上的传播行为，认为它代表了复杂网络在社会经济系统中的重要应用。 关键词：复杂网络、小世界、无标度网络、疾病传播 1. 引言 结构决定功能是系统科学的基本观点[1]。如果我们将系统内部的各个元素作为节点，元素之间的关系视为连接，那么系统就构成了一个网络，例如神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络、计算机网络可以看作是计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络，类似的还有电力网络、社会关系网络、交通网络等等[2][3]。强调系统的结构并从结构角度分析系统的功能正是复杂网络的研究思路，所不同的是这些抽象出来的真实网络的拓扑结构性质不同于以前研究的网络，且节点众多，故称其为复杂网络（complex networks ）。近年来，大量关于复杂网络的文章发表在Science 、Nature 、PRL 、PNAS 等国际一流的刊物上，从一个侧面反映了复杂网络已经成为国际学术界一个新兴的研究热点。 复杂网络的研究可以简单概括为三方面密切相关却又依次深入的内容：通过实证方法度量网络的统计性质；构建相应的网络模型来理解这些统计性质何以如此；在已知网络结构特征及其形成规则的基础上，预测网络系统的行为[3]。 2. 复杂网络的统计性质 用网络的观点描述客观世界起源于1736年德国数学家Eular 解决哥尼斯堡七桥问题。复杂网络研究的不同之处在于首先从统计角度考察网络中大规模节点及其连接之间的性质，这些性质的不同意味着不同的网络内部结构，而网络内部结构的不同导致系统功能有所差异。所以，对这些统计性质的描述和理解是我们进行复杂网络相关研究的第一步，下面简述之。 2.1 平均路径长度（The average path length） 网络研究中，一般定义两节点间的距离为连接两者的最短路径的边的数目；网络的直径为任意两点间的最大距离；网络的平均路径长度则是所有节点对之间距离的平均值，它描述了网络中节点间的分离程度，即网络有多小。复杂网络研究中一个重要的发现是绝大多数大规模真实网络的平均路径长度比想象的小得多，称之为“小世界效应”l [2]。这一提法来源 资助项目：国家自然科学基金70401019，高等学校博士点科研基金2002048020。 作者简介： - 1 -
复杂网络的某些性质研究及其应用 自从Watts,Strogatz 1998年发现真实网络的小世界特性以来,复杂网络融合了图论、工程数学、计算机理论、社会科学等学科的有关理论与成果,已成为了一门单独的学科。经过十多年的研究,科学家们已经发现了一些典型复杂网络模型如小世界网络模型、无标度网络模型、确定性小世界网络模型等,同时也发现了这些典型网络模型的一些主要特性。 本文围绕复杂网络的小世界现象,针对典型复杂网络模型重点研究了网络节点度序列长度特性、电阻距离特性及其应用;基于代数图论中的凯莱图（Cayley）模型在随机化加边后也同样具有复杂网络的小世界特性,论文结合无线传感器网络和数据中心网络的应用需求,同时研究了基于代数图论的具有小世界特性的复杂网络模型及应用。论文主要成果如下:（1）在肖文俊等人提出复杂网络度序列长度新特性的基础上,论文从理论上证明了具有扩展幂律分布、泊松分布、指数分布的复杂网络模型的度序列长度的新特性:即度序列长度l与 log2N是同级别的结论,进一步完善了肖文俊等人的结论。 实验仿真结果及现实网络的数据验证了该结论的有效性。该结论从理论上解释了为什么现实世界的网络直径不大的问题,可以作为复杂网络的基本特性之一,同时论文提出了基于复杂网络的度序列长度的复杂网络模型。 针对复杂网络的搜索问题,论文完成了最短路径算法和最大度算法的仿真实验,结果表明在复杂网络中基于最大度的搜索算法相比基于最短路径的搜索算法更有效。（2）论文研究了复杂网络中的电阻距离特性及其在社团划分中应用的需求,提出了结合节点中心性指标与电阻距离的社团划分算法。 论文选择了节点度中心性、接近度指标、特征向量、聚类系数及最短路径等
复杂网络链路预测的研究现状及展望 吕琳媛 前言：做链路预测这个方向有一年多的时间了，有一些收获和体会。一直想写一个综述进行总结，总是希望这个综述尽可能的包括更多更全面的信息，但是新的思想和结果源源不断的涌现，所谓的综述也就无限期的搁置了下来。前不久刚刚和伟平合作发表了一篇关于利用网络局部随机游走进行链路预测的文章，借此文发表之动力，总结一下链路预测这个方向的研究进展以及展望。希望该文能对那些正奋战在这个方向上和希望在此领域有所建树的科研工作者有所帮助和启迪。 （本文中所提到的具体的技术方法以及实验结果将在另一篇中文综述中详细介绍。） 1．链路预测及其研究意义 网络中的链路预测(Link Prediction)是指如何通过已知的网络节点以及网络结构等信息预测网络中尚未产生连边的两个节点之间产生链接的可能性[1]。这种预测既包含了对未知链接（exist yet unknown links）的预测也包含了对未来链接（future links）的预测。该问题的研究在理论和应用两个方面都具有重要的意义和价值。 近年来，随着网络科学的快速发展，其理论上的成果为链路预测搭建了一个研究的平台，使得链路预测的研究与网络的结构与演化紧密联系起来。因此，对于预测的结果更能够从理论的角度进行解释。这也是我们相比计算机专业的人研究链路预测的优势所在。与此同时，链路预测的研究也可以从理论上帮助我们认识复杂网络演化的机制。针对同一个或者同一类网络，很多模型都提供了可能的网络演化机制[2, 3]。由于刻画网络结构特征的统计量非常多，很难比较不同的机制孰优孰劣。链路预测机制有望为演化网络提供一个简单统一且较为公平的比较平台，从而大大推动复杂网络演化模型的理论研究。另外，如何刻画网络中节点的相似性也是一个重大的理论问题[4]，这个问题和网络聚类等应用息息相关[5]。类似地，相似性的度量指标数不胜数，只有能够快速准确地评估某种相似性定义是否能够很好刻画一个给定网络节点间的关系，才能进一步研究网络特征对相似性指标选择的影响。在这个方面，链路预测可以起到核心技术的作用。链路预测问题本身也带来了有趣且有重要价值的理论问题，也就是通过构造网络系综并藉此利用最大似然估计的方法进行链路预测的可能性和可行性研究。这方面的研究对于链路预测本身以及复杂网络研究的理论基础的建立和完善，可以起到推动和借鉴的作用。 链路预测研究不仅具有如上所述的理论价值，其更重要的意义还是体现在应用方面。很多生物网络，例如蛋白质相互作用网络和新陈代谢网络，节点之间是否存在链接，或者说是否存在相互作用关系，是需要通过大量实验结果进行推断的。我们已知的实验结果仅仅揭示了巨大网络的冰山一角。仅以蛋白质相互作用网络为例，酵母菌蛋白质之间80%的相互作用不为我们所知[6]，而对于人类自身，我们知道的仅有可怜的0.3%[7,8]。由于揭示这类网络中隐而未现的链接需要耗费高额的实验成本。那么如果能够事先在已知网络结构的基础上设计出足够精确的链路预测算法，再利用预测的结果指导试验，就有可能提高实验的成功率从而降低试验成本并加快揭开这类网络真实面目的步伐！实际上，社会网络分析中也会遇到数据不全的问题，这时候链路预测同样可以作为准确分析社会网络结构的有力的辅助工具[9,10]。除了帮助分析数据缺失的网络，链路预测算法还可以用于分析演化网络，即对未来
复杂网络度分布的研究 (1) 1. 复杂网络的研究对象........................................................................................ 1 2. 复杂网络的研究内容........................................................................................ 1 3. 复杂网络中的三个概念.................................................................................... 1 4. 复杂网络的几何量............................................................................................ 1 5. 社会网络与其它网络的判别指标.................................................................... 2 6. 随机网络－ER 模型 ......................................................................................... 2 7. 随机网络的研究宗旨........................................................................................ 2 8. 子图出现的临界概率........................................................................................ 3 9. 子图临界概率存在的证明................................................................................ 3 10. BA 模型与度的幂指分布 ................................................................................ 4 11. BA 模型构造的网络度符合幂指形式的证明 (4) 复杂网络度分布的研究 － 复杂网络度分布的研究 河北工大硕士论文 陈德伟 指导教师：何文辰 1. 复杂网络的研究对象 用来描述真实网络统计特征的物理量主要有度分布、平均路径长度、聚集系数、相关系数等，都是力求更加详细、精确的描述复杂的真实网络。寻找网络各种宏观统计性质的微观生成机制一直都是网络研究中一项极具意义而且也是极具挑战性的工作。现在人们已经对复杂网络的小世界性质和无标度特征的微观生成机制有了一定的认识，但是度的相关性、团体性质、分层结构等更为复杂的宏观统计性质的微观生成机制的探索还处于起步阶段。对不同结构复杂网络的鲁棒性和脆弱性(vulnerability)的研究也是一个具有广泛应用价值的课题。 2. 复杂网络的研究内容 目前，复杂网络研究的内容主要包括：网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，网络的演化动力学机制等问题。 3. 复杂网络中的三个概念 三种概念在当代对复杂网络的思考中占有重要地位。第一，小世界概念；第二，集群即集聚系数的概念；第三，幂律的度分布概念。 4. 复杂网络的几何量 直径：网络的直径是指任意两个顶点之间最短路径的最长长度(包含的边数)。 集聚系数：对于网络中的任意一个节点i 来说，其集聚系数i C 表示与i 相连的节点中任意两点之间相互连接的概率。它可定义如下：如果与节点i 相连的点的数目为i k ，则在这i k 个节点之间最多存在2/)1(-k k 条边，而实际存在的可能只有i E 条边，则得到i 的集聚系数i C 为 ) 1(2-= i i i i k k E C .
复杂网络抗毁性度量及优化研究进展 专业：控制科学与工程 姓名：许云飞 学号：20130208110007 摘要：作为一个新兴交叉学科，复杂网络发展迅速，并已渗入各个相关学科的研究中。在已有网络模型拓扑结构的研究基础上，网络抗毁性能的研究受到越来越多学者的关注，并取得丰硕成果。本文从抗毁性度量及抗毁性优化两个方面对现有的研究进展进行综述分析，并对该研究领域的未来发展趋势进行总结和展望。 关键词：复杂网络；拓扑结构；抗毁性度量；优化 1. 引言 自小世界效应[1]和无标度特性[2]这些性质发现以来，复杂网络研究在过去的十几年中得到迅速发展，在网络的发展进程中，安全和稳定性被越来越多的实际应用所迫切需要，因此复杂网络抗毁性的量化研究逐渐成为复杂网络研究中最为关键的研究主题，人们越来越关注于能够保障网络在遭受外界攻击时依然维持正常运作的网络结构及其构造方式，以及促使既存网络在保证经济效益的同时提高抗毁性能的优化方案，本文也将着重分析当前复杂网络抗毁性的量化指标及其优化方案的研究进展，并对存在的问题和发展趋势提出展望。 2. 复杂网络抗毁性度量指标 复杂网络的抗毁性可以理解为网络中的节点或边发生自然失效或遭受故意攻击时，网络拓扑结构保持连通的能力及网络维持其功能的能力[3]，度量网络抗毁性能好坏的指标称之为抗毁性测度。在图论的传统研究中使用图的部分不变量指标刻画网络抗毁性[4]，但是由于复杂网络中存在大量度数很小的节点，而这些指标很多都基于最小节点的度数，因此失去了测度的意义。于是越来越多的研究开始着眼于寻找能够较为全面的反应网络抗毁性能的测度，针对现有测度基于网络结构中不同属性的定义，本文从以下四个方面对抗毁性测度研究进展进行归纳和总结。 2.1 基于节点属性的抗毁性测度 吴俊等[5]首先提出网络连通系数的概念，描述了网络连通分支及平均最短路径对网络连通性能的影响，在此基础上，针对随机打击和选择性打击两种不同模式，设置网络连通系数的阈值，在保证阈值的前提下，最大限度的删除节点(边)，得到节点(边)容错度和节点(边)抗攻击度两个指标作为衡量网络抗毁性能的指标。 郭虹等[6]首先提出表征网络紧凑程度的网络凝聚度指标，并提出节点收缩的概念，将与节点i 相连接的i k 个节点与i 融合并用一个新节点i '代替这1+i k 个结点，利用节点收缩前后网络凝聚度的变化作为衡量节点重要程度的标准，取其均值为节点抗毁度，将网络中所有节点抗毁度的均方差作为全网抗毁度。全网抗毁度反映了节点抗毁度在整个网络的平均程度和分散程度。该方法从局部节点对全局抗毁影响的角度分析了网络中节点的重要性，可以更加准确的确定网络中的关键节点，从而进行弱化或者保护。谢琼瑶等[7]将其应用于加权的电力网中，以线路中的电抗值为权重参数，建立有权网络模型并提出带权重的网络凝聚度及节点重要度指标。任连兴等[8]提出攻击度的概念，将遭受攻击前后度分布的数学期望变化进行归一化来反应网络的抗毁性能，由文献[6]中的节点收缩法确定节点的重要度，攻击度为网络遭受攻击后孤立或毁坏节点重要度之和与全网络节点重要度之和的比值，该指标衡量了网络遭受攻击之后的毁坏程度。
■现代管理科学■2010年第9期 一、复杂网络概述 1.复杂网络演化过程。用网络的观点描述客观世界起源于1736年德国数学家欧拉Eular使用图论解决哥尼斯堡七桥问题。数学家和物理学家在考虑网络的时候，往往只关心节点之间有没有边相连，至于节点到底在什么位置，边是长还是短，是弯曲还是平直，有没有相交等等都是他们不在意的。科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网，它看起来像是格子体恤衫上的花纹；又如最近邻环网，它总是会让你想到一群手牵着手、围着篝火跳圆圈舞的姑娘。也就是说网络中任意两个节点之间的联系遵循既定的规则。用得最多的规则网络是由N个节点组成的环状网络，网络中每个节点只与它最近的K个节点连接。规则网络的特点就是：每个节点的近邻数目都相同。但是对于大规模网络而言由于其复杂性并不能完全用规则网络来表示。 到了20世纪50年代末，Erdos&Renyi想出了一种新的构造网络的方法，在这种方法下，两个节点之间连边与否不再是确定的事情，而是根据一个概率决定。这是一种完全随机的网络模型，数学家把这样生成的网络叫做随机网络。随机网络ER模型的描述如下：给定网络节点总数N，网络中任意两个节点以概率P连接，生成的网络全体记为G（N，P），构成一个概率空间。由于网络中连线数目是一个随机变量X，取值可以从0到N（N-1）/2。随机网络在接下来的40年里一直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络。 规则网络和随机网络是两种极端的情况，随着信息技术的飞速发展，科学家们发现对于大量真实的网络系统而言，他们既不是规则网络，也不是随机网络，而是介于两者之间，具有与前两者皆不同的统计特征的一种复杂网络。1998年，Watts&Strogatz提出了W-S网络模型，通过以概率p切断规则网络中原始的边并随机选择新的端点重新连接，构造出一种介于规则网络和随机网络之间的网络—— —小世界网络（Small-world Networks）。显然，当p=0时，相当于各边未动，还是规则网络；当p=1时就成了随机网络。1999年，Barabasi&Albert在Science上发表文章指出，许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律函数形式，由于幂律分布没有明显的可度量特征，该类网络又被称为无标度网络。 2.复杂网络的统计性质。复杂网络的不同的统计性质决定了不同的网络内部结构，而结构又决定了系统的功能。所以，我们先了解一下复杂网络的相关统计性质。 （1）度及度分布。在网络中，节点的度是与目标节点相连的边的条数。即与该节点相邻的节点的数目，朋友的个数。而网络的度