解析几何基础100题
一、选择题：
1. 若双曲线22
221x y a b
-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为
A
0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043
X Y
±= 解 答：C
易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是
解 答：D
易错原因：短轴长误认为是b
3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是
A k>2
B -3 C k<-3或k>2 D 以上皆不对 解 答：D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑 2240D E F +-> 4．设双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点， 已知原点到直线L 的距离为 4 ，则双曲线的离心率为 A 2 B 2或 3 解答：D 易错原因：忽略条件0 a b >>对离心率范围的限制。 5．已知二面角β α- -l的平面角为θ，PAα ⊥，PBβ ⊥，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱l的距离为别为y x,，当θ变化时，点) , (y x的轨迹是下列图形中的 A B C D 解答： D 易错原因：只注意寻找,x y的关系式，而未考虑实际问题中,x y的范围。 6．若曲线y=(2) y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A 01 k ≤≤ B 3 4 k ≤≤ C 3 1 4 k -<≤ D10 k -<≤ 解答：C 易错原因：将曲线y=转化为224 x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。 7．P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR︱＋︱RQ︱最小，则m=（） A 21 B 0 C –1 D -3 4 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。 8．能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰好有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的一个值为（ ） A 2 B 5 C 3 D 35 正确答案： C 错因：学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。 9．P 1(x 1,y 1)是直线L ：f(x,y)=0上的点，P 2(x 2 ,y 2)是直线L 外一点，则方程f(x,y)+f(x 1,y 1)+f(x 2,y 2)=0所表示的直线（ ） A 相交但不垂直 B 垂直 C 平行 D 重合 正确答案： C 错因：学生对该直线的解析式看不懂。 10．已知圆()3-x 2+y 2=4 和 直线y=mx 的交点分别为P 、Q 两点，O 为坐标原点， 则︱OP ︱·︱OQ ︱=( ) A 1+m 2 B 2 15 m + C 5 D 10 正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱OP ︱·︱OQ ︱等于切线长的平方来解题。 11．在圆x 2+y 2=5x 内过点（2 5，2 3）有n 条弦的长度成等差数列， 最短弦长为数列首项a 1,最长弦长为a n ，若公差d ∈?? ? ??31 ,61，那么n 的 取值集合为（ ） A {}654、、 B {}9876、、、 C {}543、、 D {}6543、、、 正确答案：A 错因：学生对圆内过点的弦何时最长、最短不清楚，不能借助d 的范围来求n. 12．平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为（ ） A y 2 =2x B y 2 =2x 和 ? ??≤=00x y C y 2=4x D y 2=4x 和 ???≤=0 x y 正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。 13．设双曲线22a x －22b y ＝1与22b y －22 a x ＝1（a ＞0, b ＞0）的离心率分 别为e 1、e 2，则当a 、 b 变化时，e 21+e 22最小值是（ ） A 4 B 42 C 2 D 2 正确答案：A 错因：学生不能把e 21+e 22用a 、 b 的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。 14．双曲线92x －4 2 y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是 （ ） A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在 正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。 15．已知α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=5 1则方程x 2sin α－y 2cos α=1表示（ ） A 焦点在x 轴上的双曲线 B 焦点在y 轴上的双曲线 C 焦点在x 轴上的椭圆 D 焦点在y 轴上的椭圆 正确答案：D 错因：学生不能由sin α+cos α=5 1判断角α为钝角。 16．过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线交抛物线于M ﹑N 两点,则M ﹑N ﹑F 三点 A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律 正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 17．曲线xy=1的参数方程是( ) A x=t 2 1 B x=Sin α C x=cos α D x=tan α y=t 21- y=csc α y=See α y=cot α 正确答案：选D 错误原因：忽视了所选参数的范围，因而导致错误选项。 18．已知实数x ，y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是( ) A 、2 9 B 、4 C 、5 D 、2 正确答案：B 错误原因：忽视了条件中x 的取值范围而导致出错。 19．双曲线x 2 n －y 2=1(n>1)的焦点为F 1、F 2，，P 在双曲线上 ，且满足：｜ PF 1|+|PF 2|=2n+2 ，则ΔPF 1F 2的面积是（ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、1 2 正确答案： A 错因：不注意定义的应用。 20．过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案：C 错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立???+==1 42kx y x y ，得()x kx 412=+， 即：01)42(22=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A. 剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。 21．已知动点P （x ,y ）满足 ，则P 点的轨迹是 （ ） A 、直线 B 、抛物线 C 、双曲线 D 、椭圆 正确答案：A 错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0 | 1143|)2()1(52 2 -+=-+-y x y x 上。 22．在直角坐标系中，方程()() 02312=--+-+y x x y x 所表示的曲线为（ ） A ．一条直线和一个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条直线和半个圆 D ．一条线段和半个圆 正确答案：D 错因：忽视定义取值。 23．设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点， 则OA OB ? =（ ） A ．34 B ．34 - C ．3 D ．-3 正确答案：B 。 错因：向量数量积应用，运算易错。 24．直线134=+y x 与椭圆19 162 2=+y x 相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使PAB ?的面积等于12，这样的点P 共有（ ）个 A ．１ B ．２ C ．３ D ．４ 正确答案：B 错因：不会估算。 25．过点（1，2）总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是（ ） A 2k > B 32k -<< C 3k <-或2k > D 都不对 正确答案：D 26．已知实数x ，y 满足250x y ++= A ． ． 正确答案：A 27．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是 A ． [2,2]- B ． [0,2] C ． D ． [- 正确答案：D 28．设ｆ(x )= x 2+ax+b ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， 则点(a ，b )在aOb 平面上的区域的面积是( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．92 正确答案：B 29．当x 、y 满足约束条件0,, 20x y x x y k ≥??≤??++≤? （k 为常数）时，能使3z x y =+的最大值为12的k 的值为（ ） A ．－9 B ．9 C ．－12 D ．12 正确答案：A 30．已知关于t 的方程20t tx y ++=有两个绝对值都不大于1的实数根，则点(,)P x y 在坐标平面内所对应的区域的图形大致是 正确答案：A 31．能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为（ ） A B C D A ．2 Ｂ． C ．3 D ． 正确答案：C 32．抛物线y=4x 2的准线方程为（ ） A 、x=－1 B 、y=－1 C 、x=161 - D 、y=16 1- 答案：D 点评：误选B ，错因把方程当成标准方程。 33．对于抛物线C ：y 2=4x ，称满足y 02<4x 0的点M(x 0，y 0)在抛物线内部，若点M(x 0，y 0)在抛物线内部，则直线l ：y 0y=2(x+x 0)与曲线C （ ） A 、恰有一个公共点 B 、恰有两个公共点 C 、可能有一个公共点也可能有2个公共点 D 、无公共点 答案：D 点评：条件运用不当，易误选C 。 34．直线l 过点),1(),1,2(2m B A ，那么直线l 倾斜角α的取值范围是（ ）。 A. [0,π) B. [0,4 π] (2 π , π) C. [4 π ,π] D. [0,4 π] (2 π , π) 正解：B ),1(),1,2(2m B A 02>m ∴ 点A 与射线y x (1=≥0)上的点连线的倾斜角，选B 。 误解：选D ，对正切函数定义域掌握不清，故2 π =x 时，正切函数视为有意义。 35．设F1和F2为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，点在双曲线上且满 足 9021=∠PF F ，则21PF F ?的面积是（ ）。 A. 1 B. 2 5 C. 2 D. 5 正解：A 14 22 =-y x 5,2==C a 4||||||21=-∴PF PF 16||||||2||222121=+-?PF PF PF PF ① 又 9021=∠PF F ∴22221)52(||||=+PF PF ② 联立①②解得2||||21=∴PF PF ∴121=?PF F S 误解：未将4||||||21=-∴PF PF 两边平方，再与②联立，直接求出 ||||21PF PF 。 36．已知直线1l 和2l 夹角的平分线为x y =，若1l 的方程是 )0(0>=++ab c by ax ，则2l 的方程是（ ）。 A. 0=++c ay bx B. 0=+-c by ax C. 0=-+c ay bx D. 0=+-c ay bx 正解：A 法一：1l ：b c x b a y c by ax --=?=++0，而1l 与2l 关于直线x y =对称，则2l 所表示的函数是1l 所表示的函数的反函数。 由1l 的方程得0=++?--=c ay bx b c y b a x 选A 法二：找对称点（略） 误解：一般用找对称点法做，用这种方法有时同学不掌握或计算有误。 37．直线1+=kx y ，当k 变化时，直线被椭圆14 22 =+y x 截得的最大弦 长是（ ） A.4 B.2 C.3 3 4 D.不能确定 正解：C 直线1+=kx y ，恒过P(0,1)，又是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆的弦长即为点P 与椭圆上任意一点Q 的距离，设椭圆上任意一点Q )sin ,cos 2(θθ。 5sin 2sin 3)1(sin )cos 2(||2222+--=-+=∴θθθθPQ 316||31sin 2max =-=∴PQ 时，当θ 33 4 ||max =∴PQ ，故选C 误解：不能准确判断1+=kx y 的特征：过P(0,1)。若用标准方程求解，计算容易出错。 38．已知直线αsin :1x y l =和直线c x y l +=2:2，则直线1l 与2l （ ） 。 A. 通过平移可以重合 B. 不可能垂直 C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形 D. 通过1l 上某一点旋转可以重合 正解：D 。 只要 1 1 2sin --≠a ，那么两直线就相交，若相交则可得到（D ）。 误解：A ，忽视了αsin 的有界性，误认为1 1 2sin --=a 误解：B 、C ，忽视了αsin 的有界性。 39．已知R c b a ∈,,，且0,=++>>c b a c b a ，则下列判断正确的是（ ） A. 0,0,0<>>c b a B.0,0,0<=>c b a C.212-<< -a c D.221< c 正解：C 。 由c b a c b a --==++得0①，又b a b a -<-∴>② 由①②c a a -->c a ->2 得2->a c 同理由c b -<-得2 1- c 综上：2 12-<< -a c 误解：D ，不等式两边同乘－1时，不等号未变号。 40．一条光线从点M （5，3）射出，与x 轴的正方向成α角，遇x 轴后反射，若3tan =α，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. 123-=x y B.123--=x y C.123+=x y D .123+-=x y 正解：D 。 直线MN ；3120x y --=，∴与x 轴交点(4,0)N ，反射光线方程为123+-=x y M 误解：反射光线M N '的斜率计算错误，得13 或13 -。 41．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为)0,0(,>>±=b a x a b y ，若双曲线上有一点M （00,y x ），使||||00x b y a >，那双曲线的交点（ ）。 A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.当b a >时在x 轴上 D.当b a <时在y 轴上 正解：B 。 由00a y b x >得 00y b x a >，可设000,0x y >>，此时OM 的斜率大于渐近线的斜率，由图像的性质，可知焦点在y 轴上。所以选B 。 误解：设双曲线方程为22 22x y a b λ-=，化简得：222222b x a y a b λ-=， 代入00(,)x y ，22222222 000 b x a b a y b x λ-=>，0λ∴>，∴焦点在x 轴上。这个方法没错，但λ确定有误，应0λ<，∴焦点在y 轴上。 误解：选B ，没有分组。 42．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一条直线交抛物线于 ),(),,(2211y x B y x A ，则 2 12 1x x y y 为（ ） A .4 B.－4 C.2p D.2p - 正解：B 。 特例法：当直线垂直于x 轴时， 212212 (,),(,),4224 y y p p p A p B p p x x --==- 注意：先分别求出1212,x x y y 用推理的方法，既繁且容易出错。 43．过点A （a ，0）作椭圆1:22 221=+b y a x C 的弦，弦中点的轨迹仍是椭 圆，记为2C ,若1C 和2C 的离心率分别为e 和'e ，则e 和'e 的关系是（ ）。 A.e ＝'e B.e ＝2'e C.2e ＝'e D.不能确定 正解：A 。设弦AB 中点P （),y x ，则B （)2,2y x α- 由22 )2(αα-x +22 4b y =1，2 2)2(4a a x -+224b y =1*442 22b a c -=∴ 2 22 2a b a e -= ∴= a b a 22-'e e =∴ 误解：容易产生错解往往在*式中前一式分子不从括号里提取4，而导致错误。 44．直线),2 (,2tan ππ αα∈+?-=x y 的倾斜角是（ ）。 A. α B. 2 π α- C. α- D. απ- 正解：D 。由题意得：κ=)tan( tan απα-=- )2 ,0(),2(π απππα∈-∴∈ ∴ 在[0，π]内正切值为κ的角唯一 ∴ 倾斜角为απ- 误解:倾斜角与题中显示的角α混为一谈。 45．过点（1，3）作直线l ，若l 经过点)0,(a 和),0(b ，且*,N b a ∈，则可作出的l 的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 多于3 错解: D ． 错因：忽视条件*,N b a ∈,认为过一点可以作无数条直线. 正解: B ． 46．已知直线062:1=++y ax l 与01)1(:22=-+-+a y a x l 平行，则实数a 的取值是 A ．－1或2 B ．0或1 C ．－1 D ．2 错解：A 错因：只考虑斜率相等，忽视21b b ≠ 正解：C 47．若圆222)5()3(r y x =++-上有且仅有两个点到直线0234=--y x 的距离为1，则半径r 的取值范围是（ ）． A ．（4，6） B ．[4，)6 C ．（4，]6 D ．[4，6] 错解: B 或 C 错因：:数形结合时考虑不全面,忽视极限情况,当r =4时,只有一点,当 r =6时,有三点. 正解: A 48．半径不等的两定圆12O O 、无公共点，动圆O 与12O O 、都内切，则圆心O 是轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 双曲线的一支或椭圆 D. 抛物线或椭圆 错解: A 或 B 错因：两定圆12O O 、无公共点，它们的位置关系应是外离或内含,只考虑一种而错选. 正解: C. 49．与圆3)5(22=++y x 相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ ） A 、2条 B 、3条 C 、4条 D 、6条 答案：C 错解：A 错因：忽略过原点的圆C 的两条切线 50．若双曲线122=-y x 的右支上一点P （a,b ）直线y=x 的距离为2，则a+b 的值是（ ） A 、2 1- B 、2 1 C 、2 1± D 、2± 答案：B 错解：C 错因：没有挖掘出隐含条件b a > 51．双曲线14 92 2=-y x 中，被点P （2，1）平分的弦所在的直线方程为 （ ） A 、798=-y x B 、2598=+y x C 、694=-y x D 、不存在 答案：D 错解：A 错因：没有检验出798=-y x 与双曲线无交点。 52．已知圆 (x-3)2+y 2=4和直线y=mx 的交点分别为P ，Q 两点，O 为坐标原点，则OQ OP ?的值为 （ ） A 、1+m 2 B 、2 15 m + C 、5 D 、10 正确答案：（C ） 错误原因：遗忘了初中平几中的相关知识 53．能够使得圆x 2+y 2-2x+4y=0上恰有两个点到直线2x+y+C=0的距离等于1的C 的一个值为（ ） A 、2 B 、5 C 、3 D 、35 正确答案：C 错误原因：不会结合图形得出已知条件的可行性条件。 54．设f(x)=x 2+ax+b, 且,4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f 则点(a,b)在aob 平面上的区域的面积是 ( ) A 、2 1 B 、1 C 、 2 D 、2 9 正确答案：（B ） 错误原因：未能得出准确平面区域 55．设P 为双曲线19 162 2=-y x 右支异于顶点的任一点，F 1，F 2为两个焦 点，则△PF 1F 2的内心M 的轨迹方程是 （ ） A 、x=4, (y ≠0) B 、x=3 ,(y ≠0) C 、x=5 ,(y ≠0) D 、x=5 16 , (y ≠0) 正确答案：(A) 错误原因：未能恰当地运用双曲线的定义解题。 56．过函数y=- 2 9 4--x x 的图象的对称中心，且和抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的直线的条数共有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、不存在 正确答案：（B ） 错误原因 ：解本题时极易忽视中心（2，4）在抛物线上，切线只有1条，又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。 57. 已知椭圆 C ：22 2 20)1(x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为 A 1，A 2，且 以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ． B ． C ．3 D ．13 正确答案：(A) 58. 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 正确答案：(A) 二填空题： 59．若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________. 解答： (-3, 0) 易错原因：找不到确当的解答方法。本题最好用数形结合法。 60．双曲线上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到点 ()的距离_______。 错解 设双曲线的两个焦点分别为,, 由双曲线定义知 所以或 剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1, 所以不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P 的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P 只能在右支上，所求 61．直线xcosx+y —1=0的倾斜角θ的取值范围为__________。 正确答案：[0，4 π ]∪[ 4 3π ，π] 错误原因：由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误；或忽视直线倾角的定义范围而得出其它错误答案。 62．已知直线l 1：x+y —2=0 l 2：7x —y+4=0 则l 1与l 2夹角的平分线方程为______。 正确答案：6x+2y —3=0 错语原因：忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。 63．过点(3，—3)且与圆(x —1)2+y 2=4相切的直线方程是：___________。 正确答案：5x+12y+21=0或x=3 错误原因：遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。 19 162 2=-y x 0,5-)0,5(1-F )0,5(2F 8||||||21=-PF PF 5.16||1=PF 5.0||1=PF 5.0||1=PF 5.16||1=PF 64．已知双曲线的右准线为x=4，右焦点F(10，0)离心率e=2，则双曲线方程为______。 正确答案：148 16)2(2 2=--y x 错误原因：误认为双曲线中心在原点，因此求出双曲线的标准方程而出现错误。 65．过点(0，2)与抛物线y 2=8x 只有一个共点的直线有______条。 正确答案：3 错误原因：认为与抛物线只有一个共点的直线只能与抛物线相切而出错。 66．双曲线142 2=+k y x 的离心率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是 ________。 正确答案：(—12，0) 错误原因：混淆了双曲线和椭圆的标准方程。 67．已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线12 22=-b y a x 上一点，PF 1⊥PF 2 且tan ∠PF 1F 2=2 1 ，则此双曲线的离心率为_______________。 正确答案：5 错误原因：忽视双曲线定义的应用。 68．过点M(—1，0)的直线l 1与抛物线y 2=4x 交于P 1，P 2两点，记线段P 1P 2的中点为P ，过P 和这个抛物线的焦点F 的直线为l 2，l 1的斜率为K ，试把直线l 2的斜率与直线l 1的斜率之比表示为k 的函数，其解析式为________，此函数定义域为________。 解析几何题库 一、选择题 1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为 A.2 2(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.2 2(1) (1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++= 【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B 2.直线 1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+= 的距离2d = = ，而012 < <，选B 。 【答案】B 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．2 2(2)1x y +-= B ．2 2(2)1x y ++= C ．2 2(1) (3)1x y -+-= D ．2 2(3)1x y +-= 解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。 解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为2 2(2)1x y +-= 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。 【答案】A 4.点P （4，－2）与圆2 24x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A.2 2(2)(1)1x y -++= B.2 2(2) (1)4x y -++= C.2 2(4) (2)4x y ++-= D.2 2(2) (1)1x y ++-= 【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），解得：? ??+=-=224 2y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2 ＋（2y ＋2）2 ＝4，整理，得：2 2(2) (1)1x y -++= 【答案】A 5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。 1．12F F 、是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ?的最大值是 ． 2．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2 =3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________； 以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +3 2 y =1的公共点有_______个. 3.P 是抛物线y 2=x 上的动点，Q 是圆(x-3)2+y 2 =1的动点，则｜PQ ｜的最小值为 . 4．若圆0122 2 2 =-+-+a ax y x 与抛物线x y 2 1 2 = 有两个公共点。则实数a 的围为 . 5．若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值围 是 . 6．圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________. 7．经过两圆（x+3）2 +y 2 =13和x+2 （y+3）2 =37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程为____________ 8.双曲线x 2 －y 2 ＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化围是___________. 9．已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是___________. 10．设P 1（2，2）、P 2（－2，－2），M 是双曲线y = x 1 上位于第一象限的点，对于命题①|MP 2|－|MP 1|=22；②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2 +y 2 =2相切；③存在常数b ，使得M 到直线y = －x +b 的距离等于 2 2 |MP 1|.其中所有正确命题的序号是____________. 11．到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.AB 所在直线 C.线段AB D.无轨迹 12．若点（x ，y ）在椭圆4x 2 +y 2 =4上，则2-x y 的最小值为（ ） A.1 B.－1 C.－ 3 23 D.以上都不对 13已知F 1（－3，0）、F 2（3，0）是椭圆m x 2+n y 2＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当∠F 1PF 2＝ 3 π 2时，△F 1PF 2的面积最大，则有（ ） A.m =12，n =3 B.m =24，n =6 C.m =6，n = 2 3 D.m =12，n =6 14.P 为双曲线C 上一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( ) 12. A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 三、解答题 15．（满分10分）如下图，过抛物线y 2 =2px （p ＞0）上一定点P （x 0，y 0） 第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴ 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 ++=OL +OM +ON . [证明] +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +), OM ＝2 1 (OB +), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5 解析几何初步测试题及答案详解 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列叙述中不正确的是( ) A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B ．每一条直线都有唯一对应的倾斜角 C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90° D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α 2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为( ) A ．－3 B ．－6 C ．－32 D ．2 3 3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( ) 4．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9 5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．4x －3y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 6．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．4 B ．13 C ．15 D ．17 7．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( ) A ．－4 B ．20 C ．0 D ．24 8．圆(x ＋2)2＋y 2 ＝5关于y 轴对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2 ＝5 B ．x 2＋(y －2)2 ＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2 ＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2 ＝5 9．以点P (2，－3)为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －3)2 ＝4 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2 ＝9 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2 ＝4 D ．(x －2)2＋(y ＋3)2 ＝9 三、解答题 26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交 椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k (1)当直线PA平分线段MN求k的值； (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0，求证：PA! PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点,所以 (2)直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ( 3)解法一： 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得. 于是直线PB的斜率 因此 解法二：设. 设直线PB, AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而 因此 28. (北京理19) 已知椭圆?过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A, B两点. (I )求椭圆G的焦点坐标和离心率； (II )将表示为m的函数，并求的最大值? (19)(共14 分) 解：(I)由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 (n)由题意知，? 当时,切线l 的方程,点A、 B 的坐标分别为 此时 当m=－ 1 时，同理可得当时，设切线l 的方程为由 设A、B 两点的坐标分别为，则 又由l 与圆 所以 由于当时， 所以. 因为且当时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2. 32. (湖南理21) 如图7椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。 (I)求C1, C2的方程； (H)设C2与y轴的焦点为M过坐标原点o的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1 相交与 D,E． (i )证明：MDL ME; (ii )记厶MAB,A MDE勺面积分别是.问：是否存在直线I,使得？请说明理由。 解：(I)由题意知 故C1, C2的方程分别为 (H) (i )由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线I的方程为. 由得 设是上述方程的两个实根,于是 又点M的坐标为(0,—1),所以 故MAL MB 即MDL ME. (ii )设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为，同理可得点 B 的坐标为于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是. 因此 由题意知， 又由点A、 B 的坐标可知，故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为 34. (全国大纲理21) 已知0为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B 两点，点P 满足 (I)证明：点P在C上； (n)设点P关于点O的对称点为Q证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题，每题5分,共60分) １．已知直线l 过（１,2),（１，3),则直线l 的斜率（) A. 等于0 B ． 等于1 C ． 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是( ） Ａ．1 B ．-1 C ．０ D.７ 3. 已知A （x 1，y 1)、Ｂ（ｘ2,y 2）两点的连线平行y 轴,则｜ＡB ｜=（ ) Ａ、｜x 1－x 2|B 、|y 1-y 2|Ｃ、 x 2-ｘ1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限Ｂ.第一象限 Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3,９）、（-1，1）的直线在ｘ轴上的截距为（) A.23- B ．32- C ．32 D ．２ 6.直线2x －y=７与直线３ｘ+2ｙ-7＝0的交点是（ ） A (3,-１) B (－１，3) C (-3，-1) D (３,１) 7．满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是（ ） (1)1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，; （２)1l 经过点(33)P ，,(53)Q -，,2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点; (３)1l 经过点(10)M -，，(52)N --，,2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． A.(1)（2)B ．(２)(３) Ｃ.(1)(3)D.(１）(２）（3) ８．已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) Ａ 2 B －２ Ｃ．21 D ．2 1- ９. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =-解析几何试题库完整
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