历届中考二次函数试题精选
一、填空题
1．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．213y y y >>
B ．312y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >> 3．（2012潜江）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x
轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；
④8a+c＞0．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 4. （2011湖北襄阳）已知函数12)3(2
++-=x x
k y 的图象与x 轴有交
点，则k 的取值范围是（ ）
A.4 B.4≤k C.4 D. 4 ≤k 且 3≠k 5．(2010年北京崇文区) 函数y=x 2-2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>- D ．31≥-≤x x 或 6. （2011山东菏泽）如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是 A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2a D ． ac <0 7. （2011甘肃兰州）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面 四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．． 的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 8. （2011江苏宿迁）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根 9．（2012?德阳）设二次函数y=x 2+bx+c ，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c 的取值范围是（ ） A ．c=3 B ．c≥3 C ．1≤c≤3 D ．c≤3 10．（2012?杭州）已知抛物线y=k （x+1）（x ﹣）与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2012菏泽）已知二次函数2 y ax bx c =++的图像如图所示，那么一次函数y bx c =+ 和反比例函数a y x =在同一平面直角坐标系中的图像大致是（） A B C D 12. （2011江苏无锡）如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = k x 的交点A 的横坐标是1，则关于x的不等式k x + x2 + 1 < 0的解集是 ( ) A．x > 1 B．x < ?1 C．0 < x < 1 D．?1 < x < 0 13．（2010 河北）已知抛物线c bx x y+ + =2的对称轴为2 = x，点A，B均在 抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3）D．（4，3）14．（2010四川乐山）.设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（） O D C B (4,4) A (1,4) A. 6或－1 B. －6或1 C. 6 D. －1 15．（2010 浙江台州市）如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、两点（在的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( ) A ．－3 B ．1 C ．5 D ．8 二、选择题 1．（2012苏州）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x ﹣1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 2、（2009年内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、 1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列 结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． 3、（2009年娄底）如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12 x 2的图象，C 2是函数y =-12 x 2 的图象，则阴影部分的面积是 . 4．（2010江苏 镇江）已知实数y x y x x y x +=-++则满足,033,2的 最大值为 . P y x y x = 2y O · 5．(2012?扬州)如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 ． 6．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y 1 ＝2x 2向右平移2个单位，得 到抛物线y 2的图象， 则 y 2= ； （2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ． 7. (2009年本溪)如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ． 8.(2010年浙江省金华) 已知二次函数y =ax 2＋bx －3的 图象经过点A （2，－3）， B （－1，0）．要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上 平移 个单位． 9．（2012广安）如图，把抛物线y=x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过 点A （﹣6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为 ． 10. （2011浙江义乌，16，4分）如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B . （1）写出点B的坐标； （2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧 ．．部分上的一 个动点，将 直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点. 若以CD为直角边 的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为 . 三、解答题 1．【14. 2012?扬州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形若 存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请 说明理由． 2．（2012?乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B 的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y 轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于 D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD． ①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标． 3．（2012铜仁）如图，已知：直线3 y交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线 =x + - y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D的坐标为（-1，0），在直线3 y上有一点P,使ΔABO与ΔADP =x + - 相似，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 4.（2010年山东省济南市）如图，已知抛物线2 y x bx c =++经过点（1，-5）和（-2，4） （1）求这条抛物线的解析式． （2）设此抛物线与直线y x =相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线() x m m =<<+与抛物线交于点M， 051 与直线y x =交于点N，交x轴于点P，求线段 MN的长（用含m的代数式表示）． （3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM， 是否存在m的值，使△BOM的面积S最大若存 在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由． 5. (2010年兰州市)（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线c bx x y ++-=2 经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0） （1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少 （2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方 向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）. ① 当 411 = t 时，判断点 P 是否在直线ME 上，并说明理由； ② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此 时N 点的坐标；若无可能，请说明理由． 《二次函数的应用》 中考题集锦 10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠． （1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点； （2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）证法1： 2 2229224m y x mx m x m ? ?=+-=+- ?? ?， 当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为29 04 m -<， ∴顶点总在x 轴的下方． 而该抛物线的开口向上， ∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -， 在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．） 证法2 ： 22241(2)9m m m ?=-??-=， 当0m ≠时，290m >， ∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =． 设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知， ①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=2224(2)940m m n m n ∴?=---=+>，即29 4 n m >-． 且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ） 由（I ）得，t m =，即0m >． 将t m =代入（II ）得，0n =． ∴当0m >且0n =时，有2AP PB =． ②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴?=---=+>，即 29 4 n m >-． 且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ） 由（I ）得，3 m t =-，即0m >． 将3 m t =-代入（II ）得，2209n m =- 且满足29 4 n m >-． ∴当0m >且2 209 n m =- 时，有2AP PB = 第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距 离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米 Ｃ．12 3米 Ｄ．6米 答案：Ｂ 第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示． （1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（0t >） t (天) y (天) 853 t (天 的函数关系式； （2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大 （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．） 答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为： 2 160(0120)380(120150)2 20(150180)5 t t y t t t ?-+< = ． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3 ，， 2851 (60110)203300a a ∴ =-+∴= ．． 21 (110)20300 z t ∴= -+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故2 22 21160(110)20(0120)33001 80(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ?-+---< ?=--- ? ?+---?? ，，． ≤ ≤≤ 化简得 2 22 1(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ?--+< ，，． ≤ ≤≤ ①当21 (10)100(0120)300 W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21 (110)60(120150)300 W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593 ； ③当21 (170)56(150180)300 W t t =- -+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元． 第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米（取7=） （3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米（取5=） 答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412 a a =+∴=- ，． ∴表达式为21 (6)412 y x =- -+． （或2 1112 y x x =- ++） （2）（3分）令21 0(6)4012 y x =- -+=，． 212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去） ． ∴足球第一次落地距守门员约 13米． （3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD 根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位） 21 2(6)412 x ∴=- -+解得1266x x =-=+ 1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21 (6)4012 x - -+=． 解得16x =-，2613x =+． ∴点C 坐标为（13，0）． 设抛物线CND 为21 ()212 y x k =- -+． 将C 点坐标代入得：21 (13)2012 k - -+=． 解得：11313k =-（舍去）， 2667518k =+++=． 21 (18)212 y x =- -+ 令21 0(18)212 y x ==- -+，0． 118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米． 第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式． （2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可） （3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大修建面积为多少时可以得到最大收益请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议． 答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153 x =，2103 x = 从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建5 3公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元） ()()2 227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分） 不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益． 建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大． ③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可） 第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件． （1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元． 答案：略． 第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系 （1）求抛物线的解析式； （2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么 （3 答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，， 设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21 224 y x x =-++ （2）令4y =，则有212244 x x -++= 解得1244x x =+=- 212x x -=> ∴货车可以通过． （3）由（2 ）可知21122 x x -=> ∴货车可以通过． 第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =， 线 段10 EF =．在 EF 上取一点 M ，分别以 EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形 MFGN ∽矩形 ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值最大值是多少 答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ， MN MF AD AB ∴ = ． 2AB AD MN x ==，， 2MF x ∴=． 102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=- 2210x x =-+ 2 525 222x ??=--+ ??? ． B A D M F
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