§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。装。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。订。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。线。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 济宁学院继续教育学院《微分几何》考试试卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 1、 曲面上的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 . 2、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络面是 . 3、N M L ,,是曲面的第二类基本量，则02=-M LN 的点是曲面上的 . 4、球面{}θ?θ?θsin ,sin cos ,cos cos R R R r =→ 的第二基本形式为 . 5、圆柱螺线{}bt t a t a r ,sin ,cos =→ 的自然参数表示式为 . 二、选择题（每小题2分，共20分） 6、下列属于曲面内蕴量的是 （ ） A 、主方向 B 、共轭方向 C 、高斯曲率 D 、渐近方向 7、空间曲线在一点的密切平面上的投影近似于 （ ） A 、直线 B 、半立方抛物线 C 、立方抛物线 D 、抛物线 8、空间曲面在抛物点邻近的形状近似于 （ ） A 、双曲抛物面 B 、立方抛物线 C 、椭圆抛物面 D 、圆锥面 9、曲线()r r t =r r 在点()P t 处的挠率 （ ） A 、可正可负 B 、一定为负 C 、不可为负 D 、 一定为正 10、下列概念中,能刻画曲面上一点在某一方向上的弯曲性的是 （ ） A 、高斯曲率 B 、曲率 C 、挠率 D 、法曲率 11、曲面在一点处的高斯曲率a K =,平均曲率)(2a b b H ≥=,则曲面在该点处的主曲率为 ( ) A 、a b b -+2 B 、a b b --2 C 、a b b -+2, a b b --2 D 、无法知道 12、下列不是曲面的第一类基本量的是 （ ） A 、u u r r E →→?= B 、v u r r F →→?= C 、v v r r F →→?= D 、uv r n M → →?= 13、曲面(,)r r u v =r r 的曲纹坐标网的微分方程是 （ ） A 、0du dv -= B 、0du dv += C 、0dudv = D 、220du dv -= 14、单位向量函数)(t r → 关于t 的旋转速度等于 （ ） A 、)(t r →' B 、)(t r →' C 、)(t r → D 、)(t r → 15、过2C 类空间曲线上一点最贴近曲线的平面是 （ ） A 、切平面 B 、从切平面 C 、密切平面 D 、法面 三、计算题（每小题10分，共20分）
微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方 向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
1、等距变换一定是保角变换 （×） 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√） 3、二阶微分方程 22 A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （×） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×） 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量 （√） 6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( × ) 8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( √ ) 9、LN-M 2不是内蕴量。 ( × ) 10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( √ ) 11、曲线→ r =→ r (s)为一般螺线的充要条件为(r &&ρ,r &&&ρ,....r ρ)=0 （√） 12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。（√） 13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。（×） 14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。（× ） 15、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。（√ ） 16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。( × ) 17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ( √ ) 18、球面曲线的主法线必过球心 （×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 20、曲面上的渐进网一定存在. （×） 21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 ( √ ) 22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。 ( × ) 23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 24、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 ( × ) 26、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 28、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( ╳ )
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因 为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固 定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，' 'r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、
§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只 有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条
微分几何复 习题 一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是 。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足 的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量 为 。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为 。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量 为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方 程是 。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量 是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方 程是 。 11. 一曲线的副 法向量是常 向量，则这曲线的 挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点 处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线 方程是 。 14. 曲线的主法 向量的正向 总是指向 。 15. 空间曲线为 一般螺线的 充要条件是 它的副法向 量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是 正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是 。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是 。 19. 一般螺线的 曲率和挠率 的关系是 。 20. 曲率为0的 曲线是 , 挠率为0的 曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为 。
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满 足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。 习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 习题一（P13） 2.设()a t 是向量值函数，证明： （1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。 （1）证明：a =常数?2 a =常数?(),()a t a t <>=常数 ?(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>= ?2(),()0a t a t '<>=?(),()0a t a t '<>=。 （2）注意到：()0a t ≠，所以 ()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量。 若单位向量() ()() a t e t a t = =常向量，则()0()()0e t e t e t ''=?∧=。 反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。 由()e t 为单位向量?(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=?<>=?()()e t e t '⊥。 从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '? '?=?=?'⊥? 常向量。 所以，()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量 ?()()1 ()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ??''∧=?∧+= ? ??? ( )()2111()()()()()0()() () d a t a t a t a t dt a t a t a t '? ∧+∧= ()()0a t a t '?∧=。即 ()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。 补充： ( )2 211 22222222221212u u 2222221u u 1.I I du sinh udv ,u=v u=v I du sinh udu =+sinh u du =cos h udu ,u=v A(u ),B(u )u 求曲率和挠率.（1）题1=解:求，，，，，，，，，/()（2）题2 ={}{ }{ }1212223123322112212222 ).r ),r r (1+t ),r 6a 0,6a ,(r r r )=216a k 1/[3a(1+t )],=k;(3).r a cos ,asin ,b k,;,,.r r r absin ,ab cos ,a ,r r k a /(a b ), =b /(a τθθθταβγθθτ?=?==-?=?=?=-?=?=++解：...，，，题3求圆柱螺线=的解：...{ }{ }{}1 2 1 1 12121 112121112b );=r /r -asin ,a cos ,b ,=(r r )/r r bsin ,b cos ,a =[(r r )r -(r r )r ]/[r r r ]cos ,-sin ,0. αθθγαβ θθβθθ=??=?=-????=-切向量, 主法u 222u u u uu u u uu u 3.(1) 1.r {(u)cos ,(u)sin ,(u)},(u)0,r ,r E=r r ='+',F=r r =0,G=r r r ,r ,r n [r r ]/L=n r =-[''''M=n r 0,N=n r [']/θθθθθθθθθθθ?θ?θψ??ψ??ψ?ψ?ψ =>?? ??== ?=? ?-?=?=题求的高斯曲率和平均曲率.解：求求23/2121222212xOz x=(z)z (u)u L=-M 0,N=F=M 0k L/E ''/[(1')],k N/G 1/[k k k -''/[(1')];H k +k '''(?ψ???????????==? ====-+==?==+-取平面上最初的曲线为得因为，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为高斯曲率平均曲率为=[1/2]()=[1+]/[223/222N T N N N N 222222*********')(2).r ucosv usinv bv k ,K,H.E=1,F=0,G=u +b ;L=0,L k E,M k F;M k F,N k G]0K b /[u +b ],K b /[u +b ];K K K b /[(u +b )],H [1/2](K +K )0..?+----=== -==- ==]. 题2 求正螺面={,,}的解:由题意得代入主曲率公式[解得（3）题3确定抛222200000T N N 12z a x +y .p ax q ay,r a,s 0,t a p q ,r a,s 0,t a E=1+p =1,F=pq=0,G=1+q 1,L=r /a M=s /N=t /a a-k ,0;0,a-k ]0K K ======?=====物面=()在（0,0）的主曲率解:由题意得=2,=222在(0,0)处=0,=022；2，，2代入主曲率公式得[22解得2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率” 4.k 0k r 0,r =0r =a(),r a b,b =0r =0,r =a()s ττγαγγγ?? ?? ? ? ≡≡=≡+≡???证明的曲线是直线;0的曲线是平面曲线.证：已知因而，由此得到常向量再积分=其中也是常向量，即得证;若0,则是固定向量,但是我们已知，因而有积分后得常数，所以曲线在一个平面上。 微分几何答案 第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解 = ，= 任意点的切平面方程为 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。 ３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。 微分几何第四版习题 答案梅向明 Revised on November 25, 2020 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv }=｛0,0，bv ｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ? r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ， ?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线， § 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲 线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s == 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=r r r 138i j k -+r r r ． 2．设f ()(sin )i j t t t =+r r r ，2g()(1)i j t t t e =++r r ，求0 lim(()())t f t g t →?=r r 0 ． 3．已知{}4 2r()d =1,2,3t t -?r ， {}64 r()d =2,1,2t t -?r ，{}2,1,1a =r ，{}1,1,0b =-r ，则4622()()a r t dt+b a r t dt=?????r r r r r {}3,9,5-. 4．已知()r t a '=r r （a r 为常向量），则()r t =r ta c +r r ． 5．已知()r t ta '=r r ，（a r 为常向量），则()r t =r 212 t a c +r r ． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =r r 在t = 2处有3αβ=v v &，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠r r r ，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++r r r ，()(sin )(cos )g t t i t j =-r r r ，0t >，则 4 ()d f g dt dt ?=?r r 4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =r 在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =r 在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. > 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．12-13(二)微分几何期末复习题
微分几何 陈维桓 习题答案
微分几何彭家贵课后题答案
第四版微分几何期末复习总结
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微分几何第四版习题答案梅向明
(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.
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