参数方程
考点要求
1 了解参数方程的定义。
2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。会选择适当的参数，写出他们的参数方程。并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。
3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。 考点与导学
1参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数
?
?==)
()
(t g y t f x (t ∈T) （1） 这里T 是)(),(t g t f 的公共定义域。并且对于t 的每一个允许值。由方程（1）所确定的点
),(y x M 。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。
2过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线l 的参数方程 （错误！未找到引用源。）??
?+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）
（错误！未找到引用源。）通常称（错误！未找到引用源。）为直线l 的参数方程的标准形式。其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p p 0的数量。
t>0时，p 在0p 上方或右方；t<0时，p 在0p 下方或左方，t=0时，p 与0p 重合。 （错误！未找到引用源。）直线的参数方程的一般形式是：?
??+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）
这里直线l 的倾斜角α的正切b
a =
αt a n （0
090
0==αα或时例外）。当且仅当
12
2
=+b
a 且b>0时. （1）中的t 才具有（错误！未找到引用源。
）中的t 所具有的几何意义。
2 圆的参数方程。
圆心在点),,(00'
y x o 半径为r 的圆的参数方程是???+=+=θ
θ
sin cos 00r y y r x x （θ为参数）
3 椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 的参数方程。 ?
??==θθ
sin cos b y a x （θ为参数）
4 双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 的参数方程：???==θ
θ
tan sec b y a x （θ为参数）
5 抛物线px y
22
=的参数方程。?
?
?==pt y pt x 222
（t 为参数） 例1 已知某曲线C 的参数方程为???=+=2
21at
y t
x （其中t 是参数，R a ∈）,点M （5，4）在该曲线上。（1）求常数a ；（2）求曲线C 的普通方程。 解：（1）由题意可知有???==+4
5212at t 故 ???==12a t ∴1=a
（2）由已知及（1）可得，曲线C 的方程为???=+=2
21t
y t x 由第一个方程得21
-=x t 代入第二个方程得：2)2
1(
-=x y 。即y x 4)
1(2
=-为所求。
〔点评〕 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过)(),(t g y t f x ==。根据t 的取值范围导出y x ,的取值范围。 例2 圆M 的参数方程为03sin 4cos 4222=+--+R Ry Rx y x αα（R>0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M 的半径。（2）当R 固定，α变化时。求圆心M 的轨迹。并证明此时
不论α取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆。
解：（1）依题意得 圆M 的方程为222)sin 2()cos 2(R R y R x =-+-αα 故圆心的坐标为M （R R R 半径为).sin 2,cos 2αα。
（2）当α变化时，圆心M 的轨迹方程为?
??==ααsin 2cos 2R y R x （其中α为参数）两式平方相加得
2
2
24R y
x =+。所以所有的圆M 的轨迹是圆心在原点。半径为2R 的圆
由于
R
R R R R R R R R R +==+-==+2)
sin 2()cos 2(32)sin 2()cos 2(2
22
2
αααα所以所有的圆M 都和定圆2
22R
y x =+外切，和定圆2
2
2
9R y x =+内切。
〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。 例3已知A ，B 分别是椭圆
19
36
2
2
=+
y
x
的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求?ABC
的重心的轨迹的普通方程。
解：由动点C 在椭圆上运动，可设C 的坐标为（6cos θ,3θsin ）,点G 的坐标为),(y x .
依题意可知：A （6，0），B （0，3） 由重心坐标公式可知
???????+=++=+=++=θ
θθθsin 13sin 330cos 223
cos 606y x 由此得：?????=-=-)2(sin 1)1(cos 2
2θθy x 得22)2()1(+ 1)1(4
)
2(2
2
=-+-y x 即为所求。
〔点评〕错误！未找到引用源。本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。错误！未找到引用源。“平方法”是消参的常用方法。
例4求经过点（1，1）。倾斜角为0
135的直线截椭圆
14
2
2
=+y
x
所得的弦长。
解：由条件可知直线的参数方程是：??
?
????+=-=t y t x 2212
2
1（t 为参数）代入椭圆方程可得：
1)2
21(4
)
2
21(2
2
=+
+-t t 即
01232
52
=++t t 设方程的两实根分别为21,t t 。
则???
????=-=+525262121t t t t 则直线截椭圆的弦长是 5
264)(212
2121=
-+=-t t t t t t
〔点评〕利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。但必须注意：直线的参数方程必须是标准形式。即 ???+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）当122=+b a 且b>0时才是标准形式。若不
满足12
2=+b a 且b>0两个条件。 则弦长为 d=212)(1t t a
b -+
〔解题能力测试〕
1 已知某条曲线的参数方程为：???
???
?-=+=)
1(21)
1(2
1a a y a a x 其中a 是参数。则该曲线是（ ） A 线段 B 圆 C 双曲线的一部分 D 圆的一部分
2 已知某条曲线的参数方程为?????-=+=1
2
32
2
t y t x )50(≤≤t 则该曲线是（ ）
A 线段
B 圆弧
C 双曲线的一支
D 射线 3实数y x ,满足
19
16
2
2
=+
y
x
，则y x z -=的最大值为： ；最小值为 。
4已知直线l 的斜率为1-=k .经过点)1,2(0
-M
。点M 在直线上，以??→?M
M 0
的数量t 为参数.则直线l 的参数方程为： 。 5 已知直线l 的参数方程是??
?+-=+=α
αcos 2sin 1t y t x （t 为参数） 其中实数α的范围是),2
(
ππ
。
则直线l 的倾斜角是： 。
〔潜能强化训练〕 1 在方程??
?==θ
θ2cos sin y x （θ为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为 （ ）
A )7,2(-
B )3
2,31( C )2
1
,21( D )0,1(
2下列参数方程（t 为参数）与普通方程02=-y x 表示同一曲线的方程是（ ）
A ???==t y t x
B ???==t y t x 2
cos cos C ?????-+==t t y t x 2cos 12cos 1ta n D ?
??
??+-==t t y t
x 2cos 12cos 1tan 3 直线0943=--y x 与圆???==θ
θ
sin 2cos 2y x （θ为参数）的位置关系是（ ）
A 相切
B 相离
C 直线过圆心
D 相交但直线不过圆心。 4 设直线??
?-=+=α
αsin 2cos 1t y t x （t 为参数）。如果α为锐角，那么直线01:21=+x l l 到直线
的角是（ ） A
απ
-2
B
απ
+2
C α
D απ-
5 过点（1，1），倾斜角为o
135的直线截椭圆
14
2
2
=+y
x
所得的弦长为（ ）
A
5
22 B
5
24 C 2 D
5
23
6 双曲线??
?==
θθ
sec tan 3y x （θ为参数），那么它的两条渐近线所成的锐角是： 。
7 参数方程??
?+==θ
θθcos sin 2sin y x （θ为参数）表示的曲线的普通方程是： 。
8 已知点M （2，1）和双曲线12
2
2
=-
y
x ，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线
l 的方程。
9 已知椭圆的中心在原点。焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2。直线l 的参数方程为
??
?+==t
m y t x 2（t 为参数）。当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？
１0、求椭圆
112
16
2
2
=+
y
x
上的点到直线0122:=--y x 的最大距离和最小距离。
〔知识要点归纳〕
1． 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的一
种表示形式，而且有的参数还有几何意义或物理意义。 2． 面临一个轨迹问题，如何选择参数？如何用参数？是主要问题，必须在学习过程中深刻
去领会。 3． 在参数方程与普通方程互化过程中，要注意等价性。
四、参数方程
〔解题能力测试〕
1．C 2、A 3、5，-5 4、
2
2
2
2
1
2
x t
y t
?
=-
?
?
?
?
=-+
??
5、
3
2
π
α
-
〔潜能强化训练〕
1、C
2、D
3、C
4、B
5、B
6、600
7、21(11)
y x x
=+-≤≤
8、490
x y
+-= 9、
45
5
m=± 10、
m ax m in
45
45
5
d d
==