第二章 力系的简化
将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。前一章将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶，是力系简化的例子。力系简化的前提是等效。等效力系是指不同力系对同一物体所产生的运动效应相同。力系的简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。力系简化而得到的最简单力系称为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力和一个力偶。
力系的简化结果可以导出力系平衡条件，将在下章中详细讨论。力系简化并不局限于静力学。例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞机不同部位力作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。因此，力系简化也是动力学分析的基础
本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量，作为力系等效简化的依据。然后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而分析力系的几种最简形式。最后，考虑平行力系的简化，并叙述重心、质心和形心的概念与计算公式。
§2.1 力系的基本特征量：主矢与主矩
为讨论力系的等效和简化问题，引入力系的两个基本特征量：主矢和主矩。
设刚体受到力系F i (i=1, 2,…,n )作用，诸作用点相对固定点O 的矢径依次为r i (i=1, 2,…,n )。力系F i 的矢量和，称为力系的主矢。记为F R ，即
∑==n
i i 1
R F F （2.1.1）
主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。主矢通常不是力。
计算力系F i 对固定点O 的力矩的矢量和，称为力系对点O 的主矩。记为M O ，即 ∑=?=
n
i i
i
O 1
F r M （2.1.2）
它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。因此，主矩是定位矢量。
利用动力学理论，可以证明，不同力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主矢以及对相同点的主矩对应相等。因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。
例2.1-1：试计算图示空间力系的主矢和对固定点O 、A 和B 的主矩。
解：设O-xyz 坐标系如图示，k j,i,为沿坐标轴x ，y ，z 方向的单位矢量。所讨论力系包括分别作用于点(0, 0.3, 0.4)和(0.4,0.3, 0)的力 ()()N 100,N 15021j F i F ==
和力偶
()m N 20?-=j M 根据式(2.1.1)，力系的主矢
()N 100150R j i F +=
力系中各力的作用点相对于固定点O 、A 和B 的矢径分别为
()()m 4.0,m 4.03.021i r k j r =+=O O
()()m 4.04.0,m 3.021k i r j r -==A A
例2.1-1图
()()m 4.03.0,m 4.021k j r i r --=-=B B
力系对各固定点的主矩即为对相应点力矩的矢量和 ()m N 5402211?-=+?+?=k j M F r F r M O O O
()m N 520402211?--=+?+?=k j i M F r F r M A A A ()m N 20402211?+=+?+?=j i M F r F r M A A B
§2.2 力系的简化
1力线平移
与力偶不同，力是滑动矢量，它只可以沿力作用线移动而不可平移，平移将改变原来的力对刚体的作用效果。具体地，作用于刚体上的力等效地平移到刚体上的任一点时，将产生一个附加力偶，此力偶矩等于原来的力对新作用点的力矩。 事实上，设力F 作用在刚体上，其作用线为l ，为将此作用线l 平移到l 1，沿l 1加一对互相平衡力",'F F ，满足F F F =-="'。可以认为力F '是将力F 从l 上平移到上l 1，而",F F 组成力偶，称为附加力偶，力偶矩为F r m ?=，其中r 为由力'F 的作用点引向力F 作用点的矢径（见图2.1），亦即)(F M M o =，说明此力偶矩等于原来的力对新作用点的力矩。
此结论说明了力是如何与其等值同向平行力等效。由矢积的性质知，附加力偶一定与力垂直。反过来，一个力F 和一个与之垂直的力偶M 可以通过力的平移简化为一个力。只要将力F 从其作用点O 平移到'O 点，使产生的附加力偶满足
M F r =? （2.2.1） 其中r 为O 相对'O 的矢径。将F 与上式作向量积，利用三重矢积的公式
a c
b b
c a c b a )()()(?-?=?? （2.2.2） 由式(2.2.1)和(2.2.2)，可以导出
()()F F r r F F M F ?-?=? （2.2.3） 不失一般性，令r 与F 垂直，则r ?F =0。由式(2.2.3)导出
2
F
M
F r ?= （2.2.4） 至此，我们将作用在o 点的力和力偶简化为作用在'O 点的一个力。
力线平移的结论指出了力等效平移后的结果，是力系简化的基础。
2 力系向某点简化
设刚体上作用有力系F i (i=1, 2,…,n )，作用点为分别为A i (i=1, 2,…,n )。任选一点O ，称为简化中心，各力作用点相对该点的矢径为OA i =r i (i=1, 2,…,n )（图2.2a ）。利用前述力线平移的结果，可将每一个力平移到O 点，而得到一个作用点为O 点的汇交力系F i '=F i (i=1, 2,…,n )和一个力偶系M i =r i ?F i (i=1, 2,…,n ) （图2.2b ）。对于汇交力系和力偶系，我们已经知道可以分别进一步合成为一个力和一个力偶（图2.2c ）
∑∑====n i i n i i 1
1
R ''F F F ， O n
i i O M F M M ==∑=1
)( （2.2.5）
汇交力系F i ' (i=1, 2,…,n )的合力F R '的大小和方向等于力系的主矢，作用点在简化中心O ，而力偶系M i (i=1, 2,…,n )的合力偶M 等于原力系对O 点的主矩M O 。
图2.1力线的平移
3 力系最简形式
以下根据主矢和对简化中心主矩是否为零讨论力系简化结果。存在下列几种情况：
(1) 主矢和主矩同时为零，即F R '=0，M O =0。该力系与零力系等效，则力系平衡。平衡问题将在第三章详细分析。容易验证，此时力系简化结果与简化中心无关。，即若选择其它点作为新的简化中心，将得到结果相同
(2) 主矢不为零而主矩为零，即F R '≠0，M O =0。该力系与作用线通过O 点的力F R '等效，该力系有合力。
(3) 主矢为零但主矩不为零，即F R '=0，M O ≠0。该力系与一个力偶M O 等效，力系有合力偶。显然，这个结果也与简化中心无关。
(4) 主矢和主矩都不为零：即F R '≠0，M O ≠0。首先，若向简化中心简化得到的力和力偶垂直，由力线平移的逆过程知，此时力系可以简化为一个力，即力系有合力，属于结果。其次若前述力和力偶平行，不能进一步简化，该力和力偶统称为力螺旋。最后，若主矢和主矩既不平行也不垂直，此情况下总可以将主矩分解为与主矢垂直和平行两个分量，其中垂直分量可以通过力的平移消除，平行分量与平移得到的力构成力螺旋。故此力系仍可以简化为力螺旋。
由以上分析知，力螺旋是力系简化的基本结果之一。当力和力偶指向相同时称为右螺旋，否则称为左螺旋。钻头对工件的作用和用螺丝刀拧木螺丝都是力螺旋的例子。
上述分析表明，力系简化的最简形式有四种：平衡、合力、合力偶、力螺旋。所有非零最简力系是由力和力偶组成，因此力和力偶是组成力系的基本元素。 例2.2-1： 三个大小相等的力F 沿长方体的三个不相交且不平行的棱作用。棱的长度c b a ,,满足什么关系时这三个力能够简化为合力？
解：建立图示直角坐标系，k j,i,为沿坐标轴方向的单位向量。选O 点为简化中心，力系的主矢和主矩分别为 )('R k j i F ++=F ，j i M Fa c b F O --=)( 当主矢和主矩垂直时，能够进一步简化为一个力，即
()0'22R =--=?a F c b F O M F
由此可知当棱的长度c b a ,,满足 c b a -=
（a ） （b ） （c ）
图2.2 空间一般力系向一点简化
例2.2-1图
时，力系能够简化为一个合力。
例2.2-2： 沿边长为a 的立方体的各棱作用12个大小均为F 的力，如图示。试求其该力系简化的最简形式。
解：建立图示直角坐标系，k j,i,为沿坐标轴方向的单位向量。选O 点为简化中心，力系的主矢和主矩分别为 )2(2'121R k j i F F F ++-=++=F
)2(2)()(121k j i F M F M M +-=++=Fa O O O 主矢方向的单位矢f 为 )2(6
6
k j i f ++-=
主矩在主矢方向的投影为
Fa M O f 3
6
2=
?=f M 力系最终可以简化为右力螺旋：
)2(2k j i F ++-=F ，)2(3
2
k j i f M ++-==Fa M f 力作用点的矢径按式（2.2.4）计算
)(3
2
2j i M F r +=?=a F 这是力作用线与xy 平面交点的矢径。
§2.3 平行力系的简化和重心
1平行力系的简化与平行力系中心
设刚体上作用有平行力系力系F i (i=1, 2,…,n )，作用点A i 相对O 点的矢径为分别为r i (i=1, 2,…,n )，如图2.3所示。现考虑该力系的简化问题。各平行力F i 可以用与各力平行的单位向量τ表示为F i =F i τ。该力系的主矢和关于O 点的主矩分别为
τF F ??? ??==∑∑==n i i n
i i F 11R '，()τr F r M ???
?
??=?=∑∑==n i i i n
i i i O F 11 （2.3.1）
若F R '=0，该平行力系简化为一力偶。若F R '≠0，式(2.3.1) 表明该力系向O 点简化的主矩与主矢垂直， 可进一步简化为一力。从而平行力系一定有合力，且为
τF F R 1
R F n
i i ==∑= （2.3.2） ∑==n
i i F F 1R （2.3.3）
设该平行力系合力的作用线为l 0，为后面讨论重心的方便而引入平行力系中心的概念。如果保持平行力系中各力作用点和大小不变，而将作用线转过角度?，则新得到的平行力系的合力作用线l 将与直线l 0相交，交点称为该平行力系的中心，记为C 。设平行力系中心的矢径为C r ，转动后平行力系中各力的单位矢量为σ。合力对O 点的矩等于该力系的主矩，即
图2.3平行力系与平行力系中心
例2.2-3图
()∑=?=
?n
i i
i
C 1
R F r F r （2.3.4）
式(2.3.1)和(2.3.2)即代入上式，得到
σσ???
?
??=???? ??∑∑==n i i i C n i i F F 11r r （2.3.5） 注意不论的σ方向如何变化，式（2.3.5）均成立，故由式（2.3.5）可导出
∑∑===
n
i i
n
i i
i C F
F 1
1r
r （2.3.6）
在实际计算中，经常采用直角坐标确定平行力系中心。在以O 点为坐标原点的直角坐标系中，平行力作用点A i (i=1, 2,…,n )的坐标为(x i , y i , z i )，平行力系中心的坐标为(x C , y C , z C )，则式(2.3.6)可写作直角坐标的形式
∑∑===
n
i i
n
i i
i C F
x
F x 1
1
，∑∑===
n
i i
n
i i
i C F
x
F y 1
1，∑∑===
n
i i
n
i i
i C F
z
F z 1
1 （2.3.7）
例2.3-1 计算图示三角形分布力的合力。已知载荷集度q (x )的值在A 点为q 0，在B 点为零。
解：对于图示x ，载荷集度q (x )呈线性规律变化，
)()(0
x l l
q x q -=
（a ） 在x 处的x d 微段上的合力为x x q F d )(d =。式(2.3.3)和
(2.3.7)可写作积分形式，即
()()()???=
=l
C l
x
x q x
x x q x x x q F 0
d d ,d
（b ）
将式（a ）代入式（b ）后积分，求出此三角形分布力的合力大小 l q F 021=
和作用线位置 3
l x C =
2重心、质心和形心
物体受到的重力是一体积力，严格而论是汇交于地心的空间汇交力系。由于地球半径巨大，可以认为汇交点在无穷远处，而将此体积力作为平行力系。将连续的物体离散化为有限个微元体，每个微元体的重量为i W ?，),,1(n i =，其中任一点i p 在任意选定的直角坐标系中的坐标为),,(i i i z y x ，按式（2.3.7）
例2.3-1图
W
x
W x n
i i
i C ∑==
1
?，W
y
W y n
i i
i
C ∑==
1
?，W
z
W z n
i i
i C ∑==
1
? （2.3.8）
其中，∑==
n
i i
W W 1
?为物体的总重量。这种由重力组成的平行力系的中心称为重心。显然，
按式（2.3.8）计算重心的位置依赖于所划分的微元体i W ?的体积大小和总数n 。体积愈小总数愈大，则重心位置愈精确。令微元体的体积趋于零，而其总数趋于无穷，式（2.4.8）可表达为三重积分
??=
V V C V g V gx x d d ρρ，
??=V V C V g V gy y d d ρρ，??=V V
C V
g V gz z d d ρρ （2. 3. 9） 式中ρ为物体的密度，g 为重力加速度，V d 为体积微元。
对于均匀的重力场，重力加速度为常数，从式（2.3.9）中消去g ，导出物体质心的计算
公式
??=
V V C V V x x d d ρρ，??=V V C V V y y d d ρρ，??=V
V C V V
z z d d ρρ （2.3.10） 它是物体的质量中心。对于匀质物体，密度为常值，从式（2.3.10）中消去ρ，导出物体形
心的计算公式
V V x x V C ?=
d ，V
V y y V C ?=d ，V V
z z V C ?=d ， （2.3.11） 它是物体的几何中心，式中V 是物体的体积。由于定积分在其积分区域上具有可加性，即如果积分区域V 划分成彼此不相交的子集N V V ,,1 ，其形心分别为),,(111z y x ，…，
),,(N N N z y x ，则由
?++?=?N V V V V x V x V x d d d 1
和式（2.3.11）导出
V
V x x N
i i i C ∑=
=1
，V
V y y N
i i i C ∑=
=1
，V
V z z N
i i i C ∑=
=1
（2.3.12）
这是组合体的形心计算公式，V 和i V 也可以是2维的图形或1维的线段。用式（2.3.12）计算形心的方法称为分割法。对于内部存在空洞的物体，仍可以按没有空洞情形处理，只是空洞部分的体（面）积是负的，这种方法称为负体（面）积法。以下例题说明这两种方法的应用。
例2.3-1，分布力的合力等于此力分布三角形的面积，方向与载荷集度q 的方向相同，作用线通过力分布三角形的形心。此结论具有普遍性，以后我们可以据此计算一些矩形或梯形分布力的合力，而不必重复上述过程。
例2.3-2：木槌由一个长方体和一个圆截面的柄构成。已知：cm 10=a ，cm 8=b ，cm 18=c ，
cm 5.3=d ，cm 40=l 。求此木槌的重心坐标。
解：木槌由两个形状简单的物体：长方体1V 和圆柱体2V 组成。建立直角坐标系如图示。1V 和2
V 的体积和重心坐标为
)cm (1440188103
1=??==abc V
例2.3-2图
)0,2
,0(),,(111b z y x C C C = )cm (8.384405.34
4
3222=??=
=
π
π
l d V
)0,2
,0(),,(222l b z y x C C C +
= 由对称性知，重心一定在对称轴上： 0==C C z x 。只要计算C y 。由式（2.3.12）得
(cm)1.98
.38414408
.384)208(144042122.11=+?++?=++=
V V V y V y y C C C
例2.3-3：一角铁截面的几何尺寸如图示，求其形心坐标。 解：用负面积法。为此将角铁截面看作是在矩形A 1中去掉一个小的矩形A 2。面积和形心坐标为
ab A =1， )2
,2(),(11b
a y x C C = ))((2c
b
c a A ---=， )2
,2(),(22c
b c a y x C C ++= 由式（2.3.12）得
)(2))(()
)((22222122.11c b a c bc a c b c a ab c b c a c
a a
b a A A A x A x x C C C -+-+=-----+-=++=
)
(2))(()
)((22222122.11c b a c ac b c b c a ab c b c a c
b ab b A A A y A y y C C C -+-+=-----+-=++=
本题也可应用分割法。
例2..3-3图
第二章 力系的简化 习题解答 2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ， 3F 沿BE ，4F 沿DH 。试将此力系简化成最简形式。 解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos '21=-= F F F Rx ， F F F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+= ， F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。 用解析式表示为： ()k j F += F R 2' 设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=?+?-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=?-?-= ， Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=?+?= 。 用解析式表示为：()k j M +-= Fa A 2。因为，0'=?A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简 化为一个力，即力系的合力。合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为 () i M F r a F R R =?=2''， 所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。 2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。距离 c b a ,,为已知。问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为 力螺旋？ 解：这力系的主矢为 k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为 k j i a F c F b F M O 213++=。 当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。即从 0'=?O R M F 得， 0231231=++a F F c F F b F F ， 简化为 03 21=++F c F b F a 。 当主矢与主矩平行时，力系能简化为力螺旋，即从0=?O R M F ' 得， 2 31231aF F cF F bF F ==。 题2.2图
第2章 力系的等效与简化 2－1试求图示中力F 对O 点的矩。 解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ?==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ?=αsin )(F （c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2 22 1sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF 2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。 解：)(2 )()(j i k i F r F M +-? +=?=F a A O m kN )(36.35) (2 ?+--=+--= k j i k j i Fa m kN 36.35)(?-=F x M 2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ， α = 30°。试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。 解： )cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--?-=?=F D A k j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-= 力F 对x 、y 、z 轴之矩为： m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(?-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2?-=-=αF y M m N 5.7sin 30)(2?-=-=αF z M 2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。 习题2-1图 A r A 习题2-2图 （a ） 习题2-3图
第二章力系的简化 2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。 答：F/2；62F/5。 2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩 M x(F)= 。 答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ） 图2－40 图2－41 2-3．力F通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为，对x轴的矩为。 答：－60N； 2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为： M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。 答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/4 2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。 答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm
图2－42 图2－43 2-6．试求图示中力F 对O 点的矩。 解：a: M O (F)=F l sin α b: M O (F)=F l sin α c: M O (F)=F(l 1+l 3)sin α+ F l 2cos α d: ()22 21l l F F M o +=αsin 2-7．图示力F=1000N ，求对于z 轴的力矩M z 。 题2－7图 题2－8图 2-8．在图示平面力系中，已知：F 1=10N ，F 2=40N ，F 3=40N ，M=30N ·m 。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。 解：将力系向O 点简化 R X =F 2－F 1=30N R V =－F 3=－40N ∴R=50N 主矩：Mo=（F 1+F 2+F 3）·3+M=300N ·m 合力的作用线至O 点的矩离 d=Mo/R=6m 合力的方向：cos （R ，）=，cos （R ，）=－
第二章 力系的简化 将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。前一章将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶，是力系简化的例子。力系简化的前提是等效。等效力系是指不同力系对同一物体所产生的运动效应相同。力系的简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。力系简化而得到的最简单力系称为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力和一个力偶。 力系的简化结果可以导出力系平衡条件，将在下章中详细讨论。力系简化并不局限于静力学。例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞机不同部位力作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。因此，力系简化也是动力学分析的基础 本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量，作为力系等效简化的依据。然后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而分析力系的几种最简形式。最后，考虑平行力系的简化，并叙述重心、质心和形心的概念与计算公式。 §2.1 力系的基本特征量：主矢与主矩 为讨论力系的等效和简化问题，引入力系的两个基本特征量：主矢和主矩。 设刚体受到力系F i (i=1, 2,…,n )作用，诸作用点相对固定点O 的矢径依次为r i (i=1, 2,…,n )。力系F i 的矢量和，称为力系的主矢。记为F R ，即 ∑==n i i 1 R F F （2.1.1） 主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。主矢通常不是力。 计算力系F i 对固定点O 的力矩的矢量和，称为力系对点O 的主矩。记为M O ，即 ∑=?= n i i i O 1 F r M （2.1.2） 它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。因此，主矩是定位矢量。 利用动力学理论，可以证明，不同力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主矢以及对相同点的主矩对应相等。因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。 例2.1-1：试计算图示空间力系的主矢和对固定点O 、A 和B 的主矩。 解：设O-xyz 坐标系如图示，k j,i,为沿坐标轴x ，y ，z 方向的单位矢量。所讨论力系包括分别作用于点(0, 0.3, 0.4)和(0.4,0.3, 0)的力 ()()N 100,N 15021j F i F == 和力偶 ()m N 20?-=j M 根据式(2.1.1)，力系的主矢 ()N 100150R j i F += 力系中各力的作用点相对于固定点O 、A 和B 的矢径分别为 ()()m 4.0,m 4.03.021i r k j r =+=O O ()()m 4.04.0,m 3.021k i r j r -==A A 例2.1-1图
工程力学习题详细解答 （教师用书） (第2章)
第2章 力系的简化 2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。二力作用线之间的距离为d 。试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。 解：由图(a),假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有 ∑=0)(F C M ，02)(=?++-x F x d F ，d x =∴，F F F F =-=∴2R ， 方向如图示。合力矢量属于滑动矢量。 2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。若已知：M A ＝20 kN.m 、M B ＝0和M C ＝－10kN.m,求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。 解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且 CD AG 2=（图（a ）） 在图（a ）中： 设 OF = d ，则 θcot 4=d CD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )2 5.4(sin d CE CD -== （2） 即 θθsin )2 5.4(2sin )3(d d -=+ d d -=+93 3=d ∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a ），作用线如图过B 、F 点； 3 4 tan = θ 8.45 46sin 6=?==θAG 8.4R R ?=?=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 3 10 ,25(R =F 作用线方程：43 4 +=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。 习题2－1图 A F F 2R F C B d x （a ） 习题2－2图 y x R F O θ θ C G A D E F 4 2 3 d 5 .4- (a)
第二章力系的简化和平衡方程 一、填空题 1、在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 2、求多个汇交力的合力的几何法通常要采取连续运用力法则来求得。 3、求合力的力多边形法则是：将各分力矢首尾相接，形成一折线，连接其封闭边，这一从最先画的分力矢的始端指向最后面画的分力矢的的矢量，即为所求的合力矢。 4、平面汇交力系的合力作用线过力系的。 5、平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 6、平面汇交力系合成的结果是一个合力，这一个合力的作用线通过力系的汇交点，而合力的大小和方向等于力系各力的。 7、若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。 8、如果共面而不平行的三个力成平衡，则这三力必然要。 9、在平面直角坐标系内，将一个力可分解成为同一平面内的两个力，可见力的分力是量，而力在坐标轴上的投影是量。 10、合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 11、已知平面汇交力系合力R在直角坐标X、Y轴上的投影，利用合力R与轴所夹锐角a的正切来确定合力的方向，比用方向余弦更为简便，也即tg a= | Ry / Rx | 。 12、用解析法求解平衡问题时，只有当采用坐标系时，力沿某一坐标的分力的大小加上适当的正负号，才会等于该力在该轴上的投影。 13、当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影会值为；当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上的投影的值等于力的大小。 14、平面汇交力系的平衡方程是两个的方程，因此可以求解两个未知量。 15、一对等值、反向、不共线的平行力所组成的力系称为_____。 16、力偶中二力所在的平面称为______。 17、在力偶的作用面内，力偶对物体的作用效果应取决于组成力偶的反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的______。 18、力偶无合力，力偶不能与一个_____等效，也不能用一个______来平衡. 19、多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是_____系的作用。 20、作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_____代数和为零。 21、作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任意点，但必须同时附加一力偶，此时力偶的_____等于_____对新的作用点的矩。 22、一个力不能与一个力偶等效，但是一个力却可能与另一个跟它_____的力加一个力偶等效。 23、平面任意力系向作用面内的任意一点（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶，这个力的力矢等于原力系中所有各力对简化中心的矩的_____和，称为原力系主矢；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心的矩的和，称为原力对简化中心的主矩。 24、平面任意力系向作用面内任一点（简化中心）简化后，所得的主矢与简化中心的位置____，而所得的主矩一般与简化中心的位置______。 25、平面任意力系向作用面内任一点和简化结果，是主矢不为零，而主矩不为零，说明力系无论向哪一点简化，力系均与一个_____等效。 26、平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 27、平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 28、平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 29、平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。 30、对物体的移动和转动都起限制作用的约束称为______约束，其约束反力可用一对正交分力和一个力偶来表示。 31、建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。
第2章 力系的简化 2-1 三力作用在正方形上，各力的大小、方向及位置如图示，试求合力的大小、方向及位置。分别以O 点和A 点为简化中心，讨论选不同的简化中心对结果是否有影响。 答： 45,N 66.5N 24===x R θ?，合力作用线过A 点。 题2-1图 题2-2图 2-2 图示等边三角形ABC ，边长为l ，现在其三顶点沿三边作用三个大小相等的力F ，试求此力系的简化结果。 答：力偶，Fl m 23=，逆时针。 2-3 沿着直棱边作用五个力，如图示。已知F 1＝F 3＝F 4＝F 5＝F ，F 2＝2P ，OA ＝OC ＝a ，OB ＝2a 。试将此力系简化。 答：力偶，191 ),cos(,193),(cos ),cos(,19-=-===k M j M i M P a M 。 题2-3图 题2-4图
2-4 图示力系中，已知F 1＝F 4＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 5＝200N ，a ＝2m ，试将此力系简化。 答：力，R ＝200 N ，与y 轴平行。 2-5 图示力系中F 1＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 4＝300N ，a ＝2m ，试求此力系简化结果。 答：力螺旋，R ＝200 N ，平行于 z 轴向下，M ＝200 N ?m 题2-5图 题2-7图 2-6 化简力系F 1（P ，2P ，3P ）、F 1（3P ，2P ，P ），此二力分别作用在点A 1（a ，0，0）、A 2（0，a ，0）。 答： 力螺旋，3,34aP M P R ==。 2-7 求图示平行力系合力的大小和方向，并求平行力系中心。图中每格代表1m 。 答：力，R ＝25 kN ，向下，平行力系中心（4.2, 5.4, 0）。 2-8 将题2-8中15kN 的力改为 40kN ，其余条件不变。力系合成结果及平行力系中心将如何变化？ 答：力偶。无平行力系中心。 2-9 用积分法求图示正圆锥曲面的重心。 答： h z y x C C C 31,0===。
1 F 2 F 3 F 0 1350 90O 第二章 力系的简化习题解 [习题2-1] 一钢结构节点,在沿OA,OB,OC 的方向上受到三个力的作用,已知kN F 11=, kN F 41.12=,kN F 23=,试求这三个力的合力. 解: 01=x F kN F y 11-= )(145cos 41.102kN F x -=-= )(145sin 41.102kN F y == kN F x 23= 03=y F )(12103 0kN F F i xi Rx =+-==∑= 00113 =++-==∑=i yi Ry F F 12 2=+=Ry Rx R R F F 作用点在O 点,方向水平向右. [习题2-2] 计算图中已知1F ,2F ,3F 三个力分别在z y x ,,轴上的投影并求合力. 已知 kN F 21=,kN F 12=,kN F 33=. 解: kN F x 21= 01=y F 01=z F )(424.053 7071.01cos 45sin 022kN F F x =??==θ)(567.05 4 7071.01sin 45sin 022kN F F y =??==θ )(707.0707.0145sin 022kN F F z =?== 03=x F 03=y F kN F z 33= )(424.20424.023 0kN F F i xi Rx =++==∑= )(567.00567.003 0kN F F i yi Ry =++==∑= )(707.33707.003 kN F F i zi Rz =++==∑= 合力的大小: )(465.4707.3567.0424.22222 22kN F F F F Rz Ry Rx R =++=++= 方向余弦: 4429.0465.4424 .2cos === R Rx F F α 1270.0465 .4567 .0cos ===R Ry F F β
第二章 力系的简化 本章要点： 一、 力系的两个基本特征量：主矢和主矩. 主矢 ∑== n i i 1 R F F ， 主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。 主矩 ∑=?= n i i i O 1 F r M ， 主矩不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。因此，主矩是定位矢量。 力系的等效条件：力系的主矢以及对同一点的主矩对应相等。 二、力系的简化 1 力线平移：作用于刚体上的力等效地平移到刚体上的任一点时，将产生一个附加力偶，此附加力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点的力矩。 2 利用力线平移定理简化力系的过程和结果由如下框图表示 3平行力系的简化：若平行力系的主矢非零，则一定有合力，合力作用点称为平行力系中心. 平行力系中心、重心、质心、形心的计算公式和基本关系由如下框图表示： 均匀重力场 i F 为重力i W
由简单形体或简单图形组成的组合形体或组合图形的形心坐标用分割法或负面积法计算. 解题要领： 1 空间一般力系存在合力的条件是其主矢'R F 和向一点O 简化的主矩O M 正交，即 0=?'O R M F ； 空间一般力系存在力螺旋的条件是其主矢'R F 和向一点O 简化的主矩O M 不正交，即 0≠?'O R M F . 2 物体的形心位置要用坐标来表达，但与坐标系的选择无关。 3 组合形体和组合图形的形心通常用分割法或负面积法计算。 第二章 力系的简化 习题解答 2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ， 3F 沿BE ，4F 沿DH 。试将此力系简化成最简形式。 解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos '21=-= F F F Rx ， F F F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+= ， F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。 用解析式表示为： ()k j F += F R 2' 设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=?+?-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=?-?-= ， Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=?+?= 。 匀质物体