高中数学复习专题讲座(第40讲)化归思想
高考要求
化归与转换的思想,确实是在研究和解决数学咨询题时采纳某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或条件将咨询题通过变换加以转化,进而达到解决咨询题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为,通过变换迅速而合理的查找和选择咨询题解决的途径和方法 重难点归纳
转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新咨询题与原咨询题实质是一样的 不等价转化那么部分地改变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正
应用转化化归思想解题的原那么应是化难为易、化生为熟、化繁为简,尽量是等价转化 常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化 典型题例示范讲解
例1对任意函数f (x ), x ∈D ,可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下 ①输入数据x 0∈D ,经数列发生器输出x 1=f (x 0);
②假设x 1?D ,那么数列发生器终止工作;假设x 1∈D ,那么将x 1反
馈回输入端,再输出x 2=f (x 1),并依此规律连续下去
现定义1
2
4)(+-=
x x x f 〔1〕假设输入x 0=65
49
,那么由数列发生器产生数列
{x n },请写出
{x n }的所有项; 〔2〕假设要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据x 0的值;
〔3〕假设输入x 0时,产生的无穷数列{x n },满足对任意正整数n 均有x n <x n +1;求x 0
的取值范畴
命题意图 此题要紧考查学生的阅读审题,综合明白得及逻辑推理的能力
知识依靠 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键确实是应用转化思想将题意条件转化为数学语言
错解分析考生易显现以下几种错因〔1〕审题后不能明白得题意〔2〕题意转化不出数学关系式,如第2咨询〔3〕第3咨询不能进行从一样到专门的转化
技巧与方法 此题属于富有新意,综合性、抽象性较强的题目 由于生疏不易明白得并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意,把握主脉,体会数学转换
解 〔1〕∵f (x )的定义域D =〔–∞,–1)∪(–1,+∞)
∴数列{x n }只有三项,1,5
1
,1911321-===x x x 〔2〕∵x x x x f =+-=
1
2
4)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2,即x 0=1或2时
n n n n x x x x =+-=
+1
2
41
故当x 0=1时,x n =1,当x 0=2时,x n =2〔n ∈N *〕 〔3〕解不等式1
2
4+-<
x x x ,得x <–1或1<x <2 要使x 1<x 2,那么x 2<–1或1<x 1<2 关于函数1
6
4124)(+-
=+-=
x x x x f 假设x 1<–1,那么x 2=f (x 1)>4,x 3=f (x 2)<x 2
假设1<x 1<2时,x 2=f (x 1)>x 1且1<x 2<2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1>x n 〔n ∈N *) 综上所述,x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)
例2设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a >b >0),曲线C 2的方程为y =x
1
,且曲线C 1与
C 2在第一象限内只有一个公共点P
〔1〕试用a 表示点P 的坐标;
〔2〕设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点,当a 变化时,求△ABP 的面积函数S (a )的值域; 〔3〕记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式
命题意图 此题考查曲线的位置关系,函数的最值等基础知识,考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力
知识依靠两曲线交点个数的转化及充要条件,求函数值域、解不等式
错解分析 第〔1〕咨询中将交点个数转化为方程组解的个数,考查易显现运算错误,不能借助Δ找到a 、b 的关系 第〔2〕咨询中考生易忽略a >b >0这一隐性条件 第〔3〕咨询中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )
技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练把握的差不多咨询题,是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有成效
解 〔1〕将y =
x
1
代入椭圆方程,得 112222=+x
b a x 化简,得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0
由条件,有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0,得ab =2 解得x =
2a 或x =–2
a 〔舍去〕 故P 的坐标为(
a
a 2
,2) (2)∵在△ABP 中,|AB |=222b a -,高为
a
2,
∴)41(22221)(422a
a b a a S -=?-?=
∵a >b >0,b =a
2
∴a >
a 2,即a >2,得0<44
a
<1 因此0<S 〔a 〕<2,故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–
24
a
解不等式g (a )≥S (a ),即a 2–
2
4
a
≥)41(24a - 整理,得a 8–10a 4+24≥0,即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2〔舍去〕或a ≥46
故f (a )=min{g (a ), S (a )}???
?
???<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a
例3一条路上共有9个路灯,为了节约用电,拟关闭其中3个,要求两端的路灯不能关
闭,任意两个相邻的路灯不能同时关闭,那么关闭路灯的方法总数为
解析 9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中,选3个间隔〔不包括两端外边的
装置〕插入关闭的过程故有C 3
5=10种
答案 10
例4 平面向量a =(3–1), a =(2
3
,
21) 〔1〕证明a ⊥b ;
〔2〕假设存在不同时为零的实数k 和t ,使x =a +(t 2–3) b ,y =–k a +t b ,且x ⊥y ,试求函数关系式k =f (t);
〔3〕据〔2〕的结论,讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情形
(1)证明 ∵a ·b =2
3)1(213?-+?
=0,∴a ⊥b (2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0
即[a +〔t 2–3) b ]·(–k a +t b )=0,整理后得 –k a 2+[t –k (t 2–3)]a ·b +t (t 2–3)·b 2=0 ∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0,∴k =4
1t (t 2
–3) (3)解 讨论方程
41t (t 2
–3)–k =0的解的情形, 能够看作曲线f (t )=41
t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数
因此f ′(t )=43(t 2–1)=4
3
(t +1)(t –1)
令f ′(t 12=1 的变化情形如下表 t (–∞,–1)
–1 (–1,1) 1 (1,+∞) f ′(t ) + 0 – 0 + f (t )
↗
极大值
↘
极小值
↗
当t =–1时,f (t )有极大值,f (t )极大值=
2; 当t =1时,f (t )有极小值,f (t )极小值=2
1
而f (t )=4
1
(t 2–3)t =0时,得t =–33
因此f (t )的图象大致如右
因此当k >
21或k <–2
1
时,直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点,那么方程有一解;
当k =
21或k =–2
1
时,直线与曲线有两个交点,那么方程有两解;当k =0,直线与曲线有三个交点,但k 、t 不同时为零,故现在也有两解;当–21 1 时,直线与曲 线有三个交点,那么方程有三个解 学生巩固练习 1 两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0,其中a ∈R ,当这两条直线的夹角在(0, 2 )内变动时,a 的取值范畴是( ) A 〔0,1〕 B 〔 3 3 ,3〕 C 〔 3 3 ,1〕∪〔1,3〕 D 〔1,3〕 f(t)=1 4 t(t 2-3) 1 -1 -12 12 y=k o y t 2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分不用S n 和T n 表示,假设 534+=n n T S n n ,那么n n n b a ∞→lim 的值为( ) A 34 B 1 C 36 D 9 4 3 某房间有4个人,那么至少有2人一辈子日是同一个月的概率是 〔列式表示〕 4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在〔0,1〕内有极小值,那么b 的取值范畴是 5 f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数〕 (1)当t =–1时,解不等式f (x )≤g (x ); (2)假如x ∈[0,1]时,f (x )≤g (x )恒成立,求参数t 的取值范畴 6 函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ,n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n },满足f (1)=n 2 〔1〕求数列{a n }的通项公式,并求1 lim +∞→n n n a a ; 〔2〕证明0<f ( 3 1 )<1 7 设A 、B 是双曲线x 2–2 2y =1上的两点,点N 〔1,2〕是线段AB 的中点 〔1〕求直线AB 的方程; 〔2〕假如线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆?什么缘故? 8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点,求a 的取值范畴 参考答案 1 解析 分析直线l 2的变化特点,化数为形,两直线不重合,因此咨询题应该有两个范畴即得解 答案 C 2 解析 化和的比为项的比 ∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2 )12(121 2112-=-=+-=--- ∴ 2 6485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案 A 3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人一辈子日各不相同的概率 答案 4412 12 A 1- 4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在〔0,1〕内与x 轴有两交点 只须f ′(0)<0且f ′(1)>0 答案 0 5 解 (1)原不等式等价于????? >->?? ???-≤+>->+0 542 1)12(10120122x x x x x x x 即 即??? ????≥≤>45 021x x x 或 ∴x ≥45 ∴原不等式的解集为{x |x ≥ 4 5 } (2)x ∈[0,1]时,f (x )≤g (x )恒成立 ∴x ∈[0,1]时??? ??+≤+>+>+2)2()1(020 1t x x t x x 恒成立 即?????++-≥->>+1 2201x x t x t x 恒成赶忙x ∈[0,1]时, t ≥–2x +1+x 恒成立, 因此转化为求–2x +x +1,x ∈[0,1]的最大值咨询题 令μ=1+x ,那么x =μ2–1,那么μ∈[1,2] ∴2x +1+x =–2(μ– 41)28 17 当μ=1即x =0时,–2x +1+x 有最大值1 ∴t 的取值范畴是t ≥1 6 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2, 由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1 故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *) ∴1121 2lim lim 1 =+-=∞→+∞→n n a a n n n n (2)证明 ∵f ( 31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 3 1 ① ∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ② ①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31 –(2n –1)·13 1+n ∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 3 1+ ∵n n n n n n +>+>+?+?+=+=1212C 2C 1)21(32 21 (n ∈N *) ∴0< n n 31+<1,∴0<1–n