数学平行四边形的专项培优练习题(及答案
一、解答题
1．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上． （1）若1n =，
①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；
②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若
AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM
FN
的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；
（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF
BF
的值为_______（结果用含n 的式子表示）．
2．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．
（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；
（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．
3．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ?沿BE 折叠，点A 的对应点为点
G ．
图1 图2
（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ． ①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =
，试探索线段DF 与FC 的数量关系．
4．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．
（1）当t ＝1时，求BF 的长度；
（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值； （3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．
5．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．
（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；
（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；
（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ： ①M 点的坐标为 ．
②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）． 6．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且
DF BE ＝，求证：CE CF ＝；
拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠?＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠?＝＝，
16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠?＝，4BE ＝，求DE 的长．
7．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接
AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ． （1）求EAF ∠的度数；
（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：
2BD BG DG AF DM =+=+．
8．如图，ABCD 中，60ABC ∠=?，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD
于点F ．
（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，
AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=?，求证：3BG GD AG +=．
9．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以
E 为顶点，ED 为一边，作DE
F A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
10．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，
点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值； （3）当32
5
t =
时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
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一、解答题
1．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n - 【分析】
（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．
②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题． 【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD 是矩形，n=1， ∴AD=AB ，
∴四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB=∠B=90°， ∵AF ⊥DE ，
∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF ， ∴△ADE ≌△BAF （ASA ）， ∴AE=BF ；
②结论：AG=BF+AE ．
理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，
由（1）可知AE=BK ， ∵AH=AD ，AK ⊥HD ， ∴∠HAK=∠DAK ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DAK=∠AKG ， ∴∠HAK=∠AKG ， ∴AG=GK ，
∵GK=GB+BK=BF+AE ， ∴AG=BF+AE ；
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，
当ME 的值最大时，NF 的值最小时，
ME
NF
的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()2
22na 1a n +=+， 当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，
∴ME NF 的最大值2
1a n +?21n +， 21n +；
（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，
∵AD ∥BH ， ∴∠ADE=∠H ，
∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ， ∴△AED ≌△BEH （ASA ）， ∴AD=BH=2kn ， ∴CH=4kn ，
∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ， ∴∠H=∠EDF ， ∴FD=FH ，设DF=FH=x ， 在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2， ∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，
∴2
142n x k n
+=?，
∴221441422n n CF kn k k n n +-=-?=?，241222n k
BF kn k n n
-=-?=
， ∴
22412412n k
CF n n k BF
n
-?==-， 故答案为：241n -． 【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 2．（1）见解析；（2）MON 为等腰直角三角形，见解析 【分析】
（1）如图1，由正方形的性质得CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，再证明∠BCN ＝∠CDM ，然后根据“AAS”证明△CDM ≌△CBN ，从而得到DM ＝CN ；
（2）如图2，利用正方形的性质得OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，再利用∠BCN ＝∠CDM 得到∠OCN ＝∠ODM ，则根据“SAS”可判断△OCN ≌△ODM ，从而得到ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，所以∠MON ＝∠DOC ＝90°，于是可判断△MON 为等腰直角三角
形． 【详解】
（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴CB ＝CD ，∠BCD ＝90°， ∵DM ⊥CP ，BN ⊥CP ， ∴∠DMC ＝90°，∠BNC ＝90°，
∵∠CDM+∠DCM ＝90°，∠BCN+∠DCM ＝90°， ∴∠BCN ＝∠CDM ， 在△CDM 和△CBN 中
DMC CNB CD CB
CDM BCN ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△CDM ≌△CBN ， ∴DM ＝CN ；
（2）解：△OMN 为等腰直角三角形． 理由如下：
如图2，∵四边形ABCD 为正方形，
∴OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°， ∵∠BCN ＝∠CDM ，
∴∠BCN ﹣45°＝∠CDM ﹣45°，即∠OCN ＝∠ODM ， 在△OCN 和△ODM 中
CN DM OCN ODM OC OD =??
∠=∠??=?
， ∴△OCN ≌△ODM ，
∴ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ， ∴∠MON ＝∠DOC ＝90°， ∴MON 为等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．也考查全等三角形的判定与性质． 3．（1）四边形ABGE 的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF 【分析】
（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A ABC ?∠=∠=，由折叠得：
90BGE A ?∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE 为矩形，由折叠得：
AB=BG ，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE 为正方形；
（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，可得BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt △EGF ≌Rt △EDF ，得到DF=FG ，问题得证；
②设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=
14a ，即CF=14
a ，DF=a-x=
3
4
a ，进而可得DF 与CF 关系． 【详解】
（1）四边形ABGE 的形状是正方形． 理由是：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90A ABC ?∠=∠=，
由折叠得：90BGE A ?∠=∠=， ∴四边形ABGE 为矩形， 由折叠得：AB=BG ， ∴矩形ABGE 为正方形； 故答案为：正方形． （2）①如图，连结EF ，
在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°， ∵E 是AD 的中点， ∴AE=DE ，
∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ， ∴BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°， ∴∠EGF=∠D=90°， Rt △EGF 和Rt △EDF 中，
EG ED
EF EF =??
=?
， ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ）， ∴DF=FG ，
∴BF=BG+GF=AB+DF ；
②不妨假设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ， 由①得BF=AB+DF=a+a-x=2a-x ， 在Rt △BCF 中，由勾股定理得： BF 2=BC 2+CF 2， 即(2a-x)23a)2+x 2， 整理得：x=1
4
a ， ∴CF=
1
4
a ，DF=a-x=34a ，
∴DF=3CF ． 【点睛】
本题主要考查了折叠的性质，正方形的判定，三角形全等的判定，勾股定理等内容，根据图形作出辅助线找出线段的等量关系列出方程是解题的关键． 4．（126 （2）2（3）2或224 【分析】
（1）由勾股定理可求出答案；
（2）延长AF ，过点D 作射线AF 的垂线，垂足为H ，设AH ＝DH ＝x ，在Rt △AHD 中，得出x 2+x 2＝42，解方程求出x 即可得出答案；
（3）分AF ＝DF ，AF ＝AD ，AD ＝DF 三种情况，由正方形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【详解】
解：（1）当t ＝1时，AE ＝1， ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AG ＝FG ＝AE ＝1，∠G ＝90°， ∴BF ＝22FG BG +＝2215+＝26，
（2）如图1，延长AF ，过点D 作射线AF 的垂线，垂足为H ，
∵四边形AGFE 是正方形， ∴AE ＝EF ，∠AEF ＝90°， ∴∠EAF ＝45°， ∵DH ⊥AH ，
∴∠AHD ＝90°，∠ADH ＝45°＝∠EAF ， ∴AH ＝DH ， 设AH ＝DH ＝x ，
∵在Rt △AHD 中，∠AHD ＝90°， ∴x 2+x 2＝42，
解得x 1＝﹣22（舍去），x 2＝22， ∴D 、F 两点之间的最小距离为22；
（3）当AF ＝DF 时，由（2）知，点F 与点H 重合，过H 作HK ⊥AD 于K ，如图2，
∵AH ＝DH ，HK ⊥AD ， ∴AK ＝
2
AD
＝2， ∴t ＝2．
当AF＝AD＝4时，设AE＝EF＝x，
∵在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，
∴x2+x2＝42，
解得x1＝﹣（舍去），x2＝，
∴AE＝，
即t＝．
当AD＝DF＝4时，点E与D重合，t＝4，
综上所述，t为2或或4．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
5．（1）见解析；（2）PA=BH3）①(4
M+
【分析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA，推出∠AEO=60°，进一步得出
BC∥AE，CO∥AB，可得结论；
（2）先计算出OA=PB=AP=，再利用面积法计算BH即可；
（3）①求出直线PM的解析式为，再利用两点间的距离公式计算即可；
②易得直线BC的解析式为y=，联立直线BC和直线PM的解析式成方程组，求得点G的坐标，再利用三角形面积公式计算．
【详解】
（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴AD=1
2
OB，OD=BD=
1
2
OB，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：在Rt△AOB中，∠AOB=30°，OB=8，∴AB=4，
∴OA=
∵四边形ABCE是平行四边形，∴PB=PE，PC=PA，
∴PB=
∴PC PA
===
∴
11
22
ABC
S AC BH AB BE
?
=??=??，
即11
4 22
BH
?=??
∴BH
（3）①∵C（0，4），
设直线AC的解析式为y=kx+4，
∵P（0），
∴0=，
解得，k=
3
-，
∴y=
3
-x+4，
∵∠APM=90°，
∴直线PM的解析式为，
∵P（0），
∴，
解得，m=-3，
∴直线PM的解析式为，
设M（x），
∵AP=
∴（x-2+）2=（2，
化简得，x2x-4=0，
解得，x1=4，x2=4（不合题意舍去），
当
x=4时，
y=
2
×
（4）
-3= ∴M
（4
，
故答案为：（4
，
②∵(0,4),C B ∴直线BC
的解析式为：43
y x =-
+，
联立34
y x y x ?=-????=+??
，解得65x y ?
=????=??，
∴6
)5
G ，
161=4252PBG PBA S S S ??∴+=?+?=阴
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，两点间的距离，正方形的性质，矩形的性质，一次函数的图象和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．（1）见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析；（3）68
5
【分析】
（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；
（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；
（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ． 【详解】
（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°， ∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°， 在△BCE 和△DCF 中，
BC DC B CDF BE DF =??
∠=∠??=?
， ∴△BCE ≌△DCF (SAS )， ∴CE=CF ；
（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下： 由（1）得△BCE ≌△DCF ，
∴∠BCE=∠DCF ，
∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ， 即∠ECF =∠BCD =90°， 又∵∠GCE =45°，
∴∠GCF =∠ECF ?∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ， 在△GEC 和△GFC 中，
CE CF GCE GCF GC GC =??
∠=∠??=?
， ∴△GEC ≌△GFC (SAS )， ∴EG=GF ，
∴GE=DF+GD=BE+GD ；
（3）解：如图②，过C 作CG ⊥AD 于G ，
∴∠CGA=90°，
在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠B =90°， ∴四边形ABCG 为矩形， 又∵AB=BC ，
∴四边形ABCG 为正方形， ∴AG =BC=AB =16，
∵∠DCE =45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG ， 设DE=x ， ∵4BE ＝， ∴AE =12，DG=x ?4， ∴AD =AG ?DG =20?x 在Rt △AED 中，
由勾股定理得：DE 2=AD 2+AE 2， 即x 2=(20?x )2+122 解得：68
5
=x ， 即685
=
DE ． 【点睛】
本题是一道几何综合题，内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题． 7．（1）∠EAF=135°；（2）证明见解析． 【分析】
（1）根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，只要证明△EBC ≌△FNE （AAS ）即可解决问题；
（2）过点F 作FG ∥AB 交BD 于点G ．首先证明四边形ABGF 为平行四边形，再证明△FGM ≌△DMC （AAS ）即可解决问题； 【详解】
（1）解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90B N CEF ∠=∠=∠=?，
∴90NEF CEB ∠+∠=，90CEB BCE ∠+∠=， ∴NEF ECB ∠=∠， ∵EC EF =， ∴EBC ?≌FNE ? ∴FN BE =，EN BC =， ∵BC AB = ∴EN AB =
∴EN AE AB AE -=- ∴AN BE =， ∴FN AN =， ∵FN AB ⊥， ∴45NAF ∠=， ∴135EAF =∠
（2）证明：过点F 作//FG AB 交BD 于点G .
由（1）可知135EAF =∠， ∵45ABD ∠=?
∴135180EAF ABD ∠=?+∠=?， ∴//AF BG ， ∵//FG AB ，
∴四边形ABGF 为平行四边形，
∴AF BG =，FG AB =， ∵AB CD =， ∴FG CD =， ∵//AB CD ， ∴//FG CD ， ∴FGM CDM ∠=∠， ∵FMG CMD ∠=∠ ∴FGM ?≌CDM ? ∴GM DM =， ∴2DG DM =，
∴2BD BG DG AF DM =+=+. 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 8．（1）63；（2）见详解． 【分析】
（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE ，然后求出三角形面积；
（2）利用已知条件能够求出ABF ≌ADH ，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD 转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果． 【详解】
解：（1）
如图：过A 点作AN ⊥BE ，交BE 于N ． ∵60ABC ∠=?，6AB AE == ∴△ABE 为等边三角形， ∴AB=BE=AE=6 即：AN=3
3∵:5:2BC CE = ∴:5:3BC BE =
∵BE=6 ∴BC=10 ∴EC=4 ∴11
3346322
ACE
S
AN EC =
=??= 即：ACE △的面积为63． （2）
如图：延长GD 至P 使DP=BG ，连接AP ， ∵AH=AF ， ∴∠AFH=∠AHF 即：∠AFB=∠AHD ， 又∵AF=AH ，BF=DH ， ∴ABF ≌ADH ∴AB=AD
又∵180ABG ADG ∠+∠=?，180ADP ADG ∠+∠=?， ∴∠ABG=∠ADP ∵BG=DP ， ∴ABG ≌ADP △ ∴AG=AP ，∠BAG=∠DAP ∵∠ABC=60° ∴∠BAD=120°
即：∠GAP=120° ∴∠AGP=∠APG=60°， 又∵AM ⊥GD
∴， ∵BG=GP
∴BG+GD=GD+DP=GP
即：． 【点睛】
本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．
9．（1）证明见解析；（2）菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由见解析． 【分析】
（1）根据平行线的性质得到BDE A ∠=∠，根据题意得到DEF BDE ∠=∠，根据平行
线的判定定理得到//AD EF ，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到1
2
DE AC =，得到AD DE =，根据菱形的判定定理证明；
（3）根据等腰三角形的性质得到AE EG ⊥，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明． 【详解】
（1）证明：//DE AC ，
BDE A ∴∠=∠， DEF A ∠=∠， DEF BDE ∴∠=∠，
//AD EF ∴，又//DE AC ， ∴四边形ADEF 为平行四边形； （2）解：ADEF 的形状为菱形， 理由如下：点D 为AB 中点，
1
2
AD AB ∴=
， //DE AC ，点D 为AB 中点，
1
2DE AC ∴=，
AB AC =， AD DE ∴=，
∴平行四边形ADEF 为菱形， 故答案为：菱形；
（3）四边形AEGF 是矩形，
理由如下：由（1）得，四边形ADEF 为平行四边形，
//
AF DE
∴，AF DE
=，
EG DE，
//
AF DE
∴，AF GE
=，
∴四边形AEGF是平行四边形，
AD AG，EG DE
=，
AE EG
∴⊥，
∴四边形AEGF是矩形．
【点睛】
本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．10．（1）10-t；（2）5秒；（3）见解析
【分析】
（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，则BQ即可用t表示；
（2）由题意知AP∥BQ，根据AP=BQ，列出方程即可得解；
（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，利用三角形面积公式求出EF，得到OE，利用勾股定理求出AE，再说明AP=2AE即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠AOP=∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP=CQ=t，
∵BC=10，
∴BQ=10-t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t=10-t，解得：t=5，
∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，
在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=10，
∴，
∴AO=CO=1
2
AC=4，
∵S△ABC＝1
2
AB AC
?=
1
2
BC EF
?，
∴AB?AC=BC?EF，∴6×8=10×EF，
∴EF＝24
5
，