第2课时菱形的判定
知识点 1 一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图,若要使?ABCD成为菱形,则可添加的条件是()
A.AB=CD
B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
2.如图,平行四边形ABCD中,AB=9 cm,BC=4 cm,将BC边以2 cm/s的速度沿BA方向平移得到FE,则当BC边移动s时,四边形DAFE是菱形.
3.已知:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.求证:四边形AEDF 是菱形.
知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.已知两根长度不相同的木棒的中点被捆在一起,如图拉开一个角度α,当α=
时,四边形ABCD是菱形()
A.60°
B.90°
C.45°
D.30°
5.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件中能判定四边形ABCD为菱形的是()
A.BA=BC
B.AC,BD互相平分
C.AC=BD
D.AB∥CD
6.如图,在?ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是菱形.
知识点 3 四条边相等的四边形是菱形
AB的长为半径画弧,相交于点C,D,则四边形ACBD为菱形的依据7.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于1
2
为.
8.如图,△ABD为等腰三角形,把它沿底边BD翻折后,得到△CBD.求证:四边形ABCD是菱形.
9.如图,四边形ABCD是一张平行四边形纸片,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两名同学的作法分别如下:
对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的为()
A.甲正确,乙错误
B.甲错误,乙正确
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误
10.如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,若重合部分构成的四边形ABCD中,AB=3,AC=2,则BD的长为.
11.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
12.如图,在平面直角坐标系中,有三点A(0,4),B(9,4),C(12,0).已知点P从点A出发沿着AB路线向点B运动,同时点Q从点C出发沿着CO向点O运动,运动速度都是每秒2个单位长度,运动时间为t秒.
(1)当t=4.5时,判断四边形AQCB的形状,并说明理由.
(2)当四边形AOQB是矩形时,求t的值.
(3)是否存在某一时刻,使四边形PQCB是菱形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
1.C
2.2.5解析：设BC边移动的时间为t s,则BF=2t cm,∴AF=(9-2t)cm.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=4 cm,且AD∥BC.
∵BC边以2 cm/s的速度沿BA方向平移得到FE,
∴BC=FE,且BC∥FE,
∴AD=FE,且AD∥FE,
∴四边形DAFE是平行四边形,
∴当AF=AD时,四边形DAFE是菱形,
此时9-2t=4,解得t=2.5.
3.证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE∥AC,
∴∠FAD=∠ADE,
∴∠EAD=∠ADE,
∴AE=DE,
∴四边形AEDF是菱形.
4.B解析：∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
5.B
6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵DE=BF,∴AD-DE=BC-BF,
即AE=FC.
又∵AE∥FC,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC ⊥EF ,
∴四边形AECF 是菱形.
7.四条边相等的四边形是菱形
8.证明:∵将△ABD 沿底边BD 翻折得到△CBD ,∴AB=CB ,AD=CD.
又∵AB=AD ,
∴AB=CB=CD=AD , ∴四边形ABCD 是菱形.
9.C
10.4√2 解析： 过点A 作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F.
∵两张纸条宽度相同,∴AE=AF. ∵AB ∥CD ,AD ∥BC ,
∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵S ?ABCD =BC ·AE=CD ·AF ,AE=AF. ∴BC=CD ,
∴四边形ABCD 是菱形.
设BD 与AC 交于点O , 则AC ⊥BD ,AO=1
2AC=1,BO=1
2BD ,
∴BO=√AB 2-AO 2=2√2, ∴BD=2BO=4√2,
故答案为4√2.
11.解:(1)证明:∵AF ∥BC ,
∴∠AFE=∠DBE ,∠FAE=∠BDE. ∵E 是AD 的中点,∴AE=DE.
在△FAE 和△BDE 中,{∠AFE =∠DBE ,
∠FAE =∠BDE ,AE =DE ,
∴△FAE ≌△BDE ,∴AF=DB. ∵AD 是BC 边上的中线, ∴DB=DC ,∴AF=DC.
(2)四边形ADCF 是菱形. 证明:∵AF=DC ,AF ∥DC ,
∴四边形ADCF 是平行四边形. ∵AB ⊥AC ,∴△ABC 是直角三角形.
∵AD是斜边BC上的中线,
∴AD=1
BC=DC,
2
∴平行四边形ADCF是菱形.
12.解:(1)四边形AQCB是平行四边形.
理由:∵A(0,4),B(9,4),
∴AB∥OC,AB=9.
当t=4.5时,CQ=2t=9,
∴AB=CQ,
∴四边形AQCB是平行四边形.
(2)∵C(12,0),∴OC=12,∴OQ=12-2t.
当四边形AOQB是矩形时,有AB=OQ,
即9=12-2t,
解得t=1.5,
∴当t=1.5时,四边形AOQB是矩形.
(3)不存在.理由:当PB=CQ时,四边形PQCB是平行四边形,则9-2t=2t,
解得t=2.25,
此时CQ=2t=4.5.
如图,过点B作BD⊥OC,垂足为D.
∵B(9,4),C(12,0),
∴BD=4,CD=3,
∴BC=2+CD2=5,
∴BC≠CQ,
∴四边形PQCB不是菱形,
即不存在某一时刻,使四边形PQCB是菱形.