对数函数及其性质(1)
一、教材分析
本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修(一)》(人教版)第二章基本初等函数(1)2.2.2对数函数及其性质(第一课时),主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数,无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比,对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活,能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高,也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉,但新教材做了一定的改动,如何设计能够符合新课标理念,是人们十分关注的,正因如此,本人选择这课题立求某些方面有所突破。
二、学生学习情况分析
刚从初中升入高一的学生,仍保留着初中生许多学习特点,能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段,但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象,又以对数运算为基础,同时,初中函数教学要求降低,初中生运算能力有所下降,这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点,教学中要控制要求的拔高,关注学习过程。
三、设计理念
本节课以建构主义基本理论为指导,以新课标基本理念为依据进行设计的,针对学生的学习背景,对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际,其次,激发学生的学习热情,把学习的主动权交给学生,为他们提供自主探究、合作交流的机会,确实改变学生的学习方式。
四、教学目标
1.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;
2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点;
3.通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对数函数的性质,培养学生运用函数的观点解决实际问题。
五、教学重点与难点
重点是掌握对数函数的图象和性质,难点是底数对对数函数值变化的影响.
六、教学过程设计
教学流程:背景材料→ 引出课题 → 函数图象→ 函数性质 →问题解决→归纳小结
(一)熟悉背景、引入课题
1.让学生看材料:
材料1(幻灯):马王堆女尸千年不腐之谜:一九七二年,马王堆考古发现震惊世界,专家发掘西汉辛追遗尸时,形体完整,全身润泽,皮肤仍有弹性,关节还可以活动,骨质比现在六十岁的正常人还好,是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道,世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成,譬如沙漠环境,这类干尸虽然肌肤未腐,是因为干燥不利细菌繁殖,但关节和一般人死后一样,是僵硬的,而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年,而且关节可以活动。人们最关注有两个问题,第一:怎么鉴定尸体的年份?第二:是什么环境使尸体未腐?其中第一个问题与数学有关。
图 4—1
(如图 4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追,日前奇迹般地“复
活”了)
那么,考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年?上 面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p ,利用
P t 2
15730log 估算尸体出土的年代,不难发现:对每一个碳14的含量的取值,通过这个对
应关系,
生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应,从而t 是P 的函数;
如图4—2材料2(幻灯):某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4
个 ……,
如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到细胞1万个,10万个 ……,
不难发现:分裂次数y 就是要得到的细胞个数x 的函数,即x y 2log =;
图 4—2
1.引导学生观察这些函数的特征:含有对数符号,底数是常数,真数是变量,从而得出对数函数的定义:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如: x y 2log 2=,5
log 5x y = 都不是对数函数.○2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a .
3.根据对数函数定义填空;
例1 (1)函数 y=log a x 2
的定义域是___________ (其中a>0,a ≠1)
(2) 函数y=log a (4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a ≠1) 说明:本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制,加深对概念的理
解,所以把教材中的解答题改为填空题,节省时间,点到为止,以避
免挖深、拓展、引入复合函数的概念。
[设计意图:新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点,为了有助于他们对函数概念本质的理解,不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此,新课引入不是按旧教材从反函数出发,而是选择从两个材料引出对数函数的概念,让学生熟悉它的知识背景,初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理,对数函数显得不抽象,学生容易接受,降低了新课教学的起点] (二)尝试画图、形成感知
1.确定探究问题
教师:当我们知道对数函数的定义之后,紧接着需要探讨什么问题?
学生1:对数函数的图象和性质
教师:你能类比前面研究指数函数的思路,提出研究对数函数图象和性质的方
法吗?
学生2:先画图象,再根据图象得出性质
教师:画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类?
学生3:按1a >和1a 0<<分类讨论
教师:观察图象主要看哪几个特征?
学生4:从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图
教师:在明确了探究方向后,下面,按以下步骤共同探究对数函数的图象: 步骤一:(1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
x y 2log = x y 2
1log =
(2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
x y 3log = x y 3
1log =
步骤二:观察对数函数x y 2log =、x y 3log =与x y 21log =、x y 3
1log =的图象特
征 ,看看它们有那些异同点。
步骤三:利用计算器或计算机,选取底数a 0(>a ,且)1≠a 的若干个不同的值,
在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象,它们有
哪些共同特征?
步骤四:规纳出能体现对数函数的代表性图象
步骤五:作指数函数与对数函数图象的比较
2.学生探究成果
(1)如图 4—3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数 x y 2log =、
x y 21log =、 x y 3log =、x y 3
1log =的图象
(2)如图4—5学生选取底数a =1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10,并推
荐几位代表上台演示‘几何画板’,得到相应对数函数的图象。由于学生
自己动手,加上‘几何画板’的强大作图功能,学生非常清楚地看到了
底数a 是如何影响函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 图象的变化。
(3)有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验,学生很明确y = log a x (a>1)、y = log a x (0 图4—3 图4—4 图4—5 y = log a x (a>1) y = log a x (0 (4)学生相互补充,自主发现了图象的下列特征:①图象都在y 轴右侧,向y 轴正负方向无限延伸;②都过(1、0)点;③当a>1时,图象沿x 轴正向逐步上升;当0 3.拓展探究:(1)对数函数x y 2log = 与 x y 21log =、 x y 3log = 与 x y 3 1log =的图象有怎样的对称关系? (2)对数函数y = log a x (a>1),当a 值增大,图象的上升“程 度”怎样? 说明:这是学生探究中容易忽略的地方,通过补充学生对对数函数图象感 性认识就比较全面。 [设计意图:旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象,这样处理学生虽然会接受了这个事实,但对图象的感觉是肤浅的;这样处理也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程而注重应用的“功利”思想。因此,本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程,加深感性认识。同时,帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤,确保探究的有效性。这个环节,还要借助计算机辅助教学作用,增强学生的直观感受] (三)理性认识、发现性质 1.确定探究问题 教师:当我们对对数函数的图象有了直观认识后,就可以进一步研究对数函 数的性质,提高我们对对数函数的理性认识。同学们,通常研究函数 的性质有哪些途径? 图4—6 图4—7 学生:主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。 教师:现在,请同学们依照研究函数性质的途径,再次联手合作,根据图象 特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性 质 2.学生探究成果 R + R 在(0,+ )上是增函数 [设计意图:发现性质、弄清性质的来龙去脉,是为了更好揭示对数函数的本质属性,传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式,我先引导学生回顾指数函数的性质,再利用类比的思想,小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明:当学生对对数函数的图象已有感性认识后,得到这些性质必然水到渠成] (四)探究问题、变式训练 问题一:(幻灯)(教材p79 例8) 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23.4 , log 28.5 (2)log 0.31.8 , log 0.32.7 (3)log a 5.1 , log a 5.9 ( a >0 , 且a ≠1 ) 独立思考:1。构造怎样的对数函数模型?2。运用怎样的函数性质? 小组交流:(1)x y 2log =是增函数 (2) 是减函数 X 。y 30log =∝ (3)y = log a x ,分 1a >和1a 0<<分类讨论 变式训练:1. 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log 106 log 108 ⑵ log 0.56 log 0.54 ⑶ log 0.10.5 log 0.10.6 ⑷ log 1.50.6 log 1.50.4 2.已知下列不等式,比较正数m ,n 的大小: (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < log a n (0 log a n (a>1) 问题二:(幻灯)(教材p79 例9)溶液酸碱度的测量。 溶液酸碱度是通过pH 刻画的。pH 的计算公式为pH= —lg[ ],其中 [ ]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。(1)根据对数函数性质及上述pH 的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;(2) 已知纯静水中氢离子的浓度为[ ] = - 摩尔/升,计算纯静水的pH 独立思考:解决这个问题是选择怎样的对数函数模型?运用什么函数性质? 小组交流:pH=-lg[ ]=lg[ ]=lg1/[ ], 随着[ ]的增大,pH 减小,即溶液中氢离子浓度越大,溶液的酸碱度就越大 [设计意图:1。这个环节不做为本节课的重头戏,设置探究问题只是从另一层面上提升学生对性质的理解和应用。问题一是比较大小,始终要紧扣对数函数模型,渗透函数的观点(数形结合)解决问题的思想方法;2。旧教材在图象与性质之后,通常操练类似比较大小等技巧性过大的问题,而新教材引出问题二,还是强调“数学建模”的思想,并且关注学科间的联系,这种精神应予领会。当然要预计到,实际教学中学生理解这道应用题题意会遇到一些困难,教师要注意引导] (五)归纳小结、巩固新知 1.议一议:(1)怎样的函数称为对数函数? (2)对数函数的图象形状与底数有什么样的关系? (3)对数函数有怎样的性质? 2.看一看:对数函数的图象特征和相关性质 +H +H + H 710-+H +H +H +H a (六)作业布置、课后自评 习题2.2(A组)第7、8、9、12题.1.必做题:教材P 82 习题2.2(B组)第2题. 2.选做题:教材P 83 3. 七、教学反思 从教二十多年,每每设计函数的教学,始终存有困惑的感慨,同时也有遇旧如新的喜悦。函数始终是高中数学教学的主线,对数函数始终是高中数学的难点。高中新课改的春风,带来了函数教学设计上的创新,促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手段上率先尝试,但这只是一个起点,目前教学条件还受到制约,如图形计算器未能普及、课时紧容量大,都影响函数的正常教学,通过这次活动希望能引起大家的广泛关注并深入探讨! 【参考文献】1。普通高中数学课程标准,人教社,2003 2.章建跃,数学课堂教学设计研究。数学通报,2006.7 宁德市霞浦县第六中学郭星波 点评: 本文教学目标的设计定位准确,教学重点、难点明确。从两个实际问题引出对数函数的概念,让学生了解知识产生的背景,初步感受 对数函数是刻画现实世界的一个重要数学模型。教学设计注重引导学 生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程,加深感性认识。同时,帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤,确保探究的有效性。同时借助计算机辅助教学,增强学生的直观感受。 教给学生方法比教给学生知识更重要。本设计能在前一节刚学过指数函数的图象与性质的基础上,通过类比,以旧引新,自然过渡到本节的学习,用研究指数函数的图象与性质的方法来研究对数函数的图象与性质。在教学过程中,教师能引导学生确定探究问题、探究方向和探究步骤,确保了探究的有效性;让学生动手画图、观察图象,启发学生思考、实验、分析、归纳,注重探究的过程与方法。在这里,教师成为课堂教学的组织者与学生学习的促进者,而学生成为学习的主人,学会了学习,学到了“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法。 另外,教学情景的设置、教学例题的选用,以及信息技术来动态演示,都令人耳目一新,体现了教师的良好的素养及丰厚的学科功底。 正弦定理(1) 一、教学内容分析: 《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A版)第一章《解三角形》:1 1 “正弦定理和余弦定理”的第1课。“解三角形”既是高中数学的基 本内容,又有较强的应用性,在这次课程改革中,被保留下来,并独立成为一章。解三角形作为几何度量问题,应突出几何的作用和数量化的思想,为学生进一步学习数学奠定基础。本课“正弦定理”,作为单元的起始课,为后续内容作知识与方法的准备,是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上,通过对三角形边角关系作量化探究,发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具),解决简单的三角形度量问题。教学过程中,应发挥学生的主动性,通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程,提高学生的思辨能力。 二、学生学习情况分析: 由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关,教学中若能注意课程与生活实际的联系,注重知识的发生过程,定能激起学生的学习兴趣。当然本课涉及代数推理,定理证明中可能涉及多方面的知识方法,综合性强,学生学习方面有一定困难。 三、设计思想: 定理教学中有一种简陋的处理方式:简单直接的定理呈现、照本宣科的定理证明,然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式,重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上,努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发,引入数学课题,最后把所学知识应用于实际问题。 四、教学目标: 让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求,发现正弦定理;再由特殊到一般,从定性到定量,探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,猜想,比较,推导正弦定理,由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力;培养学生联想与引申的能力,探索的精神与创新的意识,同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。 五、教学重点与难点: 本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用;难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形,判断解的个数”,以及逻辑思维能力的培养。 六、教学过程设计: 问题1、在建设水口电站闽江桥时,需预 先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量 点C,测得CB=435m,∠CBA=0 88,∠BCA=0 42。 由以上数据,能测算出桥长AB吗?这是一 个什么数学问题? 引出:解三角形——已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程。 [设计意图:从实际问题出发,引入数学课题。] 师:解三角形,需要用到许多三角形的知识,你对三角形中的边角知识知多 少? 生:······,“大角对大边,大边对大角” 师:“a >b >c ←→ A >B >C ”,这是定性地研究三角形中的边角关系,我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系? 引出课题:“正弦定理 [设计意图:从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的 知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构。] (二)猜想、实验: 1、发散思维,提出猜想:从定量的角度考察三角形中的边角关系,猜想可 能存在哪些关系? [学情预设:此处,学生根据已有知识“a >b >c ←→ A >B >C ”,可能出现 以 下答案情形。如 a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC, a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC ,·等等。] [设计意图:培养学生的发散思维,猜想也是一种数学能力] 2、研究特例,提炼猜想:考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系, 提炼出a\sinA=b\sinB=c\sinC 。 3、实验验证,完善猜想:这一关系式在任一三角形中是否成立呢? 请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具,对一般三角形的上述关系式进 行验证,教师用几何画板演示。在此基础上,师生一起得出猜想,即在任意三角形中,有a\sinA=b\sinB=c\sinC 。 [设计意图:着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力] (三)证明探究: 对此猜想,据以上直观考察,我们感情上是完全可以接受的,但数学需要 理性思维。如何通过严格的数学推理,证明正弦定理呢? 1、 特殊入手,探究证明 : 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c,090=∠C , 根据锐角 的正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又 s i n 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === ,从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C ==。 2、推广拓展,探究证明 : 问题2:在锐角三角形ABC 中,如何构造、表示 “a 与A sin 、 b 与sinB ” 的关系呢? 探究1:能否构造直角三角形,将问题化归为已知问题? [学情预设:此处,学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新,可能通过以下三种方法构造直角三角形。 生1:如图1,过 C 作BC 边上的线CD ,交BA 的延长线于D ,得到直 角三角形DBC 。 生2:如图2,过A 作BC 边上的高线AD ,化归为两个直角三角形问题。 生3:如图3,分别过B 、C 作AB 、AC 边上的垂线,交于D ,连接AD , 也得到两个直角三角形··] 经过师生讨论指出:方法2,简单明了,容易得到“c 与C sin 、 b 与sinB ” 的关系式。 [知识链接:根据化归——这一解决数学问题的重要思想方法,把锐角三角 形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。而方法3将把问题延伸到四点共圆,深究下去,可得sin sin a b A B =sin c C ==2R ,对此,可留做课后思 考解决] 图1 图2 图3 图4 探究2:能否引入向量,归结为向量运算? (1)图2中蕴涵哪些向量关系式? 学生探究,师生、生生之间交流讨论,得 ,0CA AC -==++=+ (这三个式子本质上是相同的), 0=?BC AD 等, (2)如何将向量关系转化为数量关系?(施以什么运算?) 生:施以数量积运算 (3)可取与哪些向量的数量积运算? [学情预设:此处,学生可能会做如下种种尝试,如两边自乘平方、两边同时点乘向量(或AC BC 、),均无法如愿。此时引导学生两边同时点乘向量 ,并说出理由:数量积运算产生余弦,垂直则实现了余弦与正弦的转换。] [知识链接:过渡教材中,证明方法所引用的单位向量j 就是与向量 共 线的单位向量。过去,学生常对此感到费解,经如此铺垫方显自然] 探究3:能否引入向量的坐标形式,把向量关系转化为代数运算? (1)如图4,建立直角坐标系,可得:A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA), (2)向量的坐标=? (bcosA-c ,bsinA ) (3)哪一点的坐标与向量BC 的坐标相同?由三角函数的定义,该点的坐 标又为多少? 根据平行四边形法则,D ()180sin(),180cos(00B a B a --),从而建立等量 关系:bcosA -c=),180cos(0B a - bsinA= )180sin(0B a -, 整理,得c= bcosA+ acosB (这其实是射影定理),a/sinA=b/sinB ,同理可得a/sinA=c/sinC 。 [知识链接:向量,融数与形于一体,是重要的数学工具,我们可以通过向 量的运算来描述和研究几何元素之间的关系(如角与距离等),这里学生已经学过向量,可根据学生素质情况决定是否采用探究2与3] 问题3:钝角三角形中如何推导正弦定理?(留做课后作业) (四)理解定理、基本应用: 1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 问题4、定理结构上有什么特征,有哪些变形式? (1)从结构看:各边与其对角的正弦严格对应,成正比例,体现了数学 的和谐美。 (2)从方程的观点看:每个方程含有四个量,知三求一。 从而知正弦定 理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如B A b a sin sin =; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin sin a A B b =。 2、例题分析 例1.在?ABC 中,已知032.0=A ,0 81.8=B ,42.9=a cm ,解三角形。 评述:定理的直接应用,对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例2.在?ABC 中,已知040,28,20===A cm b cm a ,解三角形(角度精 确到01,边长精确到1cm )。 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 课后思考:已知三角形的两边一角,这个三角形能唯一确定吗?为什么? 3、课堂练习: C c B b A a sin sin sin == (1)、引题(问题1) (2)、在△ABC中,sinA>sinB是A>B的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [设计意图:设计二个课堂练习,练习(1)目的是首尾呼应、学以致用;练习(2)则是将正弦定理、简易逻辑与平面几何知识整合,及时巩固定理,运用定理。] (五)课堂小结: 问题5:请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。 生1:原来我只会解直角三角形,现在我会解一般三角形了 师:通过本课学习,你发现自己更强大了。 生2:原来我以为正弦定理的证明,只有书上一种方法,今天我们学到了课本以外的众多方法。 师:我们学习过两个重要数学工具,即三角函数与平面向量,正弦定理的证明充分展示了它们的妙用。 生3:公式很美。 师:美在哪里? 生3:体现了公式的对称美,和谐美······ 在同学们的热烈讨论的基础上,用课件展示小结: 1、在正弦定理的发现及其证明中,蕴涵了丰富的思想方法,既有由特殊到一般的归纳思想,又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。 2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律,据此,可以用角的正弦替代对边,具有美学价值 3、利用正弦定理解决三类三角形问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角。 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角。 (3)实现边与角的正弦的互化。 [设计意图:通常,课堂小结均由老师和盘托出,学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性,师生合作,让课堂小结成为点睛之笔。] (六)作业布置: 1、书面作业:P10习题1.1 1、2 2、研究类作业: 1)在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。 2)在△ABC 中,k C c B b A a ===sin sin sin ,研究k 的几何意义 3)已知三角形的两边一角,这个三角形能唯一确定吗? [设计意图:对问题3),根据分散难点,循序渐进原则,在例2中初步涉 及,在课后让学生先行思考,在“正、余弦定理”第三课时中予以下图的剖析阐述。] 七、教学反思: 1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式,做了一些探索。以问题解 决为中心,通过提出问题,完善问题,解决问题,拓展问题,采用实验探究、自主学习的研究性学习方式,重点放在定理的形成与证明的探究上,努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值,培养学生的思辨能力。改变了定理教学中简陋的处理方式(简单直接呈现、照本宣科证明,大剂量的“复制例题”式的应用练习)。 2、“用教材教,而不是教教材”,尽管教材中对本课知识方法的要求并不高,只介绍了通过作高将一般三角形变换为直角三角形,再将三角比变换得到等式的化归方法,但教学不仅是忠实执行课程标准,而且是师生共同开发课程,将教材有机裁剪,并融入个性见解的过程。如在正弦定理的证明探究中,学生完全可能围绕“如何构造直角三角形?”,八方联系,广泛联想,分别应用平面几何四点共圆、向量的数量积运算、向量的坐标运算等知识方法。本课设计充分预设各种课堂生成,尽量满足不同思维层次学生的需求。 3、突出数学的本质。正弦定理的本质是“定量地描写三角形边角之间的关 系”,是“大角对大边,小角对小边”的定量化。但量、算、猜不能代替数学思考与逻辑证明,而定理的证明实质是:用垂直做媒介,将一般三角形化为直角三角形处理。本课设计既讲类比联想,又讲逻辑推理,让学生知其然,知其所以然。 4、来源于生活实际,又回到生活中,强调了数学应用意识。 已知边a,b 和 A