2020 年高考数学经典题题精选
三角函数解答题
求函数 y=sinx+cosx+1
的最 及取得最 相
x 的 .
解：由 y=sinx +cosx +1
得 y=
2 sin(x+
4 )+1 ????????
2 分 ∴ y max =
2 +1?????? 4 分
y min =－ 2 +1???????????
6 分
由 x+
4=2k π+
2
得 x=2k π+
(k ∈ Z)
即 x=2k π+
4
(k ∈ Z) ， y
取最大 2 +1????? 9
4
分
由 x+
=2k π－
2
即 x=2k π－ 3
y 取最小 1－
2 ???????? 12 分
4
4
1.
已知函数 f ( x)
2a cos 2 x b sin x cos x, 且 f (0) 2, f (
3 ) 1 3 .
2
2
（ 1）求 f ( x ) 的最大 与最小 ；
（ 2）若 f ( ) 0, a (0,2 ), 求 的 .
解：（1）由 f (0)=2 a =2,
得 a =1 , f ( )
1 a
3 , 2 ????（ 3 分）
24 b 得 b
3
∴ f ( x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2 x +cos2 x +1=
2 sin(2x
) 1 ????（ 5 分）
4
∴ f ( x ) 的最大 是
2 1，最小 是 1
2 . ??????（ 6 分）
（ 2）∵ f (
) 0, 得 2 sin( 2
) 1 0
sin( 2
) 2
, . ??（ 8 分）
4
4
2
2
4 2k
或 2 4 2k
5 , k Z
4
4
k
或
k
, k
Z
(10分 )
4
2
( 0,2 ),
2 或
3 或 3 或 7 (12分 ).
2 4
4
2.
已知函数 f ( x)
a sin x cos x
3acos 2 x
3 a b.(a
0)
2
（ 1） x R ，写出函数的 减区 ；
（ 2）
x [0, ], f x
3
，求 数 a, b
的 .
( ) 的最小 是－ 2，是大 是
2
解：（ 1） f ( x)
a(sin x cos x
3 cos 2 x
3 ) b
2
a (1
sin 2x
3 1 cos2 x
3 ) b = a sin( 2x ) b ????
4 分
2
2 2
3
a
0, x R, f ( x) 的 减区 是 [ k
5 , k
11
]( k
Z ) ???? 6 分
12 12
（ 2）
x [ 0, ] 2x
[ 0, ] 2x
3
[ , 2
] ?????????
7 分
2
3 3
sin( 2x
) [ 3 ,1]
?????????????????????
9 分
3
2
∴函数 f ( x) 的最小 是
3 a b
2
??????????????
10 分
2
最大 a b 3 ??? 11 分
解得 a 2,b 3
2 ?? 12 分
3.
求函数 y
sin 2 x sin xcos(
6 x)
的周期和 增区 ．
解
y
sin 2 x sin x(cos
cos x sin sin x)
6
6
3
sin 2
x
3
sin x cos x
3
(1 cos2x) 3
sin 2 x
2
2
4 4
3 (
3
sin 2x 3 3 3
) ． ?? 6 分
4
4 cos2x)
sin(2 x
2 4
4
2
3
∴
函数的周期
T
．
?????? 8 分
2
5
当
2k ≤ 2x
≤
2k
，即 k
( k ∈ Z) 函数
≤ x ≤ k
2
3
5 2
12
12
增加，即函数的增区 是
[ k
] (
k ∈Z) ．?? 12
分
， k
12
12
4.
已知函数 f ( x)
5sin x cos x 5 3 cos 2 x 5 3
2
（Ⅰ）求 f(x) 的最小正周期；
（Ⅱ）求 f(x) 的 增区 .
解：（Ⅰ）
f (x) 5sin x cos x
5 3 cos 2 x
5 3
2
5
sin 2x 5 3
1
cos2x
5 3 2 2
2
5 sin 2x 5 3 cos2x
2
5(sin 2x cos
3 cos2x sin
)
3
5sin(2x
3 )
??????????
4 分
∴最小正周期 T=
2
??????????????
6 分
2
（Ⅱ）由 意，解不等式
2
2k
2x
3
2 2k ???????? 8 分
5
得
k
x
k
( k Z )
12
12
5
f ( x) 的 增区 是 [
k k ]( k
Z ) ?????? 12 分
12 ,
12
5.
已知函数
f ( x)
3 2 cos 2 x 8sin
4 x , 求 f ( )
的定 域，判断它的奇偶性，并求其
cos2x
x
域 .
解： f ( x)
3
2(1 sin 2 x) 8sin 4 x
1
2sin 2 x 8sin 4 x
cos 2x
cos2x
(1 4 sin 2 x)(1 2 sin 2 x)
4 sin 2
x
1.
分
cos2x
( 4 )
由 cos2x
0,得 2x k
, 解得 x k , k z
2
2
4
所以函数的定义域为 { x | x R, 且 x
k , k 分
2 z}.( 7
4
因为 的定义域关于原点对称 , 且 f ( x)
f ( x),
f ( x)是偶函数
分
f ( x)
.(9 )
又
f ( x) 4sin 2 x 1,且 x
k , k
z
2 4
f ( x)的值域为 { y |1
y 5,且 y 3}.
(12分 )
6.
已知函数
f ( ) 2sin 2
x sin 2 x 1,
x
.
x
R
（ 1）求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大
x 的集合；
（ 2）在 定的坐 系中画出函数
f (x) 在 [0, ] 上的 象 .
解：（ I ） f ( x)
2sin 2 x sin 2x 1
sin 2x
(1 2sin 2 x)
sin 2 x cos2x
=
2 sin(2x
) ?????????????????? 5 分
4
所以 f ( x) 的最小正周期是
???????????????????? 6 分
x
，所以当 2x
2k
, 即
x
k 3 (k Z ） ， f ( x) 的最大 2 .
R
4
2
8
即 f (x) 取得最大
x 的集合 { x | x
k
3 , k Z} ???????? 8 分
8
（ II ） 象如下 所示： （ 卷 注意以下
3 点）
1．最小 f (
3
)
2 ，
8
最小 f (
7
)
2 . ?????? 10 分
8
2
．增区 [ 0,
3 ], [ 7 , ];
3 8 7
8
减区 [
, ] ???????? 12 分
8 8
3． 象上的特殊点： （ 0，－ 1），（
4 ,1），（
,1）， (3
, 1), ( ,
1) ??? 14 分
2
4
[ 注： 象上的特殊点 两个扣
1 分，最多扣
2 分 ]
7.
已知函数 y
sin
x
3 cos x
, x R.
2
2
（ 1）求 y 取最大 相 的
x 的集合；
（ 2） 函数的 象 怎 的平移和伸 可以得到
y sin x( x
R) 的 象 .
解： y 2sin(
x
). ?? 4 分
2
3
（
1）当
y 最大
2.x { x | x 4k
3 , k Z} ?? 8 分
（ 2）把 y
2sin(
x
3
) 象向右平移
2 ，再把每个点的 坐村 原来的 1
，横坐
2
3
2
不 . 然后再把每个点的横坐 原来的
1
， 坐 不 ， 即可得到 y sin x 的
2
象?? 12 分
8.
已知函数
f ( ) 4 sin 2 x 2sin 2 x 2,
x .
x
R
（ 1）求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大
x 的集合；
（ 2）求 ：函数
f (x) 的 象关于直
x
8
称
（ 1）解： f (x) 2sin 2
x 2sin 2x 2
2 sin 2x 2(1
2 sin 2 x) 2 sin 2x 2cos 2x
=
2
2 sin(2x
) ?????????????????? 5 分
4
所以 f ( x) 的最小正周期是
???????????????????? 6 分
x
R ，所以当 2x
2k ,即x k
3
Z ） ， f ( x) 的最大 2 2 .
4
(k
2
8
即 f (x) 取得最大
x 的集合 { x | x
k
3
, k Z} ???????? 8 分
8
（ 2） 明：欲 函数
f ( x) 的 象关于直
x
称，只要 明 于任意
x R ，
8
有 f (
x) f (
8
x) 成立即可 .
8
f (
x) 2 2 sin[2(
x)
4] 2 2 sin(
2x)
2 2 cos 2x;
8
8
2
f (
x) 2
2 sin[ 2(
8
x)
]
2 2 sin(
2 x) 2 2 cos2 x.
8
4
2
f (
x) f (
8
x).
8
从而函数 f ( x) 的 象关于直 x
称 . ?? 14 分
8
[ 注：如果学生用
f (
) 2 2
( f ( x))min ；
8
或求出所有的 称 方程，然后
x
是其中一条， （ 2）中扣去 2 分]
8
9. 已知定 在区
[,
2
] 上的函数 y
f (x) 的 象关于直
x
称，
3
6
当 x [
2 ] ，函数 f (x) A sin( x
) ( A 0 ,0 ,
) ，其 象如
,
2
6
3
2
所示 .
y
(1)
2
] 的表达式；
求函数 y f ( x) 在 [,
1
3
(2) 求方程 f ( x)
2
?
的解 .
?
o 6
?
2
x
x
6
（ 1）当x[, 2 ]时，函数 f ( x)Asin(x) ( A 0 ,0 ,
22)，观察图象易得：
63
A 1 , 1 ,
3，即 x[
6
,2] 时，函数 f ( x)sin( x
3
)，由函数 y f ( x) 的图象3
关于直线
x6对称得， x[,6] 时，函数 f ( x)sin x .∴ f ( x)sin(x 3 )
x[ 6
,2
3
]
.
sin x x[, 6 )
（ 2 ）当x[, 2]时，由 sin( x
3)2得， x
34
或3x
12
或x5；当
632412 x[,6 ] 时，
由sin x22得， x34或 x4. ∴方程 f (x)22的解集为 {34, 4 ,
12
,
12
5
}
10.已知函数 f ( x)sin( x)cos( x) 的定义域为R，（1）当0 时，求f (x)的单
调区间；（ 2）若(0, )，且 sin x0，当为何值时， f ( x) 为偶函数．
解：（1）0 时， f (x)sin x cos x 2 sin( x)
4
当 2k x2k,即2k 3
x2k（ k Z ）时f (x)
24244单调递增；
当 2k
2x
4
2k3,即 2k
4
x2k5（ k Z ）时f (x) 24
单调递减；
（ 2）若f(x) 偶函数，
则 sin( x)c os( x)sin(x)cos(x)即 sin( x)sin( x)cos(x)cos( x) =0 2sin x cos2sin xsin0
2sin x(cos sin)0
2 cos()0
4
Q(0,)
4
，此时， f (x) 是偶函数．