浙江理工大学
信息电子学院
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摘要
众所周知，信号处理现如今已经成为当代科学技术活动中不可缺少的一部分，而小波分析的应用可以归结为信号处理问题。对信号进行去噪是信号处理中的一个很重要的环节。图像是一种重要的信息源，通过图像处理可以帮助人们了解信息的内涵。数字图像去噪涉及光学系统、微电子技术、计算机科学、数学分析等领域，是一门综合性很强的边缘科学，如今其理论体系已十分完善，且其实践应用很广泛：在医学、军事、艺术、农业等都有广泛且成熟的应用。小波分析技术比传统的去噪方法有明显的优势，并且受到越来越多的学者的关注。
本文将研究对叠加了高斯噪声的图像的去噪方法，主要针对高斯噪声来研究小波阈值去噪的方法。主要流程为：对图像预处理后，选取合适的层次采用小波分解，然后对不同分量采用不同处理方法（保留原图大部分信息的低频分量不作处理，包括边缘细节和噪声等高频信息的高频水平方向分量、高频垂直方向分量和高频对角线方向分量选取不同的阈值处理），再对处理后分量进行小波重建，最后对重建后图像作一定分析即可。分析使用不同去噪方法的图象的去噪效果，选择合适方法使处理后图像有较好效果，能够达到一些指标，比如：实现读取一512*512图像，加以均值为0标准差为30的高斯噪声，去噪，分析去噪前后峰值信噪比，最终使峰值信噪比指标提高。并进一步研究小波变换在图像压缩中的应用，并研究了几种小波图像压缩的基本算法。
关键词：小波变换；高斯噪声；阈值去噪；图象压缩；MATLAB
Abstract
As everyone knows, the signal processing is now has become the contemporary science and technology activities as part of an indispensable, and in the wavelet analysis in many applications, can be attributed to the issue of signal processing. On the received signal de-noising signal processing is a very important aspect.Image is one kind of important information source, may help People through the imagery processing to understand the information the connotation. The digital image de-noise involves domains and so on optical system, microelectronic technology, computer science，mathematical analysis, it’s a very comprehensive interdisciplinary science, now its practice application is very widespread: In the medicine, the military, art, the agriculture and all have very extensive and ripe using so on.
This article will discuss the digital image Gauss denoising method, mainly will aim at the Gauss noise research wavelet threshold value denoising method. The main flow is: After the image pretreatment, selects the appropriate level to use the wavelet decomposition, then uses the different processing method to the different component (retention original map majority of information low frequency component not to make processing, including edge detail and noise and so on high frequency information high frequency horizontal direction component, high frequency vertical direction component and high frequency diagonal line direction component selection different threshold value processing), after processes the component to carry on the wavelet reconstruction in, finally after reconstructs the image to make certain analysis then. Analyzes the different denoising method the image denoising effect, after the choice appropriate method enable processing the image to have the good effect, can achieve some targets, for example: The realization reads 512 *512 images, performs the average value is 0 standard deviations is 10 Gauss noises, the denoising, around the analysis denoising the PSNR, finally makes the PSNR target to enhance 4-5db. And further research of wavelet transform in image compression application, and to study several of the basic wavelet image compression algorithm.
Key words: Wavelet transformation; Gaussian noise;Threshold; MATLAB；Image Compression
目录
摘要
Abstract
第一章绪论 (1)
1.1 小波图像去噪和压缩概述 (1)
1.1.1去噪 (1)
1.1.2压缩 (2)
1.2 计算机处理软件 (2)
1.3 论文简述 (3)
第二章图像信号处理 (4)
2.1图像与噪声 (4)
2.1.1图像与数字图像 (4)
2.1.2 声与图像处理 (5)
2.2 图像质量评价方法 (5)
第三章小波变换理论 (7)
3.1小波理论的发展背景 (7)
3.2小波变换的基本概念 (8)
3.2.1连续小波变换 (8)
3.2.2 离散小波变换 (10)
3.3数字图像的二维小波变换 (11)
第四章基于小波变换的图像去噪技术 (13)
4.1 小波去噪发展背景 (13)
4.2 小波去噪方法 (14)
第五章基于小波变换的图像压缩技术 (16)
5.1 二维图像的小波变换的分解与重构 (16)
5.2 图像的量化编码——基于小波变换的编码技术 (16)
5.3小波系数的零数编码 (17)
5.4自适应算术编码 (17)
第六章MATLAB小波去噪仿真 (19)
6.1 小波去噪的基本原理 (19)
6.2 MATLAB实践结果 (20)
第七章总结与展望 (32)
总结： (32)
展望： (32)
参考文献 (33)
致谢 (35)
第一章绪论
1.1 小波图像去噪和压缩概述
1.1.1去噪
图像在生成和传输过程中常常因受到各种噪声的干扰和影响而使图像降质[1]，这对后续图像的处理(如分割、压缩和图像理解等)将产生不利影响，噪声种类很多，如：电噪声、机械噪声、信道噪声和其他噪声。在图像处理中，图像去噪[2]是一个永恒的主题，为了抑制噪声，改善图像质量，便于更高层次的处理，必须对图像进行去噪预处理。
计算机图像处理[3]主要采取两大类方法：一是在空间域中的处理，即在图像空间中对图像进行各种处理；另一类是把空间域中的图像经过正交变换到频域，在频域里进行各种处理然后反变换到空间域，形成处理后的图像。人们也根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，发展了各式各样的去噪方法[4]。其中最为直观的方法是根据噪声能量一般集中于高频，而图像频谱则分布于一个有限区间的这一特点，采用低通滤波方式来进行去噪的方法，对图像进行平滑处理的方法和一些其他经典方法，属于第一类图像处理方法。还有就是在频域进行处理，如：傅立叶变换、小波基变换[5]。
近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备良好的时频特性，实际应用也非常广泛。其中图像的小波阈值去噪方法可以说是众多图像去噪方法的佼佼者。基本思想就是利用图像小波分解后，各个子带图像的不同特性选取不同的阈值，从而达到较好的去噪目的。而且，小波变换本身是一种线形变换，而国内外的研究大多集中在如何选取一个合适的全局阈值，通过将低于该阈值的小波系数处理同时保持其余小波系数值不变的方法来降噪，因而大多数方法对于类似于高斯噪声的效果较好，但对于混有脉冲噪声的混合噪声的情形处理效果并不理想。线形运算往往还会造成边缘模糊，小波分析技术正因其独特的时频局部化特性在图像信号和噪声信号的区分以及有效去除噪声并保留有用信息等方面较之传统的去噪具有明显的优势，且在去噪的同时实现了图像一定程度的压缩和边缘特征的提取。所以小波去噪具有无可比拟
的优越性。小波去噪主要优点有[6]：
1、低熵性，小波系数的稀疏分布，使得图象变换后的熵降低；
2、多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等；
3、去相关性，因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；
4、选基灵活性，由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同应用场合、不同的研究对象，可以选用不同的小波母函数，以获得最佳的效果。
1.1.2压缩
在分布式虚拟环境中，随着应用的日益广泛和系统结构的日渐复杂，将有大量的图像、语音等多媒体的数据需要在网络上传输。在带宽资源有限的情况下传输这些多媒体数据时，需要对这些数据进行有效的压缩和解压，以达到快速传输的效果。对高频分量用逐渐精细的时域或空域步长，可以聚焦到分析对象的任意细节，对于剧烈变换的边缘，比常规的傅立叶变换具有更好的适应性。由于小波变换的优良特性与Mallat 算法[7]的简便易行，使得小波变换图像编码压缩成为图像压缩领域的一个主要研究方向。
图像是人们传递信息的重要媒介，而数据量大又是数字图像的一个显著特点，因此图像压缩对于信息快速增长的今天来说显得尤为重要。小波变换是80 年代末发展起来的新兴信号处理工具，图像的小波分解非常适合于图像数据的压缩，而且已被JPEG2000图像压缩标准采用。因此研究基于小波变换的图像压缩算法具有重要意义。
1.2 计算机处理软件
随着计算机的广泛使用，应用软件也越来越多。其中，MATLAB[8]和C是当前众所周知流行的、功能强大的科技应用软件和编程语言。具个人了解C应用更为广泛，但MATLAB比C在一些方面更接近专业，比如信号处理方面。MATLAB是一种基于向量而不是标量的高级程序语言，因而从本质上就提供了对图像的支持。数字图像实质上就是一组有序的离散数据，使用MATLAB较标量语言而言，本身就非常有优势。且MATLAB 有大量信号处理函数，在图像去噪方面也是，MATLAB有图像处理工具箱。而对本课题
而言，MATLAB有小波处理工具箱，这使本课题的软件仿真更加方便。所以本文选取MATLAB作计算机仿真软件，版本7.1。
1.3 论文简述
本课题要求在掌握数字信号处理、数字图像信号处理的基础上，了解掌握小波理论相关知识后，整理思路，基于MATLAB语言设计程序以实现读取任意512*512图像、加0均值标准差为10的高斯噪声、去噪、呈现过程中各图像并测出各图峰值信噪比这一系列功能。调试常用数字图像去噪方法，并对比去噪后图像视觉效果和峰值信噪比。最后选最优方法，改进程序达到PNSR值提高最大。
综上所述，本文将主要研究选取小波变换图像去噪和压缩的方法进行理论分析，并对图像去噪设计程序，最终用MATLAB软件仿真，比较测试结果并加以分析。论文第二章介绍数字图像信号处理的相关知识；第三章讲述小波变换理论的课题必须内容；然后第四章重点研究小波去噪技术；第五章讲小波变换技术在图像压缩方面的应用。第六章是MATLAB对晓波预阈值去噪的仿真过程。第七章为总结与展望，对此课题作总结并阐述课题研究中的问题与感想。
第二章 图像信号处理
2.1图像与噪声
图像就是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用于人眼而产生视知觉的实体[9]。科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约有75%来自于视觉系统，也就是说人类的大部分信息都是从图像中获得的。图像是人们从出生以来体验到的最重要、最丰富、信息量获取最大的部分。
2.1.1图像与数字图像
图像能够以各种各样的形式出现，例如，可视的和不可视的，抽象的和实际的，适于计算机处理的和不适于计算机处理的。就其本质来说，可以将图像分为两大类[10]：
一类是模拟图像，包括光学图像、照相图像、电视图像等，例如，在生物医学研究中人们在显微镜下看到的图像就是一幅光学模拟图像，照片、用线条画的绘画也都是模拟图像。模拟图像的处理速度快，但精度和灵活性差，不易查找和判断。
另一类是将连续的模拟图像经过离散化处理后变成计算机能够辨识的点阵图像，称为数字图像。严格的数字图像是一个经过等距离矩形网格采样，对幅度进行等间隔量化的二维函数，因此，数字图像实际上就是被量化的二维采样数组。图像的采样原理：模拟图像若在x 方向采M 个点，y 方向采N 个点，就可以得到M*N 个点的数字化图像的形式。采样是图像进入计算机的第一个处理过程。二维图像用二维冲击函数来采样，采样函数：
(,)(,)m n s x y x m x y n y +∞+∞=-∞=-∞=δ-?-?∑
∑ (2-1) 是沿x 方向间隔为x D ，沿y 方向间隔为y D ，地函数阵列，形成以x D ，y D 为间
距的矩阵形采样网格。 本文中涉及到的图像处理都是指数字图像的处理[11]。与模拟图像相比，数字图像具有显著优点：精度高、处理方便、重复性好。
2.1.2 含噪图像处理
噪声对图像信号幅度和相位的影响十分复杂，有些噪声和图像信号相互独立不相关，有些是相关的，噪声本身之间也可能相关。一般噪声是不可预测得随机信号，只能用概率统计的方法去认识。噪声对图像处理十分重要，它影响图像处理的输入、采集、处理得各个环节以及输出结果的全过程。因此要减少图像中的噪声，必须针对具体情况采用不同方法，否责很难获得满意的处理效果[12]。噪声产生的原因有很多种,但是在信号处理中它们可以分为两大类：加性噪声和乘性噪声。而噪声模型主要有高斯噪声、脉冲噪声（包括椒盐噪声）。
课题研究的为独立零均值的高斯白噪声，其加性噪声模型为：
g j k f j k e j k
(,)(,),
=+σ? (2-2)
σ()
其中，f(j,k)为未被污染的原图像，e
σ(j,k)是独立零均值高斯白噪声，标准差为σ，即噪声分布为0均值、标准差为σ的高斯曲线。
图像处理就是将图像转换为一个数字矩阵存放在计算机中，并采用一定的方法对其进行处理。图像处理的基础是数学，最主要的任务就是各种算法的涉及和实现。目前的图像处理技术已经在许多不同的应用领域中得到重视，并取得了巨大的成就。根据应用领域的不同要求，可以将图像处理技术划分为许多分支，其中比较重要的分支有[13]：图像数字化、图像的增强与复原、图像编码、图像分割与特征提取、图像分析和图像隐藏。课题所研究的图像去噪属于第二块—图像增强与复原。
2.2 图像质量评价方法
图像质量评价的研究是图像信息学科的基础研究之一。对图像处理或图像通信系统，其信息的主体是图像，衡量这个系统的重要指标，就是图像的质量。例如图像复原，则用于补偿图像的降质，使复原后的图像尽可能接近原始图像质量。所有这些，都要求有一个合理的图像质量评价方法。
图像质量的含义包括两方面[14]：一个是图像的逼真度。即被评价图像与原标准图像的偏离程度；另一个是图像的可值度，是指图像能向人或机器提供信息的能力。尽管最理想的情况是能够找出图像逼真度和图像可懂度的定量描述方法，以作为评价图像和设计图像系统的依据。但是，由于目前对人的视觉系统性质还没有充分理解，对
人的心理因素还找不到定量分析的方法。因而用得较多、最具权威的还是主观评价方法。
图像的主观评价就是通过人来观察图像，对图像的优劣作主观评定，然后对评分进行统计平均，就得出评价的结果。这时评价出的图像质量与观察者的特性及观察条件等因素有关。为保证主观评价在统计上有意义，选择观察者时既要考虑有未受过训练的“外行”观察者，又要考虑有对图像技术有一定经验的“内行”观察者。另外，参加评分的观察者至少要有20名，测试条件应尽可能与使用条件相匹配。
尽管主观质量的评价是取权威的方式，但是在一些研究场合，或者由于实验条件的限制，也希望对图像质量有一个定量的客观描述。图像质量的客观评价由于着眼点不同而有多种方法，这里介绍的是一种经常使用的所谓的逼真度测量。对于彩色图像逼真度的定量表示是一个十分复杂的问题。目前应用得较多的是对黑白图像逼真度的定量表示。合理的测量方法应和主观实验结果一致，而且要求简单易行。
在课题中，对于数字图像，设f(j,k)为原图像各点像素值，f n (j,k)为处理后图
像各点像素值，逼真度可定义为常用的均方根误差值MSE [15]： 2((,)(,))
fn j k f j k MSE M N -=?∑∑ (2-3)
其中，M 、N 为图像尺寸。
本文采用的为图像处理中常用的峰值信噪比PNSR [16]:
102
10log PNSR = (2-4) 需要说明的一点是，对数字图像的评价方法仍然是一个有待进一步研究的课题。在定量的逼真度描述和主观评价之间并没有取得真正一致性，除非对于已经达到一定显示精度的图像，抽样比特、显示帧频等。
第三章小波变换理论
上个世纪80年代初，Morlet和Areas等人首先提出了“小波”的概念[17]。小波分析的出现和发展；源于许多不同科学领域信号处理的需要。作为一种数学工具，小波分析已广泛地应用于信号分析、图像处理、数值分析等方面，而这些应用中产生的问题进一步激发了人们研究小波分析的兴趣。由此，带来了小波分析的迅速发展。
小波分析主要研究函数的表示，即将函数分解为“基本函数”之和，而“基本函数”由一个小波函数经伸缩和平移得到的，这个小波函数具有很好的局部性和光滑性，使得人们通过分解系数刻划函数时，可以分析函数的局部性质和整体性质。小波分析出现之前，人们用Fourier基、Harr基来分解函数[18]。Fourier基具有很好的光滑性，但局部性很差；而Harr基的局部性虽很好，但光滑性很差。小波基却兼有它们的特点。在信号分析中，由于小波变换在时域和频域都有很好的局部特性，因此在数据压缩与边缘检测方面，小波分析是一种非常有效的方法。
小波分析正处于迅速发展中，从事小波分析的人越来越多，随着研究的进一步步深入，小波分析还将更加广泛和深入地应用在理论数学、应用数学、信号处理、叮涵豫处通与分析、语音识别与合成、分形等方面。
3.1小波理论的发展背景
小波变换是当今应用数学中的一个迅速发展的领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的，具有许多特殊的性能和优点；而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。对小波的研究开始于80年代初，理论基础奠基于80年代末，经过几十年的发展，它已在信号处理与分析、地震信号处理、信号奇异性监测与频谱估计、计算机视觉、语音信号处理、图象处理与分析，尤其是在图象编码、压缩和去噪等领域取得了突破性的进展，成为一个研究开发的前沿热点；由于小波分析在时域和频域都具有良好的局部化特性，而且由于对高频采取逐渐精细的时域或空域步长，从而可以聚焦到分析对象的任意细节；正是小波变换的这种独特的性质，它被人们称为“数学显微镜” [19]。
小波分析方法最早是1910年Harr提出的“小波”规范正交基的概念。到80年代，
Stromberg 对Harr 系进行了改进，证明了小波函数的存在性[20]。1984年法国地球物理学家Morlet 在分析地震波的局部性质时，发现传统的Fourie:变换难以达到要求，因而引入小波概念于信号分析中。随后，理论物理学家提出了一个确定函数伸缩、平移系，为小波分析的形成奠定了基础。
真正的小波热开始于1986年，Meyer 创造性地构造出了具有一定衰减性地光滑函数孕，其二进制伸缩与平移系构成了L 2 (R)的规范正交基，这样离散后小波变换称为二进小波变换。1987年，Mallet 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思路引入到小波分析中，小波函数的构造以及信号按小波变换的分解与重构，其相应的算法(称为Mallat 算法)有效的应用于图象分析与重构，与此同时，Daubechies 构造了具有有限支集的正交小波基。这样，初步建立了小波分析的系统理论。为此，小波分析无论在理论和应用上得到了广泛的研究，取得了许多重要成果，其中90年代Wickerhanse 等将Mallat 算法进一步深化得到小波、小波包等算法尤为突出。
3.2小波变换的基本概念
3.2.1连续小波变换
⑴连续小波基函数
所谓小波(Wawelet )，即存在于一个较小区域的波。小波函数的数学定义是：设f(t)为一平方可积函数，即(t)∈L 2(R)，若其傅利叶变换f(ω)满足条件[21]： 2()
R d ψωω<∞ω? (3-1)
则称f(t)为一个基本小波或小波母函数，并称上式是小波函数的可容许条件。 根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点；另一方面，根据可容性条件可知0()0ωψω==，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。图3-1为一个小波的例子。
图 3.1 小波的例子
将小波母函数 (t)进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为α。平移因子为τ，并记平移伸缩后的函数为,()s t φ?，则 1
2,()(),0,s t t R τ
φαφατα?-=>< (3-2)
并称,()s t φ?为参数为α和τ和小波基函数。由于α和τ均取连续变换的值，因此又称之为连续小波基函数，它们是由同一母函数f (t)经伸缩和平移后得到的一组函数系列。
⑵连续小波变换
将L 2(R)空间的任意函数f (t)在小波基下进行展开，称其为函数f (t)的连续小波变换CWT ，变换式为：[22]
(,)()*()f R t WT t f t dt ταφα-=? (3-3)
当所用小波的容许性条件成立时，其逆变换存在：
201()(,)()f d t f t WT d C φ
ατατταα+∞+∞-∞-=?? (3-4) 其中C =20()x d φαωαα+∞<∞?
即为f (t)的容许性条件。
根据CWT 的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，也是一种积分变换，称
(,)f WT t a 为小波变换系数。
由于小波基具有尺度和位移两个参数，因此将小波基展开意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。而且由于小波基本身所具有的特点，函数投影到小波变换位置域后，有利于提取某些特征。
与傅立叶变换不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数构成了一组非正交的过渡完整基。即任意函数的小波展开系数之间存在相关性。若用K 表示两个基函数
f(α,τ) 和f(α
’,τ’)的相关性的大小，则 1,','(,;',')()()K C T t dt φφατατατατφφ-=?? (3-5) K 表征了连续尺度、时移为伴平面(α，τ)上的两个不同点之间的CWT 系数的相
关性，也称之为再生核或重建核。
3.2.2 离散小波变换
⑴尺度与位移的离散化
对连续小波基函数进行离散化可以得到离散小波变换，减少小波变换系数的冗余度。
在离散化时通常对尺度按幂级数进行离散化，即取0m m a a = ( m 为整数，α0≠1，
一般取α0= 2)，并且相应地位移间隔取为2m T S ，得到离散小波函数：
2,()2()2
m
m n s m t t n T φφ-=-? (3-6) 当把t 轴用T s 归一化后，则有任意函数f(t)的离散小波变换DWT 为：
,(,)()()f m n R WT m n f t t dt φ=
?? (3-7) ⑵小波框架
为了在尺度及位移均离散时能够重建原始信号，必须引入小波框架的概念。小波框架的定义是：当由基本小波f(t)经伸缩和位移引出的函数：
22
,00()()j
j
j k s t t kT φαφα--=- ,j k Z ∈ (3-8) 具有如下性质时： 222
,(,)j k j k A f
f B f φ≤≤∑∑ 0A B <<<∞ (3-9)
便称{,j k φ}（,j k Z ∈）构成了一个小波框架，并称上式为小波框架条件。
⑶离散小波逆变换
如果离散小波序列{,j k φ}（,j k Z ∈）构成了一个小波框架，其上下界分别为A 和B ，则当A=B 时（称为紧框架），离散小波变换的逆变换由下式给出[23]： ,,1()(,)()f j k j k f t WT j k t A
φ=?∑ (3-10) 研究表明，只有当A=B=1时，框架{,j k φ}（,j k Z ∈）变成正交集，此时经框架变换后的信息无任何冗余，但在其他情况下，框架并不正交，具有一定的相关性，同样也存在类似的重建核。
3.3数字图像的二维小波变换
多分辨分析亦称多尺度分析，它是Mallat 在80年代提出的，可用于正交小波的分解和重建，也称为金字塔算法。多分辨分析的基本思想是将原始信号分为不同分辨率的几个信号，然后选择合适的分辨率或者在各级分辨率上处理此信号。Neyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成了护L 2
(R)的规范正交基，才使小波得到了真正的发展。1988年S. Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨率特性，将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法和正交小波变换的快速算法，即Mallat 算法[24]。Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶算法在经典的傅立叶分析中的地位。
对于二维图像信号，可以用分别在水平和垂直方向进行滤波的方法实现二维小波多分辨率分解，图3-2，3-3为二维图像的一层分解和重建结构图。每经过一级分解，当前频带LLn-1，被分为4个子带LLn 、LHn 、HLn 和HHn 。其中低频带LL 。反映了图像在下一尺度的概貌，其余3个子带分别反映图像在水平、垂直和对角线方向的高频细节信息。
图 3.2 一级二维小波分解结构
其中，1↓2 表示每两列中取出一列，2↓1 表示每两行中取出一行，LL 表示低通子图像，LH 表示水
平边缘子图像，HL 表示垂直边缘子图像，HH 表示斜方向边缘子图像
图 3.3 一级二维小波重建结构
其中，1↓2 表示每两行中插入一行零，2↓1 表示每两列中插入一列零
第四章基于小波变换的图像去噪技术
4.1 小波去噪发展背景
一般来说，现实中的图像都是带有噪声的图像，而图像中的噪声对图像分析、图像压缩等的影响非常大，所以为了后续更高层次的处理，很有必要对图像进行去噪预处理。传统的去噪方法是将被噪声干扰的信号通过一个滤波器，滤掉噪声频率成分，但对于脉冲信号、白噪声、非平稳过程信号等等，传统方法存在一定的局限性，对这些信号，在低信噪比情况下，经过滤波器处理后，不仅信噪比得不到较大的改善，而且信号的位置信息也被模糊掉了。近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备良好的时频局部化能力和多分辨率分析能力，因而在图像处理各领域的实际应用非常广泛，在去噪领域中，小波理论同样深受许多学者的重视，他们应用小波变换进行去噪，并获得了非常好的效果。
在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母函数伸缩和平移版本所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最佳逼近，以完成原信号和噪声信号的区分；因此，小波去噪方法也就是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复。
从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特性，所以在这一点上又优于传统的低通滤波器；由此可见，小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合。
总之，小波去噪是小波变换较为成功的一类应用，其去噪的基本思路可用下面的框图来概括，即带噪信号经过预处理，然后利用小波变换把信号分解到各尺度中，在每一尺度下把属于噪声的小波系数去掉，保留并增强属于信号的小波系数，最后再经过小波逆变换恢复检测信号。
重建信号图 4.1 小波去噪流程图
1995年，Donoho和Johostone发表了经典论文< δ= soft-thresholding>>首次提出了小波阀值萎缩的概念[25]，还给出了2 阀值，并从渐进意义上证明WaveShrink的最优性，由子此方法在Besov空间上可得到最佳估计值，而其他任何线性估计(包括核估计、近邻估计以及局部多项式估计)都达不到与此相同的估计效果，因此，阀值去噪的方法引起了国内外许多学者的注意；与此同时，Krim等人运用Rissnen的MDL准则，也得到了相同的阀值公式，此后小波阀值萎缩方法便被广泛的应用到各种去噪处理中，并取得了很大的成功，对高斯噪声的处理尤其理想。但是，由于Donoh和Johostone给出的全局阀值，有很严重的“过扼杀”小波系数的倾向，因此人们纷纷对阀值的选择进行了研究，并相应的提出了多种不同的阀值确定方法；同时，人们针对阀值函数的选取也进行了一定的研究，并给出了不同的阀值函数，但是当这些方法应用到非高斯、有色噪声的场合中，效果却不甚理想，其中最主要的原因就在于这些方法大都是从Donoho和Johostone给出的方法发展而来的，从而它们最后的去噪性能也依赖于用WaveShrink确定阀值时，对噪声服从独立正态分布的假设。为此，人们提出了具有尺度适应性的阀值选取法，用来解决正态分布有色噪声的小波去噪问题。目前，基于阀值萎缩的小波去噪方法的研究仍然十分活跃，近来仍不断有新的方法出现，如一些学者根据Mallat的研究，指出图像的小波系数具有很强的非高斯统计特征，其直方图可以用推广的拉普拉斯分布建模，因而可以用贝叶斯估计对图像的小波系数滤波来达到降噪的目的，因此，从这些技术的发展来看，人们的研究方向已经转为如何最大限度的获得信号的先验信息，并根据这些信息来确定更适合得阈值或阈值向量，从而达到更高的去噪效率。 4.2 小波去噪方法 小波去噪方法，大体可以分成[26]：小波萎缩法、投影方法、相关方法三类。 小波萎缩法是目前研究最为广泛的方法，也比较成熟，鉴于以上知识与课题要求，本文将采用小波阈值萎缩法对上面的知识加以应用与实践验证。阈值的选择阈值的确定在阈值萎缩中是最为关键的。目前使用的阈值可以分成全局阈值和局部适应阈值两类。其中，全局阈值对各层所有的小波系数或同一层内的小波系数都是统一的；而局部适应阈值是根据当前系数周围的局部情况来确定阈值。目前提出的全局阈值主要有：
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