大学物理第4章狭义相对论时空观习题解答
(改)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2
习 题
4-1 一辆高速车以0.8c 的速率运动。地上有一系列的同步钟，当经过地面上的一台钟时，驾驶员注意到它的指针在0=t ，他即刻把自己的钟拨到
0'=t 。行驶了一段距离后，他自己的钟指到6 us 时，驾驶员看地面上另一台钟。问这个钟的读数是多少？ 4-2 【解】s)(10)
/8.0(16/12
2
2
0μ=-μ=
-?=
?c c s c
u t t
所以地面上第二个钟的读数为
)(10's t t t μ=?+=
4-3 在某惯性参考系S 中，两事件发生在同一地点而时间间隔为4 s ，另一惯性参考系S′ 以速度c u 6.0=相对于S 系运动，问在S′ 系中测得的两个事件的时间间隔和空间间隔各是多少？ 4-4
【解】已知原时(s)4=?t ，则测时
(s)56
.014/1'2
2
2
=-=
-?=
?s c
u t t
由洛伦兹坐标变换2
2
/1'c u ut x x --=
，得：
)(100.9/1/1/1'''82
22
2202
21012m c u t u c u ut x c u ut x x x x ?=-?=
---
--=
-=?
4-5 S 系中测得两个事件的时空坐标是x 1=6×104 m ，y 1=z 1=0，t 1=2×10-4 s 和x 2=12×104 m ，y 2=z 2=0，t 2=1×10-4 s 。如果S′ 系测得这两个事件同时发生，则
3
S′ 系相对于S 系的速度u 是多少？S′ 系测得这两个事件的空间间隔是多少？
【解】(m)1064?=?x ，0=?=?z y ，(s)1014-?-=?t ，0'=?t
0)('2=?-
?γ=?c
x
u t t 2c
x
u t ?=?? (m/s)105.182?-=??=?x t c u (m )102.5)('4?=?-?γ=?t u x x
4-6 一列车和山底隧道静止时等长。列车高速穿过隧道时，山顶上一观察者看到当列车完全进入隧道时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现象这现象是如何发生的 4-7
【解】S 系（山顶观察者）看雷击同时发生，但车厢长度短于山洞长度，故未被击中。
'S 系（列车观察者）看雷击不同时发生。虽然车厢长度长于山洞长度，但出洞处先遭雷击，入洞处后遭雷击，此时车尾已经进入山洞。故未被击中。
4-8 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400 m 。（1）地面上的观察者测得飞船长度是多少（2）为了测得飞船的
4
长度，地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处。那么这两位观察者相距多远（3）宇航员测得两位观察者相距多远 【解】（1）)(4.5699.01400/12220m c u l l =-=-=
（2）这两位观察者需同时测量飞船首尾的坐标，相减得到飞船长度，所以两位观察者相距是56.4 m 。
（3）上的两位观察者相距56.4 m ，这一距离在地面参考系中是原长，宇航员看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为
)(96.799.014.56/12220m c u l l =-=-=
所以宇航员测得两位观察者相距7.96 m 。
4-9 一艘飞船原长为l 0，以速度v 相对于地面作匀速直线飞行。飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为u ，求地面观察者测得小球运动的时间。
【解】宇航员测得小球离开尾部的时空坐标为)','11t x （，小球到达头部的时空坐标为
)','22t x （。地面上测得小球运动的时间为： )
''(/11)'
'(/11)''(/11
22
2211222222
212c x v t c v c vx t c
v c vx t c v t t t ?+?-=+--+
-=
-=?
012''l x x =- ，u l t t /''012=-
2220222/1)
/1()''(/11
c
v u c uv l c x u t c u t -+=
?+?-=?∴
5
4-10 在实验室中测得两个粒子均以0.75c 的速度沿同一方向飞行，它们先后击中同一静止靶子的时间间隔为5×10-8 s 。求击中靶子前两个粒子相互间的距离。
【解】(m)25.11=?=?t u x
4-11 在参考系S 中，一粒子沿x 轴做直线运动，从坐标原点O 运动到x =1.50×108 m 处，经历时间Δt =1 s 。试计算粒子运动所经历的原时是多少？ 4-12
【解】粒子在S 系中的速度为
)(105.10
18-??=?-=
s m t
x u 原时为：)(866.0/1220s c u t t =-?=?
4-13 一个在实验室中以0.8c 的速度运动的粒子飞行了3 m 后衰变。实验室中的观察者测量该粒子存在了多少时间与粒子一起运动的观察者测得该粒子在衰变前存在了多少时间 4-14
【解】实验室中的观察者测得粒子的存在时间为：
(s)1025.18-?=?=
?u
x
t 与粒子一起运动的观察者测得粒子的存在时间为原时
6
(s)101/18220-?=-?=?c u t t
4-15 远方的一颗星体以0.8c 的速率离开我们。我们接收到它辐射出来的闪光周期是5昼夜，求固定在星体上的参考系测得的闪光周期。 【解】我们接收的闪光周期是测时，固定在星体上的参考系测得的闪光周期为原时，即原时为：)(3/1'22昼夜=-?=?c u t t
4-16 一星体与地球之间的距离是16光年。一观察者乘坐以0.8c 速度飞行的飞船从地球出发向着星体飞去。该观察者测得飞船到达星体所花的时间是多少？试解释计算结果。 4-17
【解】星体与地球之间的距离是原长，飞船上的观察者测得的距离是测长，测长为：
)(6.98.01/1L '02220光年=-=-=L c u L
)(128.0'
'年==
?c
L t 地球上的观察者测得飞船到达星体所花的时间为：)(208.00
年==
?c
L t 飞船上的观察者测得的时间是原时，地球上的观察者测得飞船到达星体所花的时间为测时，这正是时间膨胀的一种表现。
7
4-18 一根固有长度为1 m 的尺子静止在S′系中，与O ′x′轴成30°角。如果在S 系中测得该尺与Ox 轴成45°角，则S′ 系相对于S 系的速度u 是多少？S 系测得该尺的长度是多少？
【解】在'S 系中，米尺在x′ 轴方向的投影长度为：
(m)2
3
30cos '0=
= L x 在y ′ 轴方向的投影长度为：(m)5.030sin '0== L y
在S 系中，米尺在y 轴方向的投影长度不变，)(5.0'm y y == 由于米尺在S 系中测得该尺与Ox 轴的夹角为45°，则在x 轴方向的投影长度为：)(5.0m x =，即
2222/12
3
5.0'/1c u x c u x -=
?-= S′ 系相对于S 系的速度为：c u 3
2
=
S 系中测得该尺的长度为：(m)707.05.02=?=L
4-19 一立方体的质量和体积分别为m 0和V 0。求立方体沿其一棱的方向以速速u 运动时的体积和密度。
【解】 设立方体沿x 方向运动，立方体的一条棱边平行于x 轴。 立方体的原边长为300V a =
运动时，沿x 轴方向边长为：022/1'a c u a -=
8
因此物体的体积为：22000022/1/1'c u V a a a c u V -=??-= 运动时，物体的质量为：02
2
/11m c
u m -=
因此运动时物体的密度为：
1220022002
2)/1(/1/11''--=--==
c u V m c u V m c u V m ρ
4-20 直杆纵向平行于S 系的Ox 轴匀速运动，在S 系中同时标出该杆两端的位置，并测得两端坐标差Δx 1=4 m 。若在固定于杆上的S′ 系中同时标出该杆两端的位置，则在S′ 系中测得两端坐标差Δx 2=9 m 。求杆本身的长度和杆相对于S 系的运动速度。
【解】根据题意可知，在S′ 系中测得杆的长度即为原长0L 。
029()L x m =?=
根据长度收缩关系式2
2
10/1c
u x L -?=
1x ?是在s 系中测得杆的长度
21
22
1x u c x ??-=
?
3u ∴=
【解】（邱雄习题答案）设直杆的原长为0L ，根据题意可知，在S′ 系中测得杆的长度即为原长。
9
0L （缩短了）
这个题目的Δx 2=9 m 是在S 系中的两个坐标之差，不是原长。如果用洛仑兹变换解这题的第二次测量，会更容易理解。以下是我的解法。 【解】在S′ 系中，不管是否同时测量，杆两端坐标差都是原长，设直杆的原长为0L 。
第一次测量，Δx 1=4 m 是动长，可以直接用长度收缩公式，有以下关系：
2
2
10/1c
u x L -?=
（1）
第二次测量，Δt 2′ =0 Δx 2=9 m Δx 2′ =L 0 由洛仑兹变换 )'t u 'x (c u 1x 222
2
2???+-=
1 得到下面式子
2220/1c u x L -?= （2）
由（1）（2）得到
2122x x c
u ??=
-1 c u 35
=?
10
)(69
51922
0m L =-=
4-21 从地球上测得地球到最近的恒星半人马座α星的距离是4.3×1016 m ，设一宇宙飞船以速度0.99c 从地球飞向该星。（1）飞船中的观察者测得地球和该星间距离是多少（2）按照地球上的时钟计算，飞船往返一次需要多少时间若以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少 【解】（1）设地球为S 系，飞船为S ’系。地球上测得地球到半人马座α星的距离为原长，飞船测得的距离为测长。则：
)(1092.1999.01103.4/1'15216220m c u l l ?=-??=-=
（2）地球上的时钟计算飞船往返一次)2(0l 所需的时间为
年）(1.9)(87.210
3999.0103.4228
16
0==????==?s u l t 地球上的时钟计算飞船往返一次所需的时间为测时，以飞船时钟计为原时，则
年）(41.0999.01.19/1'222=-?=-?=?c u t t
4-22 天津和北京相距120 km 。在北京于某日上午9时整有一工厂因过载而断电。同日在天津于9时0分0.0003秒有一自行车与卡车相撞。试求在以c 8.0沿北京到天津方向飞行的飞船中的观察者看来，这两个事件相距多远？这两个事件之间的时间间隔是多少哪一事件发生的更早
11
【解】（1）设飞船为'S 系，地球为S 系，北京发生事件1，天津发生事件2。飞船测得这两个事件的距离为：
2
2
2
2
202
2
1012/1/1/1'''c
u t u x c
u ut x c
u ut x x x x -?-?=
---
--=
-=?
)(80)(10808.010003
.01038.01012032
83km m =?=-???-?=
（2）飞船测得这两个事件的时间间隔为：
)(/11'2
2
2c x
u t c u t ?-
?-=
? )(1033.3))103(101201038.00003.0(8.011
52
83
82
s -?-=?????--= 0'
4-23 地球上的观察者发现，一艘以c 6.0的速度航行的宇宙飞船在5 s 后同一个以c 8.0的速度与飞船相向飞行的彗星相撞。（1）飞船上的人看到彗星以多大速率向他们接近。（2）按照飞船上观察者的钟，还有多少时间允许它离开原来的航线以避免相撞？ 4-24
【解】（1）设地球为S 系，飞船为'S 系。由洛伦兹速度变换，在飞船测得的彗星速度为：
c c c c uv u v v 95.06
.0)8.0(16.08.0/1'2
-=?----=--=
12
即彗星以c 95.0的速率向飞船接近。
（2）飞船上测得测得离发生碰撞的时间间隔为：
)(46.015/1'222s t c u t =-?=?-=?
4-25 一原子核以0.6c 的速率离开某观察者运动。原子核在它的运动方向上向后发射一光子，向前发射一电子。电子相对于核的速度为0.8c 。对于静止的观察者，电子和光子各具有多大的速度？ 4-26
【解】设观察者所在参考系为S 系，原子核为S ’系。 洛伦兹速度变换式2
/1'c vu u
v v ++=
由题意可知，c u 6.0=，电子c v 8.0'=，光子c v -=' 电子的速度 c c
c c vu u v v 946.06
.08.016.08.0/1'2=?++=++=电子
光子的速度 c c
c c vu u v v -=?-++-=++=6
.0)1(16.0/1'2
光子
4-27 （1）火箭A 以0.8c 的速度相对于地球向正东飞行，火箭B 以0.6c 的速度相对于地球向正西飞行，求火箭B 测得火箭Ａ的速度大小和方向。（2）如果火箭A 向正北飞行，火箭B 仍向正西飞行，由火箭B 测得火箭Ａ的速度大小和方向又是如何？ 4-28
13
【解】取正东为x 轴的正向，正北为y 轴的正向，根据洛伦兹速度相对变换式
2/1'c u v u v v x x x --=， 222/1/1'c u v c u v v x y y --=， 2
2
2/1/1'c u v c u v v x z z --=
（1）将c u 6.0-=，c v x 8.0=，0=y v ，0=z v 代入，得：
c c c c u v u v v x x x 95.0.6)
0(8.01)
6.0(8.0/1'2=-?---=--=
0/1/1'2
22=--=
c u v c u v v x y y
0/1/1'2
2
2=--=c u v c u v v x z z
即在火箭B 上测得火箭Ａ的速度大小为c 95.0，方向为正东。 （2）将c u 6.0-=，0=x v ，c v y .80=，0=z v 代入，得：
c c c u v u v v x x x 6.0.6)
0(01)
6.0(0/1'2
=-?---=--=
c c c u v c u v v x y y 64.0)
6.0(016.018.0/1/1'2
2
22=-?--?=--=
0/1/1'2
2
2=--=c
u v c u v v x z z c v v v y x 87.0''22=+=， 8.466.064.0==c
c
arctg
θ 即在火箭B 上测得火箭Ａ的速度大小为c 87.0，方向为东偏北 8.46。
14
4-29 北京正负电子对撞机中，电子可以被加速到能量为eV 1000.39?。求：（1）这个电子的质量是其静止质量的多少倍（2）这个电子的速率为多大和光速相比相差多少（3）这个电子的动量有多大 【解】（1）根据20202
20k /11-c m c m c u E E E --=
=，
eV 1051.0620?=c m 可得：
588311051.01000.31/11
69022=+??=+=-E E c u k 002
2
5883/11m m c
u m =-=
即这个电子的质量是其静止质量的5883倍。
（2）由上式可计算出这个电子的速率为：c u 60.99999998= 与光速相比，相差：)/(3.34101.44-8s m c u =?=? （3）电子的动量为：c
c m E E p k k 2
02
2+=
由于20c m E k >>，所以有
)/(106.110
3106.110318
8
199s m kg c E p k ??=????=≈--
4-30 一个电子的总能量是它静能的5倍，求它的速率、动量、总能分别是多少？
【解】（1）根据k 0E E E +=，2mc E =，200c m E =可得：
15
00
05m m m m E E =?=
由02
2
/11m c
v m -=
，求得电子的速率为：
)/(1094.25
24
8s m c v ?==
（2）电子的动量：)(1034.1c 5
24
5210m/s kg m mv p ??=?
==- （3）电子的能量：)(1028.3413200k J c m E E E -?==-=
4-31 （1）把一个静止质量为m 0的粒子由静止加速到0.1c 所需的功是多少（
4-32 2）由速率0.89c 加速到0.99c 所需的功又是多少？
【解】（1）由相对论的功能关系，电子由静止加速到0.1c 所需的功为：
20202
22021005.0)1/11(
-c m c m c v c m mc W =--==
（2）同理，电子由速率0.89c 加速到0.99c 所需的功为：
202
2
12
2
221222)/11/11(
-c m c v c v c m c m W --
-==
20202
2
.94)9
.80119.9011(c m c m =--
-=
16
4-33 一个电子由静止出发，经过电势差为1.0×104 V 的均匀电场，电子被加速。已知电子静止质量为m 0=9.11×10-31 kg ，求：（1）电子被加速后的动能；（2）电子被加速后质量增加的百分比；（3）电子被加速后的速率。
【解】（1）根据)(106.110106.115419k J V e E --?=??=?= （2）由相对论的动能表达式202k -c m mc E =，可得质量的增量为：
)(1078.132
20kg c
E m m m k -?==
-=? 电子质量增加的百分比为：
%210
11.91078.13132
0=??=?--m m （3）电子加速后质量为：)(1029.9310kg m m m -?=+?= 由质速关系式02
2
/11m c
v m -=
，可得：
)/(1085.5)29
.911.9(1103)(
172
820s m m m c v ?=-??=-=
4-34 一个质子的静止质量为kg 1065672.127P -?=m ，一个中子的静止质量为kg 1095674.127n -?=m ，一个质子和一个中子结合成的氘核的静止质量为kg 1065343.327D -?=m 。求结合过程中放出的能量是多少MeV 这能量称为氘核的结合能，它是氘核静能的多少倍 4-35
17
【解】氘核的结合能为：
2
8-272D D 10(310
3.34365)-1.67495(1.67265)(））（???+=?=?c m E )(2.22)(105.53-13MeV J =?=
%12.0)103(1034365.31055.3(2
82713
2D D D =????==--c m ΔE)η
即这一结合能是氘核静能的0.12%倍。
4-36 太阳发出的能量是由质子参与一系列反应产生的，其总结果相当
于热核反应：e He H H H H 104211111111
2+→+++。 已知：一个质子（H 1
1
）的静止质量是kg 1065672.127P -?=m ，一个氦核（He 4
2
）的静止质量是kg 1050642.627He -?=m ，一个正电子（e 10）的静止质量是kg 1011.931e -?=m 。求：这一反应所释放的能量是多少（ 2）消耗1kg 的质子可以释放的能量是多少（
3）目前太阳辐射的总功率为W 109.326?=P ，它一秒钟消耗多少千克质子？
【解】（1）释放能量为：
28-31-27-27210(3)109.112-106.64250-10651.672(4）
???????=?=?mc E )(105.14-12J ?=
（2）消耗1kg 的质子释放的能量为：
)/(1020.6)1067265.14/(105.141427-12kg J ?=???-
18
（3）太阳一秒钟消耗质子的质量为：
)/(1029.6)1020.6/(109.3111426s kg ?=??
4-37 两个静止质量都是m 0 的小球，其中一个静止，另一个以v =0.8c 运动。它们对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。 【解】两小球碰撞前后能量守恒，则有：
2220c m mc c m 合=+ 合m m c
v m =-+
?02
2
0/11
两小球碰撞前后动量守恒，则有：
'v m mv 合= ')1/11(
/11102
2
02
2
v m c
v v m c
v +-=--?
将c v 8.0=代入，解得：038
m m =合， c v 5.0'=
因为02
2
/'11合合m c
v m -=
，所以有：
02022031.25.013
8
/'1m m c v m m =-=-=合合
即碰撞后合成小球的静止质量为031.2m 。
4-38 在什么速度下粒子的动量等于非相对论动量的2倍又在什么速度下粒子的动能等于非相对论动能的2倍 4-39
【解】对动量问题，由题意可知：
19
v m v m c
v 002
2
2/11=-
解得：c c v 866.02/3== 对能量问题有：
202022
1
2-v m c m mc ?=
)1()1(11-/11
22
2222
2
22c
v c v c v c v -+=?=-?
解得：c v 786.0=