江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列角与α=36°终边相同的角为( )
A. 324°
B. ?324°
C. 336°
D. ?336°
2. 如果a ? 与b ? 是一组基底，则下列不能作为基底的是( )
A. a ? +b ? 与a ? ?b ?
B. a ? +2b ? 与2a ? +b ?
C. a ? +b ? 与?a ? ?b ?
D. a ? 与?b ?
3. 化简
sin 235°?
1
2
cos10°?cos80°
的结果为( )
A. ?2
B. ?1
2
C. ?1
D. 1
4. 已知向量e ? 为单位向量，a ? =(√2,?1)，e
? 与a ? 的夹角为150°，则a ? ?e ? =( ) A. √3
2 B. ?√32
C. 3
2
D. ?3
2
5. 若sin α+cos α
sin α?cos α=1
2，则tan 2α等于( )
A. ?3
4
B. 3
4
C. ?4
3
D. 4
3
6. 若向量a ? =(2,k)，b ? =(?1,2)，满足a ? ⊥b ? ，则实数k =( )
A. ?1
B. 1
C. 4
D. 0
7. 函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)与函数y =g(x)的图像关于点(π
3,0)对称，且g(x)=
f (x ?π
3)，则ω的最小值等于
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 在边长为4的菱形ABCD 中∠BAD =120°，则AD
?????? 在AB ????? 方向上的投影为( )
A. 2√3
B. ?2√3
C. ?2
D. 2
9. 已知sin(α+π
3)=1
3，则sin(2α?
5π6
)的值是( )
A. ?1
3
B. 1
3
C. ?7
9
D. 7
9
10. 在ΔABC 中，BD ?????? =13
BC ????? ，若AB ????? =a ? ，AC ????? =b ? ，则AD ?????? =( ) A. 2
3a ? +1
3
b ? B. 13a ? +2
3
b ? C. 13a ? ?2
3
b ? D. 23a ? ?1
3
b ? 11. 已知tanα，tanβ是方程6x 2?5x +1=0的两个实数根，若α，β∈(0,π)，则α+β=( )
A. π
4
B. 3π
4
C. 5π
4
D. π4或5π
4
12. 函数
的一个对称中心是( )
A. (π
3,0)
B. (π
6,0)
C. (?π
6,0)
D. (?π
12,0)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为______ ．
14. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点为A(0,0)，B(1,1)，C(2,?1)，则点D
的坐标为______ ．
15. 已知P 是△ABC 内的一点，且满足PA
????? +3PB ????? +5PC ????? =0? ，记△ABP 、△BCP 、△ACP 的面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 1：S 2：S 3= ______ ．
16. 已知向量a ? =(sinx,1)，b ? =(t,x)，若函数f(x)=a ? ?b ? 在区间[0,π
2]上是增函数，则实数t 的取值
范围是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 求与向量a ? =(1,2)，b ? =(2,1)夹角相等的单位向量c
? 的坐标． 18. 已知
．
(1)求的值；
(2)求
的值．
19. 已知函数f(x)=2cosxcos(x +π
3)．
(Ⅰ)求f(π
12)的值； (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．
20. 如下图，E,F 分别是RtΔABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB =3,AC =6，求AE
????? ?AF ????? 的值．
21.平面向量a?，b? 满足|2a??b? |=1，|a??2b? |=1，则a??b? 的取值范围______ ．
22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω≤2,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象经过点
,0)对称，求f(x)的解析式．
(0,2)，又f(x)的图象关于点(3π
4
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
本题考查终边相同角的表示，属于基础题．
直接利用终边相同角的表示方法求解即可．
解：与36°角终边相同的角为36°+k×360°，k∈Z，
令k=?1，可得?324°．
故选B．
2.答案：C
解析：
【分析】本题考查平面向量的基本定理及其应用，平面向量共线的充要条件，属于基础题．
根据两个不共线的向量可以作为一组基底即可得结论．
【解答】解：由题意知，a?与b? 不共线，
根据平行四边形法则可知a?+b? 与a??b? ，a?+2b? 与2a?+b? ，a?与?b? 中的两个向量均不共线，都可以作为基底，
而?a??b? =?(a?+b? )，两者共线，不能作为基底．
3.答案：C
解析：解：sin235°?1 2
cos10°?cos80°=2sin235°?1
2cos10°?sin10°
=?cos70°
cos70°
=?1
故选：C．
利用二倍角公式，化简可得结论．
本题考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
4.答案：D
解析：
本题主要考查向量的数量积，单位向量，以及向量的模，属于简单题．先求出|a?|，然后根据向量的数量积公式计算可得答案．
解：∵向量e ? 为单位向量，a ? =(√2,?1)，e ? 和a ? 的夹角为150°， ∴|a ? |=√3，
∴a ? ?e ? =|a ? |?|e ? |cos150°=√3×1×(?√3
2
)=?3
2，
故选D ．
5.答案：B
解析：
本题主要考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题.由题可得tanα=3，由tan2α=2tanα
1?tan 2α可得tan2α的值．
解：由题意得，，
解得tanα=?3， ∴tan2α=2tanα
1?tan 2α=3
4． 故选B ．
6.答案：B
解析：解：∵向量a ? =(2,k)，b ? =(?1,2)，满足a ? ⊥b ? ， ∴a ? ?b ? =?2+2k =0， 解得实数k =1． 故选：B ．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7.答案：D
解析：
本题主要考查三角函数的图象与性质，利用两角和与差公式化简，结合三角函数的性质求出ω的值． 解：
，则
，
因为函数f(x)与函数y =g(x)的图像关于点(π
3,0)对称， 所以，
所以
即ω=6k ?2,k ∈Z ，
因为ω>0，所以当k =1时，ω取得最小值4． 故选D ．
8.答案：C
解析：
本题考查了平面向量的数量积的运算及应用，属于容易题． 根据AD ?????? 在AB ????? 方向上的投影为：AD ?????? ?AB ??????
|AB ?????? |，代入求出即可． 解：∵在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD =120°， ∴∠B =60°，
∴AD ?????? ?AB ????? =4×4×cos120°=?8， ∴则AD ?????? 在AB ????? 方向上的投影为：AD
?????? ?AB ?????? |AB |=?8
4=?2，
故选：C ．
9.答案：D
解析：解：∵sin(α+π
3)=1
3，∴sin(2α?
5π6
)=sin[2(α+π3
)?
3π2
]=sin[2(α+π3
)+π2
]=cos2(α+π
3
)
=1?2sin 2(α+π
3)=1?2×(1
3)2=7
9， 故选：D ．
利用诱导公式、二倍角公式求得sin(2α?
5π6
)=sin[2(α+π3
)?
3π2
]的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
10.答案：A
解析：
本题主要考查平面向量的基本运算法则，属于基础题． 解：由向量的运算法则可得AD ?????? =AB ????? +BD
??????
=AB ????? +13BC ????? =AB ????? +13(AC ????? ?AB ????? )=23AB ????? +13AC ????? =23a ? +1
3
b ? ． 故选A ．
11.答案：A
解析：
【分析】本题主要考查一元二次方程跟与系数的关系，正切的两角和差公式，属于基础题． 根据所给条件求出tanα+tanβ=5
6，tanαtanβ=1
6，再由两角和差公式计算，根据计算结果再分析α,β的取值范围即可求解．
解：由根与系数之间的关系可得tanα+tanβ=5
6，tanαtanβ=1
6， 所以tan(α+β)=tanα+tanβ
1?tanαtanβ=1， 又tanα+tanβ>0，tanαtanβ>0， 所以tanα>0，tanβ>0，又α，β∈(0,π)， 所以α，β∈(0,π
2)，故α+β∈(0,π)， 所以α+β=π4． 故选A ．
12.答案：D
解析： 把函数化为形式，结合正弦函数的对称性求解． 对函数，由
，，即对称中心为
，
由
，
，即对称轴为
【详解】
由题意f(x)=12cos2x +√32sin2x =sin(2x +π
6)，
由2x +π
6=kπ得
，
因此
是一个零点，(?π
12,0)是一个对称中心．
故选D ．
13.答案：?1
2
解析：解：cos43°cos77°+sin43°cos167° =cos43°cos77°?sin43°sin77° =cos120° =?1
2． 故答案为：?1
2
先根据三角函数的诱导公式将cos167°化为?sin77°，再根据两角和的余弦公式可得答案． 本题主要考查三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式．属基础题．
14.答案：(1,?2)
解析：解：平行四边形ABCD 的三个顶点为A(0,0)，B(1,1)，C(2,?1)， 设点D 的坐标为(x,y)，则AB ????? =DC ????? ， 即(1,1)=(2?x,?1?y)， ∴{2?x =1
?1?y =1， 解得{x =1y =?2
；
∴点D 的坐标为(1,?2)． 故答案为：(1,?2)．
根据平行四边形ABCD 中AB ????? =DC ????? ，利用坐标相等列出方程组，即可求出点D 的坐标． 本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题．
15.答案：5：1：3
解析：解：记△ABC 的面积为S ， ∵PA ????? +3PB ????? +5PC ????? =0? ， ∴?1
8PA ????? =3
8PB ????? +5
8PC ????? =PD ????? ， 则D 在BC 上，且BD ：CD =5：3， 故PD ：AD =1：9，
即以BC 为底时，△BCP 的高是△ABC 的1
9， ∴S 2=1
9S ，
同理：S 1=59S ，S 3=1
3S ， ∴S 1：S 2：S 3=5：1：3， 故答案为：5：1：3
记△ABC 的面积为S ，由已知可得S 1=5
9S ，S 2=1
9S ，S 3=1
3S ，从而求得S 1：S 2：S 3的值． 本题考查共线向量的意义，两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比，体现了数形结合的数学思想．
16.答案：[?1,+∞)
解析：解：∵a ? =(sinx,1)，b ? =(t,x)， ∴a ? ?b ? =sinx ?t +1?x =tsinx +x ，
由此可得f(x)=a ? ?b ? =tsinx +x ，在区间[0,π
2]上是增函数， ∴f′(x)≥0区间[0,π
2]上恒成立，
∵对函数f(x)求导数，得f′(x)=tcosx +1， ∴不等式tcosx +1≥0区间[0,π
2]上恒成立， 结合在区间[0,π
2]上0≤cosx ≤1，可得t ≥?1 即实数t 的取值范围是：[?1,+∞) 故答案为：[?1,+∞)
根据平面向量的数量积运算，可得f(x)=tsinx +x 在区间[0,π
2]上是增函数．由导数与函数单调性的关系，得不等式
f′(x)≥0即tcosx +1≥0区间[0,π
2]上恒成立，结合此时cos x 的值域即可得到实数t 的取值范围． 本题以向量数量积运算为载体，求函数恒成立时实数t 的取值范围，着重考查了运用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等知识，属于中档题．
17.答案：解：设c ? =(x,y)，则cos =cos (2分) ∴{x +2y =2x +y
x 2+y 2=1 ∴{x =√2
2
y =
√22
或{x =?
√22
y =?
√22
(8分) ∴c ? =(
√22,√2
2
)，c ? =(?
√22,?√2
2
)(10分)
解析：设c ? =(x,y)，则cos =cos 可得{x +2y =2x +y
x 2
+y 2=1，解方程可求 本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，解题的关键是熟练应用公式
18.答案：解：(1)∵已知
，
又
，
，
．
=?12×17?√32×4√37
?
，且α∈(π
2,π)，
求得舍去)， 或
，
综上．
解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin(α?β)的值，再利用二倍角公式求得sin(2α?2β)的值；
(2)利用两角和与差的三角函数公式求得cos2α=cos[(α+β)+(α?β)]的值，再利用二倍角公式求得cosα的值．
19.答案：解：(Ⅰ)f(x)=2cosxcos(x +π3)=2cosx(12cosx ?√32sinx) =cos 2x ?√3cosxsinx =
12
cos2x ?
√3
2sin2x +12
=sin(π6
?2x)+12
. ∴f(π
12)=1
2．
(Ⅱ)因为f(x)=?sin(2x ?π
6)+1
2，故只需求y =sin(2x ?π
6)的递减区间， 所以当2kπ+π
2≤2x ?π
6≤
3π2+2kπ(k ∈Z)时f(x)单调递增，
即f(x)的单调递增区间为[kπ+π3,
5π
6
+kπ],(k ∈Z ).
解析：本题考查三角函数的化简及单调性． (Ⅰ)将x 的值代入，利用特殊角即可求值．
(Ⅱ)利用两角和的正弦公式展开，再用辅助角公式化简化成y =Asin(ω+φ)，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f(x)的单调增区间．
20.答案：10
解析：以AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系.则有B (3,0)，C (0,6)，则E (2,2)，F (1,4)，
，
21.答案：[?1
9,1]
解析：解：设两个向量的夹角为θ， 因为|2a ? ?b ? |=1，|a ? ?2b ? |=1，
所以4a?2?4a??b? +b? 2=1，a?2?4a??b? +4b? 2=1，
所以a?2=b? 2，a??b? =5a?2?1
4
所以5a?2?4a?2cosθ=1，所以a?2=1
5?4csoθ∈[1
9
,1]，所以5a2?1∈[?4
9
,4]，
5a2?1
4∈[?1
9
,1]，
所以a??b? ∈[?1
9
,1]；
故答案为：[?1
9
,1]．
设两个向量的夹角为θ，将已知的等式两边平方，求出两个向量的模相等，将所求用夹角表示，通过三角函数的值域求出向量a?的模的平方的范围，进一步求数量积的范围．
本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．
22.答案：解：根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω≤2,0≤φ≤π)是R上的偶函数，故φ=π
2
．
由于函数的图象过点(0,2)，可得Asinφ=Asinπ
2
=2，
∴A=2，故函数y=2cosωx，
再由f(x)的图象关于点(3π
4,0)对称，可得ω?3π
4
=π
2
+kπ，k∈Z，
可解得：ω=4k
3+2
3
，k∈Z，
∵0<ω≤2，∴ω=2
3
或2．
∴f(x)=2sin(2
3x+π
2
)或f(x)=2sin(2x+π
2
).
解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于基础题．