证明组合恒等式的方法与技巧
前言
组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来．
1. 利用组合公式证明
组合公式：m
n C =
n!
!n m m （－）！
例1． 求证：m m
n C =n 1
1m n C －－
分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式
代入，经过简化比较，等号两边相等即可．
证：∵ m m
n C =
m n!
!n m m （－）！
…
1
1m n C －－=
n n !1!n m m （－1）（－）（－）！=n n !m 1!n m m m （－1）（－）（－）！=m n!
!n m m （－）！
∴ m m
n C =n －－1
1m n C .
技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取．
2. 利用组合数性质证明
组合数的基本性质：（1）m n C =n m
n
C －
（2）1m
n C ＋=m
n C +1
m n
C －
（3）k k
n C =n k 11n C －－
（4）＋＋...＋＝012n 2n
n n n n C C C C
?
－＋－＋...＋（－1）＝00123n n
n n n n n C C C C C （5） 例2：求证：－＋＋3...＋n ＝n 1
2
3
n
1
22
n n n n n C C C C
分析：等式左边各项组合数的系数与该项组合数上标相等，且各项上标是递增加1的,由此我们联想到组合数的基本性质：k
k n C =n k 1
1n C －－ ，利用它可以将各项组合数的系数化为相等，再利用性质
＋＋...＋＝01
2n 2n n n n n C C C C 可得到证明．
证：由k k
n C =n k 11n C －－ 得
123n
2n n n n C C C C ＋＋3...＋n
＝012n 1
1111n n n n n n n C C C C －－－－－＋＋...＋n ＝n （012n 1
1111n n n n C C C C －－－－－＋＋...＋） ＝n
n 12－.
、
例3．求证：0
1
2
k 1
k 1
m m 1m 2m k 1m k C C C C C －－＋＋＋－＋＋＋＋...＋＝
分析： 观察到，等式左边各项的组合数的上标和下标存在联系：上标＋m ＝下标，而且各项下标是递增＋1的．由此我们想到性质（2），将左边自第二项各项裂项相消，然后整理而得到求证．
证：由性质（2）可得
i
m i 1C ＋＋=i m i C ＋+i 1m i C －＋ （i ∈N ）
即i
m i C ＋＝i m i 1C ＋＋－i 1
m i C －＋
令i ＝1，2，…，k －1，并将这k －1个等式相加，得
12k 1m 1m 2m k 1C C C －＋＋＋－＋＋...＋
＝1021k 1k 2
m 2m 1m m m k m k C C C C C C －－＋＋＋3＋2＋＋－1－＋－＋...＋－
—
＝－0
m 1C ＋＋k 1
m k C －＋ ＝－0m C ＋k 1
m k C －＋
∴0
1
2
k 1
k 1
m m 1m 2m k 1m k C C C C C －－＋＋＋－＋＋＋＋...＋＝.
技巧：例2和例3的证明分别利用性质（3）（5）、（2）此方法的技巧关键在于观察，分析各项组合数存在的联系，读者应在平时实践做题总结，把它们对号入座，什么样的联系用什么样的性质来解决．
3. 利用二项式定理证明
我们都知道二项式定理：
n n 1n 2n 2n 1n n n n n a b a a b a b ab b C C C －1－2－－1（＋）＝＋＋＋...＋＋，对于某些比较特殊的组合恒等式可以用它
来证明，下面以两个例子说明
3．1．直接代值
;
例4．求证：（1）－1
－1＋3＋3＋...＋3
＋3＝122n n 1n 2n n n n 2C C C （2）－－－1－－＋＋...＋（－1）＋（－1）＝n n 11n 22n n 1n
n n n 22
221C C C 分析：以上两题左边的各项组合数都是以 i n i i
n a b C － 的形式出现，这样自然会联想到二项式定理．
证：设 n n 1n 2n 2n 1n n n n n a b a a b a b ab b C C C －1－2－－1（＋）
＝＋＋＋...＋＋ ① ⑴ 令a ＝1，b ＝3，代入①，得 －1－＋）＝1＋3＋3＋...＋3＋3n 1
22n n 1n n n n (13C C C 即， －1－1＋3＋3＋...＋3＋3＝1
22n n 1n 2n n n n 2C C C
(2) 令a ＝2，b ＝－1，代入①，得
n n n 11n-22n 1n 1n n n n 121C C C －－－（2－1）＝2－2＋2＋...＋（－）＋（－）即，－－－1－－＋＋...＋（－1）＋（－1）＝n n 11n 22n n 1n n n n 22221C C C .
技巧：此方法的关键在于代值，在一般情况，a ，b 值都不会很大，一般都是0， 1，－1，2，－2 , 3，—3这些数，而且a ，b 值与恒等式右边也有必然的联系，如上题中1＋3＝2
2，2－1=1,在做题的时候要抓住这点．
;
3. 2．求导代值
例5．求证： －＋3＋...＋（－1）＝（－1）23
n n 2n n n 212n
n n n 2C C C （n ≧2） 分析：观察左边各项组合数的系数发现不可以直接运用二项式定理，但系数也有一定的规律，系数都是i(i-1) i=2,3,…n 我们又知道（x i ）’’=i(i-1)x i-2 由此我们想到了求导的方法．
证：对n 0122n n n n n n x x x x C C C C （1＋）
＝＋＋＋...＋ 两边求二阶导数，得
n 2
23n n 2n n n n n 1x 212x n n x C C C －－（－1）（＋）＝＋3＋...＋（－1）
令x=1
得 －＋3＋...＋（－1）
＝（－1）23
n n 2n n n 212n n n n 2C C C （n ≧2） 技巧：此方法证明组合恒等式的步骤是，先对恒等式
n
a x （＋）＝i 1
m
n
n i i C a
x -=∑ 两边对x 求一阶或二阶
导数，然后适当选取x 的值代入．
4. 比较系数法
·
比较系数法主要利用二项式定理中两边多项式相等的充要条件为同次幂的系数相等加以证明．
例6．求证：2222＋＋)＋()＋()＋...＋()＝012m m 1m 22(n n
n n C C C C C （范德蒙恒等式）
分析：本题若考虑上面所讲和方法来证明是比较困难的，注意到等式左边各项恰是二项展开式中各项二项
式系数的平方，考虑二项展开式 （1＋）n x =＋0
n C ＋＋...＋122n n
n n n x x x C C C 和
（1＋）＝＋＋＋...＋n 012n n n n n 2n 1111x x x x
C C C C 这两个展开式乘积中常数项且好式是 2222
＋＋)＋()＋()＋...＋()012m m 1m 2(n n C C C C
证：∵
n 01
22n n n n n n x x x x C C C C （1＋）＝＋＋＋...＋ （1＋）＝＋＋＋...＋n 01
2n n n
n n 2n 1
111x x x x
C C C C ∴n
1x (1)n x
+
（1＋）=（＋＋＋...＋01
22n n n n
n n x x x C C C C ） （＋＋＋...＋0
1
2n n n
n n 2n 111x x x
C C C C ） 又有，n
1x (1)n x
+（1＋）＝2n
n
(1+x)x ,
比较两边的常数项，左边常数项为2222
＋＋)＋()＋()＋...＋()012m m 1m 2(n n C C C C
右边的常数项为2n
n C ，根据二项展开式中对应项的唯一性得 2222＋＋)＋()＋()＋...＋()＝012m m 1m 22(n n n n C C C C C
技巧：此方法关键是适当地选择一个已知的恒等式，然后比较两边x 同次幂的系数．当然，已知恒等式的
选择不是唯一的，例5也可以选择已知恒等式 n 2x (
1)(1)n n
x x +=+（1＋） ，只须比较恒等式中两边含有n x 的系数即可得证，证明留给读者．
5. 利用数列求和方法证明
回到例2，除了利用组合数的性质，我们还可以有其他方法．观察，恒等式左边的各项组合数的系数为等差数列，现在我们仿照求和公式(1)
12 (2)
n n n -+++=
的证明来证明例2 证：设123n
n n n n s=C 2C 3C ...n C ＋＋＋ ① 则n n-121
n n n n s=n C n-1)C ...2C C ＋(＋＋ 01n-2n-1
n n n n =n C n-1)C ...2C C ＋(＋＋ ②
：
①＋②得
01n-1n
n n n n 2s=n C C ...n C C n ＋＋＋n 01n-1n
n n n n =n(C C ...C C )＋＋＋
=n 2n
∴ 1
2
n s n -=
技巧：此方法的证明有一定的特殊性,分析等式中组合数系数的变化规律尤其重要,知识的迁移在此方法是一个很好的见证．
6. 利用数学归纳法证明
我们都知道数学归纳法，在证明数列的题目中，我们就体会了数学归纳法的好处，只要按照数学归纳法的两个步骤进行就可以了．那么，组合恒等式的证明可不可以用数学归纳法来证明呢看下面的一个例题
(
例7．已知{n a }是任意的等差数列，且n ≧2，求证：
123n n+1a －a ＋a －...＋（－1）a +（－1）a ＝0012n-1n-1n
n n n n n n C C C C C
分析：由于本题恒等式左边的各项组合数系数是一个不确定的等差数列，用上面的方法处理就比较困难，又因为等式含有数列，我们不妨用数学归纳法试试．
证：i) 当n ＝2时，因为2132a a a a -=-所以12320a a a -+=，故等式成立，
ii) 假设，当n ＝k （k ≧2）时等式成立，即对任何等差数列{n a }，
有，123k k+1a －a ＋a －...＋（－1）a +（－1）
a ＝0012k-1k-1k
k k k k k k C C C C C ① 则当n ＝k ＋1时，利用组合数性质，有
＋1＋1＋2＋13＋1k ＋1k+2a －a ＋a －...＋（－1）
a +（－1）a 012k k k k ＋1
11＋1k k k k k C C C C C
123－＋1k ＋1k+2＝a －（＋）a ＋（＋）a －... ＋（－1）（＋）a +（－1）a 01021k k k 1k k k k k k k k k k C C C C C C C C 123k ＋1－－234k ＋1k ＋2＝a －a ＋a -...+（1）a －a －a ＋a -...+（1）a +（1）a 012k k 012k 1k 1k k
[－]
[－－]
k k k k k k k k k C C C C C C C C C
[
因为根据归纳假设，当n ＝k 时，对任意等差数列12k 123k 2a a a a a a ＋＋，，...，与，，①式都成立，所以上式右端的两个方括号都等于零．于是我们证明了当n ＝k ＋1时等式也成立，根据（1）和（2）可知，等式对n ≧2的任何自然数都成立．
技巧：用本方法证明的思路清晰，只须分两步进行即可，但归纳法的关键是由“假设n ＝k 成立，推导到n ＝k ＋1也成立”这一步中间的变换过程比较复杂，在“无路可走”的情况之下，归纳法也是一个好的选择．
7. 利用组合分析方法证明
所谓组合分析法就是通过构造具体的组合计数模型，采用了“算两次”的方法，再根据组合数的加法原理和乘法原理得到恒等式两边相等．
例8．证明：－－＋＋...＋＝0112n 1n n 1
2n n n n n n n C C C C C C C （n ≧2）
证明：算右边，假设有2n 个球，现要在2n 个球中任取出（n －1个，取法有 －n 1
2n C 种，
算左边，把2n 个球分成两堆，每堆个n 个，现要 在2n 个球在中取出（n －1）个，取法是，在第一堆取0个，第二堆取（n －1）个，或第一堆取1个，第二堆 取（n －2）个，或…或第一堆取（n －1）
个，第二堆 取0.再根据加法原理总的取法有 －－－＋＋...＋0n 11n 2n 10
n n n n n n C C C C C C
）
证明组合恒等式的方法与技巧 摘要本文是以高中二项式定理和排列组合知识为理论基础，对几个常见重要的例题作分析，总结组合恒等式常见的证明方法与技巧。对组合恒等式的证明方法本文主要讲了组合公式法，组合数性质法，二项式定理法，比较系数法，数列求和法，数学归纳法，组合分析法。 关键字组合，组合数，组合恒等式，二项式定理 Proof Methods and Skills of Combinatorial Identity ABSTRACT This thesis primarily analyses some common but significant examples on the basis of binomial theorem and permutation and combination knowledge of senior middle school to summarize the common demonstrating methods and technique of combinatorial identity. For combinatorial identity, here it mainly introduces the methods of combination formula, unitized construction, mathematical induction ，and so on . KEY WORDS combination，combinatorial identity，binomial theorem 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排 列组合、二项式定理为基础。组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的
排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word 版的，记得下载MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。 一、排列数公式： !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+= -L (1)(1)321n n A n n n =--创 L 推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行： 第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋ 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋ 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： (1)(2)(1)! !!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L 1n n C =
推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋ 第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋ 最后一步，取最后一个：有 1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题m n A 分解为两个步骤： 第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ； 第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。 根据乘法原理，m m m n n m A C A = 即： (1)(2)(1)!!!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L
证明组合恒等式的方法与技巧 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来． 1. 利用组合公式证明 组合公式：m n C = n! !n m m （－）！ 例1． 求证：m m n C =n 1 1m n C －－ 分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式 代入，经过简化比较，等号两边相等即可． 证：∵ m m n C = m n! !n m m （－）！ … 1 1m n C －－= n n !1!n m m （－1）（－）（－）！=n n !m 1!n m m m （－1）（－）（－）！=m n! !n m m （－）！ ∴ m m n C =n －－1 1m n C . 技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取． 2. 利用组合数性质证明 组合数的基本性质：（1）m n C =n m n C － （2）1m n C ＋=m n C +1 m n C － （3）k k n C =n k 11n C －－ （4）＋＋...＋＝012n 2n n n n n C C C C ?
第十讲组合恒等式 、知识概要 数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础, 并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。 1,基本的组合恒等式 简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上, 许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有: ①c n 丄 ② cn i=c F +cn ③ kC： = nC n；; zTx m m r __m ④ C n C r —C n C n_m ； ⑤ c；?+cn+c2+iii+C n n=2n； ⑥ C -cn +Cn2+|H+(-1)n Cn n =0. 2, 解题中常用方法 运用基本组合恒等式进行变换; 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明; 运用数学归纳法; 变换求和指标; 运用赋值法进行证明; 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明; 构造合理的模型。
二、运用举例 例 1，求证：C ： +2C 2 +3C 3+i|| + nc n = n 左边=nC ；丄+ nC ：丄+ nC ；」中川中nC ；： " n 例2,求和式2 k 2 C n k 的值。 k 1 基本思路：将k 2 c nk 改写为k kCn ，先将kCn 用恒等式3提取公因式n ，然后再将kC ：：变形 k 1 k 1 k 1 成为（k -1 ）C n 4 +C n 4，而（k -1 ）C n 4又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数 中均不含有变动指标 k 了。 n n n k nC ：；=迄 k c n ；； =n E (k -1 +1)C ：； k 经 k 壬 k=t n =n S [(k -1)C ：； +c n ：；r n ^ [(n -1 心 km = n (n -1 严 + n2n4 = n (n +1)2：/ 2004 例 3,求艺(—1^2005 kz0 2004 解：s( -1) k C 2005 = 1 -c 爲5 + C 爲5 -川 + (-1 )2004 C 誥 kzQ R-(C 2004 +C 2004 +C 2004)-川+(T )(c 2003 +c 200： n -1 例 4，设 m, n 忘 N 十，求证：送(m +k )(m +k +1 ) = - (3m 2 + 3m n + n 2 T 卜 心 3 证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条, 可得: n 解：S k 'c nk kA n -Z k kC n ； k i = (n —1)C L k =2 n T n 鳥+送H 卜-1正C 鳥+：送C k=1 」 k=2 n nJ k=i 的值。
第十讲 组合恒等式 、 知 识概要 数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础， 并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问 题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有 着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。 1，基本的组合恒等式 简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上， 许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通 分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有： n n n C n n 0. 2，解题中常用方法 ① 运用基本组合恒等式进行变换； ② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明； ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标； ⑤ 运用赋值法进行证明； ⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ⑦ 构造合理的模型。 ① C n r nr C n ； ②c ni C n r 1 C n r ； ③ kC n k k1 nC n 1 ； ④ C n r C r m C n m C n r m m ； ⑤ C n 0 C 1n C n 2 C n n 2n ； 过转化， ⑥ C n C n 1 C n 2
、运用举例 12 3 n 例1，求证：C n 2C n 3C n L nC n n 2n1 证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条, 可得: 左边nC； 1 1 2 nC n 1 nC n 1 n 1 nC n 1 —n 1 , f n 2 右边 例2,求和式n k2C n k的值。k 1 基本思路：将k2C^改写为k kCn k 先将kC n用恒等式3提取公因式 k n，然后再将kC n 1变形 成为k 1 C： 1 V；，而 k 1 C n 1又可以继续运用上述恒等变形, 这样就使得各项系数 中均不含有变动指标k 了。 n 解：k2c n； k 1 2004 例3，求 2004 解： 例4,设 n2n k 2005 k 2005 的 值。 C；004 C；004 C； 004 C；004 m,n N，求证: n Cn k 2 n C k 1 C n 1 1 2n 2004 C 2004 2005 2004 2003 C2004 2004 C2004 3mn n2 1。
“算两次”思想在证明组合恒等式中的应用 1.m n m n n C C -=，取走和剩下的一一对应； 2. 2n k n n k C ==∑ 我们可令等式122(1)1n n n n n n x C x C x C x +=++++ 中的x 等于1，得到该式。 另外，我们可考察集合1{,,}n b b 的子集的个数： 一方面，采取加法原理，根据子集中元素个数分类： n k n k C =∑； 另一方面，采取乘法原理，设其子集为S ，我们逐一考察,1,2,,i b i n = 是否在S 内，每个元素都有两种可能，考察完毕，子集S 确定，或者我没把子集看成一个排列，如 0,0,,0n ?? ；{}11 1,0,0,,0n b -? 。共2n 。 所以得证。 3.11m m m n n n C C C -+=+，从1{,,,}n a b b 取m 个有1m n C +种：一类含a ：1 m n C -，一类不含a ：m n C 。 推广①： 11m m m n n n A A mA -+=+ 从1{,,,}n a b b 取m 个排成一排1m n A +：一类含a ：1m n mA -，一类不含a ：m n A 。 推广②：11121n n n n n n n m m n m n m n n n C C C C C C +++++-+-+=+++++ 解释：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1个，白球n 个。从中选取n+1个小球， 选法共：11n n m C +++种， 考虑另外一种算法：若有黑1则在剩余小球中选n 个，即n n m C +，若无黑1，则考虑是否有黑2，若有则从剩余n+m-1个小球中取n 个，即1n n m C +-，依次考虑下去，到考虑是否有黑m ，若有，则在剩余n 个小球取n 个，即1n n C +，若无黑m 。则必有黑m+1，最后剩下的m 个白球全取。总共121n n n n n m n m n m n n n C C C C C ++-+-++++++ 。所以得证。
证明组合恒等式的方法与技巧 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来． 1. 利用组合公式证明 组合公式：m n C = n ! !n m m （－）！ 例1． 求证：m m n C =n 11 m n C －－ 分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式代入，经过简化比较，等号两边相等即可． 证：∵ m m n C = m n ! !n m m ?（－）！ 11 m n C －－= n n ! 1!n m m ?（－1）（－）（－）！= n n !m 1!n m m m ???（－1）（－）（－）！= m n ! !n m m ?（－）！ ∴ m m n C =n －－11 m n C . 技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取． 2. 利用组合数性质证明 组合数的基本性质：（1）m n C =n m n C － （2）1 m n C ＋=m n C +1 m n C － （3）k ?k n C =n ?k 1 1n C －－ （4）＋＋...＋＝0 1 2 n 2n n n n n C C C C －＋－＋...＋（－1）＝00 1 2 3 n n n n n n n C C C C C （5）
排列组合公式及恒等式推导、证明（WOrd 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是 word 还是PPS 附带公式编辑经常是 出错用不了。下载此 word 版的，记得下载 MathTyPe 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果 想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有 PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精 典试题）供学友们下载。 一、排列数公式: An l =n （n -1）（n-1） 3创2 1 推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数 原理分步进行： 第步，排第位： 有 n 种选法; 第二步，排第二位： 有（n-1）种选法; 第三步，排第三位： 有（n-2）种选法; 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法; I I I I 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： C m =A m = n(n- 1)(n- 2)…(n - m+1)= n! n A r m m! m!( n-m)! n JI C n = 1 A m =n(n -1)(n - 2) (n - m +1) = n! (n - m)!
推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：第步，取第个：有n种取法； 第二步，取第二个：有（n-1）种取法； 第三步，取第三个： I I 有(n-2) 种取法； I I 第m步，取第m个：I I 有(n-m+1) 种取法; I I 最后一步，取最后一个：有1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m!种排排法，选n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明 将部分排列问题A n n分解为两个步骤： 第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题C n n； 第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列A m。 根据乘法原理，A n n=C n n A m 即: C m A Tl n(n -1)0-2厂(n-m+1) n! A Tl m!m!(n- m)! 组合公式也适用于全组合的情况，即求C（n, n）的问题。根据 m!
1 引言 组合恒等式是组合数学的一个重要部分.它在数学的各个分支中都有广泛应用,而且它的证明方法多种多样,具有很强的灵活性.下面通过几个实例具体讲述一下，几种证法在组合恒等式中的运用. 2 代数法 通常利用组合恒等式的一些性质进行计算或化简，使得等式两边相等， 或者利用二项式定理∑ 0==+n r r n r r n n y x C )y x (在展开式中令x 和y 为某个特定的 值，也可以先对二项式定理利用幂级数的微商或积分后再代值，得出所需要的 恒等式. 例1 111 22m m m m n n n n C C C C n m +-++++=>， . 分析：这个等式两边都很简单，我们可以利用一些常用的组合恒等式去求证. 证明:1 +2+11+=2++m n m n m n m n C C C C m n m n m n m n C m n m C ,C m m n C 1+=1+= 11 + )m n m m m n (C m n 2+1++1+∴左边＝ 2()11m n n m m C m n m +++++-= 2(2)(1)()(1)(1) m n n m n m m m C m n m +++-++=++- 232 () (1)(1) (2)(1)() (1)(1) m n m n n n C m n m n n C m n m ++=++-++=++- 右边=()1 2(2)!(2)(1)! (1)!1!(1)(1)()!! m n n n n n C n m m m n m n m m +++++= =+-+++--
(1)(2)(1)(1)m n n n C n m m ++=+-+ 左边=右边 即证. 例2 求证:n n n n n n n n n n C C C C 20112211233333=+++++--- . 分析：看到上式，很容易想到二项式的展开式，尝试利用二项式定理去做. 证明： 由二项式定理建立恒等式， 112221 1(3)3333n n n n n n n n n n n C x C x C x x ----+=+++++ 令1x =,即得 2112214233331 n n n n n n n n n C C C ---==+++++ 即证. 例3（1）设n 是大于2的整数，则 0)1(32321=-+++-n n n n n nC C C C . （2）n 为正整数，则 )12(1 11131211131-+=++++++n n n n n n C n C C . 分析：观察上面两式的系数，很容易想到它们和微分积分有关，我们可以尝试利用求积分或微分的方法去解决这道题目. 证明：（1）0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ 等式两边对x 求导， 112 1 (1)2n n n n n n n x C C x n C x --+=++ + 令0x =得， 1231023(1)n n n n n n C C C nC -=-+++- 即证. （2）由二项式定理有，
组合恒等式的证明方法 与技巧 https://www.doczj.com/doc/2214617188.html,work Information Technology Company.2020YEAR
证明组合恒等式的方法与技巧 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来． 1. 利用组合公式证明 组合公式：m n C = n! !n m m （－）！ 例1． 求证：m m n C =n 1 1m n C －－ 分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式代入，经过简化比较，等号两边相等即可． 证：∵ m m n C = m n! !n m m （－）！ 1 1 m n C －－=n n !1!n m m （－1）（－）（－）！=n n !m 1!n m m m （－1）（－）（－）！=m n!!n m m （－）！ ∴ m m n C =n －－1 1m n C . 技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取． 2. 利用组合数性质证明 组合数的基本性质：（1）m n C =n m n C － （2）1m n C ＋=m n C +1 m n C － （3）k k n C =n k 11n C －－ （4）＋＋...＋＝01 2n 2n n n n n C C C C
高中数学：组合恒等式证明方法 二项式系数可以组成许多有趣的组合恒等式，这些等式可以通过简捷的组合分析得到证明。 一、公式法 例1、求证：。 证明：由，，…， ，， ，整理即 。 小结：运用基本组合数公式进行转换，如： ，等是处理组合恒等式的常用方法，同时，在上述恒等式中，取n=1，2，…可以推出一系列新等式，如（1）由，得1+2+…+，（2）由得 等，可见本题的结论具有示范作用。
二、二项式定理法 例2、求证：。 证明：因为，令，得 ，故 。 小结：对二项式定理自身作乘法、赋值和求积等运算获得一些恒等式，根据二项展开式的特性，赋予x以不同的值，常能使问题迎刃而解。 三、倒序求和法 例3、求证：。 证明：令，故， 。 小结：恒等式可逆用二项式定理获求。 四、组合分析法 例4、求证：。
证明：构造等式左边的等价数学模型：m名男生n名女生，从中取n人参加数学竞赛可分为n+1类，男生0人、1人、…、n人，女生对应分别为n、n-1 人、…，0人，共有选法为种，又由组合数定义知所求选法为种，命题成立。 小结：对等式两端所代表的组合含义进行分析，说明等式两端恰好是对同一组合模型进行计数，或是对已经建立一一对应关系的两个组合模型进行计数即得。 五、比较系数法 例5、求证：。 证明：由于，其中含有项的系数为。而 ，其中含有项的系数为，同时，故 。 点评：由多项式恒等对应项系数相等获求。在本题中，对m，n，k取特殊关系有（1）时， ；（2）时， 等。
六、递推公式法 例6、求证： 。 证明：设右边，则由恒等式得 ，故 ，整理即 ，而，故有。 小结：本题由递推关系及初始条件进行证明，其中数列的递推思想得到了体现。 七、求导法 例7、求证：。 证明：对两边的x求导得 ，上式两边乘以x后再求导得 ，取得 ，即证。
组合恒等式证明八法 童广鹏 二项式系数可以组成许多有趣的组合恒等式，这些等式常通过简捷的组合分析得到证明，本文举例说明。 一、公式法 例1. 求证：1n 1k n n k n n 1k n n 2n n 1n n n C C C ...C C C ++++-+++=+++++。 证明：由1n k n n k n 1n 1k n C C C ++++++++，1n 1k n n 1k n 1n k n C C C +-+-++++=，…，1 n 2n n 2n 1n 3n C C C ++++++=，1n 1n n 1n 1n 2n C C C ++++++=，1n 1k n n 1k n 1n k n n k n 1n 2n 1n 3n 1n k n 1n 1k n C C C C C C ...C C +-+-++++++++++++++++=++++ 1n 1n n 1n 1n 2n n 2n C C C C ...+++++++++++，整理即1n 1k n n k n n 1k n n 2n n 1n n n C C C ...C C C ++++-+++=+++++。 点评：运用基本组合数公式进行转换，如：1 k 1n k 1n 1k 1n k n n k n C C C n k C C -------===，m k m n m n m k k n C C C C --=等是处理组合恒等式的常用方法，同时，在上述恒等式中，取n=1，2，…可以推出一系列新等式，如（1）由21n 1n 1211C C ...C C +=+++，得1+2+…+()2 1n n n +=，（2） 由22n 21n 2322C C ...C C ++=+++得()()()3 2n 1n n 1n n ...321++=+?++ ??等，可见本题的结 论具有示范作用。 二、二项式定理法 例2. 求证：12 3C ...3C 3C 3n 21n n 2n 2n 1n 1n n -=?++?+?+---。 证明：因为()n n n 1n 1n n 0n n b C ...b a C a C b a +++=+-，令3a =，1b =得 ()1n n n C 3113+=-+()1C 3C ...3C 3n n 1n n 2n 2n 1n -+?++?+?---，故 3C ...3C 3C 31 n n 2n 2n 1n 1n n ?++?+?+---12 n 2-=。 点评：对二项式定理自身作乘法、赋值和求积等运算获得一些恒等式，根据二项展开式 的特性，赋予x 以不同的值，常能使问题迎刃而解。 三、倒序求和法 例3. 求证：()()1n n n 2n 1n 2 2n 3C 1n 3...C 7C 41-+=+++++。 证明：令()()1C 4C 7...C 1n 3C 1n 3...C 7C 41S 1n 2n n n n n 2n 1n +++++=+++++=，故()() n n n 2n 1n 2C ...C C 12n 3S 2=+++++=， ()()1n n n 2n 1n 2 2n 3C 1n 3...C 7C 41S -+=+++++=。
第十讲 组合恒等式 一、 知识概要 数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。 1，基本的组合恒等式 简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上，许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有： ①r n r n n C C -=； ②111r r r n n n C C C +++=+； ③1 1k k n n kC nC --=； ④r m m r m n r n n m C C C C --=； ⑤012 2n n n n n n C C C C +++ +=； ⑥()012 10.n n n n n n C C C C -++ +-= 2，解题中常用方法 ① 运用基本组合恒等式进行变换； ② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明； ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标； ⑤ 运用赋值法进行证明； ⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ⑦ 构造合理的模型。 二、 运用举例 例1，求证：1231232n n n n n n C C C nC n -+++ +=?. 证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条，可得：
左边012 11 11112 n n n n n n nC nC nC nC n ------=++++=?=右边 例2，求和式 21 n k n k k C =∑的值。 基本思路：将2k n k C 改写为k n k kC ?，先将k n kC 用恒等式3提取公因式n ，然 后再将1 1k n kC --变形成为()11111k k n n k C C -----+，而()1 11k n k C ---又可以继续运用上 述恒等变形，这样就使得各项系数中均不含有变动指标k 了。 解 ： ()2111 1 1 11 1 1 11 11n n n n n k k k k k n n n n n k k k k k k C k kC k nC n k C n k C ------======?=?=?=-+?∑∑∑∑∑ ()()1 121 1 1 211 1 11n n k k k k n n n n k k n k C C n n C C --------==????=-?+=-?+??? ?∑∑ ()()21212121 212111n n n n k k k k n n n n k k k k n n C C n n C n C --------====??=-?+=-+???? ∑∑∑∑ ()()2 1212 212n n n n n n n n ---=-+=+ 例3，求 () 2004 20050 1k k k C =-∑的值。 解： () () 2004 2004 122004 20052005200520050 111k k k C C C C =-=-+- +-∑ ( )( ) () ()2004 01 12 2003 200420042004200420042004 200411C C C C C C =-+++- +-+ 1= 。
沈晶
第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式 二项式定理 多项式定理 牛顿二项式定理 组合恒等式证明
Pascal 公式 对于满足1≤k ≤n -1的所有整数k 和n 证法1：直接计算方法（略）证法2： 令S 是n 个元素的集合 任取一个元素用x 表示 S 的k -组合的集合可划分为不包含x 的k -组合和包含x 的k -组合 则?? ? ??--+??? ??-=??? ??111k n k n k n Blaise Pascal ??? ??k n ??? ??-k n 1? ? ? ??--11k n =+
第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式 二项式定理 多项式定理 牛顿二项式定理 组合恒等式证明
设n 是正整数，对任意x , y 有 证法一：数学归纳法（略） 证法二： (x+y)n =(x+y)?(x+y)?…?(x+y) n 个x +y 相乘，每个x +y 在相乘时有两种选择，x 或y 由乘法法则可知，乘积中共有2n 项，并且每一项都可以写成x k y n-k 的形式，k = 0, 1, …, n 对于项x k y n-k ，是在k 个x +y 中选择了x ，其余n -k 个x +y 选择了y 而得到的，从n 个x +y 中选取k 个选择x 的选法数为C (n ,k )，所以该项系数为C (n ,k )。定理得证。 ()k n k n k n y x k n y x -=∑?? ? ??=+0二项式系数
推论1 推论2 () n k n k n x n n x n n x k n x ??? ??++??? ??+??? ??=??? ??=+∑= 1010 () ()()n n k n k k n x n n x n n x k n x 110110 -??? ??++??? ??-??? ??=??? ??-=-∑= 二项式定理 y=1 推论1 x = -x
第十讲组合恒等式 一、知识概要 数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础, 并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问 题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有 着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。 1,基本的组合恒等式 简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上， 许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通 过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有： ① c n c ；r ； k k 1 ③ kC n nC n 1 ； ⑤ C 0 c n C ； L C n n 2n ； ⑥ C 0 c n C n 2 L 1 n C n n 0. 2,解题中常用方法 ① 运用基本组合恒等式进行变换； ② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明; ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标； ⑤ 运用赋值法进行证明； ⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ②c n; c n 1 c n ； r m ④C nG m_ r C n C n
⑦构造合理的模型。 二、运用举例 12 3 n 例1，求证：C n 2C n 3C n L nC n n 2n1 证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条, 可得: 0 左边nC n 1 1 2 nC n 1 nC n 1 nC； ； n 1 n 2 右边 例2,求和式n k2C n k的值。k 1 基本思路：将k2C；改写为k kCn k 先将kC n用恒等式3提取公因式 k " n，然后再将kC n 1变形 成为k 1 Cn 11C； 11，而k 1 C n 1又可以继续运用上述恒等变形, 这样就使得各项系数中均不含有变动指标k 了。 n 解：k2C： k 1 kC ： n k nC：1 k 1 C ： 1 C n k1 2004 例3，求 2004 解： Cn 1 1C ： k 2 C n 2 C： 1 n2n k 2005 k 2005 的 值。 C；004 C；004 C； 004 C； 004 C ： n Cn k 2 n k 1 C n 1 k 1 2n 2004 2004 C2005 1 2004c2003 I C2004 2004 C2004 1
如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知！ 齐齐哈尔大学 毕业设计（论文） 题目用概率论的方法证明组合恒等式 学院理学院 专业班级信息与计算科学082
用概率论的方法证明组合恒等式 摘要 组合恒等式是组合数学中的一个组成部分，也是组合数学研究的一个重要内容. 本文主要探讨如何利用概率方法研究组合恒等式，主要从不同的角度解答同一概率问题，得到同一事件的概率两种不同的表达形式，由其相等导出组合恒等式. 通过构造概率模型，利用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”证明组合恒等式，或者利用古典概率方法证明组合恒等式，也就是在实际问题中将需要证明的组合恒等式引证出来。对于需要被证明的组合恒等式，将所构造概率模型中相关事件的概率计算出来以后，从而推导出式子两端相等。每种论证方法中首先总的介绍这种方法是用的什么思想，然后列举例子加以论证，使所述问题更加透彻. 关键字：组合恒等式；概率模型；古典概率；数字特征
Abstract Combinatorial identity is an important part and research field of combinatorics. This paper explores using probabilistic method to derive combinatorial identities. We count a probabilistic problem by using different ways to obtain different expresses for the question. We build a probabilistic model on a classical probability to find or prove some identities by constructing the event whose probability equals 1 or 0, that is ，the the equatin will be drawn from the concrete problems. We investigate combinatorial identities using probability properties and numeral characters of a random variable with discrete type. Each method was first demonstrated the general description of what this method is thought, and then held some examples discussed. Keywords: Combinatorial identity; probabilistic model; classical probability; numeral characters
组合恒等式的几种证明方法 对于组合数恒等式的证明无固定的方法，使得人们常感到无从下手，下面介绍证明组合恒等式的几种方法，供读者参考． 一、构造组合模型 例1 求证：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2= nC 112--n n ． 证明：构造组合模型如下： 从n 个男学生及n 个女学生中，选出n 个学生组成一个代表团，其中男学生至少有1名，并在其中选择1名男学生为团长，问有多少种不同的选法？ 选法一：按选出的男学生人数k 分类，男学生选法有C k n 种，女学生选法有 C k n n -= C k n 种，团长的选法有k 种． 故完成这件事情的选法有kC k n C k n n -= k(C k n )2 种， 令k =1，2，…，n ，则符合条件的选法总数为：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2． 选法二：从n 个男同学中选出团长有n 种方法，然后在剩下的2n －1个学生 中选出(n －1)个团员有C 112--n n 种，由乘法原理共有nC 1 12--n n 种选法． 比较上述两种结果，得：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2= nC 1 12--n n ． 例2 求证：(C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2= C n n 2． 证明：设集合A ={a 1，a 2，…，a n }，集合B ={b 1，b 2，…，b n }． 选法一：从A B 中的2n 个不同元素中选取出n 个元素的组合数为：C n n 2． 选法二：从A 中不取元素，从B 中取n 个元素；从A 中取1个元素，B 中 取n －1个元素，…；从A 中取n 个元素，B 中取0个元素，当注意到C m n = C m n n -．由加法和乘法原理知共有： C 0n C n n ＋C 1n C 1 -n n ＋…＋C n n C 0n = (C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2．
排列组合公式及恒等式推导、 明（word版） 排列组合公式及恒等式推导、证明（word版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件, 不管是word还是pps附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word版的，记得下载MathTyp（公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。 、排列数公式: A nm 二n(n-1)( n- 2)L (n - m+1) = - n! (n - m)! A； = n(n - 1)(n- 1)L 3仓吃 1
推导：把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序，按计数 第m步，排第m位：有（n-m+1）种选法;
根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： y = A j = n(n -1)0- 2)L (n - m+1)= n! n A j? m! m!(n- m)! C； =1 推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行: 第一步，取第一个：有 n 种取法； 第二步，取第二个：有(n-1)种取法； 第三步，取第三个：有(n-2)种取法； I I I I 第m步，取第m个：有(n-m+1)种取法； I I I I 最后一步，取最后一个：有 1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m! 种排排法，选n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以 m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题A n m分解为两个步骤： 第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题c n m；