一次函数
(一)函数
1、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
二次函数
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =---
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =++;
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2
y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)
2
y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-;
()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =--+.
5. 关于点()m n ,
对称 ()2
y a x h k
=-+关于点()m n ,
对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-
反比例函数
1、反比例函数图象:反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
2、性质:
1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0;值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则n^2+4k·m≥(不小于)0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线:x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.
10.反比例上一点m向x、y分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|
11.k值相等的反比例函数重合,k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点
指数函数
概念:一般地,函数y=a^x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。
注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质
规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;
当0<a<1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀:“大增小减”。即:当a>1时,图像在R上是增函数;当0
<a<1时,图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数
比较幂式大小的方法:
1.当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较;
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论;
3.当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较;
4.对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=a x在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数,
我们把指数函数y=a x(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=log
a
x(a>0,a≠1).
因为指数函数y=a x的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数
y=log
a
x的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.
为了研究对数函数y=log
a
x(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log
2x,y=log
10
x,y=log
10
x,y=log
2
1
x,y=log
10
1
x的草图
图
象
a>1 a<1 性
(1)x>0
(2)当x=1时,y=0
比较对数大小的常用方法有:
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
幂函数
幂函数n
y x
=随着n的不同,定义域、值域都会发生变化,图像都过(1,1)点
①
11
,,1,2,3
32
a=时,幂函数图像过原点且在[)
0,+∞上是增函数.
②
1
,1,2
2
a=---时,幂函数图像不过原点且在()
0,+∞上是减函数.
③任何两个幂函数最多有三个公共点.
幂函数y x α
=(x ∈R ,α是常数)的图像
在第一象限的分布规律是:
①所有幂函数y x α
=(x ∈R ,α是常数)
的图像都过点)1,1(;
②当
21
,
3,2,1=α时函数y x α
=的图像都过
原点)0,0(;
③当1=α时,y x α
=的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如2c );
④当3,2=α时,y x α
=的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如1c )
④
21
=
α时,y x α
=的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如3c
⑤ 1-=α时,y x α
=的的图像不过原点)0,0(,且在第一象限是“下滑”曲线(如
4c )
当0>α时,幂函数y x α
=有下列性质: (1)图象都通过点)1,1(),0,0(; (2)在第一象限内都是增函数;
(3)在第一象限内,1>α时,图象是向下凸的;10<<α时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点)1,1(后,图象向右上方无限伸展。 当0<α时,幂函数y x α
=有下列性质: (1)图象都通过点)1,1(;
(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;
(3)在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近;向右无限地与x 轴无限地接近;(4)在第一象限内,过点)1,1(后,
α
越大,图象下落的速度越快。无论α取任
何实数,幂函数y x α
=的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数x
b
ax y +
=(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似
符号“√”而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,a
b x b ax 2≥+
(当且仅当x
b
ax =
即a b x =时取等号),由此可得函数x
b
ax y +=(a>0,b>0,x ∈R +)的性质:
当a b x =
时,函数x
b
ax y +=(a>0,b>0,x ∈R +)有最小值a b 2,特别地,当a=b=1时函数有最小值2。函数x
b
ax y +
=(a>0,b>0)在区间(0,a b )上是
减函数,在区间(
a
b
,+∞)上是增函数。因为函数x b ax y +
=(a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数x
b ax y +=(a>0,b>0,x ∈R -)的性质:当a b x -
=时,函数x
b
ax y +=(a>0,b>0,x ∈R -)有最大值-a b 2,特别地,当a=b=1时函数有最大值-2。函数x
b
ax y +=(a>0,b>0)在区间(-∞,-a b )
b
上是增函数,在区间(-
,0)上是减函数。
a